第8单元 10 第56讲 第2课时 最值与范围、证明问题（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合应用，以抛物线、椭圆为载体，系统覆盖方程求解、最值范围、证明等核心题型，强化几何性质与代数运算的逻辑关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线|2道（题1、3）|方程求解、角平分线证明、面积范围、向量关系|从定义（焦半径）到方程，结合直线与抛物线位置关系，通过代数运算（斜率、参数）解决几何证明与范围问题| |椭圆|2道（题2、4）|方程求解、面积最值、四边形面积最大值|由离心率、短轴长等基本量求方程，利用直线斜率设方程，通过函数或不等式求面积最值，体现几何直观与运算能力|

第2课时　最值与范围、证明问题 1.解:(1)由|MF|=xM+=2+=3,可得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:根据题意,直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由得y2-4my+4=0,由Δ=16m2-16>0,可得m>1或m<-1, 由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=4. 则kFA+kFB=+=== = =0,即直线FA与直线FB的倾斜角互补.又F(1,0), 所以x=1是∠AFB的平分线. 2.解:(1)将点P(,1)的坐标代入方程+=1(a>0,b>0),得+=1. 又2b=2c,a2=b2+c2, 所以a2=4,b2=2, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2). 联立直线方程与椭圆C的方程得x2+mx+m2-2=0, 由Δ=2m2-4(m2-2)=2(4-m2)>0,得-2<m<2, x1+x2=-m,x1x2=m2-2, 则|AB|=· =. 又点P(,1)到直线l:x-y+m=0的距离 d===,所以△ABP的面积S=|AB|·d=· =≤ =, 当且仅当m2=4-m2,即m=±时等号成立, 故当△ABP面积取得最大值时,直线l的方程为y=x±. 3.解:(1)因为抛物线C经过点M(1,),所以2=2p×1,解得p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x. (2)依题意,直线l与抛物线有2个交点A,B,所以直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,由整理得y2-2ty-8=0,由Δ>0,得t∈R,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-8. 所以S△AOB=×4×|y1-y2|= 2=2≥8,当且仅当t=0时,等号成立, 故△AOB面积的取值范围是[8,+∞). (3)由题意得抛物线的焦点为F.由=2,可知直线l过焦点F且斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+, 由得y2-2ty-1=0,Δ=4t2+4>0, 于是y1+y2=2t,y1y2=-1. 由=2可知,-y1=2y2,代入上式可得y1=4t,y2=-2t,所以y1y2=-8t2=-1,解得t=±, 所以直线l的方程为4x-y-2=0或4x+y-2=0. 4.解:(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,得e==,则a=2b,椭圆的方程可化为x2+4y2=4b2,直线OP的斜率k==,则直线OP的方程为y=x,由椭圆的对称性,不妨设点A(x0,y0),x0>0,y0>0,由解得因此|AB|=2|OA|=2=b= ,解得b=1,故a=2,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)如图,延长MF1交C于点M0,由(1)知F1(-,0),F2(,0),设M(x1,y1),M0(x2,y2),MF1的方程为x=my-, 由消去x得(m2+4)y2-2my-1=0, 则 设F1M与F2N之间的距离为d,四边形F1F2NM的面积为S, 由MF1∥NF2及椭圆的对称性知,点N与点M0关于原点对称,则S=(|F1M|+|F2N|)d=(|F1M|+|F1M0|)d=|MM0|d=,连接MF2又=|F1F2|·==≤2,当且仅当=,即m=±时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　最值与范围、证明问题 1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)满足|MF|=3. (1)求抛物线C的方程; (2)设点D(-1,0),过D作直线l交抛物线C于A,B两点,证明:x=1是∠AFB的平分线. 2.[2026·湖南益阳期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(,1),且椭圆C的短轴长等于焦距. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l的斜率为,且与椭圆C相交于A,B两点,求△ABP面积取得最大值时直线l的方程. 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C经过点M(1,),直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点. (1)求拋物线C的标准方程; (2)若直线l过定点(4,0),求△AOB面积的取值范围; (3)若=2,求直线l的方程. 4.[2026·辽宁五校期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过坐标原点O和点P(a,b)的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=. (1)求椭圆C的方程; (2)直线l与C交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $