2.1.1等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，核心涵盖用不等式(组)表示实际不等关系、作差法比较实数大小及重要不等式。课堂导入通过天平的平衡与倾斜模型，直观连接相等关系与不等关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体，如限速、酸奶质量检查等，培养数学抽象能力，通过作差法典例及变式练习强化数学运算素养，结合赵爽弦图直观推导重要不等式。学生能提升用数学眼光观察、思维分析现实问题的能力，教师可借助系统的实例与方法总结优化教学。

讲课人： 日期： 2.1.1等式性质与不等式性质 学习目标 学习目标 核心素养 1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 数学抽象 2.理解两实数大小比较的基本事实，学会作差法比较两个实数的大小. 数学运算 3.结合赵爽弦图，初步了解重要不等式. 数学抽象 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 相等关系 天平两端重量完全相等，保持水平平衡。这是数学中等式的直观物理模型，代表两个量在数值上完全一致。 不等关系 天平两端重量不相等，导致横梁发生倾斜。这反映了现实世界中普遍存在的数量大小差异，是不等式的直观体现。 探索新知 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40. 探索新知 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB， 垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点， 则CD＜CE. A B E C D ┌ 探索新知 （3）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； 由题意，得 f≥2.5% p≥2.3% 探索新知 （4）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 设ABC的三条边为a,b,c，则 a+b＞c， a-b＜c. B C ┌ A a b c 一般的，我们将多个不等式用”{”合并展现，表示一组不等关系，数学中称做不等式组。 探索新知 设复兴号列车速度为v1，民航飞机最低时速为v2，普通客车速度为v3. 问题1：京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3. 变式练习1、 探索新知 探索新知 探究：如何解不等式(8-×0.2)≥20呢？ 与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系： 探索新知 　思考：如何比较两个式子的大小关系？ Ａ Ｂ a b a<b B A b a b<a 数 作差法 0是正数与 负数的分界点，它为实 数比较大小 提供了“标杆” 数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系 形 ⇔＜0. 典例分析 例1 比较（+2)(+3)和（+1)(+4)的大小. 解： （+2)(+3)-（+1)(+4) =(+5+6)-(+5+4) =2＞0， 所以（+2)(+3)＞（+1)(+4) 探索新知 变式练习1、(x+1)(x-1)与x2的大小关系为(　　) A、(x+1)(x-1)>x2 B、(x+1)(x-1)<x2 C、(x+1)(x-1)=x2 D、不能确定 解析 ：由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B. B 探索新知 2、已知 M = x2 - 3x + 5，N = -x2 + x - 1，试比较 M 与 N 的大小关系。 解：（作差法） M - N = (x2 - 3x + 5) - (-x2 + x - 1) = x2 - 3x + 5 + x2 - x + 1 = 2x2- 4x + 6 = 2(x2 - 2x) + 6 = 2（ + 4 因为对于任意实数 x，（ >0， 所以 2（>0 因此，2（ + 4 > 0 得出结论M - N > 0 所以 M > N 探索新知 探究：图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 探索新知 探索新知 你能否给出证明？ 课堂小结 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 4. 重要不等式 课堂检测 1、判断正误： （1）任意两个实数都能比较大小. ( ) （2）a与b的差是非正实数，可表示为a-b<0. （ ） （3）实数m不小于-2，用不等式表示为m≥-2. ( ) （4）不等式+≥2中的 可以是任意实数. ( ) √ × √ √ 课堂检测 D **第一步：证明 \(a > \dfrac{a+b}{2}\)** 1. 已知 \(a > b\)。 2. 不等式两边同时加上 a，根据不等式的性质，不等号方向不变： \(a + a > b + a\) \(2a > a + b\) 3. 不等式两边同时除以正数 2，根据不等式的性质，不等号方向不变： \(\dfrac{2a}{2} > \dfrac{a+b}{2}\) \(a > \dfrac{a+b}{2}\) **第二步：证明 \(\dfrac{a+b}{2} > b\)** 1. 已知 \(a > b\)。 2. 不等式两边同时加上 b，根据不等式的性质，不等号方向不变： \(a + b > b + b\) \(a + b > 2b\) 3. 不等式两边同时除以正数 2，根据不等式的性质，不等号方向不变： \(\dfrac{a+b}{2} > \dfrac{2b}{2}\) \(\dfrac{a+b}{2} > b\) **综合结论：** 由第一步和第二步可得： \(a > \dfrac{a+b}{2}\) 且 \(\dfrac{a+b}{2} > b\) 因此，\(a > \dfrac{a+b}{2} > b\) 得证。 课堂检测 3.试比较下面各组中两式的大小: (1)(x-2)2与(x-1)(x-3); (2)x2+2x与3x-1. 解 (x-2)2-(x-1)(x-3)=(x2-4x+4)-(x2-4x+3)=1>0. 因此,(x-2)2>(x-1)(x-3). 课后作业 课本第40页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 解 (x2+2x)-(3x-1)=x2-x+1=2+>0. 因此,x2+2x>3x-1. $