1.3.2 空间向量运算的坐标表示（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示及应用，涵盖平行、垂直条件，模、夹角及距离公式。通过复习平面向量坐标运算的填空导入，引导学生类比推广至空间，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以类比推理构建知识体系，通过“建系-求坐标-向量运算-几何关系”三步曲培养数学语言表达能力，典例中正方体垂直证明体现用数学眼光分析空间问题。小结结构化梳理知识与思想，帮助学生掌握转化方法，为教师提供系统教学资源提升效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 （第一课时） 学习目标 1.理解空间向量的坐标表示. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用. 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题. 复习导入 你还记得平面向量的坐标运算吗？它们能否推广到空间向量呢？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究1——空间向量运算的坐标表示 设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 4 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究2——空间向量的平行、垂直及模、夹角 设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<，>== 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究3——空间中两点间距离公式 设空间任意两点(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，则 ①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1). 向量坐标等于终点坐标减起点坐标. ②空间两点距离公式：｜ ｜= 【注】点A(x，y，z)到原点O的距离 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 典例分析 例1 已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，则向量2a-3b的坐标为(　　) A.(0，4，-11) B.(12，16，7) C.(0，16，-7) D.(12，16，-7) A 分析：∵a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)， ∴2a-3b=(6，10，-2)-(6，6，9)=(0，4，-11). 故选A. 巩固练习 1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝2a，则点B的 坐标为（　D　） A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） 解析：∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，8，24）. ∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0）， ＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24）， ∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D. D 巩固练习 2.已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ） 的点P的坐标为 ⁠. （5， ，0） 典例分析 典例分析 例3 如图所示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E， F分别是BB1， D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 敲黑板 向量平行、垂直的应用： （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 典例分析 例4 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1， F1分别在棱A1B1， C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 如何转化为向量问题求解呢？ 你能想到什么？ 典例分析 (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 问题引领，深入思考 思考： 不一定，它们的取值范围不同 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 课堂小结 3.用坐标法解决立体几何问题的“三步曲” 回到图形问题 化为向量问题 进行向量运算 4.数学思想 转化与化归 类比 2.空间向量坐标运算的应用 计算问题 位置关系 垂直 平行 夹角 长度 1.空间向量运算的坐标表示 加减、数乘、数量积 当堂检测 1. 〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列 结论正确的是（　 　） A. a＋b＝（7，－5，0） B. a－b＝（5，－1，4） C. a·b＝8 D. ｜a｜＝ A、C 当堂检测 2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( ) D A 当堂检测 4.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ， AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE. 当堂检测 证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（ ， ，0），（0，0，1）. ∴ ＝（－ ，－ ，1）. 又点A，M的坐标分别是（ ， ，0）， （ ， ，1），∴ ＝（－ ，－ ，1）. ∴ ＝ .又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 例2 已知空间三点A(-2，0，2),B(-1，1，2),C(-3，0，4)，设a=，b=. 若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k. 3.若向量a=(1,λ,1),b=(2,-1,-2),且向量a与b夹角的余弦值为,则λ=(　　) A.- B. C.- D.2 A.1 B. C. D. $