专题01 二次根式及其性质（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“概念-条件-性质-最简”为逻辑主线，通过分层题型与方法提炼实现二次根式专项突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题型（识别/求值）|定义辨析法、代入计算法|从概念识别到数值计算，构建认知基础| |条件与参数|2题型（求参数/有意义条件）|被开方数非负性分析、整数化参数法|结合概念延伸条件应用，强化逻辑推理| |性质化简|2题型（基础化简/复合化简）|性质公式直接应用、完全平方构造法|从单一性质到复合变形，提升运算能力| |最简二次根式|3题型（判断/化简/求参数）|最简条件判断法、根式化简步骤|深化概念理解，形成知识闭环|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次根式及其性质 常考题型精准突破 ●考点一二次根式的基础概念 ● ◆题型1二次根式的识别 1.C 2.C 3.3 ◆题型2求二次根式的值 4.0 1 5.3 6.2V6 7.-11 考点二条件与参数 ● ◆题型1求二次根式中的参数 8.B 9.15 10.5 11.21 ◆题型2二次根式有意义的条件 12.C 13.x>3/3<x 14 2ab√3b 15.x20 16.0 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·考点三性质化简 ● ◆题型1利用二次根式的性质化简 17.B 18.12 xV3x 19.3 20.1≤x≤3 21.-5 ◆题型2复合二次根式的化简 2.5-5 23.06+V5 (2)解：原式=V6-4×V6+4 =6-2x2x6+2 =6-2月 =√6-2 240)2+V6 (2)V29-8V13 =4-2×43+(3 =4- =4-√13 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(1)解： V10+22i =V3+2W21+7 =+25x万+列 =5+列 =3+√7 (2)解：V14-8V5 =V14-2W48 =V8-2V48+6 =⑧-28x6+(6j -8-6 =22-6 (3)解： :3-22=2-=2-1, 5-26=5-2=5-2, 7-22=2-=2-5, 对第于n项，形式可表示为V(2n+1)-2√(n+) 可化简为2n+)-2n+=n+i-=n+1-n 式中最后一项为V2025-2W1012×1013 .2025=2×1012+1, .n=1012, 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴最后一项化简为： V3-2V2+V5-2√6+V7-2V12+…+V√2023-2√1023132+√2025-2√1012×1013 =(2-+(3-2)+(4-5)++(012-i0)+(io13-1o12) =V1013-1 ●考点四最简二次根式·— ◆题型1最简二次根式的判断 26.D 27.D 28.C 292 (答案不唯一) ◆题型2化为最简二次根式 30.C 31.Sbva 32 3bW5ab,3b√5ba 33 4av2ab ◆题型3已知最筒二次根式求参数 34.D 35.5 36.12 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 3.C 417 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 41-a/-a+1 5.-0.2236 727 3 三、解答题 6 8.【详解】解：：b<0、a中a20, .b<0、a<0, 62阿{） =（-4ab-2ab)-(-3wab+3Nab） =-6ab n 9.【详解】解： mmV2m (m>0) =-.nm ×m, 2m m m2\m n =-.nn2m ×m m m21m n 10.【详解】(1)解：，二次根式√28=27与最简二次根式V2+1是同类二次根式， .2a+1=7, .a=3 b是8的立方根， 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=2, ∴.a+3b=3+6=9. a+36 的平方根 ±V9=±3 (2)解：a=3,b=2, :x=6-a=2-3 r+6r+7 =x2+6x+9-2 =(x+3)2-2 =(2-3+3)°-2 =2-2=0, 11.(1)小亮 (2)解：匠-4， .当a=1012时， a+V1-2a+a2 =a+-a, =a+1-a =a+(a-1) =2a-1=2023; 故答案为： Va)=ld: (3)解：当a=-2025时， a+2Va2-6a+9 =a+2V(a-3}」 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a+23-d =a+2(3-a) =6-a=2031 12.(1)m2+3n2,2mn (2)解：11+4W7=(m+m7=m2+2mm万+7m2, m2+7n2=11 ∴.2mn=4, [m=2 解得：n=1, 11+47=(2+7. 1+4W厅=2+=2+万， 16-67=(m-nW7j=m2-2mn7+7n2, m2+7n2=16 .-2mn=-6, m=3 解得：n=1, :16-6万=(3-7列， i6-6万=3-列=3-万， :.i1+4W7-vi6-67=2+万-3-7)=2W7-1 717 专题01 二次根式及其性质 常考题型·精准突破 考点一 二次根式的基础概念 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式的值 考点二 条件与参数 题型1 求二次根式中的参数 题型2 二次根式有意义的条件（高频） 考点三 性质化简 题型1 利用二次根式的性质化简（重） 题型2 复合二次根式的化简（难） 考点四 最简二次根式 题型1 最简二次根式的判断 题型2 化为最简二次根式 题型3 已知最简二次根式求参数 题型11 整式乘法混合运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次根式的基础概念 ◆题型1 二次根式的识别 1．下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． ◆题型2 求二次根式的值 4．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 5．当时，二次根式的值是_______． 6．当时，的值是______． 7．已知，则代数式的值是________． 考点二 条件与参数 ◆题型1 求二次根式中的参数 8．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．对于，当是整数时，最小的正整数______． 10．如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 11．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ ◆题型2 二次根式有意义的条件 12．下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 13．若有意义，则x的取值范围是_____． 14．化简:____． 15．若有意义，那么满足的条件是___________． 16．当时，求的平方根． 考点三 性质化简 ◆题型1 利用二次根式的性质化简 17．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 18．计算：__________． 19．化简：____________________． 20．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 21．计算：． ◆题型2 复合二次根式的化简 22．计算：_______． 23．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 24．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 25．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 考点四 最简二次根式 ◆题型1 最简二次根式的判断 26．下列根式中（各字母均为正数）是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 27．下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 29．写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． ◆题型2 化为最简二次根式 30．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 31．化简：________． 32．已知，化简______． 33．化简：_____． ◆题型3 已知最简二次根式求参数 34．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 35．若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 36．若和都是最简二次根式，则_____，_____． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 2．当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 3．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 二、填空题 4．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 5．已知，那么的值约为_____． 6．当时，化简_____． 7．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 三、解答题 8．计算：． 9．计算 10．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 11．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 12．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质 常考题型·精准突破 考点一 二次根式的基础概念 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式的值 考点二 条件与参数 题型1 求二次根式中的参数 题型2 二次根式有意义的条件（高频） 考点三 性质化简 题型1 利用二次根式的性质化简（重） 题型2 复合二次根式的化简（难） 考点四 最简二次根式 题型1 最简二次根式的判断 题型2 化为最简二次根式 题型3 已知最简二次根式求参数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次根式的基础概念 ◆题型1 二次根式的识别 1．下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． ◆题型2 求二次根式的值 4．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 5．当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 6．当时，的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．已知，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 考点二 条件与参数 ◆题型1 求二次根式中的参数 8．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 9．对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 10．如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 【答案】5 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 11．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． ◆题型2 二次根式有意义的条件 12．下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和化简判断即可． 【详解】解：， 有意义，故选项A错误； ，故选项B，D错误， 故选：C． 13．若有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不为0． 【详解】解：有意义， ，且， ， 14．化简:____． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件，结合已知，确定，保证开方结果符合算术平方根的非负性，再将被开方数拆分为可开尽的与最简根式部分的乘积，把平方因式开方后移出根号即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 15．若有意义，那么满足的条件是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得满足的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴． 故答案为：． 16．当时，求的平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的平方根． 根据二次根式的非负性，分式有意义的条件求出、的值，进而求出的值，求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 考点三 性质化简 ◆题型1 利用二次根式的性质化简 17．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 18．计算：__________． 【答案】12 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 19．化简：____________________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 20．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 21．计算：． 【答案】 【分析】先将根号内的多项式整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，根据的大小判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后计算即可得到结果． 【详解】解： ， 根据二次根式的性质化简得：原式 ， ∵， ∴， ， ∴ 原式． ◆题型2 复合二次根式的化简 22．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 23．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 24．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 25．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 考点四 最简二次根式 ◆题型1 最简二次根式的判断 26．下列根式中（各字母均为正数）是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】最简二次根式的判定条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐一分析： 选项A中，的被开方数含分母， ∴ A不是最简二次根式； 选项B中，的被开方数含能开得尽方的因式， ∴ B不是最简二次根式； 选项C中，的被开方数含能开得尽方的因式， ∴ C不是最简二次根式； 选项D中，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件， ∴ D是最简二次根式． 27．下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 29．写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符合条件的二次根式． 【详解】∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数， ∴是最简二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型2 化为最简二次根式 30．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义．由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，含有能开尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B：，不是最简二次根式，不符合题意； C：  被开方数不含能开尽方的因数或因式且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 31．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 32．已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 33．化简：_____． 【答案】 【详解】解：． ◆题型3 已知最简二次根式求参数 34．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 35．若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 36．若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 2．当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 3．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 二、填空题 4．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 5．已知，那么的值约为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质以及二次根式的化简，熟练掌握被开方数的小数点移动与算术平方根小数点移动的关系是解题的关键．本题可先将变形为与已知相关的形式，再利用算术平方根的性质和已知近似值进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 6．当时，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 三、解答题 8．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先确定、，再根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵、中， ∴、， ∴ ． 9．计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 10．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 11．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)， 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）小亮的解法错误； （2）因为，利用此性质即可判断； （3）可化为，利用进行化简，再进一步计算求值即可． 【详解】（1）答：小亮的解法错误， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴当时， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当时， ， ， ， ， ． 12．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $