01 确定位置单元核心考点举一反三-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（人教版+新教材）

该小学数学“确定位置”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了单元核心考点，将有序数对、同列同行辨析、方格图应用等八大类知识按“基础概念-规律应用-综合拓展”的逻辑组织，并用要点清单呈现数对书写规则、平移规律等核心知识，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“举一反三”的练习设计，如“数对与图形运动”中，通过点A(2,3)平移后对应点的计算，引导学生掌握平移规律，培养空间观念和推理意识。每个考点配有基础“牛刀小试”和综合提升题，基础薄弱学生能巩固方法，优秀学生可拓展思维，教师可据此实施精准复习教学。

01 确定位置单元核心考点举一反三 八大类+综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 1 一、有序数对的意义与书写 2 二、同列、同行的规律与数对辨析 3 三、方格图上用数对确定位置 4 四、数对与图形运动的变化规律 8 五、用方向（角度）和距离确定位置 10 六、位置的相对性 14 七、描述并绘制路线图 17 八、确定位置综合应用与新颖情境 20 综合提升训练 22 知识要点梳理 1.有序数对：用有顺序的两个数表示位置，记作(列,行)，先列后行，两数不能交换；如(3,5)表示第3列第5行。 2.同列同行：两个数对第一个数相同→在同一列；第二个数相同→在同一行。 3.平移规律：向右/左平移n格，数对第一个数加/减n；向上/下平移n格，第二个数加/减n。 4.轴对称：以某列为对称轴，对称点到对称轴的列数相等；以某行为对称轴，对称点到对称轴的行数相等。 5.方向三要素：确定位置需要观测点、方向（偏角）、距离三要素；如北偏西40°，指从正北方向向西偏40°。 6.等价表述：北偏西40°=西偏北50°（90°−40°=50°），两种说法表示同一射线方向。 7.位置相对性：观测点对调后，方向相反（北↔南、东↔西），角度和距离不变。 8.路线图：描述路线分段说明每段方向与距离；总路程=各段路程之和；平均速度=总路程÷总时间。 一、有序数对的意义与书写 用有顺序的两个数组成数对表示位置，书写规则：第一个数表示列，第二个数表示行，即"列在前，行在后"。 【典例精讲】 教室里，小明坐在第3列第5行，用数对表示是(3,5)。小红的位置用数对(4,2)表示，她坐在第（____）列第（____）行。 【答案】第4列第2行 【思路引导】数对中两个数的顺序不能颠倒：第一个数表示列，第二个数表示行。 【详解】 数对(4,2)中，第一个数4表示列（列从左往右数）。 （数对书写规则——列在前，行在后，中间用逗号隔开） 第二个数2表示行（行从前往后数）。 所以小红坐在第4列第2行。 【牛刀小试】 电影票上"6排8号"记作(8,6)，按照这个约定，"10排5号"记作（____）；数对(3,7)表示（____）排（____）号。 【牛刀小试】 判断：数对(5,3)和(3,5)表示同一个位置。（____） 【牛刀小试】 五子棋棋盘上，黑棋落在第7列第4行，记作(7,4)。白棋在黑棋正上方一格，白棋的位置记作（____）。 二、同列、同行的规律与数对辨析 数对中第一个数相同的点在同一列；第二个数相同的点在同一行。 【典例精讲】 方格图中有三个点：A(3,2)、B(3,6)、C(5,2)。A和B在同一（____），A和C在同一（____）。 【答案】A和B在同一列（第3列）；A和C在同一行（第2行） 【思路引导】看第一个数是否相同判断同列，看第二个数是否相同判断同行。 【详解】 A(3,2)和B(3,6)的第一个数都是3，所以它们在同一列（第3列）。 （第一个数相同→同列） A(3,2)和C(5,2)的第二个数都是2，所以它们在同一行（第2行）。 （第二个数相同→同行） 【牛刀小试】 点M(4,5)。下面各点中，与M在同一列的是（____），与M在同一行的是（____）。 ①(4,8) ②(6,5) ③(5,4) 【牛刀小试】 五(1)班教室座位表中，小丽的位置是(2,4)，她的同桌可能是（____）或（____）。 【牛刀小试】 判断：两个点的数对，第一个数不同、第二个数相同，它们在同一行。（____） 三、方格图上用数对确定位置 根据数对在方格图中描点，再依次连线，可以围成各种图形；反过来，也可以根据图中点的位置写出数对。 【典例精讲】 在方格图中描出A(2,1)、B(6,1)、C(6,4)三点，并依次连接A→B→C→A，得到的图形是（____）三角形。 【答案】直角三角形 【思路引导】先判断AB、BC的方向：A、B第二个数相同→AB水平；B、C第一个数相同→BC竖直，所以∠B是直角。 【详解】 A(2,1)和B(6,1)第二个数都是1，AB在同一行，是水平线段。 （第二个数相同→水平方向） B(6,1)和C(6,4)第一个数都是6，BC在同一列，是竖直线段。 （第一个数相同→竖直方向） AB水平、BC竖直，相交于B，所以∠B=90°。 三角形ABC是直角三角形。 【牛刀小试】 依次连接(1,1)→(5,1)→(5,3)→(1,3)→(1,1)，得到的图形是（____）。 【牛刀小试】 写出右图中三角形三个顶点A、B、C的数对。 【牛刀小试】 描出(2,2)、(4,2)、(3,5)三点并依次连接，按边分，这是一个（____）三角形。 四、数对与图形运动的变化规律 平移：左右平移改变列数（第一个数），右加左减；上下平移改变行数（第二个数），上加下减。轴对称：到对称轴距离相等。 【典例精讲】 三角形的一个顶点A(2,3)。把三角形向右平移4格后，点A的对应点A'是（____）；再向上平移2格后，点A''是（____）。 【答案】A'(6,3)；A''(6,5) 【思路引导】向右平移→列数加4，行数不变；再向上平移→行数加2，列数不变。 【详解】 向右平移4格：列数2+4=6，行数不变仍是3，A'(6,3)。 （左右平移→第一个数变，右加左减） 再向上平移2格：列数不变仍是6，行数3+2=5，A''(6,5)。 （上下平移→第二个数变，上加下减） 【牛刀小试】 点P(5,4)先向左平移3格，再向下平移1格，平移后的点P'是（____）。 【牛刀小试】 图形上一个点的数对是(3,2)，平移后变为(3,7)。这个点是向（____）平移了（____）格。 【牛刀小试】 以第4列为对称轴，点(2,3)的对称点是（____）。 五、用方向（角度）和距离确定位置 确定物体位置需要三要素：观测点、方向（含角度）、距离。相邻方向偏角之和为90°，如东偏北a°=北偏东(90-a)°。 【典例精讲】 以学校为观测点，图书馆在东偏北35°方向800米处。这句话中，确定图书馆位置的三要素是（____）、（____）、（____）。 【答案】观测点（学校）、方向（东偏北35°）、距离（800米） 【思路引导】确定位置三要素缺一不可：先定观测点，再定方向（含角度），最后定距离。 【详解】 观测点：以学校为观测点，所有方向都从学校出发看。 （观测点是描述方向的基准，必须明确） 方向：东偏北35°，说明从正东方向向北偏35°。 （方向要含角度，只说"东北方向"不够精确） 距离：800米，说明离观测点有多远。 三要素合起来才能唯一确定图书馆的位置。 【牛刀小试】 东偏南40°也可以说成（____）偏（____）（____）°。 【牛刀小试】 量一量右图，少年宫在学校的（____）偏（____）（____）°方向。 【牛刀小试】 一幅图上1厘米表示实际200米，量得学校到图书馆的图上距离是4厘米，实际距离是（____）米。 六、位置的相对性 两个地点互为观测点时，方向相反（北↔南、东↔西），角度和距离不变。返程路线每段方向相反、距离不变，顺序相反。 【典例精讲】 小明从家出发，向北偏西40°方向走600米到学校。放学回家时，小明应向（____）偏（____）（____）°方向走（____）米。 【答案】南偏东40°方向走600米 【思路引导】观测点从家换成学校，方向相反：北的反方向是南，西的反方向是东；角度和距离不变。 【详解】 去学校：观测点是家，方向北偏西40°，距离600米。 回家：观测点换成学校，方向要相反。 （观测点对调→方向相反，角度和距离不变） 北→南，西→东，所以方向变为南偏东40°。 距离不变，仍是600米。 【牛刀小试】 A在B的东偏南30°方向500米处，那么B在A的（____）偏（____）（____）°方向（____）米处。 【牛刀小试】 判断：小红在小丽的北偏东50°方向，那么小丽在小红的南偏西40°方向。（____） 【牛刀小试】 超市在公园的西偏北35°方向，也可以说公园在超市的（____）偏（____）（____）°方向。 七、描述并绘制路线图 描述路线要分段进行，每一段都以该段的起点为观测点；总路程=各段路程之和；时间=总路程÷速度。 【典例精讲】 小明从家出发，向东走300米到书店，再向北偏东45°方向走400米到学校。小明从家到学校一共走了（____）米；如果每分钟走70米，需要（____）分钟。 【答案】700米；10分钟 【思路引导】总路程把两段相加；时间=总路程÷速度。 【详解】 总路程=300+400=700米。 （总路程=各段路程之和，与方向无关） 时间=总路程÷速度=700÷70=10分钟。 （时间=路程÷速度） 所以一共走了700米，需要10分钟。 【牛刀小试】 描述路线图时，每一段路线都要以（____）为观测点。 【牛刀小试】 小红从家向东走200米，再向南走150米到超市。原路返回时，她先向（____）走（____）米，再向（____）走（____）米。 【牛刀小试】 一辆汽车从A地向东行驶60千米，再向北偏东30°方向行驶40千米到达B地。汽车一共行驶了（____）千米；如果用了2小时，平均速度是（____）千米/时。 八、确定位置综合应用与新颖情境 综合运用数对、方向、距离、路线图解决新颖情境问题，如送货范围、行走合成、共线距离、链式回路等。 【典例精讲】 方格图中每个小格的边长表示1千米。蛋糕店的位置用数对表示是(4,3)，蛋糕店周边3千米范围内可以免费送货上门。小丽家的位置是(8,3)，她家（____）享受免费送货服务。（填"能"或"不能"） 【答案】不能 【思路引导】蛋糕店和小丽家在同一行（第二个数都是3），距离=列数差×每格长度，再与3千米比较。 【详解】 蛋糕店(4,3)和小丽家(8,3)第二个数都是3，在同一行。 （同一行两点距离=列数差×每格长度） 列数差=8-4=4格，每格1千米，所以距离=4×1=4千米。 4千米>3千米，超出免费送货范围。 （在范围内才能免费送货，超出则不能） 所以小丽家不能享受免费送货服务。 【牛刀小试】 小亮从A点出发，向北走30米到达B点，再从B点向东走30米到达C点。小亮回头看A点，发现A点在C点的（____）偏（____）（____）°方向。 【牛刀小试】 以航航家为观测点，童童家在北偏西40°方向800米处，冬冬家在西偏北50°方向500米处。童童家与冬冬家相距（____）米。 【牛刀小试】 小红在小明的北偏东45°方向500米处，小华在小红的南偏东45°方向500米处，小芳在小华的南偏西45°方向500米处。小明在小芳的（____）偏（____）45°方向（____）米处。 综合提升训练 一、选择题 1. 数对(6,4)表示的位置是（____）。 A. 第6行第4列 B. 第6列第4行 C. 第4列第6行 【答案】B 【思路引导】数对第一个数表示列，第二个数表示行。 【详解】 数对(6,4)中，第一个数6表示列。 （列在前，行在后） 第二个数4表示行。 所以是第6列第4行，选B。 2. 北偏西30°也可以说成（____）。 A. 西偏北60° B. 西偏北30° C. 北偏西60° 【答案】A 【思路引导】相邻方向偏角之和为90°，北偏西30°=西偏北(90-30)°=西偏北60°。 【详解】 北偏西30°，从正北向西偏30°。 （相邻方向偏角和=90°） 换成从西向北偏：90°-30°=60°。 所以是西偏北60°，选A。 3. 学校在商场的东偏南40°方向，那么商场在学校的（____）方向。 A. 西偏北40° B. 西偏北50° C. 南偏东40° 【答案】A 【思路引导】观测点对调，方向相反，角度不变。东→西、南→北，角度仍是40°。 【详解】 学校在商场东偏南40°，观测点是商场。 商场在学校的什么方向，观测点换成学校，方向相反。 （观测点对调→方向相反，角度不变） 东→西，南→北，角度40°不变。 所以是西偏北40°，选A。 二、填空题 4. 点A(3,5)向右平移2格后是（____），再向下平移3格后是（____）。 【答案】(5,5)；(5,2) 【思路引导】右移→列数加2；下移→行数减3。 【详解】 向右平移2格：列数3+2=5，行数不变，得(5,5)。 （右移→第一个数加） 再向下平移3格：行数5-3=2，列数不变，得(5,2)。 （下移→第二个数减） 5. 东偏南45°也叫（____）方向；与它相对的方向是（____）。 【答案】东南；西北 【思路引导】偏角45°时正好在两个主方向正中间，叫"东南"；相对方向是西北。 【详解】 东偏南45°，正好在东和南的正中间，叫东南方向。 （偏角45°→正中间，用两个字命名） 相对方向：东↔西，南↔北，所以是西北方向。 6. 一幅图上1厘米表示实际500米，量得两地的图上距离是3厘米，实际距离是（____）米。 【答案】1500米 【思路引导】图上1厘米表示实际500米，实际距离=图上距离×500。 【详解】 图上1厘米表示实际500米，3厘米就表示3个500米。 （线段比例尺直接乘） 实际距离=3×500=1500米。 三、操作题 7. 在下面的方格图中描出A(2,1)、B(5,1)、C(5,4)三点，并依次连接成三角形。 【答案】见解析图（直角三角形） 【思路引导】按数对先找列再找行描点，然后依次连线。 【详解】 A(2,1)：第2列第1行；B(5,1)：第5列第1行；C(5,4)：第5列第4行。 （先数列，再数行） 在方格图中分别描出三点。 依次连接A→B→C→A，得到直角三角形。 （AB水平、BC竖直，∠B是直角） 8. 以学校为观测点，在右图中画出北偏东40°方向600米处的少年宫。（图上1厘米表示实际200米） 【答案】见解析图 【思路引导】先算图上距离=实际距离÷每厘米代表的米数，再从正北向东偏40°画射线，截取图上距离。 【详解】 图上1厘米表示实际200米，图上距离=600÷200=3厘米。 （图上距离=实际距离÷每厘米代表的米数） 以学校为顶点，从正北方向向东偏40°画一条射线。 （北偏东40°——从正北向东偏） 在射线上量取3厘米，端点就是少年宫的位置。 9. 画出三角形ABC向右平移4格后的图形。 【答案】见解析图 【思路引导】把每个顶点都向右平移4格（列数加4，行数不变），再依次连接。 【详解】 三角形每个顶点向右平移4格：列数加4，行数不变。 （平移图形→每个顶点都平移相同格数） 得到三个对应点A'、B'、C'。 依次连接A'→B'→C'→A'，就是平移后的图形。 （平移不改变图形的形状和大小） 四、解答题 10. 小明从家出发，向东走250米到超市，再向北偏东60°方向走350米到公园，最后向东走200米到学校。 （1）小明从家到学校一共走了多少米？ （2）如果小明每分钟走80米，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）800米；（2）10分钟 【思路引导】总路程=三段之和；时间=总路程÷速度。 【详解】 （1）总路程=250+350+200=800米。 （总路程=各段路程之和） （2）时间=总路程÷速度=800÷80=10分钟。 （时间=路程÷速度） 答：小明从家到学校一共走了800米，需要10分钟。 11. 方格图中每个小格边长表示1千米。消防站在(3,3)，消防车的最大行驶距离是5千米。小红家在(7,3)，小明家在(3,7)。 （1）谁家在消防车的最大行驶范围内？ （2）请在图中画出消防车的最大行驶范围。 【答案】（1）小红家和小明家都在范围内（距离都是4千米<5千米）；（2）以(3,3)为圆心、5格为半径画圆 【思路引导】分别算两家到消防站的距离（同行/同列直接算格数差），与5千米比较。 【详解】 （1）小红家(7,3)与消防站(3,3)同行，距离=7-3=4千米<5千米，在范围内。 （同行距离=列数差×每格长度） 小明家(3,7)与消防站(3,3)同列，距离=7-3=4千米<5千米，在范围内。 （同列距离=行数差×每格长度） 所以两家都在行驶范围内。 （2）以消防站(3,3)为圆心，5格为半径画圆，圆内及圆上就是最大行驶范围。 （到定点距离等于定长的点的集合是圆） 12. 以广场为观测点，图书馆在北偏东30°方向400米处，少年宫在南偏西30°方向400米处。 （1）图书馆和少年宫在同一条直线上吗？ （2）从图书馆经过广场到少年宫，一共要走多少米？ 【答案】（1）在同一条直线上（北偏东30°和南偏西30°是相反方向，在同一直线）；（2）800米 【思路引导】北偏东30°和南偏西30°方向相反，在同一直线上；总路程=两段之和。 【详解】 （1）北偏东30°和南偏西30°：北↔南、东↔西，方向完全相反。 （方向相反的两条射线在同一直线上） 所以图书馆、广场、少年宫在同一条直线上。 （2）图书馆到广场400米，广场到少年宫400米。 总路程=400+400=800米。 （经过广场，两段路程相加） 答：图书馆和少年宫在同一条直线上，一共要走800米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 确定位置单元核心考点举一反三 八大类+综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 1 一、有序数对的意义与书写 2 二、同列、同行的规律与数对辨析 3 三、方格图上用数对确定位置 4 四、数对与图形运动的变化规律 8 五、用方向（角度）和距离确定位置 10 六、位置的相对性 14 七、描述并绘制路线图 17 八、确定位置综合应用与新颖情境 20 综合提升训练 22 知识要点梳理 1.有序数对：用有顺序的两个数表示位置，记作(列,行)，先列后行，两数不能交换；如(3,5)表示第3列第5行。 2.同列同行：两个数对第一个数相同→在同一列；第二个数相同→在同一行。 3.平移规律：向右/左平移n格，数对第一个数加/减n；向上/下平移n格，第二个数加/减n。 4.轴对称：以某列为对称轴，对称点到对称轴的列数相等；以某行为对称轴，对称点到对称轴的行数相等。 5.方向三要素：确定位置需要观测点、方向（偏角）、距离三要素；如北偏西40°，指从正北方向向西偏40°。 6.等价表述：北偏西40°=西偏北50°（90°−40°=50°），两种说法表示同一射线方向。 7.位置相对性：观测点对调后，方向相反（北↔南、东↔西），角度和距离不变。 8.路线图：描述路线分段说明每段方向与距离；总路程=各段路程之和；平均速度=总路程÷总时间。 一、有序数对的意义与书写 用有顺序的两个数组成数对表示位置，书写规则：第一个数表示列，第二个数表示行，即"列在前，行在后"。 【典例精讲】 教室里，小明坐在第3列第5行，用数对表示是(3,5)。小红的位置用数对(4,2)表示，她坐在第（ ）列第（ ）行。 【答案】第4列第2行 【思路引导】数对中两个数的顺序不能颠倒：第一个数表示列，第二个数表示行。 【详解】 数对(4,2)中，第一个数4表示列（列从左往右数）。 （数对书写规则——列在前，行在后，中间用逗号隔开） 第二个数2表示行（行从前往后数）。 所以小红坐在第4列第2行。 【牛刀小试】 电影票上"6排8号"记作(8,6)，按照这个约定，"10排5号"记作（ ）；数对(3,7)表示（ ）排（ ）号。 【答案】(5,10)；7排3号 【思路引导】题目约定"号在前，排在后"，与教室"列在前，行在后"不同，要按题目的约定类推。 【详解】 由"6排8号"记作(8,6)可知：第一个数表示号，第二个数表示排。 （不同场景约定可能不同，先读题弄清谁在前谁在后） 所以"10排5号"记作(5,10)。 (3,7)表示7排3号。 【牛刀小试】 判断：数对(5,3)和(3,5)表示同一个位置。（ ） 【答案】× 【思路引导】两个数的顺序不同，表示的位置就不同。 【详解】 (5,3)表示第5列第3行。 (3,5)表示第3列第5行。 （数对是有序的，交换两个数，列和行都变了） 两个位置不同，所以原题说法错误，画×。 【牛刀小试】 五子棋棋盘上，黑棋落在第7列第4行，记作(7,4)。白棋在黑棋正上方一格，白棋的位置记作（ ）。 【答案】(7,5) 【思路引导】正上方移动，列不变，行加1。 【详解】 正上方一格，列数不变，仍是7。 （上下移动改变行数，左右移动改变列数） 行数从4增加1，变为5。 所以白棋记作(7,5)。 二、同列、同行的规律与数对辨析 数对中第一个数相同的点在同一列；第二个数相同的点在同一行。 【典例精讲】 方格图中有三个点：A(3,2)、B(3,6)、C(5,2)。A和B在同一（ ），A和C在同一（ ）。 【答案】A和B在同一列（第3列）；A和C在同一行（第2行） 【思路引导】看第一个数是否相同判断同列，看第二个数是否相同判断同行。 【详解】 A(3,2)和B(3,6)的第一个数都是3，所以它们在同一列（第3列）。 （第一个数相同→同列） A(3,2)和C(5,2)的第二个数都是2，所以它们在同一行（第2行）。 （第二个数相同→同行） 【牛刀小试】 点M(4,5)。下面各点中，与M在同一列的是（ ），与M在同一行的是（ ）。 ①(4,8) ②(6,5) ③(5,4) 【答案】同一列：①(4,8)；同一行：②(6,5) 【思路引导】同列看第一个数是否为4，同行看第二个数是否为5。 【详解】 与M(4,5)同列，第一个数必须是4，①(4,8)符合。 （同列→第一个数相同） 与M同行，第二个数必须是5，②(6,5)符合。 （同行→第二个数相同） ③(5,4)两个数都不同，既不同列也不同行。 【牛刀小试】 五(1)班教室座位表中，小丽的位置是(2,4)，她的同桌可能是（ ）或（ ）。 【答案】(1,4)或(3,4) 【思路引导】同桌在同一行，左右相邻，列数相差1。 【详解】 同桌与小丽在同一行，所以第二个数都是4。 （同桌左右相邻→同行，列数±1） 小丽在第2列，同桌在左边第1列或右边第3列。 所以同桌可能是(1,4)或(3,4)。 【牛刀小试】 判断：两个点的数对，第一个数不同、第二个数相同，它们在同一行。（ ） 【答案】√ 【思路引导】第二个数决定行，第二个数相同就在同一行。 【详解】 第二个数相同，说明行数相同。 （行由第二个数决定，与第一个数是否相同无关） 第一个数不同只说明列不同，不影响行。 所以说法正确，画√。 三、方格图上用数对确定位置 根据数对在方格图中描点，再依次连线，可以围成各种图形；反过来，也可以根据图中点的位置写出数对。 【典例精讲】 在方格图中描出A(2,1)、B(6,1)、C(6,4)三点，并依次连接A→B→C→A，得到的图形是（ ）三角形。 【答案】直角三角形 【思路引导】先判断AB、BC的方向：A、B第二个数相同→AB水平；B、C第一个数相同→BC竖直，所以∠B是直角。 【详解】 A(2,1)和B(6,1)第二个数都是1，AB在同一行，是水平线段。 （第二个数相同→水平方向） B(6,1)和C(6,4)第一个数都是6，BC在同一列，是竖直线段。 （第一个数相同→竖直方向） AB水平、BC竖直，相交于B，所以∠B=90°。 三角形ABC是直角三角形。 【牛刀小试】 依次连接(1,1)→(5,1)→(5,3)→(1,3)→(1,1)，得到的图形是（ ）。 【答案】长方形（长4格，宽2格） 【思路引导】四条边分别水平、竖直交替，且对边相等，四个角都是直角。 【详解】 (1,1)→(5,1)：第二个数相同，水平线段，长5-1=4格。 （水平方向长度=列数差） (5,1)→(5,3)：第一个数相同，竖直线段，长3-1=2格。 （竖直方向长度=行数差） 同理另两条边分别长4格、2格，对边相等，四角都是直角。 所以得到的是长方形。 【牛刀小试】 写出右图中三角形三个顶点A、B、C的数对。 【答案】A(2,3)、B(5,3)、C(3,6) 【思路引导】先看点在第几列（横坐标），再看在第几行（纵坐标）。 【详解】 A点在第2列第3行，记作A(2,3)。 （先数列，再数行，列在前行在后） B点在第5列第3行，记作B(5,3)。 C点在第3列第6行，记作C(3,6)。 【牛刀小试】 描出(2,2)、(4,2)、(3,5)三点并依次连接，按边分，这是一个（ ）三角形。 【答案】等腰三角形 【思路引导】底边两个端点(2,2)、(4,2)在同一行，中点在第3列；顶点(3,5)恰好在底边中垂线上，所以两腰相等。 【详解】 底边两端(2,2)和(4,2)在同一行，底边长4-2=2格，中点在第3列第2行。 （水平底边中点的列数=两端列数的平均数） 顶点(3,5)在第3列，正好在底边中点的正上方，即底边的中垂线上。 （中垂线上的点到底边两端距离相等） 所以两腰相等，是等腰三角形。 四、数对与图形运动的变化规律 平移：左右平移改变列数（第一个数），右加左减；上下平移改变行数（第二个数），上加下减。轴对称：到对称轴距离相等。 【典例精讲】 三角形的一个顶点A(2,3)。把三角形向右平移4格后，点A的对应点A'是（ ）；再向上平移2格后，点A''是（ ）。 【答案】A'(6,3)；A''(6,5) 【思路引导】向右平移→列数加4，行数不变；再向上平移→行数加2，列数不变。 【详解】 向右平移4格：列数2+4=6，行数不变仍是3，A'(6,3)。 （左右平移→第一个数变，右加左减） 再向上平移2格：列数不变仍是6，行数3+2=5，A''(6,5)。 （上下平移→第二个数变，上加下减） 【牛刀小试】 点P(5,4)先向左平移3格，再向下平移1格，平移后的点P'是（ ）。 【答案】(2,3) 【思路引导】向左→列数减3；向下→行数减1。 【详解】 向左平移3格：列数5-3=2，行数不变。 （向左平移→第一个数减） 再向下平移1格：行数4-1=3，列数不变。 （向下平移→第二个数减） 所以P'是(2,3)。 【牛刀小试】 图形上一个点的数对是(3,2)，平移后变为(3,7)。这个点是向（ ）平移了（ ）格。 【答案】向上平移了5格 【思路引导】第一个数不变说明没有左右移动；第二个数从2变到7，增加了5，说明向上平移5格。 【详解】 第一个数3不变，说明列数没变，没有左右平移。 （第一个数不变→无左右移动） 第二个数从2变为7，7-2=5，增加了5。 （第二个数增加→向上平移，增加几就是平移几格） 所以是向上平移了5格。 【牛刀小试】 以第4列为对称轴，点(2,3)的对称点是（ ）。 【答案】(6,3) 【思路引导】轴对称时行数不变；列数到对称轴的距离相等。点(2,3)到第4列的距离是4-2=2列，对称点在第4列右侧2列，即第6列。 【详解】 轴对称不改变行数，所以第二个数仍是3。 （关于竖直线对称→行数不变） 点(2,3)到第4列的距离：4-2=2列。 对称点在第4列另一侧2列处：4+2=6列。 （对称点到对称轴距离相等） 所以对称点是(6,3)。 五、用方向（角度）和距离确定位置 确定物体位置需要三要素：观测点、方向（含角度）、距离。相邻方向偏角之和为90°，如东偏北a°=北偏东(90-a)°。 【典例精讲】 以学校为观测点，图书馆在东偏北35°方向800米处。这句话中，确定图书馆位置的三要素是（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】观测点（学校）、方向（东偏北35°）、距离（800米） 【思路引导】确定位置三要素缺一不可：先定观测点，再定方向（含角度），最后定距离。 【详解】 观测点：以学校为观测点，所有方向都从学校出发看。 （观测点是描述方向的基准，必须明确） 方向：东偏北35°，说明从正东方向向北偏35°。 （方向要含角度，只说"东北方向"不够精确） 距离：800米，说明离观测点有多远。 三要素合起来才能唯一确定图书馆的位置。 【牛刀小试】 东偏南40°也可以说成（ ）偏（ ）（ ）°。 【答案】南偏东50° 【思路引导】东和南是相邻方向，偏角之和为90°。东偏南a° = 南偏东(90-a)°。 【详解】 东偏南40°，是从正东向南偏40°。 （相邻两个方向的偏角之和=90°） 换成从南向东偏，角度为90°-40°=50°。 所以东偏南40°=南偏东50°。 【牛刀小试】 量一量右图，少年宫在学校的（ ）偏（ ）（ ）°方向。 【答案】北偏西50°（或西偏北40°） 【思路引导】先看靠近哪个主方向（北/南/东/西），再量偏向另一个相邻方向的角度。 【详解】 少年宫的方向靠近正北，向西偏。 （先说靠近的主方向，再说偏向的方向） 量得从正北向西偏50°，所以是北偏西50°。 （也可说成西偏北40°，90°-50°=40°，两种说法等价） 【牛刀小试】 一幅图上1厘米表示实际200米，量得学校到图书馆的图上距离是4厘米，实际距离是（ ）米。 【答案】800米 【思路引导】图上1厘米表示实际200米，实际距离=图上距离×每厘米代表的米数。 【详解】 图上1厘米表示实际200米，4厘米就表示4个200米。 （线段比例尺直接乘，不用先换算厘米） 实际距离=4×200=800米。 所以实际距离是800米。 六、位置的相对性 两个地点互为观测点时，方向相反（北↔南、东↔西），角度和距离不变。返程路线每段方向相反、距离不变，顺序相反。 【典例精讲】 小明从家出发，向北偏西40°方向走600米到学校。放学回家时，小明应向（ ）偏（ ）（ ）°方向走（ ）米。 【答案】南偏东40°方向走600米 【思路引导】观测点从家换成学校，方向相反：北的反方向是南，西的反方向是东；角度和距离不变。 【详解】 去学校：观测点是家，方向北偏西40°，距离600米。 回家：观测点换成学校，方向要相反。 （观测点对调→方向相反，角度和距离不变） 北→南，西→东，所以方向变为南偏东40°。 距离不变，仍是600米。 【牛刀小试】 A在B的东偏南30°方向500米处，那么B在A的（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）米处。 【答案】西偏北30°方向500米 【思路引导】观测点对调，东→西、南→北，角度30°和距离500米都不变。 【详解】 A在B的东偏南30°，观测点是B。 求B在A的什么方向，观测点换成A，方向相反。 （东↔西，南↔北，角度距离都不变） 东→西，南→北，所以是西偏北30°。 距离不变，仍是500米。 【牛刀小试】 判断：小红在小丽的北偏东50°方向，那么小丽在小红的南偏西40°方向。（ ） 【答案】× 【思路引导】这是高频易错点：观测点对调后角度不变，仍是50°，不是40°。 【详解】 小红在小丽的北偏东50°，观测点是小丽。 小丽在小红的什么方向，观测点换成小红，方向相反。 （易错警示——角度不变，不要用90°去减！） 北→南，东→西，角度仍是50°，所以小丽在小红的南偏西50°方向。 原题说成南偏西40°，角度错了，画×。 【牛刀小试】 超市在公园的西偏北35°方向，也可以说公园在超市的（ ）偏（ ）（ ）°方向。 【答案】东偏南35° 【思路引导】观测点对调，西→东、北→南，角度35°不变。 【详解】 超市在公园的西偏北35°，观测点是公园。 公园在超市的什么方向，观测点换成超市，方向相反。 （西↔东，北↔南，角度不变） 西→东，北→南，所以是东偏南35°。 七、描述并绘制路线图 描述路线要分段进行，每一段都以该段的起点为观测点；总路程=各段路程之和；时间=总路程÷速度。 【典例精讲】 小明从家出发，向东走300米到书店，再向北偏东45°方向走400米到学校。小明从家到学校一共走了（ ）米；如果每分钟走70米，需要（ ）分钟。 【答案】700米；10分钟 【思路引导】总路程把两段相加；时间=总路程÷速度。 【详解】 总路程=300+400=700米。 （总路程=各段路程之和，与方向无关） 时间=总路程÷速度=700÷70=10分钟。 （时间=路程÷速度） 所以一共走了700米，需要10分钟。 【牛刀小试】 描述路线图时，每一段路线都要以（ ）为观测点。 【答案】该段的起点（即上一段的终点） 【思路引导】路线是分段的，每走到一个新地点，下一段的观测点就变成当前这个地点。 【详解】 路线图由多段组成，如家→书店→学校。 描述家到书店时，观测点是家。 （每段的观测点=该段的起点） 描述书店到学校时，观测点变成书店。 所以每一段都要以该段的起点为观测点。 【牛刀小试】 小红从家向东走200米，再向南走150米到超市。原路返回时，她先向（ ）走（ ）米，再向（ ）走（ ）米。 【答案】先向北走150米，再向西走200米 【思路引导】原路返回时，每段方向相反、距离不变，且顺序与去时相反（先走最后一段的返程）。 【详解】 去时最后一段：向南走150米到超市。 返回第一段是它的返程：向北走150米。 （返程顺序与去时相反，每段方向相反、距离不变） 去时第一段：向东走200米。 返回第二段：向西走200米。 所以先向北走150米，再向西走200米。 【牛刀小试】 一辆汽车从A地向东行驶60千米，再向北偏东30°方向行驶40千米到达B地。汽车一共行驶了（ ）千米；如果用了2小时，平均速度是（ ）千米/时。 【答案】100千米；50千米/时 【思路引导】总路程=两段之和；平均速度=总路程÷总时间。 【详解】 总路程=60+40=100千米。 （总路程=各段路程之和） 平均速度=总路程÷总时间=100÷2=50千米/时。 （平均速度=总路程÷总时间，不是速度的平均） 所以一共行驶100千米，平均速度50千米/时。 八、确定位置综合应用与新颖情境 综合运用数对、方向、距离、路线图解决新颖情境问题，如送货范围、行走合成、共线距离、链式回路等。 【典例精讲】 方格图中每个小格的边长表示1千米。蛋糕店的位置用数对表示是(4,3)，蛋糕店周边3千米范围内可以免费送货上门。小丽家的位置是(8,3)，她家（ ）享受免费送货服务。（填"能"或"不能"） 【答案】不能 【思路引导】蛋糕店和小丽家在同一行（第二个数都是3），距离=列数差×每格长度，再与3千米比较。 【详解】 蛋糕店(4,3)和小丽家(8,3)第二个数都是3，在同一行。 （同一行两点距离=列数差×每格长度） 列数差=8-4=4格，每格1千米，所以距离=4×1=4千米。 4千米>3千米，超出免费送货范围。 （在范围内才能免费送货，超出则不能） 所以小丽家不能享受免费送货服务。 【牛刀小试】 小亮从A点出发，向北走30米到达B点，再从B点向东走30米到达C点。小亮回头看A点，发现A点在C点的（ ）偏（ ）（ ）°方向。 【答案】南偏西45° 【思路引导】向北30米、向东30米，AB和BC长度相等且互相垂直，三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=45°。从C看A：向南30米、向西30米，即南偏西45°。 【详解】 AB=30米（向北），BC=30米（向东），AB⊥BC，AB=BC。 （两段等长且垂直→等腰直角三角形） 三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=45°。 从C点看A点：需要向南30米、向西30米。 （从C看A，方向与从A到C的路径相反） 向南和向西距离相等，所以是南偏西45°。 【牛刀小试】 以航航家为观测点，童童家在北偏西40°方向800米处，冬冬家在西偏北50°方向500米处。童童家与冬冬家相距（ ）米。 【答案】300米 【思路引导】这是压轴巧题：北偏西40°和西偏北50°是同一条射线（因为40°+50°=90°，两种说法等价），所以两家在同一直线上、同一方向，距离相减。 【详解】 北偏西40°：从正北向西偏40°。 西偏北50°：从正西向北偏50°。 （关键发现——40°+50°=90°，两种说法是同一条射线！） 所以童童家和冬冬家在航航家的同一方向、同一直线上。 两家都在航航家的同一侧，距离=800-500=300米。 （同射线同侧→距离相减；若在两侧则相加） 【牛刀小试】 小红在小明的北偏东45°方向500米处，小华在小红的南偏东45°方向500米处，小芳在小华的南偏西45°方向500米处。小明在小芳的（ ）偏（ ）45°方向（ ）米处。 【答案】北偏西45°方向500米 【思路引导】四段路线方向依次为北偏东→南偏东→南偏西→？，每段500米，恰好围成一个正方形。小明→小红→小华→小芳→小明是正方形的四条边，所以小明在小芳的北偏西45°方向500米处。 【详解】 小明→小红：北偏东45°，500米。 小红→小华：南偏东45°，500米。 小华→小芳：南偏西45°，500米。 （四段方向依次旋转90°，长度都相等→围成正方形） 四段恰好围成一个边长500米的正方形，小芳→小明是第四条边。 第四条边方向：北偏西45°，长度500米。 （正方形每条边方向依次逆时针转90°，南偏西→北偏西） 所以小明在小芳的北偏西45°方向500米处。 综合提升训练 一、选择题 1. 数对(6,4)表示的位置是（ ）。 A. 第6行第4列 B. 第6列第4行 C. 第4列第6行 【答案】B 【思路引导】数对第一个数表示列，第二个数表示行。 【详解】 数对(6,4)中，第一个数6表示列。 （列在前，行在后） 第二个数4表示行。 所以是第6列第4行，选B。 2. 北偏西30°也可以说成（ ）。 A. 西偏北60° B. 西偏北30° C. 北偏西60° 【答案】A 【思路引导】相邻方向偏角之和为90°，北偏西30°=西偏北(90-30)°=西偏北60°。 【详解】 北偏西30°，从正北向西偏30°。 （相邻方向偏角和=90°） 换成从西向北偏：90°-30°=60°。 所以是西偏北60°，选A。 3. 学校在商场的东偏南40°方向，那么商场在学校的（ ）方向。 A. 西偏北40° B. 西偏北50° C. 南偏东40° 【答案】A 【思路引导】观测点对调，方向相反，角度不变。东→西、南→北，角度仍是40°。 【详解】 学校在商场东偏南40°，观测点是商场。 商场在学校的什么方向，观测点换成学校，方向相反。 （观测点对调→方向相反，角度不变） 东→西，南→北，角度40°不变。 所以是西偏北40°，选A。 二、填空题 4. 点A(3,5)向右平移2格后是（ ），再向下平移3格后是（ ）。 【答案】(5,5)；(5,2) 【思路引导】右移→列数加2；下移→行数减3。 【详解】 向右平移2格：列数3+2=5，行数不变，得(5,5)。 （右移→第一个数加） 再向下平移3格：行数5-3=2，列数不变，得(5,2)。 （下移→第二个数减） 5. 东偏南45°也叫（ ）方向；与它相对的方向是（ ）。 【答案】东南；西北 【思路引导】偏角45°时正好在两个主方向正中间，叫"东南"；相对方向是西北。 【详解】 东偏南45°，正好在东和南的正中间，叫东南方向。 （偏角45°→正中间，用两个字命名） 相对方向：东↔西，南↔北，所以是西北方向。 6. 一幅图上1厘米表示实际500米，量得两地的图上距离是3厘米，实际距离是（ ）米。 【答案】1500米 【思路引导】图上1厘米表示实际500米，实际距离=图上距离×500。 【详解】 图上1厘米表示实际500米，3厘米就表示3个500米。 （线段比例尺直接乘） 实际距离=3×500=1500米。 三、操作题 7. 在下面的方格图中描出A(2,1)、B(5,1)、C(5,4)三点，并依次连接成三角形。 【答案】见解析图（直角三角形） 【思路引导】按数对先找列再找行描点，然后依次连线。 【详解】 A(2,1)：第2列第1行；B(5,1)：第5列第1行；C(5,4)：第5列第4行。 （先数列，再数行） 在方格图中分别描出三点。 依次连接A→B→C→A，得到直角三角形。 （AB水平、BC竖直，∠B是直角） 8. 以学校为观测点，在右图中画出北偏东40°方向600米处的少年宫。（图上1厘米表示实际200米） 【答案】见解析图 【思路引导】先算图上距离=实际距离÷每厘米代表的米数，再从正北向东偏40°画射线，截取图上距离。 【详解】 图上1厘米表示实际200米，图上距离=600÷200=3厘米。 （图上距离=实际距离÷每厘米代表的米数） 以学校为顶点，从正北方向向东偏40°画一条射线。 （北偏东40°——从正北向东偏） 在射线上量取3厘米，端点就是少年宫的位置。 9. 画出三角形ABC向右平移4格后的图形。 【答案】见解析图 【思路引导】把每个顶点都向右平移4格（列数加4，行数不变），再依次连接。 【详解】 三角形每个顶点向右平移4格：列数加4，行数不变。 （平移图形→每个顶点都平移相同格数） 得到三个对应点A'、B'、C'。 依次连接A'→B'→C'→A'，就是平移后的图形。 （平移不改变图形的形状和大小） 四、解答题 10. 小明从家出发，向东走250米到超市，再向北偏东60°方向走350米到公园，最后向东走200米到学校。 （1）小明从家到学校一共走了多少米？ （2）如果小明每分钟走80米，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）800米；（2）10分钟 【思路引导】总路程=三段之和；时间=总路程÷速度。 【详解】 （1）总路程=250+350+200=800米。 （总路程=各段路程之和） （2）时间=总路程÷速度=800÷80=10分钟。 （时间=路程÷速度） 答：小明从家到学校一共走了800米，需要10分钟。 11. 方格图中每个小格边长表示1千米。消防站在(3,3)，消防车的最大行驶距离是5千米。小红家在(7,3)，小明家在(3,7)。 （1）谁家在消防车的最大行驶范围内？ （2）请在图中画出消防车的最大行驶范围。 【答案】（1）小红家和小明家都在范围内（距离都是4千米<5千米）；（2）以(3,3)为圆心、5格为半径画圆 【思路引导】分别算两家到消防站的距离（同行/同列直接算格数差），与5千米比较。 【详解】 （1）小红家(7,3)与消防站(3,3)同行，距离=7-3=4千米<5千米，在范围内。 （同行距离=列数差×每格长度） 小明家(3,7)与消防站(3,3)同列，距离=7-3=4千米<5千米，在范围内。 （同列距离=行数差×每格长度） 所以两家都在行驶范围内。 （2）以消防站(3,3)为圆心，5格为半径画圆，圆内及圆上就是最大行驶范围。 （到定点距离等于定长的点的集合是圆） 12. 以广场为观测点，图书馆在北偏东30°方向400米处，少年宫在南偏西30°方向400米处。 （1）图书馆和少年宫在同一条直线上吗？ （2）从图书馆经过广场到少年宫，一共要走多少米？ 【答案】（1）在同一条直线上（北偏东30°和南偏西30°是相反方向，在同一直线）；（2）800米 【思路引导】北偏东30°和南偏西30°方向相反，在同一直线上；总路程=两段之和。 【详解】 （1）北偏东30°和南偏西30°：北↔南、东↔西，方向完全相反。 （方向相反的两条射线在同一直线上） 所以图书馆、广场、少年宫在同一条直线上。 （2）图书馆到广场400米，广场到少年宫400米。 总路程=400+400=800米。 （经过广场，两段路程相加） 答：图书馆和少年宫在同一条直线上，一共要走800米。 学科网（北京）股份有限公司 $