专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

**基本信息** 高一上期中指数函数与对数函数专题试题汇编，精选河南南阳、北京丰台等多地期中真题，覆盖指数运算、函数性质及实际应用，基础题与综合应用题梯度分明，如企业利润计算、仓储费用优化等情境题体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|指数函数单调性、对数大小比较|含福建南平多选题考查图像性质，辽宁丹东题结合奇偶性| |填空|7题|指数对数运算、函数过定点|浙江杭州题考查单调递增区间，福建南平题涉及残留量计算| |解答|14题|函数奇偶性、不等式恒成立、实际应用|河南南阳题探究奇偶性与不等式有解，云南昆明题以仓储费模型考最值，湖北黄冈题结合企业生产求利润函数|

专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．C 2．【答案】 【分析】 利用根式与有理数指数幂关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】 . 故答案为： 3．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数运算直接化简即可； （2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得； （3）已知条件平方求出，然后再次平方可得. 【详解】 （1）（或）. （2）. （3）因为，所以，即. 因为，所以 考点02 指数函数 1．B 2．D 3．AD 4．A 5．B 6．C 7．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以数且的图象必经过点. 故答案为：. 8．【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. (2) 小问详解： 不等式可化为，即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 考点03 对数 1．B 2．D 3．【答案】（1）；（2）10 【分析】 （1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 （1）原式 . （2）因为，所以， 则， 又， 所以， 故. 4．【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．【答案】.5 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】 ，， ， ． 故答案为：． 6．【答案】3 【分析】 利用对数运算法则及换底公式即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 7．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可； （2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）.            . （2）因为，所以，所以， 则， ， 所以. 8．【答案】（1）     （2）10      【分析】 （1）由指数幂的运算可； （2）由对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式 考点04 对数函数 1．B 2．D 3．B 4．ABC 5．【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 6．【答案】 【分析】 先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】 当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．C 3．AC 4．C 5．A 6．C 7．【答案】（1）     （2）应该把仓库建在距离车站5千米，费用最小为万元      【分析】 （1）由题意可设，，由于时，，代入求解即可； （2）由基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意可设，，由于时，， 所以代入解得：，， 所以. 故：. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即等号成立. 应该把仓库建在距离车站千米，费用最小为万元. 8．【答案】（1），     （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元      【分析】 （1）利用待定系数法求得，根据图② 的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. (1) 小问详解： 由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． (2) 小问详解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 9．【答案】（1），；     （2）当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.      【分析】 （1）根据题意得到方程，求出，从而得到，并求出的解析式； （2）在（1）的基础上，变形后由基本不等式求出最值，得到答案. (1) 小问详解： 由题意得，当时，，解得， 所以，故，； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元. 10．【答案】（1）     （2）当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元      【分析】 （1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案. (1) 小问详解： 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以 ； (2) 小问详解： 当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990， 所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 11．【答案】（1）工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式分别为，且；     （2）工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元.      【分析】 （1）根据已知，设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则，应用待定系数法求参数，即可得； （2）根据已知及（1）有运费与仓储费之和且，应用基本不等式求其最小值，即可得结论. (1) 小问详解： 设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意，设， 时，，则 ，解得 ， ，且； (2) 小问详解： 设运费与仓储费之和为万元，由（1）且， 因，由， 当且仅当，即时，取得最小值，最小为12万元， 所以工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元. 12．【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 13．【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 14．【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】 结合指数运算法则与基本不等式计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用根式与有理数指数幂关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】 . 故答案为： 3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数运算直接化简即可； （2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得； （3）已知条件平方求出，然后再次平方可得. 【详解】 （1）（或）. （2）. （3）因为，所以，即. 因为，所以 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设甲：；乙：，则（       ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】 由指数函数单调性得到，但不能保证两者非负，故充分性不成立，必要性成立，得到答案. 【详解】 ，但不一定得到，例如为负数，充分性不成立， ，必要性成立， 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B 2．（2026·辽宁丹东·调研）下列函数中在定义域上是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用幂函数的图象性质可以判断AD；利用指数函数图象可以判断B；利用二次函数图象可以判断C. 【详解】 对于A，根据幂函数的图象性质可得，在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数图象可得，为减函数，故B错误； 对于C，由二次函数图象可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，由幂函数的图象性质可得为增函数，故D正确. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断. 【详解】 当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到， 如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件， 故选：AD. 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用分段函数的单调性进行求解即可． 【详解】 若在上为增函数， 则满足 ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 5．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）使得不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 确定已知不等式的充要条件，分别求解四个选项得不等式，结合充分不必要条件判断即可得结论. 【详解】 使得不等式成立充要条件为且， 若，则可得或或； 若，则； 若，则； 若，则且； 综上可得，得不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 由不等式恒成立，得恒成立，从而求得. 【详解】 因为函数是增函数，所以当时，；当时，；当时，. 所以不等式恒成立，等价于恒成立. 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数且的图象必经过点　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以数且的图象必经过点. 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. (2) 小问详解： 不等式可化为，即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】B 【分析】 根据对数的运算性质计算即可求解. 【详解】 . 故选：B 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知是奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用奇函数性质求出时的解析式，再利用对数的性质求解即可. 【详解】 若，可得， 因为是奇函数，所以， 可得， 则，故D正确. 故选：D 3．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）计算：. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）10 【分析】 （1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 （1）原式 . （2）因为，所以， 则， 又， 所以， 故. 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）计算　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】 ，， ， ． 故答案为：． 6．（2026·辽宁丹东·调研）　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用对数运算法则及换底公式即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可； （2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）.            . （2）因为，所以，所以， 则， ， 所以. 8．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）10      【分析】 （1）由指数幂的运算可； （2）由对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式 考点04 对数函数 1．（2026·辽宁丹东·调研）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论. 【详解】 因为，又在上单调递增， 又，所以， 又，可得. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知，则实数的大小顺序为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】 由函数单调递增， 则， 由单调递增， 则， 由单调递减， 则，即， 所以. 故选：B. 4．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若的反函数为，则（     ） A.  B.  C. 是单调递减函数 D. 的递增区间为 【答案】ABC 【分析】 对于选项：由得反函数，可计算的值；对于选项：由和，可估算出和的取值范围，从而判断出大小关系；对于选项：为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的单调性；对于选项：为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的递增区间； 【详解】 解：因是的反函数，故，定义域为：； 对于选项：，故选项A正确； 对于选项：，，所以，故选项B正确； 对于选项：对于复合函数，定义域为，单调递增，单调递减，根据同增异减的原则，所以单调递减，故选项C正确； 对于选项：的定义域为，因单调递增，在单调递减，在上单调递增，根据同增异减的原则，所以的递增区间为，故选项D错误； 故选：. 5．（25-26学年高一上·福建南平·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 6．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数 ，若，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】 当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 【答案】B 【分析】 把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据零点存在定理求解即可. 【详解】 因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 【答案】AC 【分析】 根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D. 【详解】 对于A，由，得，所以A正确. 对于B，若，则，解得，所以B错误. 对于C，若，则 ，解得，所以C正确. 对于D，因为，，所以. 由，得或. 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 4．（2026·北京房山·一模）函数的零点所在的区间（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】 函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 5．（2026·辽宁丹东·调研）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据零点存在定理求解即可. 【详解】 解：因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在性判定，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据函数解析式求解可得，结合对称性可得函数关于对称，从而由零点的唯一性可得的值. 【详解】 因为， 则， 则函数关于对称， 要使得函数的图象与轴有且只有一个交点，根据对称性可得， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站20 km处建仓库，则和分别为1万元和16万元，设两项费用之和为S（单位：万元）. （1）写出S关于x的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使S最小？并求出最小值. 【答案】（1）     （2）应该把仓库建在距离车站5千米，费用最小为万元      【分析】 （1）由题意可设，，由于时，，代入求解即可； （2）由基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意可设，，由于时，， 所以代入解得：，， 所以. 故：. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即等号成立. 应该把仓库建在距离车站千米，费用最小为万元. 8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1），     （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元      【分析】 （1）利用待定系数法求得，根据图② 的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. (1) 小问详解： 由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． (2) 小问详解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 9．（2026·北京房山·一模）为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． （1）求的解析式； （2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】（1），；     （2）当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.      【分析】 （1）根据题意得到方程，求出，从而得到，并求出的解析式； （2）在（1）的基础上，变形后由基本不等式求出最值，得到答案. (1) 小问详解： 由题意得，当时，，解得， 所以，故，； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元. 10．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且 ，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 【答案】（1）     （2）当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元      【分析】 （1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案. (1) 小问详解： 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以 ； (2) 小问详解： 当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990， 所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 11．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比例，仓储费与运费与工厂和仓库之间的距离成反比例，当工厂和仓库之间的距离为6km时，运费为18万元，仓储费为2万元. （1）分别求出工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式； （2）当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 【答案】（1）工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式分别为，且；     （2）工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元.      【分析】 （1）根据已知，设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则，应用待定系数法求参数，即可得； （2）根据已知及（1）有运费与仓储费之和且，应用基本不等式求其最小值，即可得结论. (1) 小问详解： 设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意，设， 时，，则 ，解得 ， ，且； (2) 小问详解： 设运费与仓储费之和为万元，由（1）且， 因，由， 当且仅当，即时，取得最小值，最小为12万元， 所以工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元. 12．（25-26学年高一上·四川成都·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 13．（25-26学年高一上·福建南平·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 14．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则 ，即 ， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）　　　　　　　． 3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设甲：；乙：，则（       ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2026·辽宁丹东·调研）下列函数中在定义域上是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）使得不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数且的图象必经过点　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知是奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 3．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）计算：. （2）已知，求的值. 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）计算　　　　　. 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）计算：　　　　　　　　　　． 6．（2026·辽宁丹东·调研）　　　　　. 7．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 8．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 考点04 对数函数 1．（2026·辽宁丹东·调研）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知，则实数的大小顺序为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若的反函数为，则（     ） A.  B.  C. 是单调递减函数 D. 的递增区间为 5．（25-26学年高一上·福建南平·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 6．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数 ，若，则的取值范围是　　　　　　　． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 2．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 4．（2026·北京房山·一模）函数的零点所在的区间（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·辽宁丹东·调研）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 7．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站20 km处建仓库，则和分别为1万元和16万元，设两项费用之和为S（单位：万元）. （1）写出S关于x的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使S最小？并求出最小值. 8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 9．（2026·北京房山·一模）为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． （1）求的解析式； （2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 10．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且 ，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 11．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比例，仓储费与运费与工厂和仓库之间的距离成反比例，当工厂和仓库之间的距离为6km时，运费为18万元，仓储费为2万元. （1）分别求出工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式； （2）当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 12．（25-26学年高一上·四川成都·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 13．（25-26学年高一上·福建南平·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 14．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $