（计算模块）专题06 循环小数及其分类（解题方法点拨+奥数思维训练）-2027年小升初数学模块化思维提升（通用版）

**基本信息** 以“概念-分类-转化-应用”为逻辑主线，融合解题方法点拨与奥数思维训练，系统培养循环小数认知与周期问题推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1-5题|定义判断法（区分纯/混循环、有限/无限小数）|从循环小数定义生成分类标准，建立概念间从属关系| |化分数转化|4题|纯循环：循环节作分子，9的个数同循环节位数；混循环：分子为循环节与不循环部分差，分母9与0组合|基于小数结构特征推导转化公式，体现数学抽象能力| |周期应用|6-7,21题|周期定位法（确定循环节长度→计算余数→定位数字）|将循环小数转化为周期问题，培养推理意识与应用能力| |规律探究|25题|循环节规律归纳（142857周期特征及数字顺序）|通过算式观察提炼数学规律，发展创新意识与模型观念|

2027年小升初数学模块化思维提升 专题06 循环小数及其分类（解题方法点拨+奥数思维训练） 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数。 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数。 纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… 混循环小数指不是从小数第一位循环的小数。 3、纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同，能约分的要约分。 4、一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0；9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 1．计算下面各题，商是循环小数的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列各数中，不是循环小数的是（　　） A．0.33333 B． C． D． 3．下面说法正确的有个。 ①0.99999是循环小数。 ②两位小数乘三位小数的积是五位小数。 ③、、均不等于，则。 ④在计算时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．把无限循环小数化为分数是（　　） A． B． C． D． 5．在、、3.90090909、1.78、68686868中循环小数有　　个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．一个循环小数是它的小数部分第2018位上的数字是（　　） A．4 B．7 C．0 D．5 7．在小数0.738231693450的小数部分添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数．已知小数点后面第100位上的数字是3，这个循环小数是（　　） A． B． C． D． 8．把、0.94、0.949、这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的数是（　　） A． B．0.94 C．0.949 D． 9．循环小数的循环节是　　 ，这个循环小数用简便形式写作　　 。 10．循环小数的循环节是 　　 ，小数点后第十位上的数字是 　　 。 11．循环小数的简便记法是　　 ，精确到百分位是　　 。 12．计算，其结果用循环小数的简便写法表示为　　 ，商保留两位小数约是　　 。 13．在、、、这4个数中，最大的数是　　 ，最小的数是　　 。 14．，将结果用简便形式表示是　　，结果保留两位小数是　　． 15．在0.18、0.181、、和中，循环小数有　　 个，这五个数中最大的是　　 ，用简便形式写作　　 。 16．已知，这个商的循环节是　　 ，用最简便写法记作　　 ，则　　 （精确到千分位）。 17．写出下面各循环小数的近似值．（保留三位小数） 18．计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商． 19．丽丽忘记给下面这三个循环小数点循环点了，请你帮她给下面三个小数都点上循环点，使式子成立。 20．在1.80524这个小数加上循环点，可以得到哪些循环小数？其中最大的是？最小的是？ 21．在循环小数中移动循环点，产生新的循环小数。新循环小数的第100位上的数恰好是5，新循环小数是多少？（新循环小数只是循环节的起点不同，也就是循环节的长度不同） 22．在小数1.1020113中加一些表示循环的圆点，一共可以得到多少个循环小数？其中最大的一个是多少？最小的一个是多少？ 23．有8个数，，，，，，是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是。那么按从大到小排列时第4个数是哪一个数？ 24．用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 25．发现规律，解决问题。 两个数相除，如果能除尽，商是整数或有限小数；如果除不尽，商就是循环小数。循环小数的小数部分，不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。循环小数，也是周期问题，循环节是几个数字，周期就是几。例如，的循环节是3这一个数字，周期就是1；的循环节是425三个数字，周期就是3。利用循环小数的周期数可以解决很多有趣的问题。 仔细观察下列算式： （1）发现规律： ①每个商的循环节都有数字1，4，2，8，5，7，它们的周期为 　　。 ②随着被除数的增加，商中循环节的第一个数，按1，2，4，　　，　　，　　的顺序变化。 （2）应用规律：利用循环小数的周期数解决问题。 ①的商的小数点后面第1000个数字是 　　。 ②的商的小数点后面100个数字和是 　　。 学科网（北京）股份有限公司 $2027年小升初数学模块化思维提升 专题06 循环小数及其分类（解题方法点拨+奥数思维训练） 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数。 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数。 纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… 混循环小数指不是从小数第一位循环的小数。 3、纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同，能约分的要约分。 4、一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0；9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 1．计算下面各题，商是循环小数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别算出得数，再判断哪个商是循环小数即可。 【解答】解： 所以商是循环小数的是。 故选：。 【点评】此题考查循环节的意义与辨识。 2．在下列各数中，不是循环小数的是（　　） A．0.33333 B． C． D． 【分析】循环小数是一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，据此逐一分析。 【解答】解：．0.33333是有限小数，小数部分只有5个“3”，没有无限重复的数字，不是循环小数； ．小数部分“15”依次重复出现，是循环小数； ．是循环小数的简便记法，“05”循环，是循环小数； ．小数部分“7”无限重复，是循环小数。 所以，在上面各数中，不是循环小数的是0.33333。 故选：。 【点评】本题重点考查了循环小数的认识。 3．下面说法正确的有个。 ①0.99999是循环小数。 ②两位小数乘三位小数的积是五位小数。 ③、、均不等于，则。 ④在计算时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】逐项分析每句话后即可判断正误。 【解答】解：①循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。而0.99999是有限小数，不是循环小数，所以①说法错误； ②两位小数乘三位小数，积的小数位数是这两个小数的小数位数之和，即（位，但如果积的末尾有0，根据小数的性质，末尾的0可以去掉，此时积的小数位数就会小于5位，所以两位小数乘三位小数的积不一定是五位小数，②说法错误； ③已知、、均不等于，将除法转化为乘法，。因为积相等时，一个因数越大，另一个因数越小。，所以，③说法正确； ④计算时，去掉被除数和除数的小数点，被除数变为522，相当于扩大到原来的100倍；除数变为87，相当于扩大到原来的10倍。根据商的变化规律，除数不变，被除数扩大几倍商就扩大几倍；被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。这里被除数扩大100倍，除数扩大10倍，商扩大到原来的倍，④说法正确。 综上，③和④正确，正确的说法有2个。 故选：。 【点评】本题考查了循环小数的认识、小数乘法和除法的算理探究以及商的变化规律的应用。 4．把无限循环小数化为分数是（　　） A． B． C． D． 【分析】令，再表示出后，作差即可求出的值，即所求。 【解答】解：设，则： ， 所以 即 故选：。 【点评】本题考查了循环小数化分数的方法。 5．在、、3.90090909、1.78、68686868中循环小数有　　个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。注意：圆周率是一个无限不循环小数，，但在实际应用中一般只取它的近似值，即。 【解答】解：在、、3.90090909、1.78、68686868，循环小数有。 故答案为：。 【点评】此题主要考查了循环小数的定义，要熟练掌握。 6．一个循环小数是它的小数部分第2018位上的数字是（　　） A．4 B．7 C．0 D．5 【分析】的循环节是4705，用2018减去1，再除以4，看余数是几，就从循环节的前面数几。 【解答】解： 答：它的小数部分第2018位上的数字是4。 故选：。 【点评】本题考查循环小数的认识及应用。 7．在小数0.738231693450的小数部分添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数．已知小数点后面第100位上的数字是3，这个循环小数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“周期问题”，用100减去小数点后面不循环的位数2除以循环节的位数，如果能整除，第100位上的数字就是循环节的末位上的数字；由此首先排除它的循环节不是4位、5位，如果不能整除，余数是几，就从循环节的首位起，数出几位，该位上数字就是第100位上的数字； 【解答】解：，循环节是四位数，，能整除则第100位上的数字是0，排除； ，循环节是七位数，，则第100位上的数字是循环节的第四位上的数字，也就是3；正确； ，循环节是八位数，，则第100位上的数字是0，排除； ，循环节是十一位数，，则第100位上的数字是0，排除； 故选：． 【点评】此题主要考查循环小数、循环节的概念及意义，根据“周期问题”，来解决这类问题． 8．把、0.94、0.949、这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的数是（　　） A． B．0.94 C．0.949 D． 【分析】先把循环小数写成无限小数的形式，按照小数大小的比较方法进行比较，按从大到小的顺序排列，然后找出排在第二位的数即可． 【解答】解： 所以 即排在第二位的数是0.949。 故选：。 【点评】本题主要考查小数大小的比较，它与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较．因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大．如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，以此类推。 9．循环小数的循环节是　　 ，这个循环小数用简便形式写作　　 。 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数称为循环小数，其中依次不断重复出现的数字叫循环节； 循环小数的简便写法：只写一个循环节，在循环节的首位和末位上方各点一个小圆点，如果循环节只有一个数字，就在这一个数字上点一个小圆点。 【解答】解：循环小数的循环节是36，这个循环小数用简便形式写作。 故答案为：36，。 【点评】此题考查了循环小数的循环节以及简写方法。 10．循环小数的循环节是 　　 ，小数点后第十位上的数字是 　　 。 【分析】小数位从第二位开始循环，循环节是85，用顺序数减1的差除以循环节数2，余数是几，就是循环节的第几位上的数字。 【解答】解： 则小数点后第十位上的数字是8。 答：环小数的循环节是85，小数点后第十位上的数字是8。 故答案为：85，8。 【点评】熟悉循环小数的特征是解决本题的关键。 11．循环小数的简便记法是 ，精确到百分位是　　 。 【分析】先找出循环小数的循环节，在循环节的首尾数字上方标注循环点，写出简便记法；再看千分位数字，按四舍五入规则精确到百分位。 【解答】解：循环小数的简便记法是，精确到百分位是5.70。 故答案为：是，5.70。 【点评】熟练掌握循环小数的简便记法以及利用四舍五入取近似值的方法是解题的关键。 12．计算，其结果用循环小数的简便写法表示为 ，商保留两位小数约是　　 。 【分析】根据小数除法法则计算出的商，写出循环小数的简便记法，再根据四舍五入法求近似数即可。 【解答】解： 所以，计算，其结果用循环小数的简便写法表示为，商保留两位小数约是2.73。 故答案为：，2.73。 【点评】本题考查了小数除法、循环节的简便记法及四舍五入法求近似值。 13．在、、、这4个数中，最大的数是 ，最小的数是　　 。 【分析】比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大。以此类推。 【解答】解：在、、、这4个数中，最大的数是，最小的数是。 故答案为：、。 【点评】本题考查了小数的大小比较。 14．，将结果用简便形式表示是　　，结果保留两位小数是　　． 【分析】写循环小数时，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，如果循环节只有一个数字，就在这个数字上加一个圆点，如果循环节有一个以上的数字，就在这个循环节的首位和末位的数字上各加一个圆点，保留两位小数，看小数部分千分位上的数四舍五入，据此解答． 【解答】解：，将结果用简便形式表示是，结果保留两位小数是 0.14； 故答案为：，0.14． 【点评】此题考查了循环小数的简便写法以及利用四舍五入的方法求近似数． 15．在0.18、0.181、、和中，循环小数有　　 个，这五个数中最大的是　　 ，用简便形式写作　　 。 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。先找到循环小数的循环节，再在循环节的首位和末位点上小圆点。小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】解：在0.18、0.181、、和中，循环小数有3个，这五个数中最大的是，用简便形式写作。 故答案为：3，，。 【点评】本题考查了循环小数以及比较大小知识，结合题意分析解答即可。 16．已知，这个商的循环节是　　 ，用最简便写法记作　　 ，则　　 （精确到千分位）。 【分析】通过观察发现，这个小数从小数点后面第二位开始出现循环的数字，因此是一个循环小数；在简写这个小数时，找出循环节，在首位和末位上面打上小圆点即可。 【解答】解：已知，这个商的循环节是285714，用最简便写法记作，则（精确到千分位）。 故答案为：285714，，0.929。 【点评】此题主要考查找循环节的方法及循环小数的简便记法． 17．写出下面各循环小数的近似值．（保留三位小数） 【分析】保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位，利用“四舍五入”法解答即可． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 18．计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商． 【分析】根据小数除法的计算方法进行计算，除不尽的用循环小数表示商． 【解答】解： 【点评】考查了小数的除法，根据其计算方法进行计算，注意除不尽的用循环小数表示商． 19．丽丽忘记给下面这三个循环小数点循环点了，请你帮她给下面三个小数都点上循环点，使式子成立。 【分析】循环小数的简写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点； 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】解： 因为 所以这三个循环小数的大小比较为：。 【点评】掌握循环小数的大小比较的方法是解答本题的关键。 20．在1.80524这个小数加上循环点，可以得到哪些循环小数？其中最大的是？最小的是？ 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数，循环小数是无限小数，据此得出循环小数，再比较得到最大的和最小的即可． 【解答】解：在1.80524这个小数加上循环点，可以得到、、、、， ， 所以，最大的是，最小的是， 答：在1.80524这个小数加上循环点，可以得到、、、、，其中最大的是，最小的是． 【点评】此题考查了循环小数的运用以及小数大小的比较． 21．在循环小数中移动循环点，产生新的循环小数。新循环小数的第100位上的数恰好是5，新循环小数是多少？（新循环小数只是循环节的起点不同，也就是循环节的长度不同） 【分析】计算时循环节前面的几位要从100里面减去，再除以循环节的位数，余数是几，则第100位上的数就是循环节的第几位数，假设循环小数为：，先求得其循环节，再求得其第100位上的数，若为5，则问题 得解，否则用同样的方法继续解答吗，直至问题得解。 【解答】解：当循环小数为：时，不循环的小数位数有1位，循环节的位数有6位， ，余数3表示循环节的第3位上的数字，即1，不符合题意； 当循环小数为：时，不循环的小数位数有2位，循环节的位数有5位， ，余数3表示循环节的第3位上的数字，即5，符合题意。 所以当循环小数为时，小数点后第100位上的数字是5。 答：新循环小数是。 【点评】这是一道关于循环小数的题，知道循环节表示的意义是解题的关键。 22．在小数1.1020113中加一些表示循环的圆点，一共可以得到多少个循环小数？其中最大的一个是多少？最小的一个是多少？ 【分析】在小数1.1020113中加一些表示循环的圆点，其中这个小数的最后一位必须是循环节的一部分，所以有一个点必须加在3上，循环节只有1位时，就是3，循环节有两位或多位时，另一个点可以是剩下6个数字中的任意一个，这样就一共有7种不同的方法，可以得到7个不同循环小数；要使循环小数最大，那么循环节的第一位就最大，就是3，由此可以得到最大的循环小数；要使循环小数最小，那么循环节的高位尽量的小，这里是有2个0，循环节的第二位上最小可以是1，由此可以得出最小的循环小数。 【解答】解：可以得到的循环小数有： ，，，，，，，一共有7个； 最大的是：； 最小的是：。 答：一共可以得到7个循环小数，其中最大的一个是；最小的一个是。 【点评】解决本题关键是熟练掌握循环小数简写的方法，以及小数比较大小的方法。 23．有8个数，，，，，，是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是。那么按从大到小排列时第4个数是哪一个数？ 【分析】首先把分数化成小数，再把这六个数按照从小到大的顺序排列起来，看排在第几位，进而确定另外两个数的大小，进一步确定第4个数是哪个数。 【解答】解：，，， 所以， 8个数从小到大排列第4个是，所以其他两个数均比小，所以这8个数从大到小排列时，第4个数是。 答：按从大到小排列时第4个数是。 【点评】此题考查的目的是理解掌握小数大小比较的方法，确定另外两个数的大小是解答本题的关键。 24．用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 【分析】0，1，2各一次可以组成循环小数：、、、、、、、、、、、然后相加即可． 【解答】解：0，1，2各一次可以组成循环小数： 、、、、、、、、、、、， ，，， ，； ，， 答：这些小数的总和是． 【点评】此题考查了循环小数及其分类，明确0，1，2各一次可以组成循环小数有哪些，是解答此题的关键． 25．发现规律，解决问题。 两个数相除，如果能除尽，商是整数或有限小数；如果除不尽，商就是循环小数。循环小数的小数部分，不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。循环小数，也是周期问题，循环节是几个数字，周期就是几。例如，的循环节是3这一个数字，周期就是1；的循环节是425三个数字，周期就是3。利用循环小数的周期数可以解决很多有趣的问题。 仔细观察下列算式： （1）发现规律： ①每个商的循环节都有数字1，4，2，8，5，7，它们的周期为 　6　。 ②随着被除数的增加，商中循环节的第一个数，按1，2，4，　　，　　，　　的顺序变化。 （2）应用规律：利用循环小数的周期数解决问题。 ①的商的小数点后面第1000个数字是 　　。 ②的商的小数点后面100个数字和是 　　。 【分析】（1）①根据题中给出的周期的概念填空即可； ②按照题中商中循环节的第一个数填空即可； （2）①用1000除以循环周期6，余数是几，第1000个数字就是循环节的第几个数字； ②先计算出的商是，这个循环小数的周期是3，用第1个数字再加上后面99个数字的和就是后面100个数字和，用99除以3的商乘的和，再加上1即可。 【解答】解：（1）①每个商的循环节都有数字1，4，2，8，5，7，它们的周期为6。 ②随着被除数的增加，商中循环节的第一个数，按1，2，4，5，7，8的顺序变化。 （2）① 所以的商的小数点后面第1000个数字是4。 ② 所以的商的小数点后面100个数字和是430。 故答案为：6，5，7，8；4，430。 【点评】解答此题须认真阅读原题，根据题中的规律填空以及明确用1000除以循环周期6，余数是几，第1000个数字就是循环节的第几个数字和用99除以3的商乘的和，再加上1就是小数点后面100个数字和是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $