第10讲 等势面等势线 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳） -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦等势面（线）高考核心考点，整合等势面性质、常见模型（点电荷、等量异种/同种电荷、匀强电场等）及与电场线、电势、电势能、粒子轨迹的综合应用，按考情分析、知识要点、解题策略、题型归纳（5类题型）分层展开，通过系统梳理与真题训练帮助学生突破场强与电势混淆等难点。 讲义采用模型建构与科学推理教学法，如通过对比不同电荷等势面模型培养科学思维，用“轨迹-等势面解题步骤”强化推理能力。设置分层练习与易错指导，助力学生形成物理观念，提升综合解题能力，为教师提供精准复习路径，有效把控教学节奏。

第10讲 等势面（线） 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：等势面（线）的理解及应用 6 （一）一个点电荷的等势线模型 6 （二）两个点电荷的等势线模型 8 （三）带电体等势面（线）某电场的等势面模型 8 （四）金属体的等势线模型 9 （五）匀强电场及组合场的等势线模型 11 题型02： 电势高低判断 11 题型03：电势能大小判断 14 题型04：等势面与轨迹问题 18 题型05：等势面特点的综合应用 20 巩固提升 27 1. 考查地位：高考电场高频工具型考点，常和电场线、电势、电势能、带电粒子轨迹综合考查，多为中档选择题，极少单独大题，是匀强电场计算题重要突破口。 2. 题型特点：以图像选择题为主；匀强电场中利用等势点找电势、求场强，是高频小计算。经常给出等势面分布图，不画电场线，间接考查电场性质。 3. 命题角度 ①等势面基本性质：电场线与等势面垂直；同一等势面上移动电荷，电场力不做功。 ②点电荷、等量异种、等量同种电荷的等势面分布特点。 ③匀强电场等势面为平行等距平面；利用等势点找电势、计算电势差。 ④结合粒子轨迹与等势面，判断受力、做功、动能、电势能变化。 ⑤已知部分等势点，补画等势线，求解未知点电势。 4. 高频失分点：误以为等势面密集代表电势大；混淆场强大小和电势高低；匀强电场不会找等势点；移动电荷经过等势面，错误判断电场力做功。 1. 概念理解 ①理解等势面（等势线）含义：面上所有点电势相等；等势面是假想曲面，不是客观实物。 ②牢记核心性质：电场线与等势面处处垂直；电场线由高电势等势面指向低电势等势面；同一等势面上移动电荷，电场力做功为0。 2. 模型识记 掌握点电荷、等量异种、等量同种电荷对应的等势面形状分布；记住匀强电场等势面是平行等距平面。 3. 定性分析 ①给出等势面分布，判断场强方向、电势高低；结合电荷电性判断电势能大小。 ②结合粒子运动轨迹和等势面，判断电场力方向、做功正负、动能与电势能变化。 4. 计算应用 ①匀强电场中，利用等分找等势点，求解未知点电势；结合 U=Ed 求场强。 ②能区分：等势面疏密反映场强大小，和电势高低无关。 知识点一：等势面 1.定义：电场中电势大小相同的各点构成的面叫作等势面。 2.特点： ①.在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功； ②.在空间中两等势面不相交； ③.电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面； ④.在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏； ⑤.等势面是为描述电场的性质而假想的面； ⑥.等势面的分布与电势零点的选取无关； ⑦.当导体处于静电平衡状态时，导体是一个等势体，导体上各点电势都相等。 3.应用： ①.根据等势面的分布确定电场线的分布。 ②.由等差等势面的疏密程度判断电场的强弱。 ③.由等势面判断电场中各点电势的高低。 ④.由等势面判断在电场中移动电荷时静电力的做功情况。 知识点二：几种常见等势面的比较 匀强电场 点电荷 等量异种 等量同种 等势面是平行线。 等势面是球面。 中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。 知识点三： 电势φ与电场强度E的“六个不一定” 问题 电场强度大的地方电势是否一定高？反之又如何呢？ 电场强度为零的点电势一定为零吗？反之又如何呢？ 电场强度相等的点电势一定相等吗？反之又如何呢？ 正解 E大处φ不一定高；φ高处E不一定大 E为零处φ不一定为零，φ为零处E不一定为零 E相等处φ不一定相等，φ相等处E不一定相等 [ 反例 C处场强大于D处场强，但C处电势小于D处电势。 等量同种正电荷中点处，场强为零，但电势大于零；等量异种电荷中点处，电势为零，但场强大于零。 匀强电场中两点EA=EB，但φA>φB；等量异种电荷中垂线上，电势相等，但中点处场强最大。 知识点四：几组易混淆概念 1.场强、电势 场强大的地方电势不一定高，场强为零的地方电势不一定为零．场强和电势无必然联系． 2.电势、电势能 电荷在电势高的地方的电势能不一定大，与电荷的正负有关．正电荷在电势高的地方电势能一定大；负电荷在电势高的地方的电势能反而小。 3.电势降低的方向与场强方向间的关系 电势降低的方向不一定是电场强度的方向，电势降低最快的方向才是电场强度的方向． 4. 同种、异种电荷等势面的区别 等量异种 不等量异种 等量同种 不等量同种 具有对称性 Qa>Qb 具有对称性 QA<QB 知识点五：带电粒子在电场中的运动轨迹问题 （一）带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． 2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向． 若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线． 若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直． 3． 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加． （二）等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据电场力沿着垂直于等势面方向且指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合等势面的电势高低关系确定电场线的方向，进而确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做功、电势能的变化情况等。 （三）电场线与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据带电粒子所受的电场力沿着电场线的切线方向且（或等势面的垂线）指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合电场线的方向（或等势面的电势）确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子运动轨迹与电场线的分布情况，确定电场力做功、电势能的变化情况 解题策略 1. 基础判断口诀 等势面上电势同，移电荷做功零； 电场线垂直等势面，由高势指向低势。 等势面越密 ⇒ 场强越大，不等于电势越高。 2. 轨迹‑等势面题型步骤 ①电场线垂直等势面，画出电场线方向； ②电场力指向轨迹凹侧，判断电荷正负； ③力与速度夹角判断做功正负；进一步得到动能、电势能增减。 3. 匀强电场等势点解题技巧 ①在匀强电场中，平行且相等的线段，电势差相等。 ②找中点：两点连线中点电势为两端电势平均值；利用中点快速找到等势点，连接得到等势线。 ③找到等势线之后，作等势线垂线即为电场线方向，再用 U=Ed，d 是沿电场线距离求场强。 4. 易错避坑 ①电势相等，场强不一定相等；场强为零，电势不一定为零。 ②同一等势面移动电荷，电场力一定不做功，电势能不变。 5. 通用逻辑链 等势面分布 → 画电场线 → 判断场强、电势 → 结合电荷电性 → 判断电势能、电场力做功、动能变化。 题型01：等势面（线）的理解及应用 （一）一个点电荷的等势线模型 【典型例题】真空中某点电荷的等势面示意图如图所示，图中相邻等势面间电势差相等。下列说法正确的是(　　) A．该点电荷一定为正电荷 B．P点的场强一定比Q点的场强大 C．P点电势一定比Q点电势低 D．正检验电荷在P点比在Q点的电势能大 【典型例题2】如图所示，孤立点电荷电场中的一簇等势面如图所示中虚线所示，其从左到右电势分别为φ1、φ2、φ3，a、b、c是某电场线与这簇等势面的交点，且ab＝bc.现将一负电荷由a移到b，静电力做正功W1；再由b移至c，静电力做正功W2，则(　　) A．W1＝W2，φ1＜φ2＜φ3 B．W1＝W2，φ1＞φ2＞φ3 C．W1＞W2，φ1＜φ2＜φ3 D．W1＜W2，φ1＞φ2＞φ3 【变式训练1-1-1】如图所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( 　　) A．A点电势大于B点电势 B．A、B两点的电场强度相等 C．q1的电荷量小于q2的电荷量 D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能 【变式训练1-1-2】(多选)如图，正点电荷固定在O点，以O为圆心的同心圆上有a、b、c三点，一质量为m、电荷量为－q的粒子仅在电场力作用下从a点运动到b点，速率分别为va、vb。若a、b的电势分别为φa、φb，则(　　) A．a、c两点电场强度相同 B．粒子的比荷＝ C．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 D．粒子从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少 【变式训练1-1-3】(多选)如图所示，四分之一圆弧AB是点电荷电场中的一条等势线，圆弧的圆心在O点，C是A、B连线的中点，D是O、A连线的中点。在D点由静止释放一个带负电的试探电荷，仅在电场力作用下试探电荷沿DA加速运动，则下列说法正确的是(　　) A．A、B、C、D四点中，D点场强最大 B．A、B、C、D四点中，D点电势最高 C．一个带正电的点电荷从A点沿ACB移动到B的过程中，电势能先增大后减小 D．一个带负电的点电荷从B点沿BCD移动到D的过程中，电场力一直做负功 （二）两个点电荷的等势线模型 【典型例题】空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则(　 　) A．e点的电势大于0 B．a点和b点的电场强度相同 C．b点的电势低于d点的电势 D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加 【变式训练1-2-1】如图所示，真空中M、N处放置两等量异种点电荷，a、b、c表示电场中的三条等势线，d点和e点位于等势线a上，f点位于等势线c上，df平行于MN.已知一带正电的试探电荷从d点移动到f点时，试探电荷的电势能增加，则以下判断正确的是(　　) A．M点处放置的是正电荷 B．若将带正电的试探电荷沿图中虚线de由d点移动到e点，则电场力先做正功、后做负功 C．d点的电势高于f点的电势 D．d点的场强与f点的场强完全相同 【变式训练1-2-2】两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则(　 　) A．a处为正电荷，qa<qb B．a处为正电荷，qa>qb C．a处为负电荷，qa<qb D．a处为负电荷，qa>qb （三）带电体等势面（线）某电场的等势面模型 【典型例题】某电场等势面分布情况如图所示，则(　　) A．A点的电势比B点的电势大 B．电子在A点和B点受到的静电力大小相等 C．电子在e等势面时的电势能比在c等势面时的电势能小 D．电子从b等势面移到d等势面，电势能增加10 eV 【答案】C 【解析】A、B两点在同一等势面上，电势相同，故A错误；A点的等势面密，电场强，电子受到的静电力大些，故B错误；把电子从e等势面移到c等势面，静电力做负功，电势能增加，故C正确；电子从b等势面移到d等势面静电力做正功，电势能减小，故D错误． 【变式训练1-3-1】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　　) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【变式训练1-3-2】如图所示，虚线表示某电场中的三个等势面，a、a′、b、b′、c、c′为分布在等势面上的点。一带电粒子从a点运动到c点的过程中电场力做功为Wac，从a′点运动到c′点的过程中电场力做功为Wa′c′。下列说法正确的是(　　) A.c点的电场方向一定指向b点 B.a′点电势一定比c′点电势高 C.带电粒子从c点运动到c′点，电场力做功为0 D.|Wac|<|Wa′c′| （四）金属体的等势线模型 【典型例题1】(多选)图中虚线表示“∧”形带电导体下方电场的电场线或等势面分布示意图，其中c、d是同一条虚线上的两点，b是另一条虚线上的一点，a是导体尖角下方的一点．下列说法正确的是(　　) A．虚线表示等势面 B．b点的电场强度小于c点的电场强度 C．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 D．电荷从c点运动到d点，静电力做正功 【典型例题2】如图(a)所示，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　) A．FM<FN，EpM>EpN B．FM>FN，EpM>EpN C．FM<FN，EpM<EpN D．FM>FN，EpM<EpN 【变式训练1-4-1】（多选）如图所示，M和N是两个带有异种电荷的带电体(M在N的正上方，图示平面为竖直平面)，P和Q是M表面上的两点，S是N表面上的一点．在M和N之间的电场中画有三条等差等势线．现有一个带正电的液滴从E点射入电场，它经过了F点和W点，已知油滴在F点时的机械能大于在W点的机械能．(E、W两点在同一等势面上，不计油滴对原电场的影响，不计空气阻力)则以下说法正确的是(　 　) A．P和Q两点的电势不相等 B．P点的电势低于S点的电势 C．油滴在F点的电势能高于在E点的电势能 D．F点的电场强度大于E点的电场强度 【变式训练1-4-2】如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面。在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点。不计液滴重力。下列说法正确的是 (　　) A．a点的电势比b点的低 B．a点的电场强度比b点的小 C．液滴在a点的加速度比在b点的小 D．液滴在a点的电势能比在b点的大 【变式训练1-4-3】某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是(　　) A．实线表示电场线 B．离d点最近的导体表面电荷密度最大 C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同 D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零 （五）匀强电场及组合场的等势线模型 【典型例题】等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为Epa和Epb，电荷所受电场力大小分别为Fa和Fb，则(　 　) A．Epa>Epb，Fa>Fb B．Epa>Epb，Fa<Fb C．Epa<Epb，Fa>Fb D．Epa<Epb，Fa<Fb 【变式训练1-5-1】如图所示，一质子以速度v0进入足够大的匀强电场区域，φ1、φ2、φ3、φ4；表示相邻的四个等势面，且φ1＜φ2＜φ3＜φ4。不计质子重力，下列说法正确的是(　　) A.质子运动过程一定是匀变速运动 B.质子运动过程中最小动能可能为0 C.质子可以回到原出发点 D.质子返回到等势面φ1时的速度仍为v0 【变式训练1-5-2】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV.下列说法正确的是(　 　) A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 题型02： 电势高低判断 【典型例题1】武当山有一座铜铸金殿，雷雨交加时，金殿的屋顶常会出现盆大的火球，来回滚动。雨过天晴时，大殿金光灿灿，这就是人们所说的“雷火炼殿”奇观。若放电时金殿附近某条弯曲电场线如图所示，则下列各点的电势关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如图所示，实线和虚线分别为两点电荷和产生的电场中的电场线、等势线。已知的电量是的电量的9倍，以点电荷位置作为坐标原点，指向为轴正方向，、距离为。则关于两电荷的电性以及在轴上的范围内电势最低的点的坐标说法正确的是（    ） A．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 B．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 C．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 D．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 【典型例题3】静电除尘利用静电场净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、B、C在圆筒的直径上，，若电极P的电势为0，下列说法正确的是（　　） A．AP＞BP B．金属圆筒Q为等势体 C．M、N两点的电场强度相同 D．C点的电势是B点电势的2倍 【变式训练2-1】下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（   ）    A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快 B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能 C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为4.8 × 10－5J D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零 【变式训练2-2】如图甲所示为某品牌负离子空气净化器，其产生负离子的原理如图乙所示，针状电极M和弧形电极N之间加上直流高压，使其间的空气发生电离，产生的负离子通过鼓风装置排出。在MN连线上，下列说法正确的是（　　）    A．离M点越近，场强越大，电势越低 B．离M点越近，同一正离子的加速度越小 C．离M点越近，同一负离子的电势能越大 D．各点的电势都大于零 【变式训练2-3】如图所示，两等量同种正电荷Q分别放置在椭圆的焦点A、B两点，O点为椭圆中心，P、S是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（　　） A．O点的电势高于M点和N点的电势 B．O点电场强度为零，电势也为零 C．椭圆上M、N两点电场强度相同 D．将一电子从P点移到S点，电场力一直做正功 【变式训练2-4】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 题型03：电势能大小判断 【典型例题1】城市生活污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用静电技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成的电场分布如图所示。其中实线为电场线，虚线为等势面，M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．N点的电场强度比P点的小 B．M点的电势比N点的高 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做负功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小 【典型例题2】两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（　　） A．场强大小关系有 B．电势大小关系有 C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值 D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功 【典型例题3】如题图甲所示，同轴电缆由两个同心导体组成，通常是一个铜制的内导体和一个铜或铝制的外导体，两者之间由绝缘材料隔开。图乙为同轴电缆横截面内静电场的电场线和等势面分布情况，相邻的虚线圆间距相等，a、b、c点均为实线与虚线圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．图乙中实线代表等势线，虚线代表电场线 B．a、c间的电势差是b、c间电势差的两倍 C．a点的电场强度和b点的电场强度不相同 D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能 【变式训练3-1】细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，、为轨迹上的两点，点与点关于轴对称，下列说法正确的是（    ） A．、两点的电场强度相同 B．点的电势与点的电势相等 C．DNA分子在点的加速度比在点小 D．DNA分子在点的电势能比在点小 【变式训练3-2】由生物岛实验室领衔研制、我国首个拥有自主知识产权的国产商业场发射透射电镜TH-F120完成了首批订单合同签订，正式开启了国产透射电镜的市场应用。其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力的作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电子在P点的受力方向斜向左上 B．电子在R点的加速度大于在P点的加速度 C．从P点至R点的运动过程中，电子的电势能先增大再减小 D．从P点至R点的运动过程中，电子的速度大小一直增大 【变式训练3-3】如图所示，、、、为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，其中边与电场线平行，点为与连线的交点。一个电荷量为的正点电荷固定在点，下列说法正确的是（　　） A．、两点的电场强度相同 B．、两点的电势不等 C．将电子沿直线从点移动到点，电场力做正功 D．将电子沿直线从点移动到点，电势能先减小后增大 【变式训练3-4】如图所示，在倾角为的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为、的两金属块A、B，其中A带电量为，B不带电。现让金属块A以初速度沿斜面向下运动，一段时间后与金属块B发生弹性正碰，且碰撞后A、B带电荷量均为。已知金属块与斜面间的滑动摩擦因数为，下列说法正确的是（　　）    A．碰撞前，A沿斜面做匀加速直线运动 B．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒 C．碰撞后，当A的速度为时，B的速度为 D．碰撞后，A、B系统的电势能先减小后不变 【变式训练3-5】如图所示，在空间直角坐标系中的、、、四点分别固定电荷量为＋q、－q、＋q、－q的四个点电荷，z轴上有两个点、（图中未画出）。已知静电力常量为k，无穷远处为电势零点。下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度为0，电势不为0 B．AD连线中点的电场强度与BC连线中点的电场强度相同 C．E点、F点的电场强度为0，电势也为0 D．沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能逐渐增大 【变式训练3-6】如图所示，空间有一正八面体M-ABCD-N，O点是ABCD的中心，在顶点M、N分别固定电荷量为和的点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D四点的电场强度相同 B．A、B、C、D四点的电势相等 C．将一正试探电荷从A点沿直线移到O点过程中，电场力不做功 D．将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小 【变式训练3-7】在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力。则（　　） A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 B．M处的电场强度大于N处的电场强度 C．M处的电势低于N处的电势 D．茶梗P下落过程中电势能减小 【变式训练3-8】如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均增大 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【变式训练3-9】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的顶点B、E处各固定一个带电荷量为的点电荷，顶点D处固定一个电荷量为的点电荷，顶点F处固定一个电荷量为的点电荷，O为正六边形的几何中心。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿OC方向 B．O点场强大小为 C．电子在O点的电势能比在C点的电势能大 D．点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小 题型04：等势面与轨迹问题 【典型例题1】如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为1、2、3和4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子，重力不计，在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（　　） A．4等势面上各点场强处处相同 B．四个等势面的电势关系是 C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功 D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc=vd 【典型例题2】如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（　　） A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 【典型例题3】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（　　）    A．A点的电势小于D点的电势 B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为 C．电场中C、D两点的电场强度相同 D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大 【典型例题4】如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（　　） A．A点的电势大于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大 D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小 【变式训练4-1】如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（　　）    A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小 B．负点电荷一定位于M点左侧 C．a点的场强大于b点的场强 D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 【变式训练4-2】在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　）    A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心 【变式训练4-3】电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（　　）    A．a点电势为7.5 V B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV C．电子在b点加速度比在c点加速度大 D．电子在电场中运动的最小速度一定为零 题型05：等势面特点的综合应用 【典型例题1】如图所示为某电子透镜中电场的等势面（虚线）的分布图，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，电子先后经过O、P、Q三点（三点均在等势面上）。在电子从O点运动到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．加速度先减小后增大 B．速度一直减小 C．电子在O点电势能小于在Q点电势能 D．从O点到P点电场力做的功等于从P点到Q点电场力做的功 【典型例题2】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【典型例题3】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（　　） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷+q由O点沿直线移动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷+q由F点沿直线移动到B点，其电势能先增大后减小 【典型例题4】如图所示为研究高压带电体周围绝缘试验的电场分布图，由于试验线路比较短，在大的空间尺度下高压带电体A可以等效为点电荷，B、C、D是其周围的三个金属导体，均已处于静电平衡状态，P、S是导体C上的两点，M、N是A附近的两点，下列说法正确的是（　　） A．电场强度 B．电场强度 C．正电荷在点的电势能大于其在S点的电势能 D．负电荷在点的电势能大于其在点的电势能 【典型例题5】（多选）如图所示，真空中有两个固定的带等量正电荷的点电荷，O点为两正电荷连线的中点，过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和中垂线分别交于A、C和B、D。以下说法正确的是（    ） A．以O为圆心的圆是一个等势面 B．A、C两点电势相等 C．B、D两点电场强度大小相等 D．把一负试探电荷沿直线从A点移动到C点，电势能先减小后增大 【典型例题6】（多选）污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有（　　） A．M点的电势比N点的低 B．N点的电场强度比P点的大 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大 【变式训练5-1】竖直面内，一带电小球以一定的速度进入匀强电场中，如图所示，虚线为匀强电场的等差等势面，实线为带电小球的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的方向一定竖直向上 B．小球从到，其机械能守恒，电势能增大 C．小球从到与从到，其动能的变化量相同 D．小球从到，电场力对其做正功，小球的电势能减小 【变式训练5-2】如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 【变式训练5-3】某电场的电场线分布如图中实线所示，图中虚线为某带电粒子在只受该电场力作用下的运动轨迹，、、是轨迹上的三个点。关于这个带电粒子，下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子一定是从点运动到点 C．粒子在点的加速度大于在点的加速度 D．粒子在点的动能大于在点的动能 【变式训练5-4】空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质子运动轨迹如图虚线所示，、是轨迹上的两个点，下列说法正确的是（　　） A．点的电场强度比点大 B．、两点电场强度的方向相同 C．质子从点运动到点，电场力做正功 D．质子处于、两点时，其电势能在点时较小 【变式训练5-5】如图所示，在等量同种正点电荷形成的电场中，O是两点电荷连线的中点，C、D是连线中垂线上相对O对称的两点，已知，则（　　） A．点G的电场强度比点E的电场强度小 B．点E与点F的电场强度大小相等，方向相同 C．EO间的电势差比EC间电势差小 D．若有一负点电荷在C点由静止释放，负点电荷将在CD间做往复运动，由C运动到D时加速度一定先增大后减小 【变式训练5-6】某带电导体所产生的电场线与等差等势面如图所示，A是导体内部的一点，是导体表面上的两点，是导体外部离导体表面不太远的两点（图中未画出），下列说法正确的是（　　） A．A点的电势高于B点的电势 B．两点的电场强度大小相等 C．若一正试探电荷从B点移到点，电场力做的功大于从B点移到点做的功，则点的电势低于点的电势 D．若一负试探电荷从点移到点，电场力做负功，则负试探电荷在点的电势能小于在点的电势能 【变式训练5-7】如图甲、乙、丙所示为三种带电体产生的电场线和等差等势面示意图，下列说法正确的是（　　） A．甲图中点和点电场强度相同 B．乙图中带电体表面上点和点电势相等，电场强度大小相等 C．丙图中点的电势小于点电势 D．丙图中电子在点的电势能大于在点的电势能 【变式训练5-8】如图所示是三个点电荷A、B、C周围电场线分布图（电场方向未画出）。下列说法正确的是（　　） A．点电荷A一定带正电 B．点电荷C一定带正电 C．点电荷A、B一定是同种电荷 D．点电荷B、C一定是同种电荷 【变式训练5-9】一接地金属板M水平放置，在金属板M延长线上垂直纸面放置一均匀带正电的金属棒N，其剖面图中两者周围的电场线和等势线分布如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．图中虚线为等势线 B．a、b两点场强相同 C．a点电势高于c点电势 D．电子在a点的电势能大于c点的电势能 【变式训练5-10】如图为高压输电线终端周围的电场分布情况。在做电缆头时，剥去了屏蔽层，改变了电缆原有的电场分布。图中为金属线芯上侧的电场线和等势面，A点和B点在同一条电场线上，则下列说法正确的是（   ） A．同一带正电的粒子在A、B、C三点电势能的关系为EpC > EpB > EpA B．将一电子放在C点，电子的电势能为90keV C．电场中A点的电场强度小于B点的电场强度 D．在B点由静止释放一质子，质子将沿电场线运动到A点 【变式训练5-11】雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．云层带负电 B．A点的电场强度大小比B点的小 C．电子在A点动能比在B点动能小 D．电子在A点电势能比在B点电势能大 【变式训练5-12】在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 【变式训练5-13】盘型悬式绝缘子是高压输电线路上常见的设备，其模型如图甲所示，图乙所示是其轴线所在截面上的等差等势线分布，空气中沙粒间的非对称摩擦会使沙粒带上电荷，悬浮沙粒携带电荷是绝缘子沿面电位和电场畸变的重要原因。下列说法正确的是（　　） A．图乙中a、b、c三点的电势关系为 B．图乙中a、b、c三点的电场强度大小关系为 C．带负电的沙粒聚集在绝缘子的低压端 D．某带电沙粒可从a点沿电场线运动到b点 【变式训练5-14】如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4 keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 【变式训练5-15】（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 1.（多选）如图所示，正六棱柱上.下底面的中心分别为O和O'，棱柱高为底面边长的2倍，在A、D'两点分别固定等量异种点电荷，取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（    ） A．C点的电势为零 B．电势差UBB'=UEE' C．O点与O'点的电场强度相同 D．将一带负电的试探电荷沿直线从A'点移动至D点，电势能先减小后增大 2.（多选）等量异种点电荷产生的电场等势面分布如图中实线所示，相邻等势面间电势差相等。O是两电荷连线的中点，a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点。已知电子在a点电势能比在b点电势能大，则（    ） A．a、c两点的电场强度相同 B．O点左边是正电荷，右边是负电荷 C．a点电场强度比b点的电场强度大 D．把电子从a点移到b点电场力做正功 3.（多选）避雷针是用来保护建筑物避免雷击的装置（如图甲）。如图乙是避雷针放电时空间等势面和电场线的分布图（图线大致对称分布），其中实线是电场线，虚线是等差等势面。则下列说法正确的是（    ） A．A点电场强度比B点大 B．A、C两点电势一样高 C．正电荷在C点的电势能比A点大 D．负电荷从C点移动到B点，电场力做的总功为0 4.（多选）如图所示为两个点电荷的电场线分布，图中M、N两点到点电荷（带电荷量为）的距离和R、S两点到点电荷（带电荷量为）的距离相等，M、N两点与点电荷共线，且M、N两点和R、S两点均关于两点电荷的连线对称，左边半圆（图示虚线）是正检验电荷的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A． B．M、N两点的电场强度可能不同，R、S两点的电势一定不同 C．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，可能只受电场力作用做匀速圆周运动 D．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，其电势能先增大后减小 5.（多选）如图，虚线表示位于O点的点电荷Q产生电场的等势面，相邻等势面间电势差大小相等且为4V，一电子在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示。已知电子经过a点时的动能为10eV，经过f点时电势能为-20eV，下列说法正确的是（　　） A．点电荷Q带负电 B．电子经过c点时动能为18eV C．电子经过d点时电势能为-28eV D．电子可能经过电势为4V的等势面 6.（多选）静电透镜是由带电导体所产生的静电场使电子束聚焦、发散和成像的装置，广泛应用于电子器件（如示波管）和电子显微镜中。某种静电透镜的部分静电场的分布如图所示，虚线表示在纸面内的一簇等差等势线。一电子从a点以某一速度射入该电场，仅在电场力作用下的运动轨迹如实线ac所示。下列说法正确的是（　　） A．a到c过程静电力对电子先做正功再做负功 B．a点的电势低于c点电势 C．在运动过程中电子动量的变化率发生变化 D．在运动过程中电子动量的变化率保持不变 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等势面（线） 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：等势面（线）的理解及应用 6 （一）一个点电荷的等势线模型 6 （二）两个点电荷的等势线模型 8 （三）带电体等势面（线）某电场的等势面模型 9 （四）金属体的等势线模型 10 （五）匀强电场及组合场的等势线模型 12 题型02： 电势高低判断 13 题型03：电势能大小判断 17 题型04：等势面与轨迹问题 24 题型05：等势面特点的综合应用 28 巩固提升 39 1. 考查地位：高考电场高频工具型考点，常和电场线、电势、电势能、带电粒子轨迹综合考查，多为中档选择题，极少单独大题，是匀强电场计算题重要突破口。 2. 题型特点：以图像选择题为主；匀强电场中利用等势点找电势、求场强，是高频小计算。经常给出等势面分布图，不画电场线，间接考查电场性质。 3. 命题角度 ①等势面基本性质：电场线与等势面垂直；同一等势面上移动电荷，电场力不做功。 ②点电荷、等量异种、等量同种电荷的等势面分布特点。 ③匀强电场等势面为平行等距平面；利用等势点找电势、计算电势差。 ④结合粒子轨迹与等势面，判断受力、做功、动能、电势能变化。 ⑤已知部分等势点，补画等势线，求解未知点电势。 4. 高频失分点：误以为等势面密集代表电势大；混淆场强大小和电势高低；匀强电场不会找等势点；移动电荷经过等势面，错误判断电场力做功。 1. 概念理解 ①理解等势面（等势线）含义：面上所有点电势相等；等势面是假想曲面，不是客观实物。 ②牢记核心性质：电场线与等势面处处垂直；电场线由高电势等势面指向低电势等势面；同一等势面上移动电荷，电场力做功为0。 2. 模型识记 掌握点电荷、等量异种、等量同种电荷对应的等势面形状分布；记住匀强电场等势面是平行等距平面。 3. 定性分析 ①给出等势面分布，判断场强方向、电势高低；结合电荷电性判断电势能大小。 ②结合粒子运动轨迹和等势面，判断电场力方向、做功正负、动能与电势能变化。 4. 计算应用 ①匀强电场中，利用等分找等势点，求解未知点电势；结合 U=Ed 求场强。 ②能区分：等势面疏密反映场强大小，和电势高低无关。 知识点一：等势面 1.定义：电场中电势大小相同的各点构成的面叫作等势面。 2.特点： ①.在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功； ②.在空间中两等势面不相交； ③.电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面； ④.在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏； ⑤.等势面是为描述电场的性质而假想的面； ⑥.等势面的分布与电势零点的选取无关； ⑦.当导体处于静电平衡状态时，导体是一个等势体，导体上各点电势都相等。 3.应用： ①.根据等势面的分布确定电场线的分布。 ②.由等差等势面的疏密程度判断电场的强弱。 ③.由等势面判断电场中各点电势的高低。 ④.由等势面判断在电场中移动电荷时静电力的做功情况。 知识点二：几种常见等势面的比较 匀强电场 点电荷 等量异种 等量同种 等势面是平行线。 等势面是球面。 中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。 知识点三： 电势φ与电场强度E的“六个不一定” 问题 电场强度大的地方电势是否一定高？反之又如何呢？ 电场强度为零的点电势一定为零吗？反之又如何呢？ 电场强度相等的点电势一定相等吗？反之又如何呢？ 正解 E大处φ不一定高；φ高处E不一定大 E为零处φ不一定为零，φ为零处E不一定为零 E相等处φ不一定相等，φ相等处E不一定相等 [ 反例 C处场强大于D处场强，但C处电势小于D处电势。 等量同种正电荷中点处，场强为零，但电势大于零；等量异种电荷中点处，电势为零，但场强大于零。 匀强电场中两点EA=EB，但φA>φB；等量异种电荷中垂线上，电势相等，但中点处场强最大。 知识点四：几组易混淆概念 1.场强、电势 场强大的地方电势不一定高，场强为零的地方电势不一定为零．场强和电势无必然联系． 2.电势、电势能 电荷在电势高的地方的电势能不一定大，与电荷的正负有关．正电荷在电势高的地方电势能一定大；负电荷在电势高的地方的电势能反而小。 3.电势降低的方向与场强方向间的关系 电势降低的方向不一定是电场强度的方向，电势降低最快的方向才是电场强度的方向． 4. 同种、异种电荷等势面的区别 等量异种 不等量异种 等量同种 不等量同种 具有对称性 Qa>Qb 具有对称性 QA<QB 知识点五：带电粒子在电场中的运动轨迹问题 （一）带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． 2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向． 若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线． 若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直． 3． 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加． （二）等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据电场力沿着垂直于等势面方向且指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合等势面的电势高低关系确定电场线的方向，进而确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做功、电势能的变化情况等。 （三）电场线与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据带电粒子所受的电场力沿着电场线的切线方向且（或等势面的垂线）指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合电场线的方向（或等势面的电势）确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子运动轨迹与电场线的分布情况，确定电场力做功、电势能的变化情况 解题策略 1. 基础判断口诀 等势面上电势同，移电荷做功零； 电场线垂直等势面，由高势指向低势。 等势面越密 ⇒ 场强越大，不等于电势越高。 2. 轨迹‑等势面题型步骤 ①电场线垂直等势面，画出电场线方向； ②电场力指向轨迹凹侧，判断电荷正负； ③力与速度夹角判断做功正负；进一步得到动能、电势能增减。 3. 匀强电场等势点解题技巧 ①在匀强电场中，平行且相等的线段，电势差相等。 ②找中点：两点连线中点电势为两端电势平均值；利用中点快速找到等势点，连接得到等势线。 ③找到等势线之后，作等势线垂线即为电场线方向，再用 U=Ed，d 是沿电场线距离求场强。 4. 易错避坑 ①电势相等，场强不一定相等；场强为零，电势不一定为零。 ②同一等势面移动电荷，电场力一定不做功，电势能不变。 5. 通用逻辑链 等势面分布 → 画电场线 → 判断场强、电势 → 结合电荷电性 → 判断电势能、电场力做功、动能变化。 题型01：等势面（线）的理解及应用 （一）一个点电荷的等势线模型 【典型例题】真空中某点电荷的等势面示意图如图所示，图中相邻等势面间电势差相等。下列说法正确的是(　　) A．该点电荷一定为正电荷 B．P点的场强一定比Q点的场强大 C．P点电势一定比Q点电势低 D．正检验电荷在P点比在Q点的电势能大 【答案】B 【解析】正电荷和负电荷周围的等势面都为一组同心球壳，该点电荷不一定为正电荷，故A错误；相邻等势面间电势差相等，P点附近的等差等势面更加密集，故P点的场强一定比Q点的场强大，故B正确；若为正点电荷，则P点电势一定比Q点电势高，故C错误；从等势面的情况无法判断P点电势与Q点电势的高低，就无法判断正检验电荷在P点和在Q点的电势能的大小，故D错误。 【典型例题2】如图所示，孤立点电荷电场中的一簇等势面如图所示中虚线所示，其从左到右电势分别为φ1、φ2、φ3，a、b、c是某电场线与这簇等势面的交点，且ab＝bc.现将一负电荷由a移到b，静电力做正功W1；再由b移至c，静电力做正功W2，则(　　) A．W1＝W2，φ1＜φ2＜φ3 B．W1＝W2，φ1＞φ2＞φ3 C．W1＞W2，φ1＜φ2＜φ3 D．W1＜W2，φ1＞φ2＞φ3 【答案】C 【解析】由题知，将一负电荷由a移到b再到c，静电力做正功，则受到的静电力的方向向右，结合负电荷受到的静电力的方向与电场线的方向相反，可知该电场线的方向向左，即由c指向a.沿电场线的方向电势降低，所以c点的电势最高，a点的电势最低，即φ1＜φ2＜φ3，该电场线的方向向左，由c指向a；再结合题图中等势面的特点可知，a处的场强最大，c处的场强最小，根据电场强度与电势差的关系U＝Ed可知，ba之间的电势差一定大于cb之间的电势差，即Ucb＜Uba，又静电力做功W＝qU，所以W1＞W2，故选C. 【变式训练1-1-1】如图所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( 　　) A．A点电势大于B点电势 B．A、B两点的电场强度相等 C．q1的电荷量小于q2的电荷量 D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能 【答案】C 【解析】由于电场力做负功，所以Q应带负电荷，由负点电荷产生电场的电场线的分布规律可判断出φB>φA，故A项错误；由E＝k，r不相等，所以EA≠EB，B项错误；由φA＝、φB＝，因为WA→∞＝WB→∞，φA<φB<0，所以>，即q1<q2，故C项正确；由于克服电场力做功相等，且无穷远处电势能为零，所以q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，故D项错误． 【变式训练1-1-2】(多选)如图，正点电荷固定在O点，以O为圆心的同心圆上有a、b、c三点，一质量为m、电荷量为－q的粒子仅在电场力作用下从a点运动到b点，速率分别为va、vb。若a、b的电势分别为φa、φb，则(　　) A．a、c两点电场强度相同 B．粒子的比荷＝ C．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 D．粒子从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少 【答案】BC　 【解析】由题意可知，a、c两点处于同一同心圆，因此它们的电场强度大小相同，方向不同，故A错误；－q的粒子仅在电场力作用下从a点运动到b点，速率分别为va、vb，根据动能定理，则有：－qUab＝mvb2－mva2，解得粒子的比荷＝，故B正确；因a点离正点电荷较近，则a点的电场线比b点处较密，因此其电场力比b点大，那么在a点的加速度大于在b点的加速度，故C正确；负粒子从a点移到b点，即从高电势移到低电势，那么电势能增大，电场力做负功，故D错误。 【变式训练1-1-3】(多选)如图所示，四分之一圆弧AB是点电荷电场中的一条等势线，圆弧的圆心在O点，C是A、B连线的中点，D是O、A连线的中点。在D点由静止释放一个带负电的试探电荷，仅在电场力作用下试探电荷沿DA加速运动，则下列说法正确的是(　　) A．A、B、C、D四点中，D点场强最大 B．A、B、C、D四点中，D点电势最高 C．一个带正电的点电荷从A点沿ACB移动到B的过程中，电势能先增大后减小 D．一个带负电的点电荷从B点沿BCD移动到D的过程中，电场力一直做负功 【答案】AD　 【解析】根据点电荷的电场的特点可知，距离点电荷越近处的电场强度大，所以D处的电场强度最大，故A正确； 由题，在D点由静止释放一个带负电的试探电荷，仅在电场力作用下试探电荷沿DA加速运动，说明负电荷受到的电场力的方向向上，所以电场的方向向下，沿AO方向；根据点电荷的电场的特点可知，O处为负电荷；距离负电荷越近处的电势越小，所以D点的电势最低，故B错误； 距离负电荷越近处的电势越小，所以ABC三点中，C点的电势最低，正电荷从A点沿ACB移动到B的过程中，电势能先减小后增大，故C错误； 距离负电荷越近处的电势越小，所以BCD三点中，B点的电势最高，D点的电势最低，带负电的点电荷从B点沿BCD移动到D的过程中，电场力一直做负功，故D正确 。 （二）两个点电荷的等势线模型 【典型例题】空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则(　 　) A．e点的电势大于0 B．a点和b点的电场强度相同 C．b点的电势低于d点的电势 D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加 【答案】D 【解析】由等势线分布图可以确定该图为两等量异种点电荷电场的等势线分布图，两点电荷连线垂直平分线上电势处处为零，A项错误；电场线与等势线垂直，故a、b两点的电场强度方向不同，B项错误；Q点处为正电荷，故垂直平分线左侧电势均大于零，右侧电势均小于零，所以b点电势高于d点电势，C项错误；又负电荷在电势高处电势能小，所以负电荷从a点移到c点时电势能增加，D项正确。 【变式训练1-2-1】如图所示，真空中M、N处放置两等量异种点电荷，a、b、c表示电场中的三条等势线，d点和e点位于等势线a上，f点位于等势线c上，df平行于MN.已知一带正电的试探电荷从d点移动到f点时，试探电荷的电势能增加，则以下判断正确的是(　　) A．M点处放置的是正电荷 B．若将带正电的试探电荷沿图中虚线de由d点移动到e点，则电场力先做正功、后做负功 C．d点的电势高于f点的电势 D．d点的场强与f点的场强完全相同 【答案】B　 【解析】因正电荷由d到f电场力做负功，电势能增加，则电势升高．故f点电势高于d点电势，则N点为正电荷，故A、C错误；将带正电的试探电荷沿直线由d点移动到e点，电势能先减小再增大到原来值，故电场力先做正功、后做负功．故B正确；d点与f点关于两点电荷的中垂线对称，则场强大小相等但方向不同，故D错误． 【变式训练1-2-2】两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则(　 　) A．a处为正电荷，qa<qb B．a处为正电荷，qa>qb C．a处为负电荷，qa<qb D．a处为负电荷，qa>qb 【答案】B 【解析】等差等势面密的区域电场强度大．由于φA>φB，沿电场线方向电势降低，故a处为正电荷，且a点附近等势面密，则电场强度大，所以qa>qb，选B. （三）带电体等势面（线）某电场的等势面模型 【典型例题】某电场等势面分布情况如图所示，则(　　) A．A点的电势比B点的电势大 B．电子在A点和B点受到的静电力大小相等 C．电子在e等势面时的电势能比在c等势面时的电势能小 D．电子从b等势面移到d等势面，电势能增加10 eV 【答案】C 【解析】A、B两点在同一等势面上，电势相同，故A错误；A点的等势面密，电场强，电子受到的静电力大些，故B错误；把电子从e等势面移到c等势面，静电力做负功，电势能增加，故C正确；电子从b等势面移到d等势面静电力做正功，电势能减小，故D错误． 【变式训练1-3-1】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　　) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【答案】BD 【解析】由题图可知φb＝φe，则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；由题图可知φa＝3 V，φd＝7 V，根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad＝Epa－Epd＝(φa－φd)·(－e)＝4 eV，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的场强方向向左，C错误；等差等势面越密的地方电场强度越大，由题图可看出a、b、c、d四个点中，b处的等势面最密集，则b点处的电场强度大小最大，D正确． 【变式训练1-3-2】如图所示，虚线表示某电场中的三个等势面，a、a′、b、b′、c、c′为分布在等势面上的点。一带电粒子从a点运动到c点的过程中电场力做功为Wac，从a′点运动到c′点的过程中电场力做功为Wa′c′。下列说法正确的是(　　) A.c点的电场方向一定指向b点 B.a′点电势一定比c′点电势高 C.带电粒子从c点运动到c′点，电场力做功为0 D.|Wac|<|Wa′c′| 【答案】C 【解析】带电粒子的电性和电场力做功的正负均未知，所以各等势面的电势高低未知，电场线的方向未知，A、B错误；因为c和c′在同一个等势面上，电势差U＝0，根据电场力做功W＝qU可知电场力对带电粒子做功为0，C正确；根据题意可得a、c两点的电势差与a′、c′两点之间的电势差相等，根据电场力做功W＝qU可知|Wac|＝|Wa′c′|，D错误。 （四）金属体的等势线模型 【典型例题1】(多选)图中虚线表示“∧”形带电导体下方电场的电场线或等势面分布示意图，其中c、d是同一条虚线上的两点，b是另一条虚线上的一点，a是导体尖角下方的一点．下列说法正确的是(　　) A．虚线表示等势面 B．b点的电场强度小于c点的电场强度 C．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 D．电荷从c点运动到d点，静电力做正功 【答案】AB 【解析】电场线起于正电荷(或无穷远)，终止于无穷远(或负电荷)，由题图可知，图中的虚线不是起于导体，可知虚线是等势面，故A正确；等势线越密的地方，电场强度越大，可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故B正确；等势面的电势高低不能确定，则不能确定电子在a点的电势能与在c点的电势能的关系，故C错误；因为c、d在同一等势面上，则电荷从c运动到d点，静电力不做功，故D错误． 【典型例题2】如图(a)所示，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　) A．FM<FN，EpM>EpN B．FM>FN，EpM>EpN C．FM<FN，EpM<EpN D．FM>FN，EpM<EpN 【答案】A 【解析】等差等势面的疏密反映电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的电场力大，即FM<FN；在负点电荷形成的电场中，离负点电荷越近，电势越低，正试探电荷的电势能越小，故φM>φN，EpM>EpN，故A正确。 【变式训练1-4-1】（多选）如图所示，M和N是两个带有异种电荷的带电体(M在N的正上方，图示平面为竖直平面)，P和Q是M表面上的两点，S是N表面上的一点．在M和N之间的电场中画有三条等差等势线．现有一个带正电的液滴从E点射入电场，它经过了F点和W点，已知油滴在F点时的机械能大于在W点的机械能．(E、W两点在同一等势面上，不计油滴对原电场的影响，不计空气阻力)则以下说法正确的是(　 　) A．P和Q两点的电势不相等 B．P点的电势低于S点的电势 C．油滴在F点的电势能高于在E点的电势能 D．F点的电场强度大于E点的电场强度 【答案】BD 【解析】P和Q两点在带电体M的表面上，M是处于静电平衡状态的导体，其表面是一个等势面，故P和Q两点的电势相等，故A错误；带正电的油滴在F点时的机械能大于在W点的机械能，故从F点到W点，机械能减小，电场力做负功，说明电场力方向向上，故电场线垂直等势面向上，而沿着电场线电势逐渐降低，故P点的电势低于S点的电势，故B正确；由于电场线垂直等势面向上，故E点的电势大于F点的电势，根据Ep＝qφ，油滴在F点的电势能低于在E点的电势能，故C错误；因F点等差等势面密集，则电场线也密集，可知F点的电场强度大于E点的电场强度，选项D正确． 【变式训练1-4-2】如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面。在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点。不计液滴重力。下列说法正确的是 (　　) A．a点的电势比b点的低 B．a点的电场强度比b点的小 C．液滴在a点的加速度比在b点的小 D．液滴在a点的电势能比在b点的大 【答案】D 【解析】由于发射极与电源正极相连接，故发射极电势高于吸极电势，故a点电势比b点电势高，A错误；等势面的疏密反映电场线的疏密，故a点的电场强度比b点的大，液滴在a点的加速度比b点的大，B、C错误；带电液滴从发射极加速飞向吸极，从a到b电场力做正功，故电势能减小，D正确。 【变式训练1-4-3】某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是(　　) A．实线表示电场线 B．离d点最近的导体表面电荷密度最大 C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同 D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零 【典例2拔尖题对应练习】【答案】D 【解析】处于静电平衡状态的导体，是个等势体，则整个导体为等势体，由于电场线方向总是与等势面垂直，所以实线不是电场线，是等势面，所以A错误；因等势面的疏密表示场强的强弱，则d点的场强较弱，并且电场强度越大的地方电荷密度越大，所以B错误；在“<”形导体右侧表面上下部分附近电场强度方向不相同，所以C错误；由于a、b在同一等势面上，则电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零，所以D正确。 （五）匀强电场及组合场的等势线模型 【典型例题】等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为Epa和Epb，电荷所受电场力大小分别为Fa和Fb，则(　 　) A．Epa>Epb，Fa>Fb B．Epa>Epb，Fa<Fb C．Epa<Epb，Fa>Fb D．Epa<Epb，Fa<Fb 【答案】D 【解析】电场线的疏密程度表示电场强度的大小，有Ea<Eb，则有Fa＜Fb，匀强电场方向水平向右，正负电荷形成的电场中电场线由正电荷指向负电荷，可知图中的电场线方向为从左指向右，由对称性可知b点电势小于a点电势，Ep＝qφ可知负电荷Epb>Epa，故选项D正确。 【变式训练1-5-1】如图所示，一质子以速度v0进入足够大的匀强电场区域，φ1、φ2、φ3、φ4；表示相邻的四个等势面，且φ1＜φ2＜φ3＜φ4。不计质子重力，下列说法正确的是(　　) A.质子运动过程一定是匀变速运动 B.质子运动过程中最小动能可能为0 C.质子可以回到原出发点 D.质子返回到等势面φ1时的速度仍为v0 【答案】A 【解析】质子在匀强电场中做类斜抛运动，因此运动过程一定是匀变速运动，因此质子不能回到原出发点，故A正确，C错误；质子运动过程中最小动能出现在速度方向平行于等势面时，速度不能为零，因此返回到等势面φ1时的速度大小为v0，方向不同，故B、D错误。 【变式训练1-5-2】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV.下列说法正确的是(　 　) A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【答案】AB 【解析】由题知，电子从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV，动能减小了6 eV，电势能增加了6 eV，因此等势面间的电势差为2 V，因平面b上的电势为2 V，由于从a到d电子的电势能增加，则等势面由a到f电势降低，因此平面c上的电势为零，故A正确；由以上分析可知，当电子由a向f方向运动，电子到达平面f的动能为2 eV，由于题目中没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做抛体运动，则可能不会到达平面f，故B正确；电子在平面b上电势为2 V，则电子的电势能为－2 eV，动能为8 eV，电势能与动能之和为6 eV，当电子经过平面d时，动能为4 eV，其电势能为2 eV，故C错误；电子经过平面b时的动能是经过平面d时的动能的2倍，电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，故D错误． 题型02： 电势高低判断 【典型例题1】武当山有一座铜铸金殿，雷雨交加时，金殿的屋顶常会出现盆大的火球，来回滚动。雨过天晴时，大殿金光灿灿，这就是人们所说的“雷火炼殿”奇观。若放电时金殿附近某条弯曲电场线如图所示，则下列各点的电势关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知 故选C。 【典型例题2】如图所示，实线和虚线分别为两点电荷和产生的电场中的电场线、等势线。已知的电量是的电量的9倍，以点电荷位置作为坐标原点，指向为轴正方向，、距离为。则关于两电荷的电性以及在轴上的范围内电势最低的点的坐标说法正确的是（    ） A．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 B．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 C．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 D．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 【答案】B 【详解】根据电场线分布的特点可知，两点电荷和为同种电荷，电势最低点为场强为0的位置，电荷量为9倍的关系，根据 可知，该点到两电荷的距离为3倍的关系，处场强为0，电势最低。 故选B。 【典型例题3】静电除尘利用静电场净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、B、C在圆筒的直径上，，若电极P的电势为0，下列说法正确的是（　　） A．AP＞BP B．金属圆筒Q为等势体 C．M、N两点的电场强度相同 D．C点的电势是B点电势的2倍 【答案】B 【详解】A．因A点到电极P的平均电场强度大于B点到电极P的平均电场强度，所以A点到电极P的距离较小，故A错误； B．金属圆筒Q为等势体，故B正确； C．根据对称性可知M、N两点电场强度大小相等、方向不同，故C错误； D．，根据电场线的疏密可知，C点的电势小于B点电势的2倍，故D错误。 故选B。 【变式训练2-1】下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（   ）    A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快 B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能 C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为4.8 × 10－5J D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零 【答案】C 【详解】A．由图判断相邻等势面为等差等势面，描述电势降落快慢的物理量是电场强度，描述电场强度的大小可用等差等势面的疏密程度，a侧电场强度小，所以沿Oa方向电势降落得慢，故A错误； B．负电荷在电势低的地方电势能大，故B错误； C．据能量守恒，带电粒子的动能和电势能之间相互转化，总能量不变为4.8 × 10－5J，故C正确； D．在同一条等势线上移动电荷，电场力始终不做功，故D错误。故选C。 【变式训练2-2】如图甲所示为某品牌负离子空气净化器，其产生负离子的原理如图乙所示，针状电极M和弧形电极N之间加上直流高压，使其间的空气发生电离，产生的负离子通过鼓风装置排出。在MN连线上，下列说法正确的是（　　）    A．离M点越近，场强越大，电势越低 B．离M点越近，同一正离子的加速度越小 C．离M点越近，同一负离子的电势能越大 D．各点的电势都大于零 【答案】AC 【详解】A．高压供电装置正极接地，针状电极接电源负极，而弧形电极接地，可知弧形电极N点的电势高于针状电极M点的电势，且离M点越近电势越低，而针状电极尖端处电荷的密集程度大，因此离M点越近，场强越大，故A正确； B．离M点越近，场强越大，由可知，离M点越近，同一正离子的加速度越大，故B错误； C．带负电的粒子在电势越低的地方电势能越大，因此可知离M点越近，同一负离子的电势能越大，故C正确； D．因为弧形电极N接地，电势为零，而MN连线各点上的电势都小于N点的电势，因此可知MN连线上各点（不包括N点）的电势都小于零，故D错误。故选AC。 【变式训练2-3】如图所示，两等量同种正电荷Q分别放置在椭圆的焦点A、B两点，O点为椭圆中心，P、S是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（　　） A．O点的电势高于M点和N点的电势 B．O点电场强度为零，电势也为零 C．椭圆上M、N两点电场强度相同 D．将一电子从P点移到S点，电场力一直做正功 【答案】A 【详解】A．根据等量同种电荷的电场线分布可知在中垂线上电场线的方向分别是OM和ON方向，根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，可知O点的电势高于M点和N点的电势，故A正确； B．根据等量同种正点电荷的电场分布规律，可知O点电场强度为零，根据等量同种正点电荷的电势分布规律，可知O点电势大于零，故B错误； C．由等量同种点电荷的电场分布特点及题图中的对称关系易知，M、N两点场强大小相等，方向相反，故C错误； D．等量同种正点电荷的电场线与等势线分布规律如图所示 根据等势线分布规律可知，P点与S点电势相等，将一电子从P点移到S点过程中，电势可能一直不变，也可能先升高后降低或先降低或升高，对应电场力一直不做功、先做正功后做负功、先做负功后做正功，故D错误。 故选A。 【变式训练2-4】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 【答案】C 【详解】AB．图像可知，相对M、P两点，N点更加靠近正电荷，故N点是M、N、P三点中电势最高的点，故AB错误； C．根据电场叠加原理可知，M、P两点场强大小相同，方向不同，故C正确； D．单独看B、C电荷在N点产生的电场强度抵消为0，所以N点的电场强度只是跟A处的正电荷有关，由于N点距离A点电荷最远，可知N点场强最小，故D错误。 故选C。 题型03：电势能大小判断 【典型例题1】城市生活污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用静电技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成的电场分布如图所示。其中实线为电场线，虚线为等势面，M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．N点的电场强度比P点的小 B．M点的电势比N点的高 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做负功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小 【答案】AD 【详解】A．根据电场线的疏密程度可知N点比P点更稀疏，故N点的电场强度比P点的小，故A正确； B．根据沿着电场线方向，电势降低，可知M点的电势比N点的低，故B错误； C．污泥絮体带负电，根据可知，污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故C错误； D．M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D正确。 故选AD。 【典型例题2】两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（　　） A．场强大小关系有 B．电势大小关系有 C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值 D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功 【答案】B 【详解】A．电场线越密的地方，电场强度越大，由图可知c点的电场线比b点的更密，所以有，故A错误； B．沿着电场线，电势逐渐降低，b点所处的电场线位于右侧导体的前面，即b点的电势比右侧的导体高，而d点紧靠右侧导体的表面，电势与导体的电势几乎相等，故b点电势高于d点的电势，故B正确； C．d点处电势为负值，根据可知负电荷放在d点时其电势能为正值，故C错误； D．从图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a点的电势高于d点的电势；正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正检验电荷从a点移到d点的过程中，电势能减小，则电场力做正功，故D错误。 故选B。 【典型例题3】如题图甲所示，同轴电缆由两个同心导体组成，通常是一个铜制的内导体和一个铜或铝制的外导体，两者之间由绝缘材料隔开。图乙为同轴电缆横截面内静电场的电场线和等势面分布情况，相邻的虚线圆间距相等，a、b、c点均为实线与虚线圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．图乙中实线代表等势线，虚线代表电场线 B．a、c间的电势差是b、c间电势差的两倍 C．a点的电场强度和b点的电场强度不相同 D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能 【答案】C 【详解】A．静电场中电场线是不闭合的，则实线代表电场线，虚线代表等势线，故A错误； B．段平均电场强度大于段平均电场强度，则、间的电势差绝对值大于、间的电势差绝对值的两倍，故B错误； C．电场线越密集电场强度越大，则点处的电场强度大于点处的电场强度，故C正确； D．若电场线方向不确定，点处的电势和点处的电势大小无法确定，故正电荷电势能大小无法确定，故D错误； 故选C。 【变式训练3-1】细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，、为轨迹上的两点，点与点关于轴对称，下列说法正确的是（    ） A．、两点的电场强度相同 B．点的电势与点的电势相等 C．DNA分子在点的加速度比在点小 D．DNA分子在点的电势能比在点小 【答案】C 【详解】A．电场中某点的电场强度的方向为电场线在该点的切线方向，由图可知、两点的电场强度的方向不同，故A错误； B．沿着电场线电势降低，故点的电势低于点的电势，故B错误； C．处的电场线更稀疏，场强更小，由牛顿第二定律可知，分子在点的加速度比在点小，故C正确； D．由轨迹可知，DNA分子由向运动的过程电场力做正功，电势能减小，故DNA分子在点的电势能比在点大，故D错误。 故选C。 【变式训练3-2】由生物岛实验室领衔研制、我国首个拥有自主知识产权的国产商业场发射透射电镜TH-F120完成了首批订单合同签订，正式开启了国产透射电镜的市场应用。其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力的作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电子在P点的受力方向斜向左上 B．电子在R点的加速度大于在P点的加速度 C．从P点至R点的运动过程中，电子的电势能先增大再减小 D．从P点至R点的运动过程中，电子的速度大小一直增大 【答案】D 【详解】A．电子在P点的受力方向与等势面垂直，电子做曲线运动受力方向指向轨迹的凹侧，所以电子在P点的受力方向斜向右下，故A错误； B．等差等势线越密，电场强度越大，所以P点场强大于R点场强，则电子在P点受到的电场力大，根据牛顿第二定律可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误； CD．电子受电场力方向与电场强度方向相反，所以电场强度方向背离PQ实线方向，根据电场线与等势面垂直，且由电势高的地方指向电势低的地方，则从P到R的电势升高，根据公式可知，电子电势能减小，动能增大，速度大小一直增大，故D正确，C错误。 故选D。 【变式训练3-3】如图所示，、、、为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，其中边与电场线平行，点为与连线的交点。一个电荷量为的正点电荷固定在点，下列说法正确的是（　　） A．、两点的电场强度相同 B．、两点的电势不等 C．将电子沿直线从点移动到点，电场力做正功 D．将电子沿直线从点移动到点，电势能先减小后增大 【答案】D 【详解】A．如图所示，在点的正点电荷在、、、四点产生电场方向如图所示 由图可知、两点的电场强度方向不相同，故、两点的电场强度不相同，A错误； B．匀强电场在、两点的电势相等，点电荷在、两点的电势相等，故、两点的电势相等，B错误； C．点电荷在、两点的电势相等，故将电子沿直线从点移动到点，点电荷对电子做功为零，匀强电场对电子做负功，故电场力做负功，C错误； D．边与匀强电场方向垂直，将电子沿直线从点移动到点，匀强电场对电子不做功，点电荷对电子先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，D正确。故选D。 【变式训练3-4】如图所示，在倾角为的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为、的两金属块A、B，其中A带电量为，B不带电。现让金属块A以初速度沿斜面向下运动，一段时间后与金属块B发生弹性正碰，且碰撞后A、B带电荷量均为。已知金属块与斜面间的滑动摩擦因数为，下列说法正确的是（　　）    A．碰撞前，A沿斜面做匀加速直线运动 B．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒 C．碰撞后，当A的速度为时，B的速度为 D．碰撞后，A、B系统的电势能先减小后不变 【答案】BC 【详解】A．由于则有可知碰撞前，A沿斜面做匀速直线运动，故A错误； BC．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中，由于， A、B之间的库仑斥力为A、B组成系统的内力，则A、B组成系统所受外力之和为零，系统满足动量守恒，当A的速度为时，有解得故BC正确； D．碰撞后，对于金属框A、B组成的系统，由于A、B之间存在库仑斥力，且A、B两者距离逐渐增大，可知库仑斥力对系统做正功，则系统的电势能逐渐减小，故D错误。故选BC。 【变式训练3-5】如图所示，在空间直角坐标系中的、、、四点分别固定电荷量为＋q、－q、＋q、－q的四个点电荷，z轴上有两个点、（图中未画出）。已知静电力常量为k，无穷远处为电势零点。下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度为0，电势不为0 B．AD连线中点的电场强度与BC连线中点的电场强度相同 C．E点、F点的电场强度为0，电势也为0 D．沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能逐渐增大 【答案】C 【详解】A．根据电场的矢量叠加可知O点的电场强度为0，O点到四个电荷的距离相等，则电势也为0，故A错误； B．根据矢量的叠加可知，AD连线中点的电场强度方向沿y轴正方向，BC连线中点的电场强度方向沿y轴负方向，故B错误； C．根据矢量的叠加可知，E点、F点的电场强度为0，根据对称性可知这两点的电势也为0，故C正确； D．y轴是一条等势线，沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能不变，故D错误； 故选C。 【变式训练3-6】如图所示，空间有一正八面体M-ABCD-N，O点是ABCD的中心，在顶点M、N分别固定电荷量为和的点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D四点的电场强度相同 B．A、B、C、D四点的电势相等 C．将一正试探电荷从A点沿直线移到O点过程中，电场力不做功 D．将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小 【答案】B 【详解】A．根据正八面体的结构特点，可知A、B、C、D四点与两点电荷距离相等，由场强叠加原理易知和的两点电荷在A、B、C、D四点产生的电场强度大小相等，方向不同，故A错误； B．根据正八面体的结构特点，A、B、C、D四点与两点电荷距离相等，由电势叠加原理易知A、B、C、D四点的电势相等，故B正确； CD．由电势叠加原理可知，从A点沿直线到C点，电势先减小后增大，将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小，电场力先做负功后做正功，故CD错误。 故选B。 【变式训练3-7】在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力。则（　　） A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 B．M处的电场强度大于N处的电场强度 C．M处的电势低于N处的电势 D．茶梗P下落过程中电势能减小 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 由于茶叶、茶梗均带正电，则电场力产生的加速度方向整体向右，由于茶叶的比荷小于茶梗的比荷，则茶叶所受电场力产生的加速度小于茶梗所受电场力产生的加速度，即在相等时间内，茶叶的水平分位移小于茶梗的水平分位移，所以茶叶落入左桶，茶梗落入右桶，故A错误； BC．电场线分布的密集程度表示电场强弱，M处电场线分布比N处电场线稀疏一些，则M处电场强度小于N处电场强度，且沿着电场线方向电势降低，故M处的电势高于N处的电势，故BC错误； D．茶梗P下落过程中电场力做正功，则电势能减小，故D正确。 故选D。 【变式训练3-8】如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均增大 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【答案】A 【详解】A．未接通极板电源时，甲乙颗粒均悬浮，重力等于浮力，调节溶液pH=3，从图中可知甲蛋白质颗粒带电量为-2q0，乙带电量为2q0，接通电源后电场强度一样，由牛顿第二定律可得 由于甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，故甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲先到达极板，故A正确； B．甲乙运动过程中电场力都做正功，电势能均减小，故B错误； C．甲乙带电性相反，受力方向相反，故C错误； D．由图可知，增大pH值，甲带的电荷量先减小后增大，故电场力也是先减小后增大，故D错误。 故选A。 【变式训练3-9】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的顶点B、E处各固定一个带电荷量为的点电荷，顶点D处固定一个电荷量为的点电荷，顶点F处固定一个电荷量为的点电荷，O为正六边形的几何中心。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿OC方向 B．O点场强大小为 C．电子在O点的电势能比在C点的电势能大 D．点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小 【答案】D 【详解】AB．B、E处的点电荷在O点产生的场强大小均为，方向相反，在O点叠加后场强为零；则O点场强仅由D、F处点电荷决定，D处的的点电荷在O点产生的场强大小为，方向沿OD；F处的的点电荷在O点产生的场强大小为，方向沿OC，合场强不沿OC方向。F，O、D三点不共线，则 故AB错误； C．取无穷远处电势为零，O点电势 C点电势 O点电势高，电子在O点电势能小，在C点电势能大，故C错误； D． 则点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小，故D正确。 故选D。 题型04：等势面与轨迹问题 【典型例题1】如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为1、2、3和4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子，重力不计，在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（　　） A．4等势面上各点场强处处相同 B．四个等势面的电势关系是 C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功 D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc=vd 【答案】BD 【详解】A．由图可得，等势面的疏密不同，所以等势面上各点场强大小并不相同，故A错误； B．做曲线运动的带负电粒子，受力的方向指向凹侧，因此受力斜向右下，电场线斜向左上，沿着电场线电势降低，所以四个等势面的电势关系是故B正确； C．粒子从a运动到c的过程中，轨迹电势降低，粒子带负电，则电势能增大，静电力一直做负功，电场中由于c、d两点电势相等，从c到d的过程中，电场力先做负功后做正功，故C错误； D．由C项分析可得，根据动能定理，粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是故D正确。 故选BD。 【典型例题2】如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（　　） A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 【答案】AC 【详解】A．该电场为匀强电场，等势面沿水平方向，则电场方向沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所以粒子受到的电场力竖直向下，从A到B的过程中电场力对粒子做正功，粒子的速度增大，所以粒子的速度v2一定大于v1，故A正确； B．粒子带正电，则知电场方向竖直向下，等势面b的电势比等势面c的电势高，故B错误； C．粒子在A点的速度大小为v1，粒子在沿等势面方向做匀速直线运动，所以粒子运动的时间故C正确； D．A、B两点沿电场线方向的距离为由动能定理有联立解得 故D错误；故选AC。 【典型例题3】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（　　）    A．A点的电势小于D点的电势 B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为 C．电场中C、D两点的电场强度相同 D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大 【答案】A 【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确； B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有 从A到B 解得 B错误； C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误； D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。 故选A。 【典型例题4】如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（　　） A．A点的电势大于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大 D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小 【答案】D 【详解】A．带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则A点的电势小于B点的电势，故A错误； B．A点的等势面较稀疏，则A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误； CD．将q在A点由静止释放，将向电势低处运动，即向等势面稀疏处运动，其受静电力将减小，电势能将减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练4-1】如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（　　）    A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小 B．负点电荷一定位于M点左侧 C．a点的场强大于b点的场强 D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 【答案】D 【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误； B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误； CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确； 故选D。 【变式训练4-2】在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　）    A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心 【答案】B 【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误； B．在同一个等势面上，，又电荷电势能 所以α粒子在处的电势能相等，B正确； C．匀强电场中两等势面间的电势差 由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此 电场力做的功 可知由c到d过程电场力做功较多，C错误； D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。 故选B。 【变式训练4-3】电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（　　）    A．a点电势为7.5 V B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV C．电子在b点加速度比在c点加速度大 D．电子在电场中运动的最小速度一定为零 【答案】B 【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5 V，则相邻两等势面间的电势差为2.5 V，则a点电势为 故A错误； B．电子在两点，由能量守恒定律有 由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5 eV，故B正确； C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误； D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。 故选B。 题型05：等势面特点的综合应用 【典型例题1】如图所示为某电子透镜中电场的等势面（虚线）的分布图，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，电子先后经过O、P、Q三点（三点均在等势面上）。在电子从O点运动到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．加速度先减小后增大 B．速度一直减小 C．电子在O点电势能小于在Q点电势能 D．从O点到P点电场力做的功等于从P点到Q点电场力做的功 【答案】D 【详解】A．相邻等势面间电势差相等，可知等差等势面越密集，场强越大；则电子从O点运动到Q点的过程中，场强先变大后变小，则电子受到的电场力先增大后减小，加速度先增大后减小，A错误； B．根据曲线运动的合力指向轨迹的凹侧，且场强方向与等势面垂直可知电子受到的电场力垂直等势面向右，所以电场力与速度方向的夹角小于90°，则电场力对电子做正功，电子的动能增大，速度一直增大，B错误； C．由于电场力对电子做正功，则电子电势能减少，电子在O点的电势能比在Q点的电势能大，C错误； D．由于相邻等势面间电势差相等，则有，根据可知从O点到P点电场力做的功等于从P点到Q点电场力做的功，D正确。 故选D。 【典型例题2】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【答案】D 【详解】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误； B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误； C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误； D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。 故选D。 【典型例题3】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（　　） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷+q由O点沿直线移动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷+q由F点沿直线移动到B点，其电势能先增大后减小 【答案】D 【详解】A．根据电场强度的叠加可知，正电荷在F'点产生场强和负电荷在C'点产生的场强大小相等，方向不同，正电荷在C'点产生场强和负电荷在F'点产生的场强大小相等，方向不同，因此F'点与C'点的电场强度大小相等，电场强度方向不同，故A错误； B．根据等量异种电荷的电势分布特点可知，A′点与O′点的电势差等于O′点与D′点的电势差，而F′点的电势高于O′点的电势，所以A′点与F′点的电势差小于O′点与D′点的电势差，故B错误； C．OO′为等势线，将试探电荷由O点沿直线运动到O′点，其电势能不变，故C错误； D．F点沿直线到B点电势先升高后降低，所以正的试探电荷电势能先增大后减小，故D正确。 故选D。 【典型例题4】如图所示为研究高压带电体周围绝缘试验的电场分布图，由于试验线路比较短，在大的空间尺度下高压带电体A可以等效为点电荷，B、C、D是其周围的三个金属导体，均已处于静电平衡状态，P、S是导体C上的两点，M、N是A附近的两点，下列说法正确的是（　　） A．电场强度 B．电场强度 C．正电荷在点的电势能大于其在S点的电势能 D．负电荷在点的电势能大于其在点的电势能 【答案】B 【详解】A．导体处于静电平衡时，导体内部电场强度均为0，可知 故A错误； B电场线分布的密集程度表示电场强度的大小，根据图示可知，M点位置的电场线分布比N点电场线密集一些，则有 故B正确； C．导体处于静电平衡时，导体本身为一个等势体，可知 根据 可知，正电荷在点的电势能等于其在S点的电势能，故C错误； D．由于电场线与等势线垂直，沿电场线方向，电势降低，根据图示有 根据 可知，负电荷在点的电势能小于其在点的电势能，故D错误。 故选B。 【典型例题5】（多选）如图所示，真空中有两个固定的带等量正电荷的点电荷，O点为两正电荷连线的中点，过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和中垂线分别交于A、C和B、D。以下说法正确的是（    ） A．以O为圆心的圆是一个等势面 B．A、C两点电势相等 C．B、D两点电场强度大小相等 D．把一负试探电荷沿直线从A点移动到C点，电势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】AB．根据等量同种电荷电势的分布情况可知，A、C两点的电势相等，大于O点的电势，而O点的电势大于B、D两点的电势，故以O为圆心的圆不是一个等势面，A错误，B正确； C．根据电场的叠加原理，可知B、D两点电场强度大小相等，方向相反，C正确； D．负电荷沿直线从A到O的过程中，克服电场力做功，电势能增大，O到C的过程中，电场力做功，电势能减小，故把一负试探电荷沿直线从A点移动到C点，电势能先增大后减小，D错误。 故选BC。 【典型例题6】（多选）污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有（　　） A．M点的电势比N点的低 B．N点的电场强度比P点的大 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大 【答案】AC 【详解】AC．根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故AC正确； B．根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误； D． M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。 故选AC。 【变式训练5-1】竖直面内，一带电小球以一定的速度进入匀强电场中，如图所示，虚线为匀强电场的等差等势面，实线为带电小球的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的方向一定竖直向上 B．小球从到，其机械能守恒，电势能增大 C．小球从到与从到，其动能的变化量相同 D．小球从到，电场力对其做正功，小球的电势能减小 【答案】C 【详解】A．由题意可知，带电小球所受电场力指向轨迹凹侧，即受到竖直向上的电场力，但由于带电小球的电性未知，则匀强电场的方向未知，故A错误； BD．小球从到的过程中，电场力做负功，故带电小球的机械能减小，电势能增大，故BD错误； C．小球从到与从到，根据可得电场力做的负功相同，电势能增加量相同，根据能量守恒定律可知其动能的变化量相同，故C正确。故选C。 【变式训练5-2】如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 【答案】D 【详解】AD．根据题意可知，实线为等差等势线，由图可知 E、F两点在同一条等势线上，电势相等，故A错误，D正确； B．电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动，说明电子所受电场力指向点，结合图像可知，两点电荷为等量的正电荷，故B错误； C．由对称性可知，A、B两点的场强大小相等，方向相反，故C错误。 故选D。 【变式训练5-3】某电场的电场线分布如图中实线所示，图中虚线为某带电粒子在只受该电场力作用下的运动轨迹，、、是轨迹上的三个点。关于这个带电粒子，下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子一定是从点运动到点 C．粒子在点的加速度大于在点的加速度 D．粒子在点的动能大于在点的动能 【答案】C 【详解】A．带电粒子只在该电场力作用下运动，根据曲线运动的条件可知，电场力方向指向轨迹的凹侧，因此粒子受到的电场力与场强方向相反，则粒子带负电，A错误； B．粒子不一定是从点运动到点，也可能是从点运动到点，B错误； C．根据电场线的疏密程度可知，点的场强大于点的场强，则粒子在点受到的电场力大于在点受到的电场力，粒子在点的加速度大于在点的加速度，C正确； D．假设粒子从运动到，根据粒子带负电所受电场力的方向和运动方向之间的夹角大于可知，此过程中电场力做负功，所以动能应该减少，D错误。 故选C。 【变式训练5-4】空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质子运动轨迹如图虚线所示，、是轨迹上的两个点，下列说法正确的是（　　） A．点的电场强度比点大 B．、两点电场强度的方向相同 C．质子从点运动到点，电场力做正功 D．质子处于、两点时，其电势能在点时较小 【答案】C 【详解】A．等差等势面越密集的地方场强越大，故点的电场强度比点小，故A错误； B．电场线与等势面垂直，且指向低等势面，如图为、两点电场强度的方向 可知、两点电场强度的方向不同，故B错误； C．曲线运动的受力方向指向曲线的凹测，受力与电场强度方向相同，质子从点运动到点，力与位移的夹角为锐角，所以电场力做正功，故C正确； D．根据质子处于、两点时，其电势能在点时较大，故D错误； 故选C。 【变式训练5-5】如图所示，在等量同种正点电荷形成的电场中，O是两点电荷连线的中点，C、D是连线中垂线上相对O对称的两点，已知，则（　　） A．点G的电场强度比点E的电场强度小 B．点E与点F的电场强度大小相等，方向相同 C．EO间的电势差比EC间电势差小 D．若有一负点电荷在C点由静止释放，负点电荷将在CD间做往复运动，由C运动到D时加速度一定先增大后减小 【答案】C 【详解】A．设两点间距离为，正点电荷所带电荷量为，点电荷产生的电场强度为 所以由电场叠加原理可得点G的电场强度 点E的电场强度 所以点G的电场强度比点E的电场强度大，故A错误； B．由等量同种电荷形成电场的对称性规律可知，点E与点F的电场强度大小相等，方向相反，故B错误； C．在等量同种正电荷的连线上，连线中点电势最低，两点电荷的中垂线上该点的电势最高，所以EO间的电势差比EC间电势差小，故C正确； D．等量同种正电荷连线的中垂线上从点沿中垂线向两边电场强度先变大后变小，所以负电荷由C运动到D时加速度不一定先增大后减小，故D错误； 故选C。 【变式训练5-6】某带电导体所产生的电场线与等差等势面如图所示，A是导体内部的一点，是导体表面上的两点，是导体外部离导体表面不太远的两点（图中未画出），下列说法正确的是（　　） A．A点的电势高于B点的电势 B．两点的电场强度大小相等 C．若一正试探电荷从B点移到点，电场力做的功大于从B点移到点做的功，则点的电势低于点的电势 D．若一负试探电荷从点移到点，电场力做负功，则负试探电荷在点的电势能小于在点的电势能 【答案】D 【详解】A．带电导体是个等势体，内部电势与表面电势处处相等，故A点的电势等于B点的电势，故A错误； B．B点处的电场线比C点处的电场线密集，则B点的电场强度大于C点的电场强度，故B错误； C．若一正试探电荷从B点移到点，电场力做的功大于从B点移到点做的功，则有 可得 可得 则点的电势高于点的电势，故C错误； D．若一负试探电荷从点移到点，电场力做负功，电势能增大，则负试探电荷在点的电势能小于在点的电势能，故D正确。 故选D。 【变式训练5-7】如图甲、乙、丙所示为三种带电体产生的电场线和等差等势面示意图，下列说法正确的是（　　） A．甲图中点和点电场强度相同 B．乙图中带电体表面上点和点电势相等，电场强度大小相等 C．丙图中点的电势小于点电势 D．丙图中电子在点的电势能大于在点的电势能 【答案】D 【详解】A．电场强度是矢量，甲图中A点和B点电场强度大小相等，方向不同，所以电场强度不相同，故A错误； B．孤立的带电导体本身是一个等势体，其表面是一个等势面，所以乙图中带电体表面上C点和D点电势相等，由电场线疏密程度知电场强度大小不相等，故B错误； C．丙图中下极板带正电，上极板带负电，电场线方向向上，沿电场线方向电势降低，所以丙图中F点电势高于E点电势，故C错误； D．根据可知，负电荷在电势高的地方电势能小，所以电子在F点电势能比较小，故D正确。 故选D。 【变式训练5-8】如图所示是三个点电荷A、B、C周围电场线分布图（电场方向未画出）。下列说法正确的是（　　） A．点电荷A一定带正电 B．点电荷C一定带正电 C．点电荷A、B一定是同种电荷 D．点电荷B、C一定是同种电荷 【答案】C 【详解】电场线从正电荷出发指向负电荷，图中没标注电场线方向，所以无法判断三个电荷带电性质，但是根据图示可知，点电荷A、B一定是同种电荷，点电荷B、C一定是异种电荷。 故选C。 【变式训练5-9】一接地金属板M水平放置，在金属板M延长线上垂直纸面放置一均匀带正电的金属棒N，其剖面图中两者周围的电场线和等势线分布如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．图中虚线为等势线 B．a、b两点场强相同 C．a点电势高于c点电势 D．电子在a点的电势能大于c点的电势能 【答案】C 【详解】A．金属棒N带正电，由于静电感应，金属板左端感应出负电荷，并达到静电平衡，其表面为一等势面，与电场线垂直，可知虚线为电场线，故A错误； B．电场线分布的密集程度表示电场强度的大小，根据对称性可知，a、b两点电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．电场线由正电荷指向负电荷，即电场线由N指向M，由于顺着电场线电势降低，则有 故C正确； D．由于 电子在电势高处电势能小，则有 故D错误。 故选C。 【变式训练5-10】如图为高压输电线终端周围的电场分布情况。在做电缆头时，剥去了屏蔽层，改变了电缆原有的电场分布。图中为金属线芯上侧的电场线和等势面，A点和B点在同一条电场线上，则下列说法正确的是（   ） A．同一带正电的粒子在A、B、C三点电势能的关系为EpC > EpB > EpA B．将一电子放在C点，电子的电势能为90keV C．电场中A点的电场强度小于B点的电场强度 D．在B点由静止释放一质子，质子将沿电场线运动到A点 【答案】A 【详解】A．由图可知A、B、C三点电势φC > φB > φA，同一带正电的粒子在A、B、C三点电势能的关系为EpC > EpB > EpA，故A正确； B．电子带负电，因此在C点电势能为−90keV，故B错误； C．电场线的疏密表示电场强度的大小，电场中A点的电场强度大于B点的电场强度，故C错误； D．物体做曲线运动时所受的合力应指向曲线凹侧，在B点由静止释放一质子，所受电场力的方向并没有指向AB的凹侧，所以粒子不会沿着电场线运动，故D错误。 故选A。 【变式训练5-11】雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．云层带负电 B．A点的电场强度大小比B点的小 C．电子在A点动能比在B点动能小 D．电子在A点电势能比在B点电势能大 【答案】A 【详解】A．由于电场线垂直于等势线，根据电子所受电场力的方向斜向左下方，电子带负电，可知，电场方向斜向右上方法，沿电场线方向电势降低，故A点电势比B点电势高，由此可知云层带负电，故A正确； B．等差等势面分布的疏密程度表示电场强弱，可知，A点场强比B点场强大，故B错误； C．结合上述，若电子从A运动到B，电场力方向与运动方向的夹角为钝角，则电场力做负功，电子在A点动能比在B点动能大，故C错误； D．结合上述，电子从A运动到B，电场力做负功，电势能增大，可知，电子在A点电势能比在B点电势能小，故D错误。 故选A。 【变式训练5-12】在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 【答案】D 【详解】A．题图可知P极附近电势为正，故P为正极，Q为负极，故A错误； B．题图可知，故b点的电势比a点的电势高，故B错误； C．题图可知b点等差等势面比a的密集，故b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误； D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 故D正确。故选D。 【变式训练5-13】盘型悬式绝缘子是高压输电线路上常见的设备，其模型如图甲所示，图乙所示是其轴线所在截面上的等差等势线分布，空气中沙粒间的非对称摩擦会使沙粒带上电荷，悬浮沙粒携带电荷是绝缘子沿面电位和电场畸变的重要原因。下列说法正确的是（　　） A．图乙中a、b、c三点的电势关系为 B．图乙中a、b、c三点的电场强度大小关系为 C．带负电的沙粒聚集在绝缘子的低压端 D．某带电沙粒可从a点沿电场线运动到b点 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，从绝缘子低压端到高压端，等势线的电势逐渐升高，则 故A错误； B．等差等势线的疏密表示电场强度的大小，可知 故B正确； C．空间中的电场由绝缘子高压端指向绝缘子低压端，又负电荷所受电场力的方向与电场线的方向相反，故带负电的沙粒聚集在绝缘子高压端，故C错误； D．从a到b的电场线不是直线，沙粒不可能一直沿电场线运动，故D错误。 故选B。 【变式训练5-14】如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4 keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 【答案】C 【详解】A．由图可知，越靠近云层电势越低，所以云层带负电，故A错误； B．由图可知，a点附近比c点附近的电场线更疏，所以a点电场强度大小小于c点电场强度大小，故B错误； C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，电场力做功为 电场力做正功，动能增加4 keV，故C正确； D．由图可知，b、c两点电势相等，电子从b点移动至c点，电势能不变，故D错误。 故选C。 【变式训练5-15】（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【答案】ACD 【详解】D．将六棱柱的上表面拿出    由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确； C．由等量异种电荷的电势分布可知，，，，因此，C正确； AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误； 故选ACD。 1.（多选）如图所示，正六棱柱上.下底面的中心分别为O和O'，棱柱高为底面边长的2倍，在A、D'两点分别固定等量异种点电荷，取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（    ） A．C点的电势为零 B．电势差UBB'=UEE' C．O点与O'点的电场强度相同 D．将一带负电的试探电荷沿直线从A'点移动至D点，电势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】A．A、D'两点放上等量异种电荷，则其连线的中垂面为等势面，电势为零，但C点不在该等势面上，故A错误； B．由对称性可知， 则 解得 故B正确； C．同样由对称性可知，正电荷在O'点与O点产生的电场强度与负电荷对应在O点与O'点产生的电场强度相同，则O点与O'点的合电场强度相同，故C正确； D．A'、D两点连线是等势线，试探电荷的电势能不变，故D错误。 故选BC。 2.（多选）等量异种点电荷产生的电场等势面分布如图中实线所示，相邻等势面间电势差相等。O是两电荷连线的中点，a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点。已知电子在a点电势能比在b点电势能大，则（    ） A．a、c两点的电场强度相同 B．O点左边是正电荷，右边是负电荷 C．a点电场强度比b点的电场强度大 D．把电子从a点移到b点电场力做正功 【答案】AD 【详解】由题意可得及电势能计算式可知，a点电势低于b点电势，所以可画出一对等量异种点电荷产生的电场的分布图： A．a、c为两电荷连线上关于O点对称的两点，所以电场强度大小相等方向相同，故A正确； B．电子在a点的电势能比b点的电势能大，因为电子带负电，所以a点的电势比b点的电势低，所以O点右边是正电荷，左边是负电荷，故B错误； C．a点处的电场线比b点处的电场线稀疏，所以a点电场强度比b点的电场强度小，故C错误； D．电子在a点的电势能比b点的电势能大，从a点到b点电势能减小，电场力做正功，故D正确。 故选AD。 3.（多选）避雷针是用来保护建筑物避免雷击的装置（如图甲）。如图乙是避雷针放电时空间等势面和电场线的分布图（图线大致对称分布），其中实线是电场线，虚线是等差等势面。则下列说法正确的是（    ） A．A点电场强度比B点大 B．A、C两点电势一样高 C．正电荷在C点的电势能比A点大 D．负电荷从C点移动到B点，电场力做的总功为0 【答案】CD 【详解】A．根据电场线的疏密程度反应场强大小，可知A点电场强度比点小，A错误； B．由于电场线是从电势高的等势面指向电势低的等势面，因此C点的电势比A点高，B错误； C．根据结合B选项分析可知正电荷在C点的电势能比A点大，C正确； D．B、C两点处于同一等势面上，负电荷从C点移动到B点，电场力做的总功为0，D正确。 故选CD。 4.（多选）如图所示为两个点电荷的电场线分布，图中M、N两点到点电荷（带电荷量为）的距离和R、S两点到点电荷（带电荷量为）的距离相等，M、N两点与点电荷共线，且M、N两点和R、S两点均关于两点电荷的连线对称，左边半圆（图示虚线）是正检验电荷的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A． B．M、N两点的电场强度可能不同，R、S两点的电势一定不同 C．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，可能只受电场力作用做匀速圆周运动 D．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，其电势能先增大后减小 【答案】AD 【详解】A．由题图可知，为正电荷，为负电荷，且由电场线的疏密程度得，故A正确； B．由对称性可知，M、N两点的电场强度大小相等，方向不同，R、S两点的电势一定相同，故B错误； D．若只有点电荷，正检验电荷的运动轨迹为等势面，现由于点电荷的影响，M、N处电场线发生弯曲，题图中半圆虚线上，M、N两点电势最低，因此正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，其电势能先增大后减小，故D正确； C．由于半圆轨迹不是等势线，正检验电荷不可能只受电场力而做匀速圆周运动，故C错误。 故选AD。 5.（多选）如图，虚线表示位于O点的点电荷Q产生电场的等势面，相邻等势面间电势差大小相等且为4V，一电子在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示。已知电子经过a点时的动能为10eV，经过f点时电势能为-20eV，下列说法正确的是（　　） A．点电荷Q带负电 B．电子经过c点时动能为18eV C．电子经过d点时电势能为-28eV D．电子可能经过电势为4V的等势面 【答案】BC 【详解】A．由于电子做曲线运动，电子所受电场力要指向轨迹的凹侧，则电子受到吸引力，所以场源点电荷应带正电，故A错误； B．电子从a点运动到f点过程有， 解得 所以 电子从a点运动到c点过程有 解得 故B正确； C．电子从a点运动到d点过程有， 解得 故C正确； D．由以上分析可知，电子运动过程中总能量为-6eV，当电子经过电势为4V的等势面时，电势能等于-4eV，根据能量守恒定律可知，其动能等于-2eV，小于零，说明电子不可能经过4V的等势面，故D错误。 故选BC。 6.（多选）静电透镜是由带电导体所产生的静电场使电子束聚焦、发散和成像的装置，广泛应用于电子器件（如示波管）和电子显微镜中。某种静电透镜的部分静电场的分布如图所示，虚线表示在纸面内的一簇等差等势线。一电子从a点以某一速度射入该电场，仅在电场力作用下的运动轨迹如实线ac所示。下列说法正确的是（　　） A．a到c过程静电力对电子先做正功再做负功 B．a点的电势低于c点电势 C．在运动过程中电子动量的变化率发生变化 D．在运动过程中电子动量的变化率保持不变 【答案】BC 【详解】AB．根据电场力位于轨迹的凹侧和电场力总是与等势面垂直，可知到过程静电力对电子始终做正功，则电势能减少，电势升高，所以a点的电势低于c点电势，故A错误，B正确； CD．动量的变化率为 在运动过程中各点的电场强度不同，所以动量的变化率发生变化，故C正确，D错误。 故选BC。 1 学科网（北京）股份有限公司 $