1.4.2 用空间向量研究夹角问题（8个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究夹角问题，系统梳理异面直线所成角、线面角、二面角及平面夹角的定义、公式与求解方法，构建从教材知识到题型应用的完整学习支架，覆盖基础计算、逆向求解、存在性及最值等多维度问题。 资料特色为题型分层设计，结合最新模拟例题，强调建系、法向量夹角判断等方法技巧。通过存在性问题培养数学思维的推理能力，用向量模型表达几何关系体现数学语言的模型观念，助力教师系统教学，学生课后可通过练习查漏补缺。

1.4.2 用空间向量研究夹角问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．夹角 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_ _____ . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______. （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=___ ____ （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求异面直线的夹角 基础知识 核心知识 设异面直线的方向向量为 异面直线夹角范围 取向量夹角的锐角或直角部分 方法技巧 1.建立空间直角坐标系，写出两条直线方向向量 2.代入向量点积公式计算余弦值并取绝对值 3.反三角函数求出角度，结果不能超过90° 4.向量夹角为钝角时，取其补角作为异面直线夹角 典型例题 【例题 1】（江苏镇江市2026-2027学年高三上学期期初监测数学试题）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，利用向量共线定理，结合的距离条件列方程求解； （2）求出向量 与 的坐标，利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设点的坐标为； ，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即，整理得，解得或. ，； ，即点的坐标为. （2）设异面直线与所成角为； 由，，，，得，. ； 异面直线与所成角的余弦值为. 【例题2】（2025·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为 ， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】   因为，，，所以， 解得，所以， 因此，外接圆圆心位于中点. 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 【题型2】 求线面角 基础知识 核心知识 设直线方向向量，平面法向量 线面角范围 线面角是直线与平面中投影的夹角，与方向向量和法向量夹角互余 方法技巧 1.求直线方向向量与平面法向量 2.点积取绝对值算出正弦值，不要误用余弦 3.区分线面角与法向量夹角，避免角度算错 4.直线平行平面时线面角为0，直线垂直平面时线面角为90° 典型例题 【例题1】（海南海口市2027届高三上学期摸底考试数学试题）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：法一：取的中点N，连接MN， 因为M，N分别为，的中点，所以MN为的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示空间直角坐标系．则，，所以， 易知平面的一个法向量为，所以， 所以，又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）法一：利用线面平行的判定定理证明即可；法二，利用空间向量，证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为0，即可证明线面平行；（2）法一：利用空间向量直接求解线面所成角的余弦的绝对值，即可求出线面所成角的正弦值；法二：利用等积法，即根据建立等量关系，先求出点到面的距离为d，进而求出线面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）法一：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，， 所以，，， 设面的一个法向量为，则，可取， 设直线与面所成角为，则， 所以直线与面所成角的正弦值为． 法二：设点到面的距离为d，由（1）得， 因为，，，， 所以，所以， 所以，， 因为，所以，即，所以， 设直线与面所成角为，则，所以直线与面所成角的正弦值为． 【例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以, 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2) 连接,根据且，所以四边形是平行四边形， 则．所以是正三角形，则 是菱形且, 取的中点，连接，则 因为平面平面,平面平面， 所以平面，因此以为原点， 分别为 轴， 轴， 以平面 的法向量为 轴的正方向，如图建系， 设 ，则 ， 则 ， 由与,可知，所以四边形为平行四边形， 则 ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 取 ，得 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 则 ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 . 【分析】 (1) 通过，得到平面平面，推出平面； (2)取的中点，以为原点， 分别为轴轴，平面的法向量轴的正方向建系，利用线面角向量公式求解则 . 【详解】（1）略 （2）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，证出线面平行； （2）先根据体积、矩形面积、线段长度条件列方程组解出三条棱长，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关向量，构造平面的法向量，代入线面角向量公式算出正弦值． 【详解】（1）略 （2）令，，，其中， 由，为的中点，知， 由直三棱柱的体积为，四边形的面积为，， 得，解得，，， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， ，，， 设平面的法向量为， 那么，即，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习2】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 【巩固练习3】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)①， ② 【分析】（1）以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用空间中点到面的距离公式求解即可； （2）①设，由向量的线性运算可得，根据，求出的值即可得答案； ②由题意可得平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的公式求解即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 所以，又，， 所以，点到平面的距离为； （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得， 所以； ②平面的一个法向量， 又， 得 所以，与平面所成角的正弦值为. 【题型3】 求二面角/平面与平面的夹角 基础知识 核心知识 设两个平面法向量 二面角范围 ，为两法向量夹角 二面角大小等于或，需要看图判断是锐角还是钝角 方法技巧 1.分别求出两个平面的法向量 2.计算法向量夹角余弦值 3.观察图形判断二面角是锐角还是钝角，确定正负 4.平面夹角一般取，二面角保留原始钝角 典型例题 【例题1】（河北唐山市2026-2027学年高三上学期摸底演练数学试卷）如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，分别是，的中点， 所以，     又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略. （2）由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则得 取，则，则， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)取与的中点，，连接，，， 因为，于是， 又因为，，，平面， 所以平面，结合可得平面， 又平面，所以， 所以，又，， 所以，， 而，， 所以， 从而，，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面． (2)． 【分析】（1）取与的中点，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，再利用勾股定理证明，结合线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，确定各点坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用两个平面法向量的夹角公式计算平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略； （2）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面与平面的法向量分别为和， 则由得到，令得到， 由得到，令得到， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·广东·阶段检测）如图所示，已知直四棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明： 设，，如图所示，以为原点，为轴， 为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则. . ，所以. 因为平面，底面，所以. 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】设，建立空间直角坐标系，对于（1），利用垂直向量数量积为零证明，结合直四棱柱性质得，再结合面面垂直判定定理证明； 对于（2），由平面，得与平面内两条相交直线、的方向向量点积为0，求解出的值；再分别求平面和平面的法向量，利用两平面法向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题干条件可得， 因为平面，平面，则， ， 故，，， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得. ， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得， 故. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【巩固练习2】（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，分别以射线方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，. 由于是的中点，得，由是的中点，得， 由，得，因此. 易知平面的法向量. 因为，且平面，因此平面. (2) 【分析】第一小问建系求出向量，利用它与底面法向量垂直，直接证线面平行. 第二小问建立坐标系求出两个平面的法向量，套用夹角公式，取绝对值计算面面夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）在第一小问建系的基础上，设平面的法向量为. 已知，， 由得，令，得，即. 因为平面的法向量， 故. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，平面，则，， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，底面为直角梯形，解得． 则，，，． 在平面中，，．     设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得． 因为点E在上，设， 则． 因为平面，所以，解得， 故E为线段的中点． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量； （2）求平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，然后由夹角公式求解二面角. 【详解】（1）略 （2）在平面中，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得．由（1）知， 记面与面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 【题型4】 由线面角求其他量 基础知识 核心知识 已知线面角，利用建立含参数的方程 求解参数、点坐标、线段长度等未知量 方法技巧 1.设动点或者参数，写出方向向量与平面法向量 2.代入线面角公式列等式 3.解方程求出参数，检验参数是否在定义域内 4.注意等式带有绝对值，存在多解情况需要取舍 典型例题 【例题1】（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，再结合条件以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知、、两两相互垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1），得平面，又、平面，，， 又，、、两两相互垂直． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则、、、， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，． 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ． 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【例题2】（26-27高三上·浙江·开学考试）在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. (1)求证：； (2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】(1)取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. (2)或. 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，.，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)如图，连接． 因为，是的中点，所以． 因为，，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)1 【分析】（1）先根据，，得出平面，再推出平面，最后证明； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角计算公式，建立方程求得即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 设，则，，，． 设平面的法向量为， 由得，取． 设直线与平面所成的角为， 则． 令，解得（负值舍去）． 故线段的长为1 【巩固练习2】（2026·贵州黔南·模拟预测）在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设在上，令，得， 又，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又，，所以；又平面， 因此平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点与相关向量，求得平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该平面法向量垂直，结合不在平面内，证得线面平行； （2）利用线面角的向量公式列方程求解参数得到点坐标，再求出两个平面的法向量，借助法向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）设直线与平面所成角为，则， 已知，则， 解得，则即. 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则， 即是 平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 【巩固练习3】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 【题型5】 由二面角求其他量 基础知识 核心知识 已知二面角大小，利用法向量夹角公式建立方程 求解点坐标、参数、线段长度等未知量 方法技巧 1.设参数，写出两个平面的法向量 2.根据二面角是锐角或钝角确定余弦正负 3.列方程求解参数，舍去不符合几何场景的解 4.重点判断二面角和法向量夹角是相等还是互补 典型例题 【例题1】（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 (2)或 【分析】 (1)    连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2)    建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）略. （2）取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 【例题2】（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． (2)或 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接MO， 在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点， 平面MAC，平面PBD，平面平面， 所以． 所以,则， 所以是棱的中点． (2) 【分析】（1）由线面平行的性质定理可得，得到，进而可得结论； （2）法一（几何法）过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE，可证为二面角的平面角，求解即可；法二（坐标法）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量表示二面角的余弦值，列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE， 因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以． 又，又OE，平面OPE，所以平面OPE． 又平面OPE，所以， 所以为二面角的平面角． 因为四边形ABCD是菱形，，， 所以是等边三角形，所以，， 所以，所以． 在中，． 法二（坐标法）：设， 以为轴，以为轴，以为轴，如图建系． ，，，， ，． 设平面ADP的法向量为， 由， 令得一个法向量． 取平面ADC的一个法向量为， 则， 则． 【巩固练习2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为平面，平面，则， 又因为且，则， 且，且PC、平面，则平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面，即可得面面垂直； （2）设，则，设，，建立空间直角坐标系，根据面面夹角可得，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）设，则，设，， 以为坐标原点，分别以、的方向为轴、轴正方向， 过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 平面的法向量可取. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则，可知， 可得，解得， 可得，且点是PB的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 设直线PD与平面所成角为， 则， 所以直线PD与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习3】（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，易知M不与P,C重合，则， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 【题型6】 线面角的存在性 基础知识 核心知识 设动点参数坐标，写出线面角表达式 转化为方程是否存在符合范围的解，判断动点是否存在 方法技巧 1.建系设参数，写出直线方向向量和平面法向量 2.根据给定线面角列出方程 3.判断方程在参数取值区间内是否有解 4.验证解对应的点是否落在题目限定的线段或面内 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 【例题2】（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． (2)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设 ． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 所以，即，. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面； 又，所以是两条相交直线，且平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； (2)； (3)存在，点的坐标为，理由如下： 由（2）得，设， 则，又，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 若直线与平面所成的角为，则，即， 整理得，解得，则. 所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为. 【分析】（1）由题证得平面平面，即可得平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由两法向量夹角余弦值即可求解； （3）设，求出和平面的一个法向量为，由题设建立关于t的等量关系求出t即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以， 因为平面平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则可得， 所以， 所以平面与平面夹角为； （3）略 【巩固练习2】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 【巩固练习3】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 【题型7】 二面角的存在性 基础知识 核心知识 引入参数表示动点，写出两个平面法向量 结合给定二面角列方程，通过方程解的存在性判断点是否存在 方法技巧 1.建系设参，写出两个平面的法向量 2.根据二面角的大小以及锐钝确定等式 3.判断方程在参数范围内是否存在实数解 4.剔除不符合几何位置的增根 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 【例题2】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    【巩固练习2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2)存在，． 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【详解】（1）略． （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 【题型8】 求线面角或二面角的最值与范围 基础知识 核心知识 把线面角或二面角的三角函数表达式写成关于参数的函数 结合函数单调性、值域，得到角度的取值范围 方法技巧 1.建系设参，写出对应向量 2.构造三角函数表达式，转化为函数求值域 3.注意角度本身的定义域限制 4.三角函数单调区间会影响角度最值，不能直接套用函数最值 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】(1)是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面 ，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【详解】（1）略 （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则 ，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【例题2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式计算； （2）先设出点的参数坐标，求出平面的法向量，再写出直线的方向向量，根据线面角的正弦值公式得到关于参数的表达式，再用函数或不等式求最大值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又，由都在面内，则面         过作于，过作，故可构建如下图示空间直角坐标系， 又，，， 则，，，，         所以，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则，             所以点到平面的距离； （2）法一：同（1）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角， 显然在以为直径的圆上，令， 显然，可得或， 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 综上，与平面所成角的正弦值的最大值为．     法二：取的中点，则平面且，在以为圆心，为半径的圆上， 所以，与平面所成角为，点到平面的距离为， 则，点到平面的距离即到的距离，所以 所以与平面所成角的正弦值的最大值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． (2)（ⅰ）6（ⅱ） 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 【巩固练习3】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 课后过关检测 一、多选题 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】先建立空间直角坐标系，列出各个向量的坐标，根据向量夹角公式、数量积公式逐项计算即可. 【详解】由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，有，， 所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，，设平面的一个法向量为， 则，则，显然与之不共线，故C错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，令，，所以， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确. 二、填空题 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以 . 因此直线与所成角的余弦值为. 三、解答题 3．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，则， 又因为，所以，所以， 又因为平面，而平面，所以平面． (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由相似比与已知比例得，进而根据线面平行的判定即可证明； （2）先依题意建立空间直角坐标系，设，，从而得到， 再求出平面的一个法向量，再根据线面所成角的正弦值等于该直线方向向量与平面法向量夹角的余弦的绝对值求出的值，进而即可求得长度． 【详解】（1）略 （2）依题意可得，，两两垂直， 则以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由，，，且， 则，，，，， 则，， 设，，得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以，，所以线段的长为． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接，交于，连接， 在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 连接，菱形中，，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，， 所以平面； (3)不存在，利用平面夹角的向量坐标公式列式计算即可判断 【分析】（1）中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可； （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）不存在，理由如下：取的中点， 因为分别是的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，， 设，， 因为，所以， 解得，，，即， 所以, 设平面的法向量， ，令，得， 显然是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为， 所以，化简得，解得， 因为，所以线段上不存在点，使二面角为． 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角正切值． 【答案】(1)证明：取棱的中点为G，连接，，如图所示． 因为点E为的中点，所以，且． 又F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）建系求出两个平面法向量，利用法向量夹角余弦求二面角的余弦；（2）再利用同角三角函数关系，算出正切值，注意平面夹角取锐角. 【详解】（1）略 （2）如图，由题意，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 则，取，则． 又平面，则是平面的一个法向量， 所以． 设平面与平面的夹角为，则，， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为． 6．（湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. (1)证明：直线平面； (2)若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 7．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点． (1)当点为的中点时，求证：平面平面； (2)求的最小值； (3)当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)取中点，连接. 由，得，. 又因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，面，所以. 又因为分别是的中点，所以. 因为四边形为正方形，所以，因此. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，如图： 则各点坐标为： ，. 当为中点时，由中点坐标公式得. 平面内的向量，，设平面的法向量， 则，，令，则，. 平面内的向量，， 设平面的法向量为， 则，，令，，. 因为，所以，因此平面平面. (2) (3) 【分析】（1）取中点，由面面垂直的性质可得平面，进而建立空间直角坐标系，用向量方法证明面面垂直可得； （2）分别设（），，，进而可得，再通过两次放缩可得最小值； （3）由（2）可知取到最小值时，与重合，再用向量方法计算面面夹角的余弦值可得. 【详解】（1）略 （2）因为在上，设（）， 同理在上，，设，， 所以 ，得. 所以， ， 因为，所以 ， 即时，此时分别为的中点，，即. 因此的最小值为. （3）由（2）知当取最小值时，，此时分别为的中点，所以与重合. 平面是的坐标平面，其一个法向量为. 平面即为平面，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，. 设平面与平面夹角为，， 则 . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 8．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）在三棱锥中，，，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：由，是的中点，得，而，，，平面，则平面， 而平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得到，建系得出坐标，求出平面的法向量和的坐标，再根据线面角的公式计算即可. 【详解】（1）略 （2） 由（1）知平面，且平面，所以， 又因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，直线，，两两垂直， 以为原点，建系如图，，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 令，得，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】(1)由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． (2) (3)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）略 （2）平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． （3）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 10．（26-27高三上·河南信阳·开学考试）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)因为，且，， 可得，， 又因为，， 所以，则， 因为平面平面BCD，平面平面，且平面BCD，所以平面ABD， 又因为平面ABD，所以； (2)存在，． 【分析】（1）余弦定理和勾股定理可证明平面ABD，再由线面垂直的性质即可得； （2）以点为坐标原点建立空间直角系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）因为平面ABD，且平面ABD，所以， 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，，所以，, 设平面ACD的法向量为，则, 令，可得，，所以 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 设，(其中)，则，， 所以 , 整理得，解得或(舍去)， 所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，此时． 11．（2026·江苏·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． (1)求证：． (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面，在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面； 又因为平面，因此． (2)①② 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义 得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解； ②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【详解】（1）略 （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，, 代入得，所以, 所以 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故, 直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即, 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为，得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，,所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立，所以，即的最大值为. 此时 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量.S 设二面角为，则， 所以. 12．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 13．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. （3）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 14．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，平面平面，，. (1)在棱上是否存在某一点，使得过点，，的截面与底面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的条件下，设过点，，的截面交于，求四棱锥的体积. 【答案】(1)存在，.理由如下： 取中点，取中点，连接，，. ∵侧面为正三角形，， 又∵平面平面，平面平面，面， 面， ∵底面为矩形，且， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建系如图， 所以，，，，， 设，，且， 因为面平面的一个法向量 设平面的一个法向量为，， 则，， 令，则，. 因为平面与底面的夹角为, 所以， 得，解得或. 又，解得，因此存在点满足条件，. (2) 【分析】（1）取中点，取中点，连接，，再分别以为轴建立空间直角坐标系，再设，，用向量的方法计算面面角，从而可得，进而可判断存在点且； （2）解法一：先由线面平行的判定定理及性质定理可得是梯形，再通过向量的长度计算可得是等腰梯形，再用向量的方法计算点到平面的距离，进而可求四棱锥的体积；解法二：先在梯形中，进而，再结合，从而可得，从而可得四棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2），面，面， 由线面平行的判定定理，面. 又面，面面，且面， 由线面平行的性质定理，. 又，，所以. ∴由（1）知，所以. （解法1）：由（1）知面的一个法向量为 则点到平面的距离为，， 所以 ， 因为，所以，， ，， 所以，所以为等腰梯形，， 所以等腰梯形的高 ， 所以， 所以. （解法2）：在梯形中， ，，， 所以， 又，则， 又， 因此. 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】(1)如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ）， 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 17．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在菱形中，，为中点， 由题可知，所以， 因为，，平面， 所以平面 又平面，所以平面平面． (2)①；② 【分析】（1）根据条件证明平面即可； （2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，表示出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值求出的值，进而得出结论； ②求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 二面角的大小为，即 因为，，所以，， 则，，，， 所以，， 设，则，所以． 设平面的法向量为，则， 取，得，，则． 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则． 因为，所以 ②由①,设平面的法向量为， 由，即，取，则， 所以. 设平面的法向量为，, ，即，取，则， 所以 设平面与平面所成角为，则. 18．（2026·福建漳州·模拟预测）已知三棱锥的底面是等边三角形，且，. (1)证明：； (2)设点在平面内的正投影为点，若，且二面角的正切值等于. （ⅰ）求三棱锥外接球的表面积； （ⅱ）设是空间中的一个平面，证明：三棱锥的各棱在平面上正投影的长度的平方和是常数. 【答案】(1)取的中点，分别连接、， 因为是等边三角形，所以. 又且面，所以平面. 而平面，所以. 因为为的中点，所以． 取的中点，连接、，由已知条件同理可证， 所以． (2)（i）； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 则正四面体的六个棱的方向向量都表示为：， ， 设任意平面的单位法向量为，其中． 对于每条棱，其在平面上正投影的长度的平方为． 因此六条棱在平面上正投影的长度的平方和为， 又 ， 所以 . 代入得， 故三棱锥的各棱在平面上的正投影的长度的平方和是常数． 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，从而得到，同理得到，即证明； （2）（i）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，从而得到相关方程，说明三棱锥是正四面体，最后利用补形法即可得到答案； （ii）建立合适的空间直角坐标系，写出各个棱的方向向量，最后求和即可. 【详解】（1）略 （2）（i）设与交于点， 因为平面平面， 所以，同理， 又平面平面， 所以平面. 设正三棱锥底面边长为，高为， 因为，所以，即． 以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向， 如图建立空间直角坐标系， 则． 所以， 设是平面的一个法向量，则， 取，则，即. 因为点在平面内的正投影为点， 所以平面，所以直线的一个方向向量为. 又，设是平面的一个法向量， 则， 取，则，即， 又底面的一个法向量， 因为二面角的正切值等于， 所以，即， 又因为，解得， 所以三棱锥是正四面体． 如图，将正四面体补成一个正方体，使得正四面体的每条棱都是正方体的面对角线，则正方体的棱长为1． 所以正四面体的外接球与该正方体的外接球相同， 而正方体的外接球的表面积是． $1.4.2 用空间向量研究夹角问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．夹角 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_ _____ . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______. （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=___ ____ （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求异面直线的夹角 基础知识 核心知识 设异面直线的方向向量为 异面直线夹角范围 取向量夹角的锐角或直角部分 方法技巧 1.建立空间直角坐标系，写出两条直线方向向量 2.代入向量点积公式计算余弦值并取绝对值 3.反三角函数求出角度，结果不能超过90° 4.向量夹角为钝角时，取其补角作为异面直线夹角 典型例题 【例题 1】（江苏镇江市2026-2027学年高三上学期期初监测数学试题）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【例题2】（2025·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 求线面角 基础知识 核心知识 设直线方向向量，平面法向量 线面角范围 线面角是直线与平面中投影的夹角，与方向向量和法向量夹角互余 方法技巧 1.求直线方向向量与平面法向量 2.点积取绝对值算出正弦值，不要误用余弦 3.区分线面角与法向量夹角，避免角度算错 4.直线平行平面时线面角为0，直线垂直平面时线面角为90° 典型例题 【例题1】（海南海口市2027届高三上学期摸底考试数学试题）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习2】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习3】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②求与平面所成角的正弦值. 【题型3】 求二面角/平面与平面的夹角 基础知识 核心知识 设两个平面法向量 二面角范围 ，为两法向量夹角 二面角大小等于或，需要看图判断是锐角还是钝角 方法技巧 1.分别求出两个平面的法向量 2.计算法向量夹角余弦值 3.观察图形判断二面角是锐角还是钝角，确定正负 4.平面夹角一般取，二面角保留原始钝角 典型例题 【例题1】（河北唐山市2026-2027学年高三上学期摸底演练数学试卷）如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【例题2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·广东·阶段检测）如图所示，已知直四棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 【巩固练习2】（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【题型4】 由线面角求其他量 基础知识 核心知识 已知线面角，利用建立含参数的方程 求解参数、点坐标、线段长度等未知量 方法技巧 1.设动点或者参数，写出方向向量与平面法向量 2.代入线面角公式列等式 3.解方程求出参数，检验参数是否在定义域内 4.注意等式带有绝对值，存在多解情况需要取舍 典型例题 【例题1】（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【例题2】（26-27高三上·浙江·开学考试）在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. (1)求证：； (2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【巩固练习2】（2026·贵州黔南·模拟预测）在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【巩固练习3】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【题型5】 由二面角求其他量 基础知识 核心知识 已知二面角大小，利用法向量夹角公式建立方程 求解点坐标、参数、线段长度等未知量 方法技巧 1.设参数，写出两个平面的法向量 2.根据二面角是锐角或钝角确定余弦正负 3.列方程求解参数，舍去不符合几何场景的解 4.重点判断二面角和法向量夹角是相等还是互补 典型例题 【例题1】（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 【例题2】（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 【巩固练习2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习3】（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【题型6】 线面角的存在性 基础知识 核心知识 设动点参数坐标，写出线面角表达式 转化为方程是否存在符合范围的解，判断动点是否存在 方法技巧 1.建系设参数，写出直线方向向量和平面法向量 2.根据给定线面角列出方程 3.判断方程在参数取值区间内是否有解 4.验证解对应的点是否落在题目限定的线段或面内 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【例题2】（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【巩固练习2】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【巩固练习3】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型7】 二面角的存在性 基础知识 核心知识 引入参数表示动点，写出两个平面法向量 结合给定二面角列方程，通过方程解的存在性判断点是否存在 方法技巧 1.建系设参，写出两个平面的法向量 2.根据二面角的大小以及锐钝确定等式 3.判断方程在参数范围内是否存在实数解 4.剔除不符合几何位置的增根 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题2】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【巩固练习2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【题型8】 求线面角或二面角的最值与范围 基础知识 核心知识 把线面角或二面角的三角函数表达式写成关于参数的函数 结合函数单调性、值域，得到角度的取值范围 方法技巧 1.建系设参，写出对应向量 2.构造三角函数表达式，转化为函数求值域 3.注意角度本身的定义域限制 4.三角函数单调区间会影响角度最值，不能直接套用函数最值 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【例题2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【巩固练习3】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 课后过关检测 一、多选题 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 二、填空题 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 三、解答题 3．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角正切值． 6．（湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. (1)证明：直线平面； (2)若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 7．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点． (1)当点为的中点时，求证：平面平面； (2)求的最小值； (3)当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 8．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）在三棱锥中，，，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 10．（26-27高三上·河南信阳·开学考试）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．（2026·江苏·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． (1)求证：． (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 12．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 13．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 14．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，平面平面，，. (1)在棱上是否存在某一点，使得过点，，的截面与底面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的条件下，设过点，，的截面交于，求四棱锥的体积. 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 17．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 18．（2026·福建漳州·模拟预测）已知三棱锥的底面是等边三角形，且，. (1)证明：； (2)设点在平面内的正投影为点，若，且二面角的正切值等于. （ⅰ）求三棱锥外接球的表面积； （ⅱ）设是空间中的一个平面，证明：三棱锥的各棱在平面上正投影的长度的平方和是常数. $