福建省厦门市2026-2027学年上学期九年级期中模拟考试 数 学 试 卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程、二次函数及图形变换，通过小区修路、商品利润等生活情境题与正方形旋转、抛物线综合等几何题，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，培养运算能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、抛物线顶点与平移、中心对称图形|注重概念辨析（如第1题区分整式方程），结合几何直观（如第6题图形对称性判断）| |填空题|6/24|方程求解、根的判别式、坐标变换、韦达定理|强化计算应用（如第16题m+n-mn值计算），突出易错点（如第11题避免漏根）| |解答题|9/86|方程求解、函数建模、图形旋转、抛物线与三角形面积|综合能力考查（如25题抛物线与面积最值，23题正方形旋转证明与计算），融入生活情境（如20题道路宽度、22题利润最大化）|

2026—2027学年第一学期 福建省厦门市九年级期中模拟考试 数　学　试　卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x² + 2x = x² − 1　　B. 1/x² + x = 1　　C. (x − 1)(x + 2) = 3　　D. ax² + bx + c = 0 2.一元二次方程 x² − 4x + 3 = 0 的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 没有实数根　　D. 只有一个实数根 3.抛物线 y = 2(x − 1)² + 3 的顶点坐标是（　　） A. (1, 3)　　B. (−1, 3)　　C. (1, −3)　　D. (−1, −3) 4.将抛物线 y = x² 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A. y = (x + 2)² − 3　　B. y = (x − 2)² − 3　　C. y = (x − 2)² + 3　　D. y = (x + 2)² + 3 5.在平面直角坐标系中，点 P(2, −3) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A. (2, 3)　　B. (−2, 3)　　C. (−2, −3)　　D. (−3, 2) 6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形　　B. 平行四边形　　C. 正方形　　D. 正五边形 7.若关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（　　） A. 1　　B. −1　　C. 0　　D. 2 8.二次函数 y = −x² + 4x − 5 的最大值是（　　） A. −1　　B. 1　　C. −5　　D. 3 9.若 x₁、x₂ 是方程 x² + 3x − 5 = 0 的两个实数根，则 x₁ + x₂ 的值为（　　） A. 3　　B. −3　　C. 5　　D. −5 10.已知二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图象如图1所示，则下列结论中错误的是（　　） A. a > 0　　B. 2a + b = 0　　C. c > 0　　D. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大 图1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.方程 x² = 5x 的解是 ____________。 12.若关于 x 的方程 x² − 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ____________。 13.抛物线 y = x² − 4x + 5 的顶点坐标是 ____________。 14.点 P(−2, 3) 关于原点对称的点 P′ 的坐标是 ____________。 15.将抛物线 y = −2x² 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是 ____________。 16.若 m、n 是方程 x² − 3x − 1 = 0 的两个实数根，则 m + n − mn 的值是 ____________。 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17.解下列方程： （1）x² − 4x − 5 = 0； （2）2x² − 3x − 1 = 0。 18.已知关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 x₁ + x₂ + x₁x₂ = 1，求 m 的值。 19.如图2，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1, 1)、B(4, 1)、C(3, 3)。 （1）作出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁、B₁、C₁ 的坐标； （2）将 △ABC 绕原点 O 逆时针旋转90°，作出旋转后的 △A₂B₂C₂，并写出点 A₂、B₂、C₂ 的坐标。 图2 20.如图3，某小区要在一块长30 m、宽20 m的矩形空地上修建两条互相垂直且宽度相同的道路，其余部分种植草坪。若草坪的面积共为504 m²，求道路的宽度。 图3 21.已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 A(1, 0) 和 B(0, −3)。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该函数图象的顶点坐标。 22.某商店销售一种商品，进价为每件40元。当售价为每件50元时，每月可卖出200件。市场调查发现：售价每上涨1元，每月的销售量就减少10件。设售价每件上涨 x 元，每月的利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当售价定为每件多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少元？ 23.如图4，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，将 △ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转90° 得到 △ADF。 （1）判断点 F、D、C 是否在同一条直线上，并说明理由； （2）若正方形 ABCD 的边长为6，BE = 2，求 EF 的长。 图4 24.已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2m + 1)x + m² + m = 0。 （1）求证：无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 5，求 m 的值。 25.如图5，抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； （2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，设 △PBC 的面积为 S，求 S 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）结合图象，直接写出不等式 −x² + 2x + 3 > 0 的解集。 图5 参考答案与解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. C　　2. A　　3. A　　4. B　　5. B　　6. C　　7. A　　8. A　　9. B　　10. C 1. C。A项整理后为 2x + 1 = 0，是一元一次方程；B项未知数出现在分母上，不是整式方程；D项没有说明 a ≠ 0；C项整理得 x² + x − 5 = 0，符合一元二次方程的定义。 2. A。Δ = (−4)² − 4×1×3 = 16 − 12 = 4 > 0，所以方程有两个不相等的实数根。 3. A。顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点为 (h, k)，故顶点为 (1, 3)。 4. B。平移规律“左加右减、上加下减”：向右2、向下3，得 y = (x − 2)² − 3。 5. B。关于原点对称的两点横、纵坐标都变号，P(2, −3) → (−2, 3)。 6. C。等边三角形、正五边形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，只有正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 7. A。有两个相等的实数根，则 Δ = (−2)² − 4m = 0，解得 m = 1。 8. A。y = −x² + 4x − 5 = −(x² − 4x) − 5 = −(x − 2)² − 1，开口向下，当 x = 2 时取得最大值 −1。 9. B。由根与系数的关系（韦达定理），x₁ + x₂ = −3。 10. C。A项：图象开口向上，a > 0，正确；B项：对称轴为 x = 1，即 −b/(2a) = 1，得 b = −2a，所以 2a + b = 0，正确；C项：图象与 y 轴交于负半轴，c < 0，故 c > 0 错误；D项：开口向上且对称轴为 x = 1，当 x > 1 时 y 随 x 的增大而增大，正确。故选 C。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. x₁ = 0，x₂ = 5　　12. k < 1　　13. (2, 1)　　14. (2, −3)　　15. y = −2(x + 1)² + 3　　16. 4 11. x² − 5x = 0，即 x(x − 5) = 0，所以 x₁ = 0，x₂ = 5。【易错】不能两边同除以 x，否则会丢掉 x = 0 这个根。 12. Δ = (−2)² − 4k > 0，即 4 − 4k > 0，解得 k < 1。 13. y = x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1，顶点坐标为 (2, 1)。 14. 关于原点对称，横、纵坐标都变号，P(−2, 3) → P′(2, −3)。 15. 向左平移1个单位（括号内加1），向上平移3个单位（整体加3），得 y = −2(x + 1)² + 3。 16. 由根与系数的关系，m + n = 3，mn = −1，所以 m + n − mn = 3 − (−1) = 4。 三、解答题（共86分） 17.（8分） （1）因式分解，得 (x − 5)(x + 1) = 0，所以 x₁ = 5，x₂ = −1。 （2）a = 2，b = −3，c = −1，Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4×2×(−1) = 9 + 8 = 17 > 0。 所以 x = (3 ± √17)/(2×2) = (3 ± √17)/4，即 x₁ = (3 + √17)/4，x₂ = (3 − √17)/4。 【给分要点】每小题4分：正确因式分解/代入公式2分，得出两个根2分。【易错】公式法中 a、b、c 的符号（c = −1），以及 Δ 计算时 −4ac 的符号。 18.（8分） （1）方程有两个不相等的实数根，所以 Δ = (−2)² − 4×1×m = 4 − 4m > 0，解得 m < 1。（4分） （2）由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = m。 由 x₁ + x₂ + x₁x₂ = 1，得 2 + m = 1，所以 m = −1，且 −1 < 1，符合题意。（4分） 【给分要点】（1）列 Δ 关系式2分、解不等式2分；（2）写出两根和与积2分、代入求值并检验2分。【易错】忽略“检验 m 是否满足 m < 1”这一步骤。 19.（8分） （1）关于原点中心对称，各顶点坐标都变号，得 A₁(−1, −1)、B₁(−4, −1)、C₁(−3, −3)；顺次连接 A₁B₁C₁ 即得所求三角形。（4分） （2）绕原点逆时针旋转90°，变换规律为 (x, y) → (−y, x)： A(1, 1) → A₂(−1, 1)；B(4, 1) → B₂(−1, 4)；C(3, 3) → C₂(−3, 3)，顺次连接即得 △A₂B₂C₂。（4分） 【给分要点】作图规范（保留痕迹）2分、坐标正确各1分。【易错】中心对称与旋转90°的坐标变换规律记混；逆时针旋转 (x, y) → (−y, x)，顺时针为 (x, y) → (y, −x)。 20.（8分） 设道路的宽度为 x m。（1分） 两条道路把空地分成四块草坪，把草坪“拼合”起来，其面积为 (30 − x)(20 − x) m²。（3分） 依题意：(30 − x)(20 − x) = 504，整理得 600 − 50x + x² = 504，即 x² − 50x + 96 = 0。（2分） 解得 x₁ = 2，x₂ = 48。因为道路宽度必须小于矩形空地的宽20 m，所以 x₂ = 48 不合题意，舍去。 所以道路的宽度为 2 m。（2分） 【给分要点】设未知数1分、正确建立方程3分、解方程2分、取舍并作答2分。【易错】忘记检验 x₂ = 48 不合实际而失分；面积关系写错（多算或漏算中间重叠部分）。 21.（8分） （1）把 A(1, 0)、B(0, −3) 代入 y = x² + bx + c，得： c = −3，1 + b + c = 0，所以 1 + b − 3 = 0，解得 b = 2。 所以这个二次函数的解析式为 y = x² + 2x − 3。（4分） （2）y = x² + 2x − 3 = (x² + 2x + 1) − 1 − 3 = (x + 1)² − 4， 所以图象的顶点坐标为 (−1, −4)。（4分） 【给分要点】（1）代入两点得2分、解出 b 得2分；（2）配方2分、写顶点2分。【易错】配方时“+1”后忘记“−1”。 22.（10分） （1）售价上涨 x 元后，每件售价为 (50 + x) 元，每件利润为 (50 + x − 40) = (10 + x) 元；月销售量为 (200 − 10x) 件。（3分） 所以 y = (10 + x)(200 − 10x) = −10x² + 100x + 2000。（2分） （2）y = −10x² + 100x + 2000 = −10(x² − 10x) + 2000 = −10(x − 5)² + 2250。（3分） 因为 −10 < 0，所以当 x = 5 时，y 取最大值 2250，此时售价为 50 + 5 = 55（元）。（1分） 答：当售价定为每件55元时，每月的利润最大，最大利润为2250元。（1分） 【给分要点】正确表示每件利润与销售量3分、列出函数关系式2分、配方求最值3分、答出定价2分。【易错】把“上涨 x 元”误当成“售价为 x 元”；忘记检查 x 的取值范围与“答”。 23.（10分） （1）点 F、D、C 在同一条直线上。（1分） 理由：由旋转可知 △ADF ≌ △ABE，所以 ∠ADF = ∠ABE。因为点 E 在边 BC 上，AB ⊥ BC，所以 ∠ABE = 90°，从而 ∠ADF = 90°。 又因为四边形 ABCD 是正方形，∠ADC = 90°。于是 ∠ADF + ∠ADC = 180°，所以 F、D、C 三点在同一条直线上。（3分） （2）由旋转可知 AE = AF，∠EAF = ∠BAD = 90°，所以 △AEF 是等腰直角三角形，EF = √2 · AE。（3分） 在 Rt△ABE 中，AE = √(AB² + BE²) = √(6² + 2²) = √40 = 2√10。 所以 EF = √2 × 2√10 = 2√20 = 4√5。（3分） 【给分要点】（1）结论1分、说明理由3分；（2）判断 △AEF 为等腰直角三角形并得出 EF = √2·AE 得3分、计算 AE 得3分。【易错】旋转角判断错误（应是90°）；把 EF 的求法直接等同于 BE，忽略勾股关系。 24.（12分） （1）Δ = [−(2m + 1)]² − 4×1×(m² + m) = (4m² + 4m + 1) − (4m² + 4m) = 1。（4分） 因为 Δ = 1 > 0 恒成立，所以无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根。（2分） （2）由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 2m + 1，x₁x₂ = m² + m。（2分） x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (2m + 1)² − 2(m² + m) = 4m² + 4m + 1 − 2m² − 2m = 2m² + 2m + 1。 由 2m² + 2m + 1 = 5，得 2m² + 2m − 4 = 0，即 m² + m − 2 = 0， 因式分解得 (m + 2)(m − 1) = 0，所以 m = −2 或 m = 1。（4分） 【给分要点】（1）算 Δ 并化简4分、下结论2分；（2）写出两根和积2分、用 x₁² + x₂² 变形2分、解方程2分。【易错】Δ 化简时符号出错；误用 (x₁ + x₂)² = x₁² + x₂²（漏掉 −2x₁x₂）。 25.（14分） （1）令 y = 0：−x² + 2x + 3 = 0，即 x² − 2x − 3 = 0，因式分解得 (x − 3)(x + 1) = 0，所以 x = 3 或 x = −1，即 A(−1, 0)、B(3, 0)。 令 x = 0，得 y = 3，所以 C(0, 3)。对称轴为直线 x = −b/(2a) = −2/(2×(−1)) = 1。（4分） （2）设点 P 的横坐标为 t（0 < t < 3），则 P(t, −t² + 2t + 3)。 直线 BC 经过 B(3, 0)、C(0, 3)，其解析式为 y = −x + 3。 过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交直线 BC 于点 Q，则 Q(t, −t + 3)， PQ = (−t² + 2t + 3) − (−t + 3) = −t² + 3t。 S = S△PBQ + S△PCQ = ½ · PQ · (3 − t) + ½ · PQ · t = ½ · PQ · 3 = (3/2)(−t² + 3t) = −(3/2)(t − 3/2)² + 27/8。 因为 −(3/2) < 0，所以当 t = 3/2 时，S 取最大值 27/8， 此时 P 的纵坐标为 −(3/2)² + 2×(3/2) + 3 = −9/4 + 3 + 3 = 15/4，即 P(3/2, 15/4)。（6分） （3）由图象可知，抛物线位于 x 轴上方的部分所对应的自变量取值满足 −1 < x < 3，所以不等式 −x² + 2x + 3 > 0 的解集为 −1 < x < 3。（4分） 【给分要点】（1）求 A、B、C 坐标各1分、求对称轴1分；（2）正确表示 PQ 并建立面积函数3分、配方求最值2分、写出点 P 坐标1分；（3）观察图象写出解集，区间端点取舍正确得4分。【易错】（2）中面积函数不配方而直接下结论；忘记说明“0 < t < 3”的取值范围；（3）把解集错写成 x < −1 或 x > 3。 【分值核对】选择题 10×4 = 40 分；填空题 6×4 = 24 分；解答题 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 10 + 12 + 14 = 86 分；合计 40 + 24 + 86 = 150 分。 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $