2.5.2 圆与圆的位置关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，涵盖位置关系判断、相交及相切问题。课堂导入通过日环食情境类比直线与圆的研究方法，衔接平面几何知识，构建从直观到定量的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，结合直观想象（位置关系图示）、逻辑推理（几何法优先判断）和数学运算（例5分类讨论半径与圆心距关系）。通过曲线系方程拓展及小结梳理公切线等知识，帮助学生提升数学思维，为教师提供系统教学资源。

2.5.2　圆与圆的位置关系 第二章　直线和圆的方程 1 课标要求 1.了解圆与圆的位置关系（直观想象）. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法（逻辑推理、数学运算）. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题（数学运算）. 情境导入 　前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，能否定量计算研究圆与圆的位置关系？ 目 录 CONTENTS 知识点一　圆与圆的位置关系的判断 知识点二　两圆相交问题 知识点三　两圆相切问题 小结与自测 课时作业 教材挖掘　曲线系方程 知识点一　圆与圆的位置关系的判断 目录 5 问题　如图为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程. 根据如图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 提示：有三种，分别为相交、相切（含外切与内切）和相离（含外离与内 含）. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（ ＋ －4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（ ＋ －4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位 置关系如下： 数学·选择性必修第一册 目录 方程组解的个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 提醒：利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程组无解或一解时，无法 判断两圆的位置关系. 数学·选择性必修第一册 目录 2. 几何法：若两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置 关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示 外离 0 d＞ ⁠ 内含 d＜ ⁠ r1＋r2　 ｜r1－r2｜　 数学·选择性必修第一册 目录 位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示 相交 2 ＜d＜ ⁠ ⁠ 内切 1 d＝ ⁠ 外切 d＝ ⁠ ｜r1－r2｜　 r1 ＋r2　 ｜r1－r2｜　 r1＋r2　 数学·选择性必修第一册 目录 提醒：（1）在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法；（2）当两圆外 离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公 切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P96例5）已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞ 0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆 C1，C2的位置关系为： （1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 数学·选择性必修第一册 目录 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16， C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴｜C1C2｜＝ ＝a. （1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 判断两圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进 行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解 的个数进而判断两圆的位置关系. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切 线有（　C　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心 C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝ ＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故 选C. C 数学·选择性必修第一册 目录 （2）（2026·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共 点，则r的取值范围是 ⁠. 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心 之间的距离为 ＝ .因为两圆有公共点，所以｜r－1｜ ≤ ≤r＋1，所以 －1≤r≤ ＋1. [－1， ＋1] 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　两圆相交问题 目录 17 问题　将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋ F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意 义？ 提示：两方程相减得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0（*），它 代表两圆的公共弦所在直线方程. 几何意义：设A（x1，y1），B（x2，y2）为两圆交点，则A，B坐标满足 （*）式，那它就代表一条过A，B的直线，即公共弦方程. 数学·选择性必修第一册 目录 已知圆C1：x2＋（y＋1）2＝4和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0. （1）求证：圆C1和圆C2相交； 解：证明：根据题意，圆C1：x2＋（y＋1）2＝4的圆心为C1（0，－1）， 半径r1＝2. 圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0， 即（x－2）2＋（y－1）2＝4， 圆心为C2（2，1），半径r2＝2， 所以圆心距d＝ ＝2 ，因为r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2 相交. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 解：将两圆方程相减，有x＋y－1＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x ＋y－1＝0，圆心C1（0，－1）到x＋y－1＝0的距离为 ＝ ， 故公共弦的长为2× ＝2 . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公 式求出弦长； （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦 心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　已知圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：x2＋y2＋6x＝0相交于A，B两 点，则四边形AO1BO2的面积是（　　） A. B. 2 C. 4 D. 解析：　将两圆方程相减，得直线AB的方程为6x＝－4，即x＝－ ，所 以｜AB｜＝2 ＝ .因为｜O1O2｜＝3，所以四边形AO1BO2 的面积是S＝ ｜AB｜·｜O1O2｜＝4 . √ 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　两圆相切问题 目录 23 问题　对于问题2，若两圆相切时，两圆方程相减，该式子有什么意义？ 提示：两圆相切时，式子为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程. 数学·选择性必修第一册 目录 与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－ ）的圆的 方程为 ⁠. （x－4）2＋y2＝4 解析：因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为（a，0），半径 为r，则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－ 2x＝0外切，且过点（3，－ ），所以 解得 所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4. 数学·选择性必修第一册 目录 变式　与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ y＝0相切于点M（3，－ ）的圆的方程为 　（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4 ）2＝36　. （x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4 ）2＝36 解析：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），∵所求 圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且圆x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），半径 为1，∴ ＝r＋1①.又所求圆与直线x＋ y＝0相切于 点M（3，－ ），故 ＝ ②，且 ＝r③.由①②③ 得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4 ，r＝6.故所求圆的方程为（x －4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4 ）2＝36. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 处理两圆相切问题的策略 （1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须 考虑两圆内切还是外切； （2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径 之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（1）若圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：（x－4）2＋（y－3）2＝m外 切，则m的值是（　C　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 解析：圆C1：x2＋y2＝9，则圆心C1（0，0），半径r1＝3；圆C2：（x－ 4）2＋（y－3）2＝m，则圆心C2（4，3），半径r2＝ ，则｜C1C2｜ ＝ ＝5＝r1＋r2＝3＋ ，则 ＝2，解得m＝4. C 数学·选择性必修第一册 目录 （2）以点C（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝1相切的圆的方程 为 ⁠. 解析：由圆x2＋y2＝1，可得圆心坐标为（0，0），半径为1，设所求圆的 半径为r（r＞0），可得 ＝r＋1或 ＝｜r －1｜，解得r＝4或r＝6，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝16 或（x－3）2＋（y＋4）2＝36. （x－3）2＋（y＋4）2＝16或（x－3）2＋（y＋4）2＝36 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 30 数学·选择性必修第一册 目录 1. 两圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4和（x－3）2＋（y＋6）2＝64的位置关 系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 解析：　圆心距d＝10＝R＋r，所以两圆外切. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. （2026·温州月考）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2 ＝m2（m＞0）内切，则实数m的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：　C1：x2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0）， 所以C1（0，0），r1＝1，C2（3，－4），r2＝m.因为圆C1与圆C2内切， 所以｜C1C2｜＝｜r1－r2｜，即5＝｜1－m｜，因为m＞0，所以m＝6.故 选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. （2026·郑州高二月考）半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－ 3）2＝1内切，则此圆的方程是（　　） A. （x－4）2＋（y－6）2＝6 B. （x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6 C. （x－4）2＋（y－6）2＝36 D. （x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36 解析：　由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意， 得 ＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程 为 ；公共弦长为 ⁠. 解析：由 方程相减，得x－y＋2＝0，即为 两圆公共弦所在的直线方程.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距 离为 ＝ .由勾股定理得弦长的一半为 ＝ ，所以所求弦长为 2 . x－y＋2＝0 2 数学·选择性必修第一册 目录 教材挖掘　曲线系方程 目录 36 曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方 程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有 曲线，其中最简单的是具有某种性质的圆系方程. 1. 以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2 （λ≠0）. 2. 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝ 0（D2＋E2－4λ＞0）. 3. 过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－ a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）. 数学·选择性必修第一册 目录 4. 过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆 系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）. 5. 过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2 ＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋ F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－ 1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直 线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1 －E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程. 数学·选择性必修第一册 目录 【迁移应用】 1. 求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线 x－y－4＝0上的圆的方程. 解：设过两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28） ＝0， 整理得（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0. ∴圆心的坐标为（－ ，－ ）. 又圆心在直线x－y－4＝0上，∴－ ＋ －4＝0，解得λ＝－7. 代入圆系方程得x2＋y2－x＋7y－32＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 2. 求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小 的圆的方程. 解：过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可 设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R）， 即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋ ）2＝ λ2－4λ＋4， 圆的半径为 ＝ 数学·选择性必修第一册 目录 ＝ ，故当λ＝ 时对应圆的半径最小，且最小半径为 . 所以所求圆的方程为（x＋ ）2＋（y－ ）2＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：45分钟　满分：85分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 42 1. 圆O：x2＋y2＝2与圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的位置关系为 （　　） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 解析：　因圆O：x2＋y2＝2的圆心为O（0，0），半径为r1＝ ，圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的圆心为M（－1，1），半径为r2＝2 ，又｜OM｜＝ ＝ ，所以｜OM｜＝r2－r1，所以圆O与圆M内切，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂 直平分线的方程是（　　） A. x＋y＋3＝0 B. 2x－y－5＝0 C. 3x－y－9＝0 D. 4x－3y＋7＝0 解析：　AB的垂直平分线过两圆的圆心（2，－3）和（3，0），则方程 为3x－y－9＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知圆O：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圆P：x2＋（y－1）2＝4，两圆上 分别有动点M，N，则｜MN｜的最大值为（　　） A. 5－ B. 5＋ C. 8 D. 2 解析：　易知圆O：（x－1）2＋（y＋2）2＝9，圆心为O（1，－2）， 半径为3，圆P的圆心为P（0，1），半径为2，故两圆的圆心距为 ＝ ，故｜MN｜的最大值为3＋2＋ ＝ 5＋ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 4. （2026·厦门期中）若圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2 ＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（　　） A. （－13，3） B. （3，5） C. （－∞，5） D. （－∞，3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，配方得（x－1）2＋（y＋2）2＝5 －m，所以5－m＞0⇒m＜5，所以C1（1，－2），半径r1＝ ，由 x2＋y2＋2x－1＝0⇒（x＋1）2＋y2＝2，所以C2（－1，0），半径r2＝ ，因为圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有 两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1 ＋r2，得｜ － ｜＜ ＜ ＋ ， 化简，得 ＜ ＜3 ，解得－13＜m＜3，而m＜5，所以实数m 的取值范围为（－13，3），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 5. 若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相 切，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆 C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相 切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥ BC2，∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相 切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　） A. 5 B. 3 解析：圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的圆心在x轴上，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝ ，解得a＝－1或a＝ ，当a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3，当a＝ 时，半径为｜ －2｜＝ .故选B、D. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0， 则（　　） A. 圆O2与x轴相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1＝0 C. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D. 两圆的公切线段长为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 解析：圆O1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为O1（1，0），半 径r1＝1，圆O2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为O2 （－1，2），半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故 A正确；对于B，易知两圆相交，将方程x2＋y2－2x＝0与x2 ＋y2＋2x－4y＋1＝0相减，得公共弦所在直线的方程为4x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于D，因为｜O1O2｜＝2 ，r2－r1＝1，所以公切线段长为 ＝ ，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 8. 求以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 ⁠ ⁠. 解析：设所求圆的半径为r，则 ＝｜8－r｜，∴r＝3或r ＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋ 4）2＝169. （x－ 3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 9. 若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A， B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为 ⁠. 解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝ ，｜O1A｜＝2 ，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝ ＝2，∴｜AB｜＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋ 2x＝0. （1）当m＝0时，判断圆C1和圆C2的位置关系； 解：当m＝0时，圆C1的标准方程为x2＋（y＋2）2＝9，则圆心C1为（0，－2），半径r1＝3，圆C2的标准方程为（x＋1）2＋y2＝1，则圆心C2为（－1，0），半径r2＝1，所以两圆的圆心距d＝ ＝ ， 又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2， 故圆C1和圆C2相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 （2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？ 解：不存在.理由如下： 圆C1的方程可化为（x－m）2＋（y＋2）2＝9，则圆心C1为（m，－ 2），半径r1＝3，圆C2的圆心C2为（－1，0），半径r2＝1. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d1＝ ＜3－1，即（m＋1）2＜0，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 11. 已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0上，且｜ OP｜＝1，则a的取值范围为（　　） A. [－3，－1] B. [1，3] C. [－3，－1]∪[1，3] D. [－3，＋∞） 解析：　圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0可化为（x－a）2＋y2＝4，由｜ OP｜＝1，可知点P在圆x2＋y2＝1上，所以问题等价于圆x2＋y2＝1与圆C 有交点，所以2－1≤｜a｜≤2＋1，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 12. 设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的 距离｜C1C2｜＝（　　） A. 4 B. 4 解析：　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），所以 两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为（x1， x1），（x2，x2），则（4－x1）2＋（1－x1）2＝ ，（4－x2）2＋（1－ x2）2＝ ，即x1，x2是方程（x－4）2＋（x－1）2＝x2的两根，即x1，x2 是方程x2－10x＋17＝0的两根.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以｜C1C2｜ ＝ ｜x1－x2｜＝ · ＝8. C. 8 D. 8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 13. （15分）已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：（x－1）2＋（y－2）2＝r2 （r＞0），直线l：x＋2y＝0. （1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值； 解：由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1（0，0），半径r1＝2， 又由圆C2：（x－1）2＋（y－2）2＝r2（r＞0）， 可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0， 两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0. 因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4， 所以此时公共弦过圆心C1（0，0）， 即r2＝9（r＞0），解得r＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 （2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程. 解：设过圆C1与圆C2的交点的圆系方程为（x－1）2＋（y－2）2－1＋λ（x2＋y2－4）＝0（λ≠－1），即（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2－2x－4y＋ 4（1－λ）＝0， 所以（ x－ ）2＋（ y－ ）2＝ ， 由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径， 可得 ＝ ，解得λ＝1， 故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 目录 $