03 分数、小数混合运算及运算律核心考点举一反三-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（人教版+新教材）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理分数、小数混合运算及运算律知识体系，将分数乘小数的三种算法、运算顺序、乘法交换律等10个要点整合，九大类考点按“计算方法-运算律应用-综合提升”递进，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+牛刀小试”分层设计，如分数乘小数应用中蜂蜜问题引导找准单位“1”，规律探索中“和=积”规律培养推理意识。方法指导强调灵活算法选择与简便技巧，帮助学生提升运算能力，支持教师实施精准化复习教学。

03 分数、小数混合运算及运算律核心考点举一反三 九大类+综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 1 一、分数乘小数的计算方法 2 二、分数乘小数的简单应用 4 三、分数四则混合运算的顺序 6 四、乘法运算律推广到分数（辨识） 7 五、乘法分配律的简便计算 8 六、乘法交换律、结合律与连乘约分 10 七、混合运算改错与易错辨析 11 八、分数、小数混合运算综合应用 13 九、规律探索与推理 15 综合提升训练 17 知识要点梳理 1. 分数乘小数的算法：常用三种方法——①把小数化成分数，按分数乘法计算；②把分数化成小数，按小数乘法计算；③当小数能与分母约分、且约分方便时，先约分再乘最简便。如2.4×，用2.4÷4=0.6，再0.6×3=1.8。 2. 灵活选择算法：当分数能化成有限小数（最简分数的分母只含因数2或5）时，可化成小数计算；当分数不能化成有限小数（如）时，要把小数化成分数再乘，不能取近似值。 3. 混合运算顺序：分数混合运算的顺序与整数相同——先乘除、后加减，有括号先算括号里面的；同级运算从左往右依次计算。 4. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即a×b=b×a；分数乘法同样适用，常把能约分的因数交换到一起先算。 5. 乘法结合律：三个数连乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变，即（a×b）×c=a×（b×c）；几个分数连乘时可以直接交叉约分。 6. 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可把它们分别与这个数相乘再相加（减），即（a±b）×c=a×c±b×c；反过来a×c±b×c=（a±b）×c也成立，这是逆用（提取公因数）。 7. 拆项技巧：接近整数的数乘分数，可先把这个数拆成整数加（或减）一个较小的数，再用分配律，如87×=（86＋1）×=3＋。 8. 连乘直接约分：几个分数连乘，不必严格从左到右算，可把所有分子与分母交叉约分后再相乘，能约分的先约分，使数据变小、计算又对又快。 9. 改错与辨析：不要为了“凑整”而违反运算顺序——两级运算必须先乘除后加减；用分配律时，括号外的数要与括号内每一项都相乘，不能漏乘，括号内是加号也不能错写成乘号。 10. 规律探索：当两个分数分子相同、且两个分母之和恰好等于分子时，它们的和等于积，如＋=×；相邻两个分数单位之差等于它们的积，如−=×=。 一、分数乘小数的计算方法 分数乘小数有“小数化分数、分数化小数、先约分再乘”三种方法，要根据数据特点灵活选择最简便的一种。 【典例精讲】 松鼠乐乐的身体长2.4分米，它的尾巴长度约是身体长度的。松鼠乐乐的尾巴约长多少分米？ 【答案】1.8分米 【思路引导】求2.4的是多少，列式2.4×。这道题三种方法都可行：2.4能化成有限分数、能化成0.75、2.4还能与分母4直接约分，其中先约分最简便。 【详解】 求尾巴长度就是求2.4分米的，列式2.4×。 （求一个数的几分之几是多少，用这个数乘几分之几） 方法一（先约分）：2.4与分母4约分，2.4÷4=0.6。 2.4×=0.6×3=1.8（分米）。 方法二（分数化小数）：=0.75，2.4×0.75=1.8（分米）。 方法三（小数化分数）：2.4=，×==1.8（分米）。 （小数能与分母约分、且约分方便时，先约分再乘最简便） 答：松鼠乐乐的尾巴约长1.8分米。 【牛刀小试】 计算：1.2×＝（____） 【牛刀小试】 计算：2.5×＝（____） 【牛刀小试】 计算：1.4×＝（____） 二、分数乘小数的简单应用 用分数乘小数解决实际问题，关键仍是找准单位“1”，用单位“1”的量乘对应分率，再按数据特点选择算法。 【典例精讲】 蜂蜜最主要的成分是果糖和葡萄糖。有一种蜂蜜，果糖和葡萄糖的质量共占蜂蜜总质量的。有2.5千克这种蜂蜜，其中果糖和葡萄糖共有多少千克？ 【答案】2千克 【思路引导】单位“1”是蜂蜜总质量2.5千克，求2.5的是多少，用乘法；2.5与分母5可直接约分。 【详解】 单位“1”是蜂蜜总质量2.5千克，果糖和葡萄糖占它的。 （求2.5的，列式2.5×） 2.5与分母5约分：2.5÷5=0.5。 2.5×=0.5×4=2（千克）。 答：其中果糖和葡萄糖共有2千克。 【牛刀小试】 蜂鸟是目前发现的世界上最小的鸟，它的飞行速度是0.8千米/分。蜂鸟分钟飞行多少千米？5分钟飞行多少千米？ 【牛刀小试】 一只鸵鸟的身高是2.5米，一只成年帝企鹅的身高是鸵鸟的。这只成年帝企鹅的身高是多少米？ 【牛刀小试】 2021年我国人均国内生产总值约为8.1万元，2020年我国人均国内生产总值约为2021年的。2020年我国人均国内生产总值约为多少万元？ 三、分数四则混合运算的顺序 分数混合运算的顺序与整数相同：先乘除后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右。 【典例精讲】 计算：（＋）×2 【答案】＝2 【思路引导】有括号先算括号里面的加法，再算括号外的乘法；本题按运算顺序计算，也为后面学习乘法分配律作准备。 【详解】 先算括号里面：＋=＋=。 （有括号先算括号里面的，异分母分数先通分） 再算括号外：×2===2。 答：结果是2。 【牛刀小试】 计算：＋× 【牛刀小试】 计算：×（−） 【牛刀小试】 计算：−× 四、乘法运算律推广到分数（辨识） 整数乘法的交换律、结合律、分配律对分数乘法同样适用；要能根据算式特点判断运用了哪一种运算律。 【典例精讲】 下面每组的两个算式相等吗？它们分别运用了什么乘法运算律？ （1）×＝× （2）（×）×＝×（×） （3）（＋）×＝×＋× 【答案】三组都相等；（1）乘法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律 【思路引导】交换律看因数位置是否交换；结合律看连乘时括号（结合方式）是否改变；分配律看括号里的和是否分别与括号外的数相乘。 【详解】 （1）左右两边只是交换了与的位置，积不变，是乘法交换律。 （2）三个数连乘，括号由前两个数移到后两个数，积不变，是乘法结合律。 （交换律换位、结合律换括号，因数本身和顺序不变） （3）与的和乘，等于它们分别乘再相加，是乘法分配律。 答：三组算式都相等，依次运用了交换律、结合律、分配律。 【牛刀小试】 在□里填上合适的数，使算式成立，并说说运用了什么运算律。 （＋）×12＝□×□＋□×□ 【牛刀小试】 计算××时，为了使计算简便，应当先算（____）。 A. × B. × C. × 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 ×（＋）＝×＋ 五、乘法分配律的简便计算 正向用分配律把和（差）与一个数的乘法拆开算，逆向用则提取公因数，遇到接近整数的数先拆项，往往能凑整使计算简便。 【典例精讲】 用简便方法计算：（＋）×12 【答案】13 【思路引导】12正好是两个分母6和4的公倍数，用分配律把12分别乘进去，都能约成整数，再相加。 【详解】 12与分母6、4都能约分，用乘法分配律拆开。 （括号外的整数是括号内各分母的公倍数时，用分配律最简便） （＋）×12=×12＋×12。 =10＋3=13。 答：结果是13。 【牛刀小试】 用简便方法计算：87× 【牛刀小试】 用简便方法计算：（14＋）× 【牛刀小试】 用简便方法计算：×＋× 六、乘法交换律、结合律与连乘约分 分数连乘时，运用交换律、结合律把能约分的因数结合在一起，或直接把所有分子、分母交叉约分后再乘，最简便。 【典例精讲】 用简便方法计算：×（×5） 【答案】 【思路引导】括号内×5不便约分，运用交换律、结合律把与5结合，×5直接约成3，再乘。 【详解】 去括号并用交换律：××5=×5×。 （把能与分母约分的整数5换到旁边） ×5=3，3×==。 答：结果是。 【牛刀小试】 用简便方法计算：××3 【牛刀小试】 用简便方法计算：××× 【牛刀小试】 用简便方法计算：××18 七、混合运算改错与易错辨析 简便计算必须以正确的运算顺序和运算律为前提，要能识别“为凑整而先算加减”“分配律漏乘、错写运算符号”等典型错误。 【典例精讲】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 5−3×＝2×＝ 【答案】不对；原式＝5−＝＝2 【思路引导】原式有减法和乘法两级运算，应先算乘法3×，不能先算5−3；错解正是违反了“先乘除后加减”。 【详解】 错误原因：先算了5−3=2，违反了“先乘除后加减”的运算顺序。 （两级运算中，乘法要先算，不能被“5−3凑整”误导） 正确：先算3×===。 再算5−=−==2。 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 （＋）×12＝×12＋＝6＋ 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 ＋×＝1×＝ 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 （＋）×12＝×12××12 八、分数、小数混合运算综合应用 综合运用分数乘小数、连乘和运算律解决生活、图形问题，要先理清数量关系，能简算的自觉简算。 【典例精讲】 奶牛场每头奶牛平均日产牛奶吨，42头奶牛100天可产奶多少吨？ 【答案】84吨 【思路引导】总产奶量＝每头每天产奶量×头数×天数，列式×42×100；用交换律先算×100=2，再乘42。 【详解】 列式×42×100，是一道分数连乘应用题。 （连乘问题可借助交换律，先让分数与能约分的数结合） ×42×100=×100×42=2×42=84（吨）。 答：42头奶牛100天可产奶84吨。 【牛刀小试】 一个长方形桌面，长米，宽米。一个正方形桌面的面积是平方米。长方形桌面的面积比正方形桌面的面积少多少平方米？ 【牛刀小试】 某光伏发电站平均每年发电量高达2400万千瓦时，其中供应居民用电，供应工业用电，供应农业用电。该发电站平均每年供应居民、工业、农业用电一共多少万千瓦时？ 【牛刀小试】 小宇和小婷在一起剪纸花，剪一朵纸花要用张纸。小宇剪了9朵，小婷剪了11朵。他们一共用了多少张纸？ 九、规律探索与推理 通过观察、猜想、验证发现算式中隐藏的规律（如“和＝积”“相邻分数单位之差＝积”），并运用规律填空或简便计算。 【典例精讲】 观察下面前两个算式，看看它们有什么规律，再根据规律在横线上填上合适的分数。 ＋＝× ＋＝× （1）____＋＝____× （2）6＋____＝6×____ 【答案】（1）；（2） 【思路引导】两个分数的分子相同，且两个分母相加的和恰好等于分子时，它们的和等于积。第（1）题分子为5、一个分母是2，另一个分母应是5−2=3；第（2）题把6看作，分母应是6−1=5。 【详解】 观察：与分子都是9，且2＋7=9；与分子都是8，且3＋5=8。 （规律——分子相同、两分母之和等于分子时，两数之和＝两数之积） （1）分子取5，已知分母2，另一个分母＝5−2=3，填。 检验：＋=，×=，相等。 （2）把6看作，另一个分母＝6−1=5，填。 检验：6＋=，6×=，相等。 【牛刀小试】 观察算式−=×、−=×、−=×，你发现了什么规律？照样子再写出两组算式。 【牛刀小试】 利用上题发现的规律，用简便方法计算：＋＋＋ 【牛刀小试】 我们知道：当两个分数分子相同、且两分母之和等于分子时，它们的和等于积。下面四组分数中，不满足“和＝积”的是（____）。 A. 和 B. 和 C. 4和 D. 和 综合提升训练 一、选择题 1. 计算0.6×，下面最简便的方法是（____）。 A. 把0.6化成分数再乘 B. 0.6先与分母3约分，再乘2 C. 把化成小数再乘 D. 三种方法一样简便 【答案】B；结果是0.4 【思路引导】0.6能被3整除，先让0.6与分母3约分：0.6÷3=0.2，再乘2，最简便；不能化成有限小数，不宜选C。 【详解】 0.6÷3=0.2，0.6×=0.2×2=0.4。 （小数能与分母整除时先约分；化小数除不尽，不能选C） 答：选B，结果是0.4。 2. 下面算式中，可以直接运用乘法分配律进行简便计算的是（____）。 A. ×× B.（＋）×27 C. ××5 D. ×× 【答案】B 【思路引导】分配律适用于“两个数的和（差）乘一个数”的形式，只有B的括号内是两个分数相加、括号外是27；A、C、D都是连乘，应用交换律、结合律。 【详解】 A、C、D都是几个数连乘，用交换律、结合律约分。 B是（＋）的和乘27，27是两个分母的公倍数，用分配律：×27＋×27=24＋4=28。 （见“和或差乘一个数”优先想分配律，见“连乘”优先想交换、结合） 答：选B。 二、填空题 3. 直接写出得数。 （1）×0.8＝（____） （2）×2.4＝（____） （3）1.4×＝（____） （4）0.5×＝（____） 【答案】（1）0.6；（2）2；（3）（或1）；（4）（或0.2） 【思路引导】（1）0.8与4约分；（2）2.4与6约分；（3）化不尽，把1.4化成分数；（4）0.5化成分数。 【详解】 （1）×0.8，0.8÷4=0.2，0.2×3=0.6。 （2）×2.4，2.4÷6=0.4，0.4×5=2。 （3）1.4=，×==1。 （4）0.5=，×==0.2。 4. 在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 （1）1.2×○1.2 （2）0.8×1○0.8 （3）3.5×○3.5 【答案】（1）＞；（2）＝；（3）＜ 【思路引导】一个非零数乘大于1的数积变大，乘1积不变，乘小于1的真分数积变小；分数乘小数同样适用。 【详解】 （1）＞1，积比1.2大，填＞。 （2）乘1等于原数，填＝。 （3）是小于1的真分数，积比3.5小，填＜。 （乘大则大、乘1不变、乘小则小，对小数同样成立） 三、计算题 5. 用简便方法计算（写出主要过程）：×× 【答案】 【思路引导】连乘，用交换律把与结合先约分，再乘。 【详解】 交换位置：××。 ×==。 （能约分的先结合约分） ×=。 6. 用简便方法计算（写出主要过程）：（＋）×27 【答案】28 【思路引导】27是分母9和27的公倍数，用分配律拆开，两项都约成整数。 【详解】 用分配律：（＋）×27=×27＋×27。 ×27=8×3=24，×27=4。 （括号外的数是各分母公倍数时，分配后凑整） 原式＝24＋4=28。 7. 用简便方法计算（写出主要过程）：24×（−） 【答案】11 【思路引导】括号内是减法，分配律同样适用，24分别乘和后再相减。 【详解】 用分配律：24×（−）=24×−24×。 24×=4×5=20，24×=3×3=9。 （括号内是减号，分配后两项之间仍是减号） 原式＝20−9=11。 四、操作题 8. 下面的线段表示1.2。把这条线段平均分成4份，先用涂色表示出1.2的，再列式计算1.2×的结果。 【答案】涂其中3份；1.2×＝0.9 【思路引导】把表示1.2的线段平均分成4份，涂其中3份就表示1.2的；计算时1.2与分母4约分：1.2÷4=0.3，再乘3。 【详解】 把线段平均分成4份，涂色表示其中的3份，即1.2的。 （分母是几就平均分成几份，分子是几就取几份） 计算：1.2÷4=0.3，1.2×=0.3×3=0.9。 五、解答题 9. 一根钢材长4.5米，做零件用去它的。用去了多少米？还剩多少米？ 【答案】用去1.8米；还剩2.7米 【思路引导】用去的是4.5的，用乘法；剩下的占总长的1−=，可用4.5×或用总长减去用去的。 【详解】 用去：4.5×，4.5÷5=0.9，0.9×2=1.8（米）。 剩下：4.5−1.8=2.7（米）（或4.5×=0.9×3=2.7米）。 （求剩余可用总量减部分量，也可用总量乘剩余分率1−） 答：用去了1.8米，还剩2.7米。 10. 一个长方形花圃，长12.5米，宽是长的。这个花圃的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】宽7.5米；面积93.75平方米 【思路引导】先用12.5×求出宽，再用长×宽求面积。 【详解】 宽：12.5×，12.5÷5=2.5，2.5×3=7.5（米）。 面积：12.5×7.5=93.75（平方米）。 （宽由分数乘小数求得，面积再回到小数乘法） 答：宽是7.5米，面积是93.75平方米。 11. 修一条公路，甲队每天修千米，乙队每天修千米。两队合修16天，一共修路多少千米？ 【答案】16千米 【思路引导】两队每天共修（＋）=1千米，再乘16天；列式（＋）×16，括号内正好凑成1。 【详解】 先求两队每天合修：＋==1（千米）。 （两个分率分母相同、相加凑1，先求和最简便，体现分配律思想） 16天共修：（＋）×16=1×16=16（千米）。 答：两队合修16天一共修路16千米。 12. 先找规律，再用简便方法计算：＋＋＋＋。 【答案】 【思路引导】除第一项外，=−、=−、=−、=−，裂项后中间项抵消，只剩＋−。 【详解】 裂项：原式=＋（−）＋（−）＋（−）＋（−）。 中间的−与＋、−与＋、−与＋两两抵消。 （裂项相消，一减一加相同项抵消，只剩首尾） =＋−=1−=。 学科网（北京）股份有限公司 $ 03 分数、小数混合运算及运算律核心考点举一反三 九大类+综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 1 一、分数乘小数的计算方法 2 二、分数乘小数的简单应用 4 三、分数四则混合运算的顺序 6 四、乘法运算律推广到分数（辨识） 7 五、乘法分配律的简便计算 8 六、乘法交换律、结合律与连乘约分 10 七、混合运算改错与易错辨析 11 八、分数、小数混合运算综合应用 13 九、规律探索与推理 15 综合提升训练 17 知识要点梳理 1. 分数乘小数的算法：常用三种方法——①把小数化成分数，按分数乘法计算；②把分数化成小数，按小数乘法计算；③当小数能与分母约分、且约分方便时，先约分再乘最简便。如2.4×，用2.4÷4=0.6，再0.6×3=1.8。 2. 灵活选择算法：当分数能化成有限小数（最简分数的分母只含因数2或5）时，可化成小数计算；当分数不能化成有限小数（如）时，要把小数化成分数再乘，不能取近似值。 3. 混合运算顺序：分数混合运算的顺序与整数相同——先乘除、后加减，有括号先算括号里面的；同级运算从左往右依次计算。 4. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即a×b=b×a；分数乘法同样适用，常把能约分的因数交换到一起先算。 5. 乘法结合律：三个数连乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变，即（a×b）×c=a×（b×c）；几个分数连乘时可以直接交叉约分。 6. 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可把它们分别与这个数相乘再相加（减），即（a±b）×c=a×c±b×c；反过来a×c±b×c=（a±b）×c也成立，这是逆用（提取公因数）。 7. 拆项技巧：接近整数的数乘分数，可先把这个数拆成整数加（或减）一个较小的数，再用分配律，如87×=（86＋1）×=3＋。 8. 连乘直接约分：几个分数连乘，不必严格从左到右算，可把所有分子与分母交叉约分后再相乘，能约分的先约分，使数据变小、计算又对又快。 9. 改错与辨析：不要为了“凑整”而违反运算顺序——两级运算必须先乘除后加减；用分配律时，括号外的数要与括号内每一项都相乘，不能漏乘，括号内是加号也不能错写成乘号。 10. 规律探索：当两个分数分子相同、且两个分母之和恰好等于分子时，它们的和等于积，如＋=×；相邻两个分数单位之差等于它们的积，如−=×=。 一、分数乘小数的计算方法 分数乘小数有“小数化分数、分数化小数、先约分再乘”三种方法，要根据数据特点灵活选择最简便的一种。 【典例精讲】 松鼠乐乐的身体长2.4分米，它的尾巴长度约是身体长度的。松鼠乐乐的尾巴约长多少分米？ 【答案】1.8分米 【思路引导】求2.4的是多少，列式2.4×。这道题三种方法都可行：2.4能化成有限分数、能化成0.75、2.4还能与分母4直接约分，其中先约分最简便。 【详解】 求尾巴长度就是求2.4分米的，列式2.4×。 （求一个数的几分之几是多少，用这个数乘几分之几） 方法一（先约分）：2.4与分母4约分，2.4÷4=0.6。 2.4×=0.6×3=1.8（分米）。 方法二（分数化小数）：=0.75，2.4×0.75=1.8（分米）。 方法三（小数化分数）：2.4=，×==1.8（分米）。 （小数能与分母约分、且约分方便时，先约分再乘最简便） 答：松鼠乐乐的尾巴约长1.8分米。 【牛刀小试】 计算：1.2×＝（ ） 【答案】0.72 【思路引导】能化成有限小数0.6，把分数化成小数，按小数乘法计算最直接。 【详解】 =3÷5=0.6，能化成有限小数。 （分母只含因数5，分数能化成有限小数，可化小数计算） 1.2×=1.2×0.6=0.72。 【牛刀小试】 计算：2.5×＝（ ） 【答案】1.5 【思路引导】2.5与分母5可以直接约分，先约分再乘。 【详解】 2.5与分母5约分：2.5÷5=0.5。 （小数与分母能整除时，先约分最简便） 2.5×=0.5×3=1.5。 【牛刀小试】 计算：1.4×＝（ ） 【答案】＝1 【思路引导】的分母含因数3，不能化成有限小数，若化小数会出现除不尽，所以应把1.4化成分数再约分计算。 【详解】 =5÷6除不尽，不能化成有限小数，故把小数化成分数。 （分数不能化成有限小数时，要把小数化成分数，不能取近似值） 1.4=，×，分子5与分母5约分。 1.4×=×==1。 二、分数乘小数的简单应用 用分数乘小数解决实际问题，关键仍是找准单位“1”，用单位“1”的量乘对应分率，再按数据特点选择算法。 【典例精讲】 蜂蜜最主要的成分是果糖和葡萄糖。有一种蜂蜜，果糖和葡萄糖的质量共占蜂蜜总质量的。有2.5千克这种蜂蜜，其中果糖和葡萄糖共有多少千克？ 【答案】2千克 【思路引导】单位“1”是蜂蜜总质量2.5千克，求2.5的是多少，用乘法；2.5与分母5可直接约分。 【详解】 单位“1”是蜂蜜总质量2.5千克，果糖和葡萄糖占它的。 （求2.5的，列式2.5×） 2.5与分母5约分：2.5÷5=0.5。 2.5×=0.5×4=2（千克）。 答：其中果糖和葡萄糖共有2千克。 【牛刀小试】 蜂鸟是目前发现的世界上最小的鸟，它的飞行速度是0.8千米/分。蜂鸟分钟飞行多少千米？5分钟飞行多少千米？ 【答案】分钟飞行0.6千米；5分钟飞行4千米 【思路引导】路程＝速度×时间。分钟对应0.8×，5分钟对应0.8×5。 【详解】 分钟：0.8×，0.8与4约分：0.8÷4=0.2。 0.8×=0.2×3=0.6（千米）。 5分钟：0.8×5=4（千米）。 （分数、整数乘同一个速度，分别按分数乘小数、小数乘整数计算） 答：分钟飞行0.6千米，5分钟飞行4千米。 【牛刀小试】 一只鸵鸟的身高是2.5米，一只成年帝企鹅的身高是鸵鸟的。这只成年帝企鹅的身高是多少米？ 【答案】1.2米 【思路引导】单位“1”是鸵鸟身高2.5米，求2.5的；把2.5化成分数再约分。 【详解】 求帝企鹅身高就是求2.5米的，列式2.5×。 2.5=，×，5与25约、12与2约。 （小数化分数后交叉约分，避免小数乘除出错） 2.5×=×==1.2（米）。 答：这只成年帝企鹅的身高是1.2米。 【牛刀小试】 2021年我国人均国内生产总值约为8.1万元，2020年我国人均国内生产总值约为2021年的。2020年我国人均国内生产总值约为多少万元？ 【答案】7.2万元 【思路引导】单位“1”是2021年的8.1万元，求8.1的；8.1能与分母9直接约分。 【详解】 求2020年的就是求8.1万元的，列式8.1×。 8.1与分母9约分：8.1÷9=0.9。 8.1×=0.9×8=7.2（万元）。 答：2020年我国人均国内生产总值约为7.2万元。 三、分数四则混合运算的顺序 分数混合运算的顺序与整数相同：先乘除后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右。 【典例精讲】 计算：（＋）×2 【答案】＝2 【思路引导】有括号先算括号里面的加法，再算括号外的乘法；本题按运算顺序计算，也为后面学习乘法分配律作准备。 【详解】 先算括号里面：＋=＋=。 （有括号先算括号里面的，异分母分数先通分） 再算括号外：×2===2。 答：结果是2。 【牛刀小试】 计算：＋× 【答案】 【思路引导】两级运算先算乘法×，再算加法。 【详解】 先算乘法：×，分子5与分母5约分，得=。 （先乘除后加减，不能先算＋） 再算加法：＋=。 【牛刀小试】 计算：×（−） 【答案】 【思路引导】有括号先算括号里的减法，再算括号外的乘法。 【详解】 先算括号里面：−=−=。 再算括号外：×=。 （括号改变运算顺序，必须先算括号内） 【牛刀小试】 计算：−× 【答案】 【思路引导】先算乘法×，再用减去乘积。 【详解】 先算乘法：×，分子3与分母3约分，得=。 （先乘后减，不能先参与减法） 再算减法：−=−==。 四、乘法运算律推广到分数（辨识） 整数乘法的交换律、结合律、分配律对分数乘法同样适用；要能根据算式特点判断运用了哪一种运算律。 【典例精讲】 下面每组的两个算式相等吗？它们分别运用了什么乘法运算律？ （1）×＝× （2）（×）×＝×（×） （3）（＋）×＝×＋× 【答案】三组都相等；（1）乘法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律 【思路引导】交换律看因数位置是否交换；结合律看连乘时括号（结合方式）是否改变；分配律看括号里的和是否分别与括号外的数相乘。 【详解】 （1）左右两边只是交换了与的位置，积不变，是乘法交换律。 （2）三个数连乘，括号由前两个数移到后两个数，积不变，是乘法结合律。 （交换律换位、结合律换括号，因数本身和顺序不变） （3）与的和乘，等于它们分别乘再相加，是乘法分配律。 答：三组算式都相等，依次运用了交换律、结合律、分配律。 【牛刀小试】 在□里填上合适的数，使算式成立，并说说运用了什么运算律。 （＋）×12＝□×□＋□×□ 【答案】×12＋×12＝10＋3＝13；乘法分配律 【思路引导】括号外的12要分别与括号内的、相乘，再把积相加，这是乘法分配律。 【详解】 根据乘法分配律把12分配进去：（＋）×12=×12＋×12。 （括号外的数要与括号内每一项分别相乘，不能漏乘） ×12=10，×12=3。 原式＝10＋3＝13。 【牛刀小试】 计算××时，为了使计算简便，应当先算（ ）。 A. × B. × C. × 【答案】C 【思路引导】运用交换律把能直接约分的与换到一起先乘，分子3、7正好与分母7、12约分。 【详解】 观察发现与的分子、分母正好能交叉约分。 用交换律先算×==，再算×=。 （简便计算的核心是把能约分的因数换到一起） 答：选C。 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 ×（＋）＝×＋ 【答案】不对；原式＝×＋×＝ 【思路引导】用分配律时，括号外的要与括号内的、都相乘，原式中漏乘了。 【详解】 错误原因：第二项漏乘了括号外的。 （分配律要“公平分配”，括号内每一项都要乘括号外的数） 正确：×（＋）=×＋×。 =＋=＋=。 五、乘法分配律的简便计算 正向用分配律把和（差）与一个数的乘法拆开算，逆向用则提取公因数，遇到接近整数的数先拆项，往往能凑整使计算简便。 【典例精讲】 用简便方法计算：（＋）×12 【答案】13 【思路引导】12正好是两个分母6和4的公倍数，用分配律把12分别乘进去，都能约成整数，再相加。 【详解】 12与分母6、4都能约分，用乘法分配律拆开。 （括号外的整数是括号内各分母的公倍数时，用分配律最简便） （＋）×12=×12＋×12。 =10＋3=13。 答：结果是13。 【牛刀小试】 用简便方法计算：87× 【答案】3 【思路引导】87接近分母86，把87拆成86＋1，再用分配律，86×直接约成3。 【详解】 把87拆成86＋1：87×=（86＋1）×。 （接近分母的整数先拆成“分母＋几”，再用分配律） =86×＋1×=3＋=3。 【牛刀小试】 用简便方法计算：（14＋）× 【答案】1 【思路引导】用分配律把分别乘14和，14×约成1，×约成。 【详解】 用分配律拆开：（14＋）×=14×＋×。 14×=1；×，7与14约分得×=。 （拆开后两部分都能约分，比先通分简便） 原式＝1＋=1。 【牛刀小试】 用简便方法计算：×＋× 【答案】 【思路引导】两项中都有公因数，逆用分配律把它提取出来，括号内＋正好等于1。 【详解】 两项都含有，逆用乘法分配律，提取公因数。 （a×c＋b×c=（a＋b）×c，这是分配律的逆用） ×＋×=×（＋）。 =×1=。 六、乘法交换律、结合律与连乘约分 分数连乘时，运用交换律、结合律把能约分的因数结合在一起，或直接把所有分子、分母交叉约分后再乘，最简便。 【典例精讲】 用简便方法计算：×（×5） 【答案】 【思路引导】括号内×5不便约分，运用交换律、结合律把与5结合，×5直接约成3，再乘。 【详解】 去括号并用交换律：××5=×5×。 （把能与分母约分的整数5换到旁边） ×5=3，3×==。 答：结果是。 【牛刀小试】 用简便方法计算：××3 【答案】 【思路引导】用交换律把与3结合先乘，约成2。 【详解】 交换与3的位置：×3×。 （×3正好约分） ×3=2，2×=。 【牛刀小试】 用简便方法计算：××× 【答案】 【思路引导】四个分数连乘，不必从左到右硬算，把所有分子、分母交叉约分：的9与的9约掉，再把8与4、7与14等依次约分。 【详解】 几个分数连乘，直接把分子、分母交叉约分。 （连乘可一次性交叉约分——×先约成） ×==。 原式=××=×（×）=×1=。 【牛刀小试】 用简便方法计算：××18 【答案】5 【思路引导】用交换律把与18结合，×18约成8，再乘约成5。 【详解】 交换位置：×18×。 ×18=4×2=8。 （整数18与分母9约分后，再与约分） 8×=5。 七、混合运算改错与易错辨析 简便计算必须以正确的运算顺序和运算律为前提，要能识别“为凑整而先算加减”“分配律漏乘、错写运算符号”等典型错误。 【典例精讲】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 5−3×＝2×＝ 【答案】不对；原式＝5−＝＝2 【思路引导】原式有减法和乘法两级运算，应先算乘法3×，不能先算5−3；错解正是违反了“先乘除后加减”。 【详解】 错误原因：先算了5−3=2，违反了“先乘除后加减”的运算顺序。 （两级运算中，乘法要先算，不能被“5−3凑整”误导） 正确：先算3×===。 再算5−=−==2。 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 （＋）×12＝×12＋＝6＋ 【答案】不对；原式＝×12＋×12＝6＋4＝10 【思路引导】用分配律时，括号里的也要乘12，错解中漏乘了12。 【详解】 错误原因：没有乘括号外的12，属于分配律漏乘。 （括号内每一项都要乘括号外的数） 正确：（＋）×12=×12＋×12=6＋4=10。 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 ＋×＝1×＝ 【答案】不对；原式＝＋＝ 【思路引导】应先算乘法×，不能先算＋凑成1。 【详解】 错误原因：先算了加法＋=1，违反了先乘后加。 （即使两个分数相加能凑整，也要先算乘法） 正确：×，5与15约、14与7约，得。 ＋=＋=。 【牛刀小试】 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 （＋）×12＝×12××12 【答案】不对；原式＝×12＋×12＝3＋8＝11 【思路引导】分配律是把括号内两项分别与12相乘后“相加”，错解把加号错写成了乘号。 【详解】 错误原因：括号内是加号，分配后两项之间应仍是加号，不能写成乘号。 （分配律只把括号外的乘法分配进去，括号内原有的运算符号不变） 正确：（＋）×12=×12＋×12=3＋8=11。 八、分数、小数混合运算综合应用 综合运用分数乘小数、连乘和运算律解决生活、图形问题，要先理清数量关系，能简算的自觉简算。 【典例精讲】 奶牛场每头奶牛平均日产牛奶吨，42头奶牛100天可产奶多少吨？ 【答案】84吨 【思路引导】总产奶量＝每头每天产奶量×头数×天数，列式×42×100；用交换律先算×100=2，再乘42。 【详解】 列式×42×100，是一道分数连乘应用题。 （连乘问题可借助交换律，先让分数与能约分的数结合） ×42×100=×100×42=2×42=84（吨）。 答：42头奶牛100天可产奶84吨。 【牛刀小试】 一个长方形桌面，长米，宽米。一个正方形桌面的面积是平方米。长方形桌面的面积比正方形桌面的面积少多少平方米？ 【答案】平方米 【思路引导】先用长×宽求出长方形面积×=平方米，再用正方形面积减去长方形面积。 【详解】 长方形面积＝长×宽=×，5与5约分，得（平方米）。 （求面积差，要先分别求出两个图形的面积） 面积差：−=−=（平方米）。 答：长方形桌面的面积比正方形桌面少平方米。 【牛刀小试】 某光伏发电站平均每年发电量高达2400万千瓦时，其中供应居民用电，供应工业用电，供应农业用电。该发电站平均每年供应居民、工业、农业用电一共多少万千瓦时？ 【答案】2100万千瓦时 【思路引导】三部分共占总量的＋＋，先通分求和（等于），再乘2400；也可用分配律分别相乘再相加。 【详解】 先求三部分共占总量的几分之几，通分（公分母24）： ＋＋=＋＋==。 （求一个数的几分之几的和，可先把分率相加再乘总量） 2400×，2400÷8=300，300×7=2100（万千瓦时）。 （检验：居民800＋工业900＋农业400＝2100万千瓦时） 答：一共供应2100万千瓦时。 【牛刀小试】 小宇和小婷在一起剪纸花，剪一朵纸花要用张纸。小宇剪了9朵，小婷剪了11朵。他们一共用了多少张纸？ 【答案】5张 【思路引导】两人共剪（9＋11）朵，每朵用张纸，列式×9＋×11，可逆用分配律先求总朵数。 【详解】 方法：先求两人一共剪的朵数9＋11=20（朵）。 （每份相同，先求总份数再乘每份，实际是分配律的逆用） ×9＋×11=×（9＋11）=×20=5（张）。 答：他们一共用了5张纸。 九、规律探索与推理 通过观察、猜想、验证发现算式中隐藏的规律（如“和＝积”“相邻分数单位之差＝积”），并运用规律填空或简便计算。 【典例精讲】 观察下面前两个算式，看看它们有什么规律，再根据规律在横线上填上合适的分数。 ＋＝× ＋＝× （1）____＋＝____× （2）6＋____＝6×____ 【答案】（1）；（2） 【思路引导】两个分数的分子相同，且两个分母相加的和恰好等于分子时，它们的和等于积。第（1）题分子为5、一个分母是2，另一个分母应是5−2=3；第（2）题把6看作，分母应是6−1=5。 【详解】 观察：与分子都是9，且2＋7=9；与分子都是8，且3＋5=8。 （规律——分子相同、两分母之和等于分子时，两数之和＝两数之积） （1）分子取5，已知分母2，另一个分母＝5−2=3，填。 检验：＋=，×=，相等。 （2）把6看作，另一个分母＝6−1=5，填。 检验：6＋=，6×=，相等。 【牛刀小试】 观察算式−=×、−=×、−=×，你发现了什么规律？照样子再写出两组算式。 【答案】相邻两个分数单位的差等于它们的积；如−=、−= 【思路引导】相邻的两个分数单位（分子都是1，分母是两个相邻的自然数、相差1），它们相减的差恰好等于相乘的积；通分后新分子是两个相邻分母之差，正好等于1。 【详解】 算一算：−=−=，而×=，相等。 （相邻两个分数单位，相减通分后分子为两个相邻分母之差，等于1，所得差恰等于两数相乘的积） 照写：−=×=； −=×=。 【牛刀小试】 利用上题发现的规律，用简便方法计算：＋＋＋ 【答案】 【思路引导】把每个分数拆成相邻两个分数单位的差：=−，=−，=−，=−，中间项相互抵消（裂项相消）。 【详解】 拆分各项：=−，=−，=−，=−。 原式=（−）＋（−）＋（−）＋（−）。 （裂项后−与＋等中间项两两抵消，只剩首尾） =−=−==。 【牛刀小试】 我们知道：当两个分数分子相同、且两分母之和等于分子时，它们的和等于积。下面四组分数中，不满足“和＝积”的是（ ）。 A. 和 B. 和 C. 4和 D. 和 【答案】D 【思路引导】逐一检验“两分母之和是否等于分子”：A中2＋3=5，B中3＋4=7，C中把4看作、1＋3=4，都满足；D中2＋3=5≠6，不满足。 【详解】 A：2＋3=5＝分子，满足，＋=×。 B：3＋4=7＝分子，满足。 C：4=，1＋3=4＝分子，满足。 D：2＋3=5，而分子是6，5≠6，不满足；实际＋=3＋2=5，×=3×2=6，不相等。 （判断时把整数先写成分母是1的分数，再用规律检验） 答：选D。 综合提升训练 一、选择题 1. 计算0.6×，下面最简便的方法是（ ）。 A. 把0.6化成分数再乘 B. 0.6先与分母3约分，再乘2 C. 把化成小数再乘 D. 三种方法一样简便 【答案】B；结果是0.4 【思路引导】0.6能被3整除，先让0.6与分母3约分：0.6÷3=0.2，再乘2，最简便；不能化成有限小数，不宜选C。 【详解】 0.6÷3=0.2，0.6×=0.2×2=0.4。 （小数能与分母整除时先约分；化小数除不尽，不能选C） 答：选B，结果是0.4。 2. 下面算式中，可以直接运用乘法分配律进行简便计算的是（ ）。 A. ×× B.（＋）×27 C. ××5 D. ×× 【答案】B 【思路引导】分配律适用于“两个数的和（差）乘一个数”的形式，只有B的括号内是两个分数相加、括号外是27；A、C、D都是连乘，应用交换律、结合律。 【详解】 A、C、D都是几个数连乘，用交换律、结合律约分。 B是（＋）的和乘27，27是两个分母的公倍数，用分配律：×27＋×27=24＋4=28。 （见“和或差乘一个数”优先想分配律，见“连乘”优先想交换、结合） 答：选B。 二、填空题 3. 直接写出得数。 （1）×0.8＝（ ） （2）×2.4＝（ ） （3）1.4×＝（ ） （4）0.5×＝（ ） 【答案】（1）0.6；（2）2；（3）（或1）；（4）（或0.2） 【思路引导】（1）0.8与4约分；（2）2.4与6约分；（3）化不尽，把1.4化成分数；（4）0.5化成分数。 【详解】 （1）×0.8，0.8÷4=0.2，0.2×3=0.6。 （2）×2.4，2.4÷6=0.4，0.4×5=2。 （3）1.4=，×==1。 （4）0.5=，×==0.2。 4. 在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 （1）1.2×○1.2 （2）0.8×1○0.8 （3）3.5×○3.5 【答案】（1）＞；（2）＝；（3）＜ 【思路引导】一个非零数乘大于1的数积变大，乘1积不变，乘小于1的真分数积变小；分数乘小数同样适用。 【详解】 （1）＞1，积比1.2大，填＞。 （2）乘1等于原数，填＝。 （3）是小于1的真分数，积比3.5小，填＜。 （乘大则大、乘1不变、乘小则小，对小数同样成立） 三、计算题 5. 用简便方法计算（写出主要过程）：×× 【答案】 【思路引导】连乘，用交换律把与结合先约分，再乘。 【详解】 交换位置：××。 ×==。 （能约分的先结合约分） ×=。 6. 用简便方法计算（写出主要过程）：（＋）×27 【答案】28 【思路引导】27是分母9和27的公倍数，用分配律拆开，两项都约成整数。 【详解】 用分配律：（＋）×27=×27＋×27。 ×27=8×3=24，×27=4。 （括号外的数是各分母公倍数时，分配后凑整） 原式＝24＋4=28。 7. 用简便方法计算（写出主要过程）：24×（−） 【答案】11 【思路引导】括号内是减法，分配律同样适用，24分别乘和后再相减。 【详解】 用分配律：24×（−）=24×−24×。 24×=4×5=20，24×=3×3=9。 （括号内是减号，分配后两项之间仍是减号） 原式＝20−9=11。 四、操作题 8. 下面的线段表示1.2。把这条线段平均分成4份，先用涂色表示出1.2的，再列式计算1.2×的结果。 【答案】涂其中3份；1.2×＝0.9 【思路引导】把表示1.2的线段平均分成4份，涂其中3份就表示1.2的；计算时1.2与分母4约分：1.2÷4=0.3，再乘3。 【详解】 把线段平均分成4份，涂色表示其中的3份，即1.2的。 （分母是几就平均分成几份，分子是几就取几份） 计算：1.2÷4=0.3，1.2×=0.3×3=0.9。 五、解答题 9. 一根钢材长4.5米，做零件用去它的。用去了多少米？还剩多少米？ 【答案】用去1.8米；还剩2.7米 【思路引导】用去的是4.5的，用乘法；剩下的占总长的1−=，可用4.5×或用总长减去用去的。 【详解】 用去：4.5×，4.5÷5=0.9，0.9×2=1.8（米）。 剩下：4.5−1.8=2.7（米）（或4.5×=0.9×3=2.7米）。 （求剩余可用总量减部分量，也可用总量乘剩余分率1−） 答：用去了1.8米，还剩2.7米。 10. 一个长方形花圃，长12.5米，宽是长的。这个花圃的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】宽7.5米；面积93.75平方米 【思路引导】先用12.5×求出宽，再用长×宽求面积。 【详解】 宽：12.5×，12.5÷5=2.5，2.5×3=7.5（米）。 面积：12.5×7.5=93.75（平方米）。 （宽由分数乘小数求得，面积再回到小数乘法） 答：宽是7.5米，面积是93.75平方米。 11. 修一条公路，甲队每天修千米，乙队每天修千米。两队合修16天，一共修路多少千米？ 【答案】16千米 【思路引导】两队每天共修（＋）=1千米，再乘16天；列式（＋）×16，括号内正好凑成1。 【详解】 先求两队每天合修：＋==1（千米）。 （两个分率分母相同、相加凑1，先求和最简便，体现分配律思想） 16天共修：（＋）×16=1×16=16（千米）。 答：两队合修16天一共修路16千米。 12. 先找规律，再用简便方法计算：＋＋＋＋。 【答案】 【思路引导】除第一项外，=−、=−、=−、=−，裂项后中间项抵消，只剩＋−。 【详解】 裂项：原式=＋（−）＋（−）＋（−）＋（−）。 中间的−与＋、−与＋、−与＋两两抵消。 （裂项相消，一减一加相同项抵消，只剩首尾） =＋−=1−=。 学科网（北京）股份有限公司 $