（计算模块）专题09 定义新运算（解题方法点拨+奥数思维训练）-2027年小升初数学模块化思维提升（通用版）

**基本信息** 以“理解定义-符号转化-顺序运算”为核心方法体系，通过多样化符号与运算规则设计，系统训练抽象能力与运算推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础理解|约10题|正确理解新定义含义，按顺序代入转化为四则运算，含括号先算括号内|从特殊运算符号识别到规则理解，建立新运算与四则运算的转化关系| |综合应用|约8题|结合数论（最小公倍数、最大公约数）、程序运算等拓展规则|从单一运算到多步复合运算，培养符号意识与推理能力| |拓展提升|约7题|逆向求解参数、规律探究与证明|通过变式训练深化抽象思维，发展创新意识与数学表达能力|

2027年小升初数学模块化思维提升 专题09 定义新运算（解题方法点拨+奥数思维训练） 1、解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 2、我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． 3、新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 1．定义运算※为※，且3※，那么的值是 （　　） A．3 B．6 C．9 D．2 【分析】根据题意得出※等于与的和除以减去的差，由此用此方法把3※改写成我们学过的方程的形式，解方程即可． 【解答】解：3※， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了根据例子找准运算规律，然后按照这种运算进行解答． 2．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】按照新定义的运算规则，将对应数字代入表达式，按四则运算顺序计算即可。 【解答】解：因为， 所以 答：把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么。 故选：。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 3．有一种数学思维游戏，运算规则是：，用数字计算为：，那么，则的值是（　　） A．2 B．6 C．12 D．20 【分析】先看懂题目给的新运算规则，就是左上角的数乘右下角的数，减去左下角的数乘右上角的数，然后把题目里的数字代入这个规则，列出一个方程，最后根据等式的性质一步步算出的值。 【解答】解：已知： ； 则； 2 故选：。 【点评】本题考查的是定义新运算的应用。 4．对于不同的两个数、，规定如下运算：，则的值为（　　） A．8 B． C． D． 【分析】先根据规定的运算规则计算中括号内的结果，再用该结果与2按照规则运算即可。 【解答】解：根据，先计算中括号内的部分： 再计算 答：对于不同的两个数、，规定如下运算：，则的值为8。 故选：。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：△，如果△△，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据定义的新的运算方法知道：△等于的2倍减去，由此用此方法先求出2△3的值，再将△△写成方程的形式，解方程即可． 【解答】解：因为2△， 所以△△， △， ， ， ， ； 故选：． 【点评】解答此题的关键，根据给出的新的运算方法，将要求的式子写成方程的形式，解方程即可． 6．现规定“”是一种新的运算，。那么的值为（　　） A．17 B．5 C．210 D．18 【分析】】根据新的运算法则，先求出，再计算下一步即可。 【解答】解： 答：的值为17。 故选：。 【点评】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 7．“、、、”是数学计算时使用的运算符号。小刚自己创造了一个运算符号“△”，表示将两个数求和后再除以2，例如：5△，那么按这个运算方式，318△322的结果是（　　） A．320 B．479 C．431 D．640 【分析】根据题目定义，运算符号“△”表示将两个数相加后除以2，因此，318△322即为，以此答题即可。 【解答】解： 故选：。 【点评】本题考查了定义新运算的计算，关键是找准计算方法。 8．在数学智力挑战赛创编环节中，思思新定义出了一个数学运算符号“※”。当和是非零自然数，且时，规定※，例如2※，则3※（　　） A．680 B．738 C．777 D．700 【分析】根据题意当和是非零自然数，且时，规定※，据此计算即可。 【解答】解：3※38 故选：。 【点评】解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算。 9．郑郑用电脑编辑了一个运算程序：，，，则的输出结果是　　 。 【分析】基础初值：递推规则1：如果，那么，当左侧的运算数固定时，右侧的运算数每增加1，运算的结果就会在原有结果的基础上加2。 本题中是第一个运算数固定为1的情况，因此可以直接针对的序列找规律：从开始递推： 可以发现这是一个首项为2、公差为2的等差数列：，代入即可算出结果。 【解答】解：根据分析可得：。 故答案为：4050。 【点评】此题考查新定义运算的运用。 10．“”是一种新的运算符号，我们规定。那么的运算结果是　　。 【分析】根据所给出的等式，可知等于与的积加上2与的积，据此用此方法计算的值即可。 【解答】解： 故答案为：3。 【点评】根据运算规律正确计算是解答的关键。 11．定义的运算为，则　　 。 【分析】根据定义新运算的法则做题即可。 【解答】解： 故答案为：16。 【点评】本题主要考查定义新运算的应用。 12．规定：△，□，如1△，1□，按从左到右的顺序计算，1△2□　　 。 【分析】根据1△的运算规则，求出1△2的结果，再根据1□，求出最终结果。 【解答】解：1△ 6□ 故答案为：21。 【点评】明确运算规则，再认真计算是解答的关键。 13．如果，，，那么　　 。 【分析】根据新运算方法可知：，据此解答 【解答】解： 故答案为：。 【点评】明确新运算规则是解题的关键。 14．定义一种新运算“※”，满足，如，那么，6※10的结果是　　。 【分析】已知，用此方法计算6※10时，相当于，，代入中计算出得数即可。据此解答。 【解答】解：6※10 答：6※10的结果是。 故答案为：。 【点评】此题考查定义新运算。根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 15．若，，则的结果是　　。 【分析】寻找定义新运算规律：，从2开始，连续加3个数；，从6开始，连续加5个数。 规律：符号前面的数是相加的第一个数，符号后面的数代表一共要加几个连续自然数。 【解答】解： 故答案为：50。 【点评】本题考查的是定义新运算的应用。 16．规定：，，　　 。 【分析】是从开始连续乘个自然数，分别展开与的连乘算式，两式相除后约分，据此作答。 【解答】解： 故答案为：20。 【点评】本题考查了定义新运算问题，解答此类问题的关键点有两个：一是弄清新运算的逻辑关系，二是将新运算转化为相应的四则运算，最终算出结果即可。 17．定义新运算。⊕，若3⊕⊕，求的值，写出运算过程。 【分析】根据⊕，可得⊕，那么3⊕⊕ 3⊕，然后再根据等式的性质进行解答。 【解答】解：根据⊕，可得： 3⊕⊕ 3⊕ 3⊕ 【点评】解答此题的关键是根据定义新运算与给出的式子求出的值，再根据等式的性质进行解答。 18．已知“”表示一种运算符号，它的含义是：，并且。 （1）请问：等于多少？ （2）计算： 【分析】（1）由题意可知，，解方程求解即可； （2）已知，则，，，，根据分数的裂项可得：，，依次把每个分数进行裂项相消；根据整数乘法的裂项可得：，，依次把每个整数乘法裂项相消，分别计算出抵消后的结果再相加即可。 【解答】解：（1） 答：等于12。 （2） 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 19．如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作。 （1）　　 。 （2）若、、、均为整数，且，，，探究、、之间满足的等量关系，并证明。 （3）小明在研究这种记号时发现一个规律：，，是正整数），请你帮他完成证明。 【分析】先明确新记号的规则：若，则，即表示个连乘的积。 （1）找几个2相乘的结果为8，则就等于几。 （2）再根据新定义得到，，，分别找出几个相同乘数的结果为9、27、243，从而得出、、、的值；观察发现，从而得到，把求出、、、的值，代入进一步得出他们之间的关系。 （3）设出两个记号对应的指数，再根据新定义进行转化为等式，再根据乘方的意义推导指数相等，证明规律成立。 【解答】解：（1）因为，根据定义得。 （2）因为，，， 所以，，， 又因为，，， 所以，，， 又因为， 所以，而， 所以、、之间满足的等量关系为 （3）设， 则 设，， 则， 所以 所以 所以 因为是正整数 所以 即，， 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 20．许元用编程软件编了一个运算程序，运行情况如图所示。 （1）如果输入6，经过运算，会输出 　　 。 （2）如果经过运算程序输出的数是63，则输入的数为 　　 。 （3）如果输入的数是，经过运算程序，输出的数可以表示为 　　 。 【分析】（1）（2）（3）根据输入和数出的数的特点，找到运算规律：输入，输出，并运用规律完成题目即可。 【解答】解：（1） 答：如果输入6，经过运算，会输出35。 （2） 答：如果经过运算程序输出的数是63，则输入的数为8。 （3）如果输入的数是，经过运算程序，输出的数可以表示为。 故答案为：35；8；。 【点评】解答此题的关键是：根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 21．（1）我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：；符号△表示选择在两数中较小数的运算，例如：5△△。计算： （2） （3） （结果可以用阶乘表示，提示：的阶乘记作 【分析】（1）根据符号〇表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案； （2）把原式化为，再用相互抵消法计算； （3）先把原式化为，然后根据进一步化简解答。 【解答】解：（1） （2） （3） 【点评】本题考查了定义新运算、分数的巧算，难度较大，要认真分析，准确计算。 22．对两个自然数和，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为☆，即☆，。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆，求的值。 【分析】（1）求出12和21的最小公倍数和最大公约数，再用最小公倍数减去最大公约数即可解答； （2）由于运算没有直接表达式，解这个方程我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与的最小公倍数不小于，不大于，由此即可得数答案。 【解答】解：（1） 所以12和21的最小公倍数是，最大公约是3。 则12☆ （2）因为6与的最小公倍数不小于，不大于：，而28和33之间，只有30是6的倍数，可见6和的最小公倍数是30， 因此，它们的最大公约数是，由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积这两个数的积”得到： 答：的值是15。 【点评】解答本题的关键是：根据定义新运算，得出新的运算定义，再利用新的运算定义和运算方法，解答即可。第二题可以先确定范围，然后求出的值。 23．对大于0的自然数规定一种运算“”： ①当是奇数时，； ②当是偶数时，等于连续被2除，直到商是奇数： 将次“”运算记作，如（5），（5），（5），（5）。 计算： （1）的值； （2）（9）的值； （3）（9）的值。 【分析】依据题中对运算“”的定义结合题中算式分别去解答。 【解答】解：（1） （2）（9） （9） （9） （9） （9） （3）（9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） （9） 【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 24．材料分析题：对于任意一个四位正整数，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数为“奇迹”数，例如：，因为，，所以2354是一个“奇迹”数；再例如：，因为，但是数位上有同数字，所以3443不是一个“奇迹”数。 （1）请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由。 （2）证明：任意一个“奇迹”数都是11的倍数。 （3）若为“奇迹”数，设，且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数。 【分析】（1）根据“奇迹”数的定义进行判断求解即可； 设“奇迹”数的千位数字为，百位数字为，列式表示进行验证； （3）设“奇迹”数的千位数字为山，百位数字为，进而求出，验证求解。 【解答】解（1）且 是一个“奇迹”数。 （2）设：“奇迹”数的千位数字为，百位数字为，且，则这个四位数可表示为： 任意一个“奇迹”数都是11的倍数。 （3）设“奇迹”数的千位数字为，百位数字为且，则 是14的倍数 ， ，或 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时。 【点评】本题主要考查的是通过题意，利用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 25．我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设和表示非0的整数，如果定义符号“”表示的运算如下： ，那么根据新运算“”的定义，就可以计算如下： 如果定义符号“”表示的运算为：， 则 （1）我们一起来试试，看谁算得又快又准。 设，试计算： ① ② （2）你自己来规定一个新运算，并求出的结果吧。 【分析】（1）根据所给出的式子，得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题。 （2）答案不唯一，合理即可。 【解答】解：（1）① ② （2）（答案不唯一） 设，如。 则 【点评】解决本题的关键是找出新运算方法，再灵活利用新方法计算。 学科网（北京）股份有限公司 $2027年小升初数学模块化思维提升 专题09 定义新运算（解题方法点拨+奥数思维训练） 1、解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 2、我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． 3、新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 1．定义运算※为※，且3※，那么的值是 （　　） A．3 B．6 C．9 D．2 2．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．有一种数学思维游戏，运算规则是：，用数字计算为：，那么，则的值是（　　） A．2 B．6 C．12 D．20 4．对于不同的两个数、，规定如下运算：，则的值为（　　） A．8 B． C． D． 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：△，如果△△，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．现规定“”是一种新的运算，。那么的值为（　　） A．17 B．5 C．210 D．18 7．“、、、”是数学计算时使用的运算符号。小刚自己创造了一个运算符号“△”，表示将两个数求和后再除以2，例如：5△，那么按这个运算方式，318△322的结果是（　　） A．320 B．479 C．431 D．640 8．在数学智力挑战赛创编环节中，思思新定义出了一个数学运算符号“※”。当和是非零自然数，且时，规定※，例如2※，则3※（　　） A．680 B．738 C．777 D．700 9．郑郑用电脑编辑了一个运算程序：，，，则的输出结果是　　。 10．“”是一种新的运算符号，我们规定。那么的运算结果是　　。 11．定义的运算为，则　　 。 12．规定：△，□，如1△，1□，按从左到右的顺序计算，1△2□　　 。 13．如果，，，那么　　 。 14．定义一种新运算“※”，满足，如，那么，6※10的结果是　　 。 15．若，，则的结果是　　 。 16．规定：，，　　 。 17．定义新运算。⊕，若3⊕⊕，求的值，写出运算过程。 18．已知“”表示一种运算符号，它的含义是：，并且。 （1）请问：等于多少？ （2）计算： 19．如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作。 （1）　　 。 （2）若、、、均为整数，且，，，探究、、之间满足的等量关系，并证明。 （3）小明在研究这种记号时发现一个规律：，，是正整数），请你帮他完成证明。 20．许元用编程软件编了一个运算程序，运行情况如图所示。 （1）如果输入6，经过运算，会输出 　　 。 （2）如果经过运算程序输出的数是63，则输入的数为 　　 。 （3）如果输入的数是，经过运算程序，输出的数可以表示为 　　 。 21．（1）我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：；符号△表示选择在两数中较小数的运算，例如：5△△。计算： （2） （3） （结果可以用阶乘表示，提示：的阶乘记作 22．对两个自然数和，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为☆，即☆，。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆，求的值。 23．对大于0的自然数规定一种运算“”： ①当是奇数时，； ②当是偶数时，等于连续被2除，直到商是奇数： 将次“”运算记作，如（5），（5），（5），（5）。 计算： （1）的值； （2）（9）的值； （3）（9）的值。 24．材料分析题：对于任意一个四位正整数，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数为“奇迹”数，例如：，因为，，所以2354是一个“奇迹”数；再例如：，因为，但是数位上有同数字，所以3443不是一个“奇迹”数。 （1）请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由。 （2）证明：任意一个“奇迹”数都是11的倍数。 （3）若为“奇迹”数，设，且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数。 25．我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设和表示非0的整数，如果定义符号“”表示的运算如下： ，那么根据新运算“”的定义，就可以计算如下： 如果定义符号“”表示的运算为：， 则 （1）我们一起来试试，看谁算得又快又准。 设，试计算： ① ② （2）你自己来规定一个新运算，并求出的结果吧。 学科网（北京）股份有限公司 $