专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统梳理全等三角形两大核心模型，将倍长中线（中线型、中点型、中点+平行线型）和截长补短（截长法、补短法）按“模型提炼-证明-运用”逻辑呈现，用表格归纳全等判定、角度性质等知识储备，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，B组提升题结合中点与角平分线综合构造，C组压轴题融入几何最值，如倍长中线求中线取值范围、截长补短证线段和差，培养推理意识与几何直观。易错点总结辅助线规范表述等技巧，助力不同层次学生提升，为教师精准分层教学提供支持。

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 倍长中线与截长补短是初中全等几何两大压轴核心模型，区别于基础全等判定，属于几何构造类高阶模型，是区分普通学生和尖子生的核心考点。模型贯穿全等三角形、三角形综合、中考几何填空压轴、解答证明大题，是线段关系证明、线段和差最值、不等关系推导的必备工具。两大模型核心本质：通过辅助线构造全等三角形，实现线段、角度的等量转移，破解题目中线段分散、条件不足的问题。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.倍长中线模型 2 模型2.截长补短模型 11 【易错点与方法总结】 19 【模型运用】 20 A组（基础题） 20 B组（提升题） 31 C组（综合压轴题） 39 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 1.基础全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS（倍长中线核心用 SAS）； 2.角度性质：对顶角相等、角平分线定义、平行线内外错角、特殊角（45°、60°、90°）； 3.线段性质：中点定义、线段和差、三角形三边关系； 4.特殊图形性质：等腰三角形、直角三角形、正方形、平行四边形基础性质。 模型1.倍长中线模型 【模型提炼与证明】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ．（2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】【问题情境】（1）；（2）；【初步运用】：见解析 【详解】解：（1）由作图知；∵边上的中线为，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：中，， 由（1）可知：，∴， ∵，∴，在中，由三角形三边之间的关系得：， 即，∴， ∴边上的中线的取值范围是：，故答案为：； 【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 【典例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1）平行；（2）（3） 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得．故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，，∴，∴，． ∵平分，∴，∴． ∵，∴，∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点，∴．∵，，∴，∴． ∵，平分，∴， ∴，，∴， 设，则，，故． 由，解得，∴． 【典例3】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】(3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1)(2) （3）见解析 【详解】（1）解：∵是的中线，∴， 在和中，∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中，∴，∴， ∵，∴在，根据三角形三边关系得，∴， ∴，∴，∵，∴． (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接，∴， 在和中，∴， ∴，，∵，∴， 在中，根据三角形内角和，∴， ∴，∵，∴， ∵，， ∴，∴，∵，∴在和中， ，∴，∴，∵，∴． 【典例4】（25-26七年级下·山东济南·期末）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． (1)【思考发现】如图①，的理由是 ； A．      B．     C．     D． (2)【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； (4)【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 【答案】(1)B；(2)或或或；（3）见解析 (4)8 【详解】（1）解：是边上的中线，， 在与中，，； （2）解：，，，， 在中，∴， 边的长度为奇数，且，的长可能为或或或； (3)解：，理由如下：延长至点使，连接，如图， 是边上的中线，， 在与中，，，，， ，，，，，； （4）解：延长至点使，连接，如图， 是边上的中点，，在与中， ，，，，， ，，， ，，即，， 在与中，，，，， ，，，， ∴，即，． 【典例5】（25-26八年级上·江西上饶·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】（1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】（2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线．①求证：；②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3）①见解析；②42 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中，． 在中，由三角形三边关系可得 ，即，，故答案为：；； （2）．理由如下：如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得，． ，，即． ，．． 在和中，．，． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ，．，， ，．在和中，． ，．在和中，． ，即，，； ②，由①可知，． ，．，， ． 模型2.截长补短模型 【模型提炼与证明】 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】(1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】(2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)，理由见详解(2)，理由见详解(3)不成立， 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的角平分线，∴， ∵，，∴，∴，,, ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，故； （2）解：，理由如下，如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线，∴， ∵，，∴，∴，,， ∵，∴，， 则，故； （3）解：不成立，，理由如下，如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线，∴， ∵，，∴，∴，,， ∵，∴， ∴，则，故． 【典例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； 方法2：延长到，使，连接， 平分，，在和中， ，，，， ，，，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，，． 方法：理由：延长到，使，连接，由（1）知， ，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为．连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 【典例3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴；∴∴； （2）解：，理由如下：延长，交延长线于点，如下图： 由（1）得，∵∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴； （3）解：∵，∴ ∴四边形的面积等于的面积，由（1）可得，∴， ∴． 【典例4】（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明：如图2，平分， ， ，，，，， ，，，， ，，，． （2），，辅助线如图3 （3），证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，，， 在与中，，，， ，，，即， 在与中，，，， ，． 模型常见易错点 1）方法选错丢分：优先用截长法（简单、步骤少），短线段交叉、角度特殊时再用补短法，切勿盲目补短； 2）截取位置错误：必须在最长线段上截取，短线段截取无法完成证明，属于思路性错误； 3）特殊角不会用：45°、60°、90°、角平分线是截长补短的关键条件，不会结合角度构造全等是主要难点； 4）辅助线表述错误：禁止直接写 “倍长中线”（阅卷扣分重点），标准表述：延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE； 5）模型滥用：无中点条件强行倍长中线，仅题干含中点、平分线段、中线三大条件才可使用； 6）全等条件遗漏：倍长后只记得边相等，忽略对顶角相等，导致 SAS 全等证明缺条件； 7）结论不会迁移：只会证线段相等，不会利用平行、角度转移解决角度计算问题。 解题方法总结 1）中点+线段和差综合：当题干同时出现【中点】和【线段和差求证】，需先倍长中线转移线段，再用截长补短证明和差关系，是期末、模考、中考高频压轴。 2）角平分线+中点综合：角平分线触发截长补短，中点触发倍长中线，双重模型结合考察综合构造能力。 3）几何最值综合：利用倍长中线转化线段，结合截长补短化简线段和，求解将军饮马、线段最值问题。 1．（25-26·江苏·八年级期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 【答案】180°-2x 【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示， 在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC, ∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°， ∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°， ∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x 2．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，在上取点E，使得，在与中， 平分，，，，， ，，，； （2）解：延长到点F，使得，连接， ，，为边上的中线， ， ，，，， 在中，，． 3．（25-26广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析 【详解】 理由是：过作于 ∵CE为角平分线 同理可证 成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线    又 又是角平分线 4.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； 5.（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 6.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明见解析 【详解】（1）是中线，， 在和中，；故答案为：B； （2）由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，；故答案为：A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接，是中线，， 在和中，，，， ，，，， ，． 7．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下：证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中，， 在中，，． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题：(1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见详解 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，如图所示：，是中线，， 在和中，，∴，， 在中，由三角形三边关系可得， ，，即，，∴，故答案为：； （2）解：与的数量关系为． 理由如下：延长至点，使，连接，如图所示：是中线，， 在和中，，∴， ，，， ，，， 又，，，，． 1．（25-26·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点，∴，在与中，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，  设，∵， ∴，解得，即．故答案为： 2．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】(3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【详解】（1）解：∵是的中线，∴， 在和中，∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中，∴，∴， ∵，∴在，根据三角形三边关系得， ∴，∴，∴， ∵，∴． (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，在中，根据三角形内角和， ∴，∴， ∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴在和中，，∴，∴， ∵，∴． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1)(2)猜想，证明见解析 (3)，，证明见解析(4) 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线，∴， ∵，，∴，∴， 在中，， ∴，即∴；故答案为：； （2）解：猜想，证明如下：由（1）得：， ∴，，∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明，∴，∵，∴， 由（2）得：，∴， ∵，∴（周角的定义），∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴； ∵，∴，∴， ∴，∴；∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，，∴ ∴，∴， 又∵，，∴；同理可证明， ∴，∴． 4．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B（2）C（3）见解析 【详解】（1）解：延长到，使，连接，如图1， ∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴，故选：B； （2）解：由（1）知，∴， ∵，,即，∴， ∵，∴，故选：C； （3）证明：延长到点，连接，如图， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，又，∴， ∵，∴， 而，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 5.（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________． (2)如图3，，则的取值范围是___________； (3)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，三角形任意两边之和大于第三边(2)(3)，见解析 【详解】（1）依据1：；依据2：三角形任意两边之和大于第三边； 故答案为：，三角形任意两边之和大于第三边； （2）解：如图，延长至，使，连接，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（），∴ 在中，， ∴，即， ∴；故答案为：； （3）与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线，∴，在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴． 6.（25-26八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边(2) 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，，在和中，， ，，，，， 是的一个外角，，，（等角对等边）， ，．故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得， ，， 在和中，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，，． 7.（25-26广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析． 【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB． ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD． ∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED． ∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE； （2）猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG． ∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD． 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、∵，∴， ∴，∴； （3）解：作N关于的对称点，由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【详解】解：（1）①∵是的中线，∴， 在和中，∵，∴，故答案为：； ②由可得， 又，∴在中，由三边关系可得：，即， 又，故．故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中，∵，∴．∴， 又∵，∴， ∵，由外角定理得：，∴． 在和中，∵，∴．∴．故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中，∵，∴． ∴，∴． ∵，∴．又，∴， 又∵，∴为等边三角形，， 从而，∴， 在和中，∵，∴．∴， 又∵，∴， 故为等边三角形，∴． 设点F到的距离为，∵面积为16.8，∴， ∴，即点F到的距离为． 3.（25-26八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．        B．        C．        D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】(3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】(1)B(2)C(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：（1）在和中，，； （2）由（1）可得：，， 中，，由三边关系得：，； （3）延长到，使，连接， 是的中线，， 在和中，，，， ，， ，，，即； （4）证明：如图所示，延长到H，使得，连接， 同理，∴，∵，∴， ，∴，∴， 在中，，∴． 4.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】（2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【详解】解：（1）∵是的中线，， 在和中，，，， 在中，，， ，故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图：    ，，， 在和中，，，，， ，∴垂直平分，，，； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，，， 平分，，，，点G是的中点，， 在和中，，，，， ，，即，，， ，． 5.（25-26七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点． （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【详解】（1）为边上的中线，， 在和中     ，， ，，即， ，，，故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ，（同旁内角互补，两直线平行），，， 为的中点，，，， 又，，即， 在和中， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、       由（1）同理易知，，， ，且， ，，， ，，，， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，， ，， 和互余，，， ，， ， 又，，故答案为： 6.（25-26八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    【答案】问题背景：；探索延伸：成立；理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为105海里 【详解】问题背景：解：如图，延长到点．使．连接，则，          在和中，∴，∴， ∵，，∴， ，， 在和中，，，， ，；故答案为：； 探索延伸：成立，即；理由如下：延长到点．使．连接，如图所示： ∵，，∴， 在和中，，，， ，，， 在和中，， ，； 实际应用：连接，延长、相交于点，如图所示： ，， ，， 符合探索延伸中的条件，成立，即(海里)， 此时两舰艇之间的距离为105海里． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 倍长中线与截长补短是初中全等几何两大压轴核心模型，区别于基础全等判定，属于几何构造类高阶模型，是区分普通学生和尖子生的核心考点。模型贯穿全等三角形、三角形综合、中考几何填空压轴、解答证明大题，是线段关系证明、线段和差最值、不等关系推导的必备工具。两大模型核心本质：通过辅助线构造全等三角形，实现线段、角度的等量转移，破解题目中线段分散、条件不足的问题。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.倍长中线模型 2 模型2.截长补短模型 11 【易错点与方法总结】 19 【模型运用】 20 A组（基础题） 20 B组（提升题） 31 C组（综合压轴题） 39 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 1.基础全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS（倍长中线核心用 SAS）； 2.角度性质：对顶角相等、角平分线定义、平行线内外错角、特殊角（45°、60°、90°）； 3.线段性质：中点定义、线段和差、三角形三边关系； 4.特殊图形性质：等腰三角形、直角三角形、正方形、平行四边形基础性质。 模型1.倍长中线模型 【模型提炼与证明】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ．（2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【典例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【典例3】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】(3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【典例4】（25-26七年级下·山东济南·期末）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． (1)【思考发现】如图①，的理由是 ； A．      B．     C．     D． (2)【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； (4)【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 【典例5】（25-26八年级上·江西上饶·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】（1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】（2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线．①求证：；②若，求五边形的面积． 模型2.截长补短模型 【模型提炼与证明】 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】(1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】(2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【典例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【典例3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积． 【典例4】（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 模型常见易错点 1）方法选错丢分：优先用截长法（简单、步骤少），短线段交叉、角度特殊时再用补短法，切勿盲目补短； 2）截取位置错误：必须在最长线段上截取，短线段截取无法完成证明，属于思路性错误； 3）特殊角不会用：45°、60°、90°、角平分线是截长补短的关键条件，不会结合角度构造全等是主要难点； 4）辅助线表述错误：禁止直接写 “倍长中线”（阅卷扣分重点），标准表述：延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE； 5）模型滥用：无中点条件强行倍长中线，仅题干含中点、平分线段、中线三大条件才可使用； 6）全等条件遗漏：倍长后只记得边相等，忽略对顶角相等，导致 SAS 全等证明缺条件； 7）结论不会迁移：只会证线段相等，不会利用平行、角度转移解决角度计算问题。 解题方法总结 1）中点+线段和差综合：当题干同时出现【中点】和【线段和差求证】，需先倍长中线转移线段，再用截长补短证明和差关系，是期末、模考、中考高频压轴。 2）角平分线+中点综合：角平分线触发截长补短，中点触发倍长中线，双重模型结合考察综合构造能力。 3）几何最值综合：利用倍长中线转化线段，结合截长补短化简线段和，求解将军饮马、线段最值问题。 1．（25-26·江苏·八年级期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 2．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 3．（25-26广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 4.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 5.（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 6.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 7．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下：证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中，， 在中，，． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题：(1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 1．（25-26·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 2．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】(3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 4．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 5.（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________． (2)如图3，，则的取值范围是___________； (3)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 6.（25-26八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 7.（25-26广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 3.（25-26八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．        B．        C．        D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】(3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 4.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】（2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 5.（25-26七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点． （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 6.（25-26八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $