考点16：导数与极值点偏移（四大题型20题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与极值点偏移专题，涵盖概念、解题步骤、均值不等式应用及对称化构造、比值代换等四大题型，按“概念-方法-应用”架构组织，通过问题链引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇考情分析助学生用数学眼光把握命题趋势，步骤指导与题型分类培养数学思维，真题演练强化数学语言表达。每个模块配反思总结表，学生可自主诊断提升，教师能据此精准指导，实现因材施教。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点16 导数与极值点偏移 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数研究函数的单调性；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大 （小）值、最大 （小）值。纵观近三年的新高考试题难度比较大，新高考直接考“标准偏移模板” 的频次有所下降，但偏移作为命题背景大量渗透在导数压轴双变量证明，同时衍生拐点偏移、乘积型偏移、偏移结合估值、切线、零点综合。可以预测2027年新高考命题方向有可能以更加多变的形式出现。 1.极值点偏移的概念 已知函数是连续函数，在区间内只有一个极值点，，且在与之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移. 若则，极值点向左偏移；若则 ，极值点向右偏移. 2. 极值点偏移问题的题设形式 (1)函数存在两个零点，且，求证：或(为函数的极值点)； (2)函数中存在，x2且，满足，求证：或(为函数的极值点)； 3.极值点偏移问题的常见步骤 (1)对称构造函数 ①对结论型，构造函数. ②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成，再把看成两变量即可. ③对结论函数中型：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. (2)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (3)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (4)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 4.指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题（证明需要用到比值构造） (1)对数均值不等式结论： 对任意的，有. 证明：①不妨设，则 (1) 要证，只需证，只需证， 设，则，只需证，只需证， 设，则， 在上单调递减，。②要证，只需证，只需证， 设，则，只需证，只需证，设，则，在上单调递增，，。综合 ①②可知，对任意的，有。 (2)指数均值不等式结论：对任意实数，有. 证明：在对数均值不等式中，令，则，从而可得指数均值不等式。需要注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需要给出证明. 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在区间上单调递减； （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以 2.（2025·天津高考真题第20题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）当时，，，则，则，且， 则切点，且切线的斜率为，故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，，得， 设，则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，.故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即.而由， 可知成立，故命题得证 3.（2024·天津高考真题第20题）设函数． （1）求图象上点处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的值； （3）若，证明． 【答案】（1）；（2）2 ；（3）证明见解析. 【解析】（1）由于．，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为. （2） 法一：必要性探路,由题可得在上恒成立，即在上恒成立。设，则要求恒成立时的取值，，又，， 当时，，1，所以，，单调递减，，，单调递增，所以，即，符合题意. 当时,,所以在单调递增，又，所以，，不符合题意. 当2时,,,所以，，单调递减，，，单调递增,因为所以,不符合题意. 当2时,,,所以，，单调递减，，，单调递增,因为所以,不符合题意. 综上所述，的值为2. 法二：同构，设，则，从而当时，当时.所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.设，则. 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件.综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 题型一：对称化构造函数的极值点偏移问题 题型分析：利用极值点做对称变换，构造辅助函数，限定在极值点一侧区间研究单调性与正负；借助，把双变量不等式转化为同一单调区间内函数值比较，再得到自变量不等关系. 1.（2026届·江苏南通通州区·期初测试）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)详解见解析；(2)①；②证明见解析 【解析】， （ⅰ）当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增； （ⅱ）当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； （ⅲ）当时，，在上单调递增； （ⅳ）当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. （2）①，（ⅰ）当时，，令，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去； （ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增，则， 又，取且，则，所以有两个零点，其中，，符合题意； （ⅲ）当时，在上单调递增，当时，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅴ）当时，当时，，又在上单调递减，在上单调递增，，所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为. ②证明：由①知，，，所以，要证，即证， 令，则， 当时，，在上单调递增， 因为，所以， 即，即， 又因为，所以， 又因为且在上单调递减， 所以，即，原命题得证. 2.（2026届·河南百事联盟·1月联考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. (3)由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 3.（2026届· 重庆巴蜀中学· 二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】(1)(2)的增区间为，无减区间(3)证明见解析 【解析】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 4.（2026届·陕西华清中学·三模）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1），令，所以，解得， 当时，单调递减，当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立，即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令，则，令，则．由，得，，因此，则在上单调递增，若，则，则在上单调递增， 所以，满足题意；若，则，， 因此在上存在唯一的零点，且， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． （3）当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为，所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 5.（2026届·河北唐山· 一模）函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. （2）（i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 题型二：比值代换的极值点偏移问题 题型分析：多用于含有的函数，由条件，令，把原来两个变量全部只用单变量表示，把双变量证明直接转化为关于t的一元函数不等式证明。构造单变量函数，求导分析单调性，证明（或）。 1.（2026届·湖北鄂州· 4月调研）已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）（1） 当a≤2时， 在上单调递增，恒成立； 当a>2时，令得，，则 当时，，在上单调递减，，不合题意． ，a的取值范围为 （2）（i），， 若有2个零点，即方程有2个根． 令，，h（x）在上单调递增，在上单调递减，且，，解得 （ii）由（i）知，， ，， ，即， 要证，即证，， 令，，，； p（t）在上单调递增， ，故 2.（2027届·陕西榆林衡山区·开学考）已知函数（）有两个零点，，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）的定义域为，函数有两个零点， 即方程有两个解． 因为，所以恒大于0，所以恒大于0，可得， 设，，则原方程可化为， ，则在上单调递增， 所以，即．设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且恒大于0，， 画出的图象如图所示， （2） 由（1）可知①，②，，②-①： 所以做变形 ， 设，则，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 又由于，所以，所以． 3.（2027届·浙江名校协作体·开学考）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1）；(2)；（3） 【解析】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以.故实数的取值范围为. （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且.故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 4.（2026届·福建福州·5月质检）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)关于的方程有两个实根，对每一个满足条件的. （i）求的取值范围； （ii）当时，记，证明：. 【答案】（1）(1)答案见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）由题设可得定义域为，. 当时，则，从而在上单调递减； 当，令，可得， ，， 则在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）由（1）分析可得，， 则为使有两个实根，则. 由题设可得：，设，则， 两式相减可得，设，则， 从而，， 由题， 设，则， 令 ，则， 则在上单调递减，则， 则要使成立，则； （ii）由上可得：对于，两式相加可得： ， 因，则， 从而 5.（2026届· 山东聊城· 二模）设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． （2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． （3）设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以 题型三：指数型的极值点偏移问题 题型分析：指数型偏移，函数特征是含有.三种常用处理思路①：对称构造，和对数型完全一致，构造，求导研究单调性；但求导会不断升阶，部分题目导数计算量很大。②比值代换（指数齐次换元），由得到等式令，或者令，实现单变量化；③也可以两边取对数转化成对数问题。 1.（2026届·陕西榆林·一模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）当时，，，令得， 当时，；当时，，因此在单调递减，在单调递增，故的最小值为； （2）（ⅰ）令得，设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，，因此在单调递增，在单调递减，时，，，，故的取值范围为； 由题意可知，，两式相减得， (3)要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 2.（2027届·湖南名校联合体·入学测试）已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） ；（2）（i）；（ii）证明见详解. 【解析】(1)当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：，所以的图象在处的切线方程为． (2)（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故． 当时，恒成立，故时； 当时，即-1为的一个极小值点． 又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值．有三个极值点，即有两个变号零点，，即解得． （ii）法一：由（i）知，，且即 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设，则． 则单调递增，而，则，即，，即，即证毕． 法二：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 3.（2027届·北京昌平区·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.所以. （2）解：.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则.令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又.  所以的最小值为，所以的取值范围为. （3）由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.     所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 4.（2026届·江苏九校· 一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时， 【答案】(1) ；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）∵对任意，是的必要条件， ∴， 在上单调递增， 则，即在上恒成立， 令，， 在单调递减， . （2）（i）因为对有两个不等的实根， 所以有两个零点 令， 当，则，当，则， 所以在单调递减；单调递增， ， 要使有两个零点，只需， 即，令， 在(0,1)单调递增；单调递减， . (ii)令，则，，即， 构造方程，两根为， 令，其中的两根为 令则，令，则， 在单调递减；单调递增，作出大致图象如下： 令， 在单调递减；单调递增， 当时，，此时最小. 取最小值时，. 5.（2027届·辽宁点石联考·期初调研）设实数，已知曲线与曲线，记曲线在处的切线为． (1)求的方程； (2)设与在第一象限内的两个相异交点分别为，，且． （ⅰ）证明：，且； （ⅱ）证明：直线与的交点的横坐标． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）曲线在处的切点为，切线斜率为， 所以l的方程为，即； (2)（ⅰ）由题可得，，且，，两式相除，得，即， 令，则，且，由，得， 所以，，则． 当时，因为，所以； 当时，同样有； 当时，令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 因为，所以，即， 所以．综上，． 由，相乘，得． 因为，，，所以． 又，所以，所以． （ⅱ）因为点A，B均在抛物线上，所以，， 则直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为． 由（1）知， 联立两直线方程，得， 即， 由（ⅰ）知， 又，所以， 由（ⅰ）知，因此． 因为，所以要证， 只需证， 即证． 因为，所以， 则， 所以，得证． 综上，直线AB与l交点的横坐标． 题型四：复杂型的极值点偏移 题型分析：复杂型偏移属于新高考现在的热点，不再是标准模板、命题会做多层包装，包含拐点偏移、偏移结合三角函数、偏移结合复合函数、非标准零点条件、不等式左右两边同时带、一边带常数一边带变量，多零点偏移，条件不直接给出，需要考生先做代数变形转化为偏移模型. 1.（2026届·广东佛山· 二模）已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）b=（ii）证明见解析 【解析】（1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，. （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为.， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点. （ii），， 故的图像关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减， 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证. 2.（2026届·贵州贵阳· 适应考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明： 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边（极值点偏移）：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证 3.（2026届·安徽江南十校·3月联考）函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上没有零点，求实数的取值范围； (3)当时，设，若，满足，证明： 【答案】(1) ； (2) ；(3)证明见解析. 【解析】（1）当时，. 所以有， 所以函数在处的切线方程为，即 （3） 由题意，在上没有零点，等价于方程在上无解，因为；即等价于方程在上无解，，即等价于方程在上无解， 等价于方程在上无解，等价于方程在上无解.设，原题等价于关于的方程在上无解. 设，则 当时，，则， 对恒成立，则在上单调递减， 又，故满足题意的实数的取值范围为. （3）当时，， 则 令得，即， 又，则存在唯一的使得 且 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又， 要使且，必有， 则必有 ①先证：. ，且在上单调递减， 要证 只需证即可，又， 故只需证对恒成立即可， 只需证 而， 只需证，即只需证对恒成立即可，这显然成立， 故有； ②再证：. 必有， 又当时，在上单调递减，则有. 而当时，， 令， 则 令，等价于，方程有唯一解，记为，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 又， 即当时，必有，与题意不符， 所以要使，且，必有， 综合①②可得： 4.（2027届·江苏南通如东县·第一次检测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)证明：存在唯一的极大值点且； (3)设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1），由题意得， 且，代入得， 因为，所以，显然时等式成立， 设，当时， 即在上单调递增，故是唯一正整数解，解得，则. (2)由上知，则， 设，则，令，即， 即， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， ，且，且在单调递减， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， ，，且在单调递增， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， 综上，当时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是唯一的极大值点，且， 所以有，即， 将其代入到中得， 因为，所以，且， 两式相乘得， 两边同时加上得，即证. (3)不妨设，由上知极大值点所在的横坐标为， 因为在单调递增，在单调递减，所以， 要证，即证，即， 因为，所以， 又因为，且在上单调递增，故可证， 由于，问题等价于证明， 设，其中， 则， ，则， 其中，则， 因此， 因为，则， 当且仅当时等号成立， 由于，故等号不成立，所以，所以恒成立， 则在上单调递减， 因为，所以当时，， 代入，可得， 即， 即，整理得， 代入，即证. 5.（2026届·辽宁大连· 双基模拟）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）的单调递减区间为,无单调递增区间 （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】（1）函数定义域为， (当且仅当时取等号)， 所以的单调递减区间为,无单调递增区间. （2）证明： 因为， 所以是偶函数. 因为有四个零点,且， 所以. 令，则或，其中， 当时，， 因为（当且仅当时取等号）， 所以在单调递减， 因为，和各有一解，且， 所以，即得， 因为 即， 因为，且在单调递减， 所以，即 （i）因为，， 所以， 又因为在单调递减，即得， 所以. 设，则， 所以在单调递减，则，即，得证. （ii）因为为偶函数，所以. ， 因为，且，所以， 所以，即， 设，（当且仅当时取等号） 所以在上单调递增. 因为， 所以， 所以， 又因为 所以 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点16 导数与极值点偏移 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数研究函数的单调性；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大 （小）值、最大 （小）值。纵观近三年的新高考试题难度比较大，新高考直接考“标准偏移模板” 的频次有所下降，但偏移作为命题背景大量渗透在导数压轴双变量证明，同时衍生拐点偏移、乘积型偏移、偏移结合估值、切线、零点综合。可以预测2027年新高考命题方向有可能以更加多变的形式出现。 1.极值点偏移的概念 已知函数是连续函数，在区间内只有一个极值点，，且在与之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移. 若则，极值点向左偏移；若则 ，极值点向右偏移. 2. 极值点偏移问题的题设形式 (1)函数存在两个零点，且，求证：或(为函数的极值点)； (2)函数中存在，x2且，满足，求证：或(为函数的极值点)； 3.极值点偏移问题的常见步骤 (1)对称构造函数 ①对结论型，构造函数. ②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成，再把看成两变量即可. ③对结论函数中型：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. (2)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (3)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (4)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 4.指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题（证明需要用到比值构造） (1)对数均值不等式结论： 对任意的，有. 证明：①不妨设，则 (1) 要证，只需证，只需证， 设，则，只需证，只需证， 设，则， 在上单调递减，。②要证，只需证，只需证， 设，则，只需证，只需证，设，则，在上单调递增，，。综合 ①②可知，对任意的，有。 (2)指数均值不等式结论：对任意实数，有. 证明：在对数均值不等式中，令，则，从而可得指数均值不等式。需要注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需要给出证明. 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论 2.（2025·天津高考真题第20题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 3.（2024·天津高考真题第20题）设函数． （1）求图象上点处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的值； （3）若，证明． 题型一：对称化构造函数的极值点偏移问题 题型分析：利用极值点做对称变换，构造辅助函数，限定在极值点一侧区间研究单调性与正负；借助，把双变量不等式转化为同一单调区间内函数值比较，再得到自变量不等关系. 1.（2026届·江苏南通通州区·期初测试）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 2.（2026届·河南百事联盟·1月联考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 3.（2026届· 重庆巴蜀中学· 二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 4.（2026届·陕西华清中学·三模）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 5.（2026届·河北唐山· 一模）函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 题型二：比值代换的极值点偏移问题 题型分析：多用于含有的函数，由条件，令，把原来两个变量全部只用单变量表示，把双变量证明直接转化为关于t的一元函数不等式证明。构造单变量函数，求导分析单调性，证明（或）。 1.（2026届·湖北鄂州· 4月调研）已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 2.（2027届·陕西榆林衡山区·开学考）已知函数（）有两个零点，，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 3.（2027届·浙江名校协作体·开学考）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 4.（2026届·福建福州·5月质检）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)关于的方程有两个实根，对每一个满足条件的. （i）求的取值范围； （ii）当时，记，证明：. 5.（2026届· 山东聊城· 二模）设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且 题型三：指数型的极值点偏移问题 题型分析：指数型偏移，函数特征是含有.三种常用处理思路①：对称构造，和对数型完全一致，构造，求导研究单调性；但求导会不断升阶，部分题目导数计算量很大。②比值代换（指数齐次换元），由得到等式令，或者令，实现单变量化；③也可以两边取对数转化成对数问题。 1.（2026届·陕西榆林·一模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 2.（2027届·湖南名校联合体·入学测试）已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 3.（2027届·北京昌平区·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 4.（2026届·江苏九校· 一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时， 5.（2027届·辽宁点石联考·期初调研）设实数，已知曲线与曲线，记曲线在处的切线为． (1)求的方程； (2)设与在第一象限内的两个相异交点分别为，，且． （ⅰ）证明：，且； （ⅱ）证明：直线与的交点的横坐标． 题型四：复杂型的极值点偏移 题型分析：复杂型偏移属于新高考现在的热点，不再是标准模板、命题会做多层包装，包含拐点偏移、偏移结合三角函数、偏移结合复合函数、非标准零点条件、不等式左右两边同时带、一边带常数一边带变量，多零点偏移，条件不直接给出，需要考生先做代数变形转化为偏移模型. 1.（2026届·广东佛山· 二模）已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 2.（2026届·贵州贵阳· 适应考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明： 3.（2026届·安徽江南十校·3月联考）函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上没有零点，求实数的取值范围； (3)当时，设，若，满足，证明： 4.（2027届·江苏南通如东县·第一次检测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)证明：存在唯一的极大值点且； (3)设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 5.（2026届·辽宁大连· 双基模拟）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $