第2章 有理数及其运算 单元测试卷-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学“有理数及其运算”单元复习卷，以二十大研发经费、百香果销售等真实情境为载体，覆盖相反数、科学记数法等核心知识，通过基础巩固与综合应用题，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|相反数、科学记数法、数轴表示|结合二十大数据考科学记数法，体现时代性| |填空题|6/24|大小比较、实际得分计算|以牛肉干质量偏差考绝对值应用，强化量感| |解析题|8/78|分类讨论（a-b值）、数轴综合（格距点）|百香果销售问题融合利润计算，培养应用意识；格距点问题发展几何直观|

第2章 有理数及其运算 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．（4分）的相反数是（　　） A． B．4 C．﹣4 D． 2．（4分）计算（﹣108）×（﹣25）×4的结果是（　　） A．10800 B．﹣2700 C．﹣432 D．1080 3．（4分）下面所画的数轴中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　） A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011 5．（4分）如图，数轴上的点M，N分别表示﹣3，2，则点M到点N的距离为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 6．（4分）下列各对数中，数值相等的是（　　） A．（﹣2）3和（﹣3）2 B．﹣32和（﹣3）2 C．﹣3×23和（﹣3×2）3 D．﹣33和（﹣3）3 7．（4分）内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲．若每包内蒙古牛肉干的标准质量为250g，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（　　） A．+3g B．﹣2g C．+5g D．﹣4g 8．（4分）对于任何有理数a，下列一定为负数的是（　　） A．﹣（﹣3+a） B．﹣a C．﹣|a+1| D．﹣|a|﹣1 9．（4分）若|x+2|与（y﹣3）2互为相反数，则xy的值为（　　） A．﹣6 B．9 C．﹣8 D．8 10．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6 B．（﹣36）÷（﹣9）×1＝﹣4 C． D． 11．（4分）下列说法中：①两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；②立方等于本身的数是±1；③一个数的倒数小于这个数；④任何一个有理数的2倍大于这个有理数；⑤下列代数式：a+1，a2，a2﹣1，|a|，a2+1，（a+1）2，1﹣（﹣a）3中值一定为正的只有一个．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（4分）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图．|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|的结果为（　　） A．﹣2b B．2b C．0 D．﹣2b﹣2c 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13．（4分）比较大小（用”＞”或”＜”表示）：﹣（﹣1）　 　 ﹣（+2） 14．（4分）某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得﹣1分，不选得零分，王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 　 　 ． 15．（4分）若有理数a，b满足|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，则a﹣b的值是　 　 16．（4分）已知a+b+c＝0，abc≠0，则代数式的值为 　 　 ． 17．（4分）按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果为 　 　 ． 18．（4分）在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为　 　 （结果用n表示）． 三．解析题（共8小题，满分78分） 19．（8分）把下列各数填在相应的集合中：15，，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，0，3.14，，，171． 整数集合：{　 　 …}； 非负数集合：{　 　 …}； 负分数集合：{　 　 …}； 正有理数集合：{　 　 …}． 20．（8分）在数轴上画出表示﹣1.4，2，﹣3，这些数的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 21．（16分）计算： （1） （2） （3） （4） 22．（8分）已知a和b互为相反数，mn＝1，且c＝﹣[﹣（+2）]，求2a+2b的值． 23．（8分）用科学记数法表示： （1）地球半径约为6400000米； （2）地球表面积约为510000000000000平方米； （3）光的速度大约是300000000米/秒； （4）56420000万． 24．（8分）A水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 0 ﹣1 +2 +5 ﹣4 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）第一周星期三超市售出的百香果单价为　 　 元，这天的利润是　 　 元． （2）第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数） （3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元； 方式二：每斤售价17元． 林老师决定下周在A水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱． 25．（10分）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是﹣1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”． （1）若点P表示的数是2，则n的值为　 　 ； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5格距点”，则这样的整点P有　 　 个； （3）若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； （4）若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 26．（12分）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+20|+（b﹣13）2＝0，点C表示的数为16，点D表示的数为﹣7． （1）A，C两点之间的距离为 　 　 ； （2）已知|m﹣n|可理解为数轴上表示数m，n的两点之间的距离．若点P在数轴上表示的数为x，则满足|x+20|+|x﹣13|＝33的所有的整数x的和为 　 　 ；满足|x+20|+|x﹣13|＝39的x值为 　 　 ； （3）点A，B从起始位置同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，当点A运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动，点B运动至点D后停止运动，当点B停止运动时，点A也停止运动．求在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数． 参考答案 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．【解析】解：的相反数是． 故选：D． 2．【解析】解：原式＝108×100 ＝10800． 故选：A． 3．【解析】解：A．缺少单位长度和正负数值； B．﹣1和﹣2位置颠倒； C．是正确的数轴； D．方向错误． 故选：C． 4．【解析】解：2800000000000＝2.8×1012． 故选：C． 5．【解析】解：根据数轴上两点间的距离公式计算可得： 点M到点N的距离为|2﹣（﹣3）|＝|2+3|＝5． 故选：A． 6．【解析】解：A、（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9，故本选项错误； B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故本选项错误； C、﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，（﹣3×2）3＝﹣216，故本选项错误； D、﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，故本选项正确． 故选：D． 7．【解析】解：|+3|＝3，|﹣2|＝2，|+5|＝5，|﹣4|＝4， ∵2＜3＜4＜5， ∴﹣2g的绝对值最小，偏差最小，是最接近标准质量的选项． 答：下面四个包装中最接近标准质量的是﹣2g． 故选：B． 8．【解析】解：A、﹣（﹣3+a）＝3﹣a，当a≤3时，选项式子不是负数，不符合题意； B、﹣a，当a≤0时，选项式子不是负数，不符合题意； C、﹣|a+1|≤0，当a＝﹣1时，选项式子不是负数，不符合题意； D、∵﹣|a|≤0， ∴﹣|a|﹣1≤﹣1＜0，选项式子一定是负数，符合题意． 故选：D． 9．【解析】解：根据题意得：， 解得：． 则xy＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：C． 10．【解析】解：A．（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6，此选项错误，不符合题意； B．原式＝（﹣36）÷（﹣9）×1＝361＝4，此选项错误，不符合题意； C．原式1，此选项错误，不符合题意； D．原式＝4×2×2＝16，此选项正确，符合题意； 故选：D． 11．【解析】解：①两个正数相加，和一定为正数；两个负数相加，和一定为负数，正确； ②立方等于本身的数是有0和±1，错误； ③一个数的倒数不一定小于这个数，比如：1的倒数等于1，错误； ④有理数的2倍不一定大于这个有理数，比如﹣2的2倍小于﹣2，错误； ⑤这些式子中一定为正的只有a2+1，正确； 故选：A． 12．【解析】解：由所给数轴可知， a+b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， 所以原式＝﹣a﹣b﹣b+c﹣c+a＝﹣2b． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13．【解析】解：∵﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2， ∴1＞﹣2， 故答案为：＞． 14．【解析】解：∵选对一道得（5分），选错一道得﹣（1分），不选得零分． ∴他的得分是16×5﹣2＝78． 故本题答案为：78． 15．【解析】解：根据题意可知，|a|＝8，|b|＝5， ∴a＝±8，b＝±5， ∵a+b＞0， ∴a＝8，b＝±5， ∴当a＝8，b＝5时， a﹣b＝8﹣5＝3， 当a＝8，b＝±5时， a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13． 故答案为：3或13． 16．【解析】解：∵a+b+c＝0，abc≠0， ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ∴， 当a＞0，b＞0，c＞0时，原式1+（﹣1）+（﹣1）+1＝﹣2； 当a、b、c中有一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 原式1+1+（﹣1）+1＝2； 当a、b、c中有两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0， 原式1+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣2； 当a＜0，b＜0，c＜0时，原式1+1+1+（﹣1）＝2； 综上，原式的值是2或﹣2， 故答案为：2或﹣2． 17．【解析】解：x＝﹣1时，（﹣1）+4+（﹣3）+1＝﹣4+5＝1＜2， x＝1时：1+4+（﹣3）+1＝6+（﹣3）＝3， 故答案为：3． 18．【解析】解：1． 答：的值为1． 故答案为：1． 三．解析题（共8小题，满分78分） 19．【解析】解：整数集合：{15，﹣3，﹣4，0，171，⋯}；非负数集合：{15，0.81，，0，3.14，，，171，⋯}； 负分数集合：{，﹣3.1，⋯}． 正有理数集合：{15，0.81，，3.14，，171，⋯}． 故答案为：15，﹣3，﹣4，0，171； 15，0.81，，0，3.14，，，171； ，﹣3.1； 15，0.81，，3.14，，171． 20．【解析】解：如图， ∴． 21．【解析】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝18﹣4+15 ＝29； （3）原式 ＝2+3﹣4 ＝1； （4）原式 ． 22．【解析】解：∵a和b互为相反数，mn＝1，且c＝﹣[﹣（+2）]， ∴a+b＝0，mn＝1，c＝2， ∴2a+2b2×0． 23．【解析】解：（1）由题意得，6400000＝6.4×106； （2）由题意得，510000000000000＝5.1×1014； （3）由题意得，300000000＝3×108； （4）由题意得，56420000万＝5.642×1011． 24．【解析】解：（1）∵卖出时每斤以15元为标准，表格中的数据表示超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负， ∴星期三超市售出的百香果单价为15元， 这天的利润是10×（15﹣10）＝50（元）， 故答案为：15，50． （2）1×20﹣2×35+0×10﹣1×30+2×15+5×5﹣4×50＝﹣225（元）， （15﹣10）×（20+35+10+30+15+5+50）＝5×165＝825（元）， （﹣225）+825＝600（元）； 所以第一周超市出售此种百香果盈利600元； （3）方式一：20×5+（40﹣5）×（20﹣4）＝660（元）， 方式二：40×17＝680（元）， ∵660＜680， ∴选择方式一购买更省钱． 25．【解析】解：（1）点P表示的数是2，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+1＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”， 故答案为：5； （2）由整点P为A、B的“5格距点”，可知整点P点A的距离与点P到点B的距离之和为5， 此时点P所表示的整数可能为﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 4+1＝5， 此时 n＝5； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 6+1＝7， 此时n＝7； 答：点P表示的数为2或4，n的值为5或7； （4）①当P在AB之间时，AB＝5， 点P表示的数为：， 此时 n＝5； ②当P在点A左边时，PA＝AB＝5， 点P表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7， 此时 n＝5+10＝15， 答：点P所表示的数为或﹣7，相应的n的值为5或15． 26．【解析】解：（1）∵|a+20|+（b﹣13）2＝0，|a+20|≥0，（b﹣13）2≥0， ∴a+20＝0，b﹣13＝0． ∴a＝﹣20，b＝13． ∴OA＝20，OB＝13． ∵点C表示的数为16，点D表示的数为﹣7， ∴OC＝16，OD＝7． ∴AC＝OA+OC＝20+16＝36． 故答案为：36． （2）∵|x+20|+|x﹣13|＝33， ∴点P在A，B之间（包括A，B）． ∴所有的整数x的值为：﹣20，﹣19，﹣18，•••，11，12，13，共34个． ∴所有的整数x的和为：（﹣20）+（﹣19）+…+（﹣13）+（﹣12）+（﹣11）+…+11+12+13 ＝（﹣20）+（﹣19）+（﹣18）+（﹣17）+（﹣16）+（﹣15）+（﹣14） ＝﹣119． ∵|x+20|+|x﹣13|＝39， ∴点P在点A的左侧或在点B的右侧． ①表示x的点在﹣20的左侧时， ∵|x+20|+|x﹣13|＝39， ∴﹣（x+20）﹣（x﹣13）＝39． 解得：x＝﹣23． ②表示x的点在13的右侧时， ∵|x+20|+|x﹣13|＝39， ∴x+20+x﹣13＝39． 解得：x＝16． 综上，满足|x+20|+|x﹣13|＝39的x值为﹣23或16． 故答案为：﹣119；﹣23或16； （3）设第一次相遇的时间是m秒，相遇点为E， ∴AE＝6m，BE＝2m， ∵AE+BE＝AB＝33， ∴6m+2m＝33， 解得：m． ∴BE＝2m， ∴点E表示的数为：13． 设第二次相遇的时间为n秒，相遇点为F， ∴BF＝2n，AC+CF＝6n， ∴CF＝6n﹣AC＝6n﹣36． ∵BF＝CF﹣BC， ∴CF＝BC+BF＝2n+3． ∴6n﹣36＝2n+3． 解得：n． ∴BF＝2， ∴点F表示的数为：136.5． 综上，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：或﹣6.5 学科网（北京）股份有限公司 $