广东肇庆市德庆县香山中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷以文化传承与实际应用为情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理和数据建模能力，适配开学学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、二项式定理、正态分布|第8题以一百零八塔文化为背景，考查等差数列分组求和| |多选题|3/18|命题真假、等差数列性质|第11题双罐取球模型，考查条件概率计算| |填空题|3/15|组合数、等比数列求和、不等式恒成立|第14题含参不等式，考查分类讨论思想| |解答题|5/77|函数切线、独立性检验、数列证明、导数应用、概率分布|第16题手机购买列联表考查统计推断，19题投篮模型渗透数学建模素养|

香山中学2027届高三级第一学期数学科开学考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3.(x－2)(x＋1)5的展开式中x2的系数为(　 　) A． －56 B．56 C．－15 D．15 4.若随机变量X～N(1，σ2)，且P(X＜0.9)＝0.3，则P(｜X－1｜＜0.1)＝(　　) A.0.3　　 B.0.4 C.0.5　　 D.0.6 5.甲、乙、丙三名同学相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人，则4次传球后球在甲手中的概率为(　　) A． B． C． D． 6.某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的5人中，通话时间(单位：秒)如表所示： 序号x 1 2 3 4 5 时间y 37 65 21 m 32 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程＝x＋40.9.据此求出(5，32)残差为－7.4，则m＝(　　) (定义：残差＝观测值－预测值) A.45 B.25 C.37 D.7 7. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则( ) A． B． C． D． 8.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 10.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 11.甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______ 种(用数字填写答案)． 13．记为等比数列的前项和，若，，则 . 14．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16.（本小题满分15分） 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 (1)根据小概率之值α=0.01的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？ (2)用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)． α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 临界值表： 17.（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 18. （本小题满分17分） 已知函数. （1）求的极值； （2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 19.(本小题满分17分) 设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香山中学2027届高三级第一学期数学科开学考试答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.【答案】A 解析：集合，则。 2.【答案】B 【详解】因为，所以．因为是整数，所以，故集合共有个子集．故选：B 3.答案：C　解：[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.故x2的系数为－15. 4.答案：B 解析：由｜X－1｜＜0.1可得－0.1＜X－1＜0.1，即0.9＜X＜1.1. 因为随机变量X～N(1，σ2)，且P(X＜0.9)＝0.3， 故P(｜X－1｜＜0.1)＝P(0.9＜X＜1.1)＝1－2P(X＜0.9)＝1－2×0.3＝0.4.故选B 5.答案：C 解析：根据题意4次传球总的传球路线种数为24＝16种，满足题意的有：甲—乙—甲—乙—甲、甲—乙—甲—丙—甲、甲—乙—丙—乙—甲、甲—丙—甲—乙—甲、甲—丙—甲—丙—甲、甲—丙—乙—丙—甲，共有6种，所以4次传球后球在甲手中的概率为＝.故选C． 6.答案：A 解析：由题意知，当x＝5时，＝5＋40.9＝32＋7.4＝39.4，解得＝－0.3，所以y关于x的回归方程为＝－0.3x＋40.9.当x＝＝3时，＝＝－0.3×3＋40.9＝40，所以×(37＋65＋21＋m＋32)＝40，解得m＝45.故选A. 7.【答案】D 【详解】设，则，又，所以，则切线方程为，设，则，令，解得，所以.故答案为：D 8.【答案】B【详解】由已知，，，，，设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.【答案】ABC 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 10.【答案】BC 【详解】因为，故,故B正确； 因为，所以等差数列为递增数列，故A错误； 因为，故C正确. 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误； 11.答案：ABD 【详解】由题可知，，，， ,; . ∴ . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】16 解析：直接法:1女2男，有，2女1男，有 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种。 13.【答案】 解析：设等比数列公比为，由已知得：， ∴∴ ,所以 14．【答案】 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为，所以，则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分． 15.解：（1）， ………………2分 则， ………………3分 由题意可得， ………………4分 解得； ………………5分 （2）由，故，其定义域为 ………………6分 则， ………………7分 故当时，，当时，，当时，，…9分 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， ……11分 故有极大值， ………………12分 有极小值 ………………13分 16.【详解】（1）零假设:假设购买手机款式与性别无关。...................1分 由....................4分 根据小概率值α=0.01的独立检验，我们推断不成立，即认为购买手机款式与性别有关....6分 （2）由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买款手机的概率为，........7分 所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数，................9分 故，， ，，....................13分 0 1 2 3 分布列如下： 所以......................15分 17.解：（1）因为所以令，可得， 解得.………………2分 当时，， 则，即，………………4分 所以是首项为2，公比为2的等比数列，………………5分 所以数列的通项公式为.………………6分 （2）因为，所以，………………8分 即，………………10分 所以 .………………13分 因为，所以，即，………………14分 所以.………………15分 18.解：（1）的定义域为. ...................2分 当时，恒成立，此时单调递增，无极值； ...................4分 当时，令，得. ...................5分 故当时，单调递减； 当时，单调递增， ...................7分 此时在处取到极小值，无极大值. ..................8分 （2）方法一：对任意时，恒成立，即恒成立. ........9分 令，则. .................11分 令，则， ...................12分 即在区间上单调递减，又， ...................13分 所以当时，，即，此时单调递增； ...................14分 当时，，即，此时单调递减， ...................15分 所以. ...................16分 所以，即的取值范围为. ...................17分 方法二：由（1）知， 当时，在区间上单调递增. ...................9分 因为，所以不符合题意； ...................10分 当时，当时单调递减，当时单调递增. 对任意时，恒成立，即， 即. ...................12分 令在区间上单调递增. 又所以； ...................14分 当时，在区间上单调递减...................15分 所以，符合题意； ...................16分 综上，的取值范围为. ...................17分 19.解：（1）由题意，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4...................1分 当时，表示第一次就投进球，，...................2分 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，，...................3分 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，，...................4分 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，，...................5分 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 ...................6分 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，当时，表示前次均未投中， ∴....................10分 （ii）由题意及（2）（i）证明如下： ...................14分 ...................16分 即....................17分 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $