第08讲 电势与电势能 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦电势能和电势高考核心考点，按“概念理解-定性判断-定量计算”逻辑架构知识要点，通过考情分析、解题策略指导及11类题型归纳，帮助学生突破符号运算、电场情境分析等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以题型分类训练为特色，结合电场线、等势面图像培养科学思维，如“电势能比较两步法”强化模型建构能力，设置典型例题与变式训练保障复习效果，能有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

第08讲 电势能和电势 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：静电力做功的特点 5 题型02：电势能的变化 5 题型03：电势的变化 6 题型04：单个点电荷电场中的电势能、电势问题 6 题型05：两个等量同种点电荷的电场中的电势能、电势问题 8 题型06：不等量点电荷电场中的电势能、电势问题 9 题型07：两个等量异种点电荷电场中的电势能、电势问题 10 题型08：涉及匀强电场的电势能、电势问题 12 题型09：空间想象、空间表达问题 14 题型10：对称问题 18 题型11：联系实际 19 1. 考查地位：高考电场模块核心基础考点，属于高频必考题，多为中档难度，是电场力做功、带电粒子运动综合题的铺垫。 2. 题型特点 ①选择题为主：常结合电场线、等势面图像做定性比较；偶尔设置匀强电场定量计算。 ②很少单独出大题，但计算题中会作为中间步骤，用来求电势差、电场力做功。 3. 命题角度 ①电势、电势能概念辨析；电势高低、电势能大小比较； ②电势、电势能正负的物理意义； ③电势差与电势关系，结合W＝qUAB联系电场力做功； ④匀强电场中等势点、等势面判断。 4. 高频失分点：混淆电势和电势能；忽略电荷正负直接比较电势能；符号运算出错；认为电势为零处电势能一定为零以外的错误推论。 1. 概念理解 ①理解电势是电场本身属性，与试探电荷无关；电势能是电荷与电场共有的能量，和电荷量、电性均有关。 ②掌握零电势点的人为选取，明白电势、电势能的正负代表相对大小，不代表方向。 ③分清 ∆φ 、Ep、 三者定义以及相互换算关系：＝。Ep=q∆φ 2. 定性判断 ①依据电场线：沿电场线方向电势逐渐降低，快速判断两点电势高低。 ②会结合电荷正负判断电势能：正电荷，电势越高电势能越大；负电荷，电势越高电势能越小。 ③结合等势面，判断移动电荷时电势能变化。 3. 计算应用 ①会利用W＝qUAB＝q(φA－φB) 做定量计算，能够正确带入正负符号。 ②匀强电场中结合 U=Ed，联系电势差、场强、电势。 4. 应试素养：能区分“电场性质”和“电荷能量”，避开正负号陷阱，图像题建立“电势→电势能→电场力做功”分析链条。 知识点一．电场力做功 1.电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。 2.电场力做功的计算方法 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 知识点二．电势能 1.定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。用符号Ep表示 2.说明：电势能具有相对性，通常把 无穷远处 或 地面 的电势能规定为零。 3.静电力做功与电势能变化的关系 ①静电力做的功等于电荷电势能的减少量 ，即WAB＝ EpA－EpB 。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就 减少 多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就 增加 多少。 ②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。 4.电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。 5.电势能的大小判断“四法” 判断方法 方法解读 公式法 将电荷量、电势及正负号一起代入公式EpA＝qφA计算，EpA＞0时值越大，电势能越大；EpA＜0时绝对值越大，电势能越小。 电势高 低法 同一正电荷在电势越高的地方电势能越大；同一负电荷在电势越低的地方电势能越大。 静电力 做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 能量守 恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化而且其和守恒，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加 知识点三．电势 1.定义：试探电荷在电场中某点具有的 电势能Ep 与它的电荷量q 的比值。 2.定义式：φ＝ 　。 3.矢标性：电势是标量 ，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）。 点电荷在空间某点电势φ＝。 若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和 4.相对性：电势具有 相对性 ，同一点的电势因选取 零电势点 的不同而不同。 5.电势高低的判断“四法” 判断方法 方法解读 电场线 方向法 沿电场线方向电势逐渐降低 场源电荷正负法 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；越靠近正电荷处电势越高，越靠近负电荷处电势越低 电势能 大小法 同一正电荷的电势能越大的位置处电势越高，同一负电荷的电势能越大的位置处电势越低 静电力 做功法 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 知识点四．电势差 1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差。 2.表达式：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。 3.静电力做功与电势差的关系 ①公式：WAB＝qUAB或UAB＝。 ②适用范围：任意电场。 4.影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 1. 概念区分口诀：电势看电场，电势能看“电场+电荷”。电势只由电场决定；电势能必须兼顾电势高低和电荷正负。 2. 电势高低判断：沿电场线电势降低；同一等势面上各点电势相等。 3. 电势能比较两步法 第一步：先比较两点电势， 第二步：看电荷电性： 正电荷：∆φ 越大，Ep 越大 负电荷：∆φ 越大，Ep 越小 4. 定量计算原则：公式 Ep=q∆φ 、W＝qUAB＝q(φA－φB) 计算时，q、φ、U全部带正负号代入运算，不要只代绝对值。 5. 联动功能关系：电势能变化直接看电场力做功，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大，可用来验证判断结果。 题型01：静电力做功的特点 【典型例题】两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图所示。若此杆绕过O点垂直于杆的轴线顺时针转过90°，则在此转动过程中，电场力做的功为（　　） A．0 B．qEl C．2qEl D．πqEl 【变式训练1-1】正点电荷电场分布如图，该正点电荷电量为Q。A、B、C是电场线上的三个点。另一正点电荷在静电力作用下，沿电场线由A点移至B点的过程中，静电力做功为W1，将该正点电荷从A点移至C点再移至B点过程中静电力做功为W2，则（　　） A． B． C． D． 题型02：电势能与电势能的变化 【典型例题】如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ<NQ。下列叙述正确的是（  ） A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能增加 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变 【变式训练】在电场中，把一点电荷从A点移到B点，克服静电力做的功为，以下说法正确的是（　　） A．电荷在B点具有的电势能是 B．电荷在B点具有的电势能是 C．电荷的电势能增加了 D．电荷的电势能减少了 题型03：电势与电势的变化 【典型例题】如图实线为一簇未标明方向的电场线，虚线为一带电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．A点的电势一定比B点低 B．A点的电场强度比B点小 C．带电粒子在A点的动能比B点大 D．带电粒子在A点的电势能比B点高 【变式训练】关于公式，下列说法中正确的是（　　） A．电场中某点的电势，与放在该点的电荷具有的电势能成正比 B．电场中某点的电势，与放在该点的电荷的电荷量成反比 C．电场中某点的电势，与该点是否有电荷、电荷的正负及电荷量有关 D．放入电场中某点的电荷不同，其电势能也不同，但电势能与电荷量的比值保持不变 题型04： 单个点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】一点电荷Q的电场中，让x轴与它的一条电场线重合，已知坐标轴上A、B两点的坐标分别为x1和x2，如图甲所示。在A、B两点分别放置正试探电荷，其受到的静电力跟试探电荷的电荷量的关系，如图乙中直线a、b所示，设静电力的正方向与x轴正方向相同，静电力常数未知。则下列说法不正确的是(　 ) A．可以判断点电荷Q的电性 B．可以求出点电荷Q的电荷量 C．可以求出点电荷Q的位置坐标 D．可以比较A点和B点的电势高低 【典型例题2】在点电荷Q形成的电场中有一点A，当一个－q的检验电荷从电场的无限远处移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为(　　) A．EpA＝－W，φA＝ B．EpA＝W，φA＝－ C．EpA＝W，φA＝ D．EpA＝－W，φA＝－ 【变式训练4-1】一带电粒子在正电荷形成的电场中，运动轨迹如图所示的abcd曲线，下列判断正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子通过a点时的速度比通过b点时大 C．粒子从a点运动到d点，电场力先做正功，后做负功 D．粒子在a点时的电势能比b点大 【变式训练4-2】（多选）如图,在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点,M、N、P为直角三角形的三个顶点,F为MN的中点,∠M=30°。M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示。已知φM=φN,φP=φF,点电荷Q在M、N、P三点所在平面内,则(　　) A.点电荷Q一定在MP的连线上 B.连接PF的线段一定在同一等势面上 C.将正试探电荷从P点搬运到N点,电场力做负功 D.φP大于φM 【变式训练4-3】如图所示，电荷量为的点电荷固定在O点，三点共面，其中。则下列说法正确的是（　　） A．P点的场强小于Q点的场强 B．P点的电势高于Q点的电势 C．电子在P点的电势能比其在Q点的电势能小 D．将一正试探电荷由P点移到Q点，电场力做负功 【变式训练4-4】如图所示，电场中同一条水平方向电场线上的三点。为的中点，电势分别为、，下列叙述正确的是（　　）    A．该电场在点处的电势不一定为 B．a点处的场强一定大于b点处的场强 C．一负电荷运动到c点时受到的静电力由c指向b D．一负电荷从c点运动到b点电势能一定减小 题型05： 两个等量同种点电荷的电场中的电势能、电势问题 【典型例题】如图所示，两个圆圈表示两个带等量正电荷的点电荷或两个通以垂直于纸面向里的电流强度相等的直导线，O点为两者连线中点，M、P两点均在连线上且关于O点对称，N点位于连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　）    A．若为电流，M点与P点的磁感应强度相同 B．若为电流，M点与N点的磁场方向相同 C．若为电荷，M点的电势比O点的电势低 D．若为电荷，N点的电势比O点的电势低 【典型例题2】(多选)如图所示，两个带等量正电荷的点电荷分别固定于x轴上的P、Q两点，其位置关于直角坐标系xOy的原点O对称。圆弧PQ是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是(　 ) A．a、b两点的电势相同 B．a、b两点的电场强度相同 C．将一个带负电的试探电荷先沿着圆弧从a点移到c点，再沿y轴正方向移动，试探电荷的电势能先增大后不变 D．设两电荷在半圆上任意一点产生的电场强度大小分别是E1、E2，则＋为一定值 【变式训练5-1】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是(　　) A．a点电势低于O点 B．b点电势低于c点 C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 【变式训练5-2】（多选）如图所示，真空中等量同种正电荷放置在M、N两点，在MN的连线上有对称点，MN连线的中垂线上有对称点，则下列说法正确的是（ ） A．两点电场强度相等 B．正电荷在c点电势能等于在a点电势能 C．在MN连线的中垂线上，O点电势最高 D．负电荷从d点静止释放，在它从d点运动到b点的过程中，加速度先减小再增大 【变式训练5-3】(多选)等量同种带正电的点电荷的连线和其中垂线如图所示。一个带负电的试探电荷，先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则(　　) A．试探电荷所受电场力的方向一直不变 B．试探电荷所受电场力的大小一直增大 C．试探电荷的电势能一直减少 D．a、b、c三点的电势关系为：φa<φb<φc 题型06：不等量点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2 产生的电场的电场线，虚线为一电子在只受电场力作用下从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是(　 ) A．A 点的电场强度小于B点的电场强度 B．Q1的电荷量大于Q2 的电荷量 C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．电子在A点的速度大于在B点的速度 【典型例题2】（多选）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（　　） A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 【变式训练6-1】如图，真空中电荷量为和的两个点电荷分别位于点与点，形成一个以延长线上点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），为连线上的一点，S为等势面与直线的交点，为等势面上的一点，下列说法正确的是（　　） A．点电势低于点电势 B．点电场强度方向指向O点 C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点 D．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做正功 【变式训练6-2】两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则(       ) A．a处为正电荷，qa＜qb B．a处为正电荷，qa＞qb C．a处为负电荷，qa＜qb D．a处为负电荷，qa＞qb 题型07：两个等量异种点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中点和点、点和点皆关于两电荷连线的中点对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是（　　） A．电荷在点受力最大 B．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 C．电荷沿直线由到的过程中，电场力先做正功后做负功 D．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 【典型例题2】如图所示，竖直平面内光滑圆弧轨道半径为R，等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于圆周最低点，CD是AB边的中垂线，在A、B两顶点上放置一对等量异种电荷，现把质量为m带电荷量为＋Q的小球由圆弧的最高点M处静止释放，到最低点C时速度为v0，不计＋Q对原电场的影响，取无穷远处为零电势，静电力常量为k，则（　　） A．小球在圆弧轨道上运动过程机械能守恒 B．C、D两点电势相等 C．M点电势为 D．小球对轨道最低点C处的压力大小为 【变式训练7-1】如图所示，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为圆心，以l为半径的半圆路径．A、B两处各放有一点电荷，电荷量分别为＋q和－q.下列说法正确的是(　　) A．单位正电荷在O点所受的静电力与在D点所受的静电力大小相等、方向相反 B．单位正电荷从D点沿任意路径移到无限远，静电力做正功，电势能减小 C．单位正电荷从D点沿DCO移到O点，电势能增大 D．单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电势能增大 【变式训练7-2】如图所示，在真空中A、B两点分别放置等量的异种电荷＋q、－q，在通过A、B两点的竖直平面内相对于AB对称取一个矩形路径abcd，且ab平行于AB，a、d到A点的距离等于b、c到B点的距离．设想将一个电子沿路径abcd运动一周，则下列说法正确的是(　　) A．由a到b，电势降低，电子的电势能减小 B．由a到b，电势升高，电子的电势能增大 C．由b到c，电场力对电子先做正功，后做负功，总功为零 D．由d到a，电子的电势能先减小后增大，电势能的变化总量为零 【变式训练7-3】如图所示的平面内，有静止的等量异号点电荷，M、N两点关于两电荷连线对称，M、P两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是(　 ) A．M点的场强比P点的场强大 B．M点的电势比N点的电势高 C．N点的场强与P点的场强相同 D．电子在M点的电势能比在P点的电势能大 题型08：涉及匀强电场的电势能、电势问题 【典型例题·】如图所示，A、B为匀强电场中同一条电场线上的两点。电势分别为、；电荷量为的试探电荷在A、B两点的电势能分别为、。则（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】下列说法正确的是（　　） A．在电场中，凡是电场线通过的点，场强不为零，不画电场线区域内的点场强为零 B．在电场中，电场强度大的地方，电势一定高 C．电荷在电场中某点的电势能等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功 D．电荷在电场中某点的电势等于把它从这点移动到零电势位置时静电力所做的功 【典型例题2】如图所示，竖直方向的匀强电场中O点固定一点电荷，一带负电小球绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，A、B是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电势分别为φA、φB，电场强度分别为EA、EB，不计空气阻力，小球可视为质点，则(　 ) A．φA＞φB、EA＞EB B．φA＜φB、EA＜EB C．φA＜φB、EA＞EB D．φA＞φB、EA＜EB 【典型例题4】如图所示，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相垂直的直径。将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向(　　) A．平行于直径ab指向a B．平行于直径ab指向b C．垂直于直径ab指向pm弧 D．垂直于直径ab指向nq弧 【变式训练8-1】如图所示，一带电微粒沿与CD平行方向(垂直AD方向)射入倾角为θ的光滑斜面上，斜面所在区域存在和AD平行的匀强电场，微粒运动轨迹如图中虚线所示，则(　　) A．若微粒带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下 B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加 C．微粒从M点运动到N点动能一定增加 D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加 【变式训练8-2】如图，在匀强电场A、B两处分别放入两个正点电荷qA和qB，且qA = 2qB。甲同学选择零势能面后，算出A、B两点的电势能，得出A的电势能小于B的电势能的结论。其他同学看了甲的结论，分别发表了以下看法。你赞同的看法是（　　） A．甲同学得出的结论与零势能面选择无关 B．甲同学选取的零势能面一定在A的左边 C．甲同学选取的零势能面一定在B的右边 D．甲同学选取的零势能面一定在A和B之间 【变式训练8-3】实验室中探测到电子在匀强电场中的运动轨迹为一条抛物线。为研究问题方便，建立如图所示的坐标系，该抛物线开口向下，a、b是抛物线上的两点。下列说法正确的是(　　) A．匀强电场方向可能沿x轴正方向 B．匀强电场方向可能沿y轴负方向 C．匀强电场中a点的电势比b点高 D．电子在b点的动能比在a点的大 【变式训练8-4】我们把两个等量异号点电荷组成的系统称为电偶极子。面积足够大的平行板电容器，两极板之间的距离为d，将电容器接在电压恒定的电源两端，规定无穷远处电势为0。将带电量极小的电偶极子用长度为l的绝缘轻杆连接，将其从无穷远处移到电容器两极板之间处于如图所示的状态（杆和极板垂直），移动电偶极子的过程中电场力做功为W；将两极板分别围绕O、点顺时针旋转，如图中虚线所示，仍将绝缘轻杆连接的电偶极子从无穷远处移动到同一位置，此过程中电场力做功为（） A．0 B．W C． D． 【变式训练8-5】 有一匀强电场，电场线与坐标平面平行。如图所示，以O点为圆心，以R＝0.10 m为半径的圆周上任一点P的电势满足φ＝－40sin（θ＋60°）＋40（V），θ为O、P两点连线与x轴正方向所成的角，该圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，以顺时针方向角度为正，则下列说法正确的是（　　） A. 该电场强度方向与x轴正方向成θ＝60°角 B. 该圆周内所有点的电势不可能小于零 C. 该匀强电场的场强大小为 D. 该匀强电场的场强大小为E＝400 V/m 题型09：空间想象、空间表达问题 【典型例题1】如图，边长为1m的正方体ABCD—EFGH所处空间中存在匀强电场（图中未画出）。已知A、B、F三点的电势分别为20V、10V、0，则下列判断正确的是（　　） A．电场方向从F指向A B．A、E两点电势差和H、D两点电势差相等 C．场强大小一定为V/m D．把负电荷从A移到E电场力做正功 【典型例题2】(多选)如图所示，在正四面体的两个顶点分别固定电荷量为Q的等量异种电荷，a、b是所在棱的中点，c、d为正四面体的另外两个顶点，则以下判断正确的是(　　) A．c、d两点电势相等 B．a、b两点的电场强度相同 C．沿棱从b到d电势逐渐降低 D．负的试探电荷沿棱从c到d电势能始终不变 【典型例题3】如图所示，a、b、c、d、e、f是以O为球心的球面上的点，平面aecf与平面bedf垂直，分别在b、d两点处放有等量同种点电荷＋Q，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　) A．a、e、c、f四点电场强度相同 B．a、e、c、f四点电势不同 C．电子沿球面曲线a→e→c运动过程中，静电力先做正功后做负功 D．电子沿直线由a→O→c运动过程中，电势能先减少后增加 【典型例题4】在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成37°角．如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，cos370=0.8，重力加速度为g。如果以圆周运动最低点所在平面为重力势能为0的平面，（不计空气阻力）求： （1）运动过程中动能的最小值Ekmin； （2）运动过程中机械能的最小值E机min。 【变式训练9-1】如图所示，A、B、C是等边三角形的三个顶点，AB边的中点为M，BC边的中点为N，O点为三角形的中心，分别在A、B、C固定放置电荷量为+Q、+Q、-Q的点电荷时，下列说法正确的是（　　） A．M、N两点的电场强度大小相等 B．M点的电势高于N点的电势 C．将一个不计重力的负电荷沿直线由O点向C点移动的过程中，电势能逐渐减小 D．将一个不计重力的负电荷沿直线由O点向N点移动的过程中，受到的电场力做负功 【变式训练9-2】如图所示，两正四面体边长均为l0，两正四面体bcd面完全重合，电荷量为Q的两正、负电荷A、B分别置于两四面体左、右两顶点，静电力常量为k，则(　 ) A．b、c、d三点的电场强度大小相等，方向不同 B．b、c、d三点的电势不相等 C．平面bcd上电场强度的最大值为 D．平面bcd上电场强度的最大值为 【变式训练9-3】(多选)如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上的B、C、D三个顶点各固定一个电荷量为＋q的点电荷，一个质量为m的点电荷N恰好可以静止在A点。若把点电荷N从A点沿过A点的竖直面向上移动到无穷远处，电场力做功的大小为W。不考虑N对电场的影响，以无穷远处电势为零，重力加速度为g。根据上述现象，可以判定(　 ) A．A点的电场强度为EA＝ B．点电荷N带电荷量大小为qN＝ C．A点的电势为φA＝ D．点电荷N的电势能将先增大后减小 【变式训练9-4】如图所示，空间中存在A、B、C、D四个点恰好构成一个棱长为a的正四面体，其中在水平面上的A、B、C三个顶点各固定一个电荷量为的点电荷，另一个质量为m的点电荷M恰好可以静止在D点。把该点电荷M从D点移动到无穷远处，电场力做功为W。不考虑点电荷M对电场的影响，无穷远处电势为零，静电力常量为k，重力加速度为，则D点处的电势为（ ） A. B. C. D. 【变式训练9-5】如图所示，正三棱锥OMNF的底面三角形MNF的中心为P（图中未画出）。现在顶点O处固定一负的点电荷，在MNF平面内，下列说法正确的是（　　） A. P点的电势最高 B. P点的电场强度最小 C. 正检验电荷沿NF移动时，电势能先减小后增大 D. 正检验电荷沿MN移动时，电场力始终不做功 【变式训练9-6】如图所示，光滑斜面上等高处固定着两个等量正电荷，两电荷连线的中垂线上有一带负电的小球。现将小球由静止释放，取两电荷连线中点为坐标原点O，以此连线中垂线沿斜面向下为正方向，取无限远处电势为零，设小球在O点重力势能为零，则小球运动过程中加速度a、重力势能、机械能E、电势能随位置x变化的关系图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式训练9-7】某空间存在一足够大且沿水平方向电场。在该电场中的一个粗糙水平面上，将带电量为-q，质量为m的绝缘物块自某点O由静止释放，其速度v与位移x的关系图像为如图所示的一条斜率为k的直线，物块与水平面的滑动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列判断中正确的是（　　） A. 物块的加速度a随位移x的变化关系为 B. 该电场的电场强度E随物块位置x的变化关系为 C. 物块从O点到的过程中，电势能减少量为 D. 若取O点电势为零，则处的电势为 【变式训练9-8】如图所示的O-xyz三维坐标系中，xOy平面在水平地面内，z轴正方向竖直向上，空间有水平方向的匀强电场，电场方向与x轴正方向夹角θ=37°，场强大小E=500V/m。现从坐标原点O以初速度v0=15m/s竖直向上抛出一带正电小球，已知小球质量m=0.01kg，带电量 重力加速度g=10m/s²。下列说法正确的是（　　） A. 小球运动过程中电势能先减小后增大 B. 经t=1.5s小球的速度最小，为7.5m/s C. t=2s时，小球的位置坐标为（8，6，10） D. 取O点为零势能点，小球落地时的电势能为-2.25J 题型10：对称问题 【典型例题1】(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是(　　) A．D点的电势小于A点的电势 B．D点的电势小于C点的电势 C．试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大 D．直线BD所在的水平面为等势面 【典型例题2】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　 ) 　　　 【变式训练10-1】如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心。现将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动，则（　　） A. 在移动过程中，O点电场强度变小 B. 在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大 C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功 D. 当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点 【变式训练10-2】如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（　　） A. L和N两点处的电场方向相互垂直 B. M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C. 将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D. 将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 【变式训练10-3】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　 ) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 题型11：联系实际 【典型例题1】冷冻电子显微镜能捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程。如图为某种电子显微镜内电场线的分布图，一电子仅在电场力作用下沿直线从a点运动到c点，b为线段ac上的一点。下列说法正确的是（　　） A．场强大小关系为： B．电势高低关系为： C．电子从a点运动到c点的过程中，其电势能逐渐变大 D．电子从a点运动到c点的过程中，其动能先变大后变小 【典型例题2】如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是(　 ) A．a点的电势比b点的低 B．a点的电场强度比b点的小 C．液滴在a点的加速度比在b点的小 D．液滴在a点的电势能比在b点的大 【变式训练11-1】一装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，圆筒内的电场线如图所示，A、B两点到电极P的距离相等，A、B、C三点和电极P在一条直线上，下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度大于A点的电场强度 B．C点与A点的电场方向相同 C．C点的电势比B点的电势高 D．将一试探电荷从C点沿不同的路径移至A点，电场力做的功可能不相等 【变式训练11-2】(多选)如图为某静电矿料分选器原理图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分别落在收集板中央的两侧。下列关于矿粉分离过程说法正确的是(　 ) A．落在收集板左侧的矿粉带正电 B．电场力对落在收集板两侧的矿粉均做负功 C．矿粉的电势能均减小 D．矿粉的电势能均增大 【变式训练11-3】如图所示是用于离子聚焦的静电四极子场的截面图，四个电极对称分布，其中两个电极带正电荷，形成高电势＋U，两个电极带负电荷，形成低电势－U。图中a、b、c、d四个点为电场中的四个位置，下列说法正确的是(　 ) A．图中虚线表示电场线 B．a点的电势高于b点的电势 C．电荷在四个电极的表面分布均匀 D．c点的电场强度大小与d点的电场强度大小相等 【变式训练11-4】如图所示是高压电场干燥中药技术基本原理图，在大导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电；水分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去，在鼓风机的作用下飞离电场区域从而加速干燥。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹。下列说法正确的是(　 ) A．A处的电场强度大于D处 B．B处的电势高于C处 C．水分子做匀变速运动 D．水分子由A运动到C的过程中电势能减少 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 电势能和电势 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：静电力做功的特点 5 题型02：电势能的变化 6 题型03：电势的变化 6 题型04：单个点电荷电场中的电势能、电势问题 7 题型05：两个等量同种点电荷的电场中的电势能、电势问题 9 题型06：不等量点电荷电场中的电势能、电势问题 12 题型07：两个等量异种点电荷电场中的电势能、电势问题 14 题型08：涉及匀强电场的电势能、电势问题 16 题型09：空间想象、空间表达问题 20 题型10：对称问题 29 题型11：联系实际 31 1. 考查地位：高考电场模块核心基础考点，属于高频必考题，多为中档难度，是电场力做功、带电粒子运动综合题的铺垫。 2. 题型特点 ①选择题为主：常结合电场线、等势面图像做定性比较；偶尔设置匀强电场定量计算。 ②很少单独出大题，但计算题中会作为中间步骤，用来求电势差、电场力做功。 3. 命题角度 ①电势、电势能概念辨析；电势高低、电势能大小比较； ②电势、电势能正负的物理意义； ③电势差与电势关系，结合W＝qUAB联系电场力做功； ④匀强电场中等势点、等势面判断。 4. 高频失分点：混淆电势和电势能；忽略电荷正负直接比较电势能；符号运算出错；认为电势为零处电势能一定为零以外的错误推论。 1. 概念理解 ①理解电势是电场本身属性，与试探电荷无关；电势能是电荷与电场共有的能量，和电荷量、电性均有关。 ②掌握零电势点的人为选取，明白电势、电势能的正负代表相对大小，不代表方向。 ③分清 ∆φ 、Ep、 三者定义以及相互换算关系：＝。Ep=q∆φ 2. 定性判断 ①依据电场线：沿电场线方向电势逐渐降低，快速判断两点电势高低。 ②会结合电荷正负判断电势能：正电荷，电势越高电势能越大；负电荷，电势越高电势能越小。 ③结合等势面，判断移动电荷时电势能变化。 3. 计算应用 ①会利用W＝qUAB＝q(φA－φB) 做定量计算，能够正确带入正负符号。 ②匀强电场中结合 U=Ed，联系电势差、场强、电势。 4. 应试素养：能区分“电场性质”和“电荷能量”，避开正负号陷阱，图像题建立“电势→电势能→电场力做功”分析链条。 知识点一．电场力做功 1.电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。 2.电场力做功的计算方法 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 知识点二．电势能 1.定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。用符号Ep表示 2.说明：电势能具有相对性，通常把 无穷远处 或 地面 的电势能规定为零。 3.静电力做功与电势能变化的关系 ①静电力做的功等于电荷电势能的减少量 ，即WAB＝ EpA－EpB 。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就 减少 多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就 增加 多少。 ②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。 4.电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。 5.电势能的大小判断“四法” 判断方法 方法解读 公式法 将电荷量、电势及正负号一起代入公式EpA＝qφA计算，EpA＞0时值越大，电势能越大；EpA＜0时绝对值越大，电势能越小。 电势高 低法 同一正电荷在电势越高的地方电势能越大；同一负电荷在电势越低的地方电势能越大。 静电力 做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 能量守 恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化而且其和守恒，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加 知识点三．电势 1.定义：试探电荷在电场中某点具有的 电势能Ep 与它的电荷量q 的比值。 2.定义式：φ＝ 　。 3.矢标性：电势是标量 ，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）。 点电荷在空间某点电势φ＝。 若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和 4.相对性：电势具有 相对性 ，同一点的电势因选取 零电势点 的不同而不同。 5.电势高低的判断“四法” 判断方法 方法解读 电场线 方向法 沿电场线方向电势逐渐降低 场源电荷正负法 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；越靠近正电荷处电势越高，越靠近负电荷处电势越低 电势能 大小法 同一正电荷的电势能越大的位置处电势越高，同一负电荷的电势能越大的位置处电势越低 静电力 做功法 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 知识点四．电势差 1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差。 2.表达式：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。 3.静电力做功与电势差的关系 ①公式：WAB＝qUAB或UAB＝。 ②适用范围：任意电场。 4.影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 1. 概念区分口诀：电势看电场，电势能看“电场+电荷”。电势只由电场决定；电势能必须兼顾电势高低和电荷正负。 2. 电势高低判断：沿电场线电势降低；同一等势面上各点电势相等。 3. 电势能比较两步法 第一步：先比较两点电势，. 第二步：看电荷电性： 正电荷：∆φ 越大，Ep 越大 负电荷：∆φ 越大，Ep 越小 4. 定量计算原则：公式 Ep=q∆φ 、W＝qUAB＝q(φA－φB) 计算时，q、φ、U全部带正负号代入运算，不要只代绝对值。 5. 联动功能关系：电势能变化直接看电场力做功，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大，可用来验证判断结果。 题型01：静电力做功的特点 【典型例题】两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图所示。若此杆绕过O点垂直于杆的轴线顺时针转过90°，则在此转动过程中，电场力做的功为（　　） A．0 B．qEl C．2qEl D．πqEl 【答案】B 【详解】+q受到的电场力水平向右，-q受到的电场力水平向左，电场力对两电荷都做正功。设+q离O点距离为x，则-q离O点的距离为。在杆顺时针转过90°的过程中，电场力对两球做的功分别为； 所以总功为 故选B。 【变式训练1-1】正点电荷电场分布如图，该正点电荷电量为Q。A、B、C是电场线上的三个点。另一正点电荷在静电力作用下，沿电场线由A点移至B点的过程中，静电力做功为W1，将该正点电荷从A点移至C点再移至B点过程中静电力做功为W2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，两次过程的初末位置相同，故两次做功的情况相同，即，故A正确，BCD错误。故选A。 题型02：电势能与电势能的变化 【典型例题】如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ<NQ。下列叙述正确的是（  ） A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能增加 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变 【答案】D 【详解】AB．由正点电荷产生的电场的特点可知，M点的电势高，N点的电势低，所以将正的点电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能减少，故AB错误； C．将负的点电荷由M点移到N点，克服静电力做功，电势能增加，故C错误； D．静电力做功与路径无关，负点电荷又回到M点，则整个过程中静电力做功的代数和为零，电势能不变，故D正确。故选D。 【变式训练】在电场中，把一点电荷从A点移到B点，克服静电力做的功为，以下说法正确的是（　　） A．电荷在B点具有的电势能是 B．电荷在B点具有的电势能是 C．电荷的电势能增加了 D．电荷的电势能减少了 【答案】C 【详解】AB．电荷在电场中某点的电势能具有相对性，只有确定了零电势能点，电荷在B点的电势能才是确定的数值，选项A、B错误； CD．电荷从A点移到B点的过程中克服静电力做的功为，因此电荷的电势能增加了，选项C正确，D错误。故选C。 题型03：电势与电势的变化 【典型例题】如图实线为一簇未标明方向的电场线，虚线为一带电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．A点的电势一定比B点低 B．A点的电场强度比B点小 C．带电粒子在A点的动能比B点大 D．带电粒子在A点的电势能比B点高 【答案】C 【详解】ACD．根据粒子的运动轨迹可知，粒子所受的静电力大致向右，若粒子从A运动到B，则静电力做负功，动能变小，电势能变大，即带电粒子在A点的动能比B点大，在A点的电势能比B点低，但是由于粒子的电性未知，则不能确定A、B两点电势的高低（若粒子从B运动到A，可得到同样的结论），故AD错误，C正确； B．由于A点的电场线较B点密集，可知A点的场强大于B点的场强，故B错误。故选C。 【变式训练】关于公式，下列说法中正确的是（　　） A．电场中某点的电势，与放在该点的电荷具有的电势能成正比 B．电场中某点的电势，与放在该点的电荷的电荷量成反比 C．电场中某点的电势，与该点是否有电荷、电荷的正负及电荷量有关 D．放入电场中某点的电荷不同，其电势能也不同，但电势能与电荷量的比值保持不变 【答案】D 【详解】AB．公式采用了比值定义法，不能说电场中某点的电势与放在该点的电荷具有的电势能成正比，与放在该点的电荷的电荷量成反比，因为电势是由电场本身决定的，选项AB错误； C．电场中某点的电势，与该点是否有电荷、电荷的正负及电荷量无关，选项C错误； D．放入电场中某点的电荷不同，其电势能也不同，但电势能与电荷量的比值保持不变，选项D正确。 故选D。 题型04： 单个点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】一点电荷Q的电场中，让x轴与它的一条电场线重合，已知坐标轴上A、B两点的坐标分别为x1和x2，如图甲所示。在A、B两点分别放置正试探电荷，其受到的静电力跟试探电荷的电荷量的关系，如图乙中直线a、b所示，设静电力的正方向与x轴正方向相同，静电力常数未知。则下列说法不正确的是(　 ) A．可以判断点电荷Q的电性 B．可以求出点电荷Q的电荷量 C．可以求出点电荷Q的位置坐标 D．可以比较A点和B点的电势高低 解析：选B　根据题意可知EA＝＝40 N/C，方向沿x轴正方向，EB＝＝2.5 N/C，方向沿x轴正方向，故可以判断点电荷应在A、B左侧带正电，场强方向是由A指向B，则φA＞φB，A、D正确；设点电荷距离A点x，则k＝EA，k＝EB，分析可得可以求出x，即Q的位置坐标，不能求点电荷Q的电荷量，C正确，B错误。 【典型例题2】在点电荷Q形成的电场中有一点A，当一个－q的检验电荷从电场的无限远处移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为(　　) A．EpA＝－W，φA＝ B．EpA＝W，φA＝－ C．EpA＝W，φA＝ D．EpA＝－W，φA＝－ 解析　依题意，－q的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则电荷的电势能减小W，无限远处电荷的电势能为零，则电极在A点的电势能为EpA＝－W，A点的电势φA＝＝。 答案　A 【变式训练4-1】一带电粒子在正电荷形成的电场中，运动轨迹如图所示的abcd曲线，下列判断正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子通过a点时的速度比通过b点时大 C．粒子从a点运动到d点，电场力先做正功，后做负功 D．粒子在a点时的电势能比b点大 答案：B 解析： 轨迹弯曲的方向大致指向合力的方向，知电场力背离正电荷方向，所以该粒子带正电。故A错误；从a到b，电场力做负功，根据动能定理，动能减小，a点动能大于b点动能，则a点速度大于b点的速度。故B正确； 粒子从a点运动到d点，电场力先做负功，后做正功，故C错误；从a到b，电场力做负功，电势能增加。所以a点的电势能小于b点的电势能。故D错误。 故选B。 【变式训练4-2】（多选）如图,在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点,M、N、P为直角三角形的三个顶点,F为MN的中点,∠M=30°。M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示。已知φM=φN,φP=φF,点电荷Q在M、N、P三点所在平面内,则(　　) A.点电荷Q一定在MP的连线上 B.连接PF的线段一定在同一等势面上 C.将正试探电荷从P点搬运到N点,电场力做负功 D.φP大于φM 【解析】选A、D。本题考查了电场问题。根据题意分别画出MN和FP的中垂线,由几何关系知,两中垂线交点在MP连线上,如图。 点电荷在图中的O位置,A项正确,B错误;因为是正电荷形成的电场,将正电荷从P搬运到N,电场力做正功,C项错误;因为是正电荷形成的电场,越靠近场源电荷的等势面电势越高,D项正确。 【变式训练4-3】如图所示，电荷量为的点电荷固定在O点，三点共面，其中。则下列说法正确的是（　　） A．P点的场强小于Q点的场强 B．P点的电势高于Q点的电势 C．电子在P点的电势能比其在Q点的电势能小 D．将一正试探电荷由P点移到Q点，电场力做负功 【答案】BC 【详解】A. 由点电荷场强可知，离点电荷越近，场强越大，故P点场强大于Q点场强，A错误； B. 正点电荷电场中离点电荷越近，电势越高，故P点的电势高于Q点的电势，B正确； C. 由电势能公式由于电子带负电，且，故电子在P点的电势能比其在Q点的电势能小，C正确; D. 将一正试探电荷由P点移到Q点，电场力做功由于，，故电场力做正功，D错误；故选BC 【变式训练4-4】如图所示，电场中同一条水平方向电场线上的三点。为的中点，电势分别为、，下列叙述正确的是（　　）    A．该电场在点处的电势不一定为 B．a点处的场强一定大于b点处的场强 C．一负电荷运动到c点时受到的静电力由c指向b D．一负电荷从c点运动到b点电势能一定减小 【答案】A 【详解】A．当该电场是匀强电场时，由于沿电场方向相同距离电势差相等，则场在点处的电势一定为，当该电场不是匀强电场时，在点处的电势不一定为，故A正确； B．一条电场线无法比较电场线的疏密，就无法比较场强的大小，则点处的场强不一定大于点处的场强，故B错误； C．根据题意，由沿电场线方向电势降低可知，电场方向为，则一负电荷运动到点时受到的静电力由指向，故C错误； D．根据题意可知，点电势高于点电势，由可知在负电荷点电势能较大，则一负电荷从c点运动到b点电势能一定增加，故D错误。故选A。 题型05： 两个等量同种点电荷的电场中的电势能、电势问题 【典型例题】如图所示，两个圆圈表示两个带等量正电荷的点电荷或两个通以垂直于纸面向里的电流强度相等的直导线，O点为两者连线中点，M、P两点均在连线上且关于O点对称，N点位于连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　）    A．若为电流，M点与P点的磁感应强度相同 B．若为电流，M点与N点的磁场方向相同 C．若为电荷，M点的电势比O点的电势低 D．若为电荷，N点的电势比O点的电势低 【答案】D 【详解】A．若为电流，根据右手螺旋定则和对称性可知，M点与P点的磁感应强度的大小相等，方向相反，故A错误； B．若为电流，根据右手螺旋定则可知，两电流在M点的合磁场方向平行于连线的中垂线向下；两电流在N点的合磁场方向垂直于中垂线向右；则M点与N点的磁场方向不相同，故B错误； CD．若为电荷，根据等量同种正电荷连线和中垂线电场分布特点可知，MO之间的电场方向由M指向O，ON之间的电场方向由O指向N，沿电场方向电势降低，可知M点的电势比O点的电势高，N点的电势比O点的电势低，故C错误，D正确。故选D。 【典型例题2】(多选)如图所示，两个带等量正电荷的点电荷分别固定于x轴上的P、Q两点，其位置关于直角坐标系xOy的原点O对称。圆弧PQ是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是(　 ) A．a、b两点的电势相同 B．a、b两点的电场强度相同 C．将一个带负电的试探电荷先沿着圆弧从a点移到c点，再沿y轴正方向移动，试探电荷的电势能先增大后不变 D．设两电荷在半圆上任意一点产生的电场强度大小分别是E1、E2，则＋为一定值 解析：选AD　由对称性和等势线分布可知，a、b两点电势相同，A正确；电场强度大小相等，但方向不同，B错误；负电荷从a点移到c点，电场力做负功，电势能一直增大，再从c点沿y轴正方向移动电场力同样做负功，电势能也一直增大，C错误；半圆上任一点与P点连线与PQ夹角为θ，E1＝，E2＝则＋为一定值，D正确。 【变式训练5-1】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是(　　) A．a点电势低于O点 B．b点电势低于c点 C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 答案　BD 解析　作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强EO＝0，则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由Ep＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确． 【变式训练5-2】（多选）如图所示，真空中等量同种正电荷放置在M、N两点，在MN的连线上有对称点，MN连线的中垂线上有对称点，则下列说法正确的是（ ） A．两点电场强度相等 B．正电荷在c点电势能等于在a点电势能 C．在MN连线的中垂线上，O点电势最高 D．负电荷从d点静止释放，在它从d点运动到b点的过程中，加速度先减小再增大 答案：BC 解析：A．根据电场线的分布， a、c两点的电场强度大小相等，而方向相反。故A错误； B．由于M、N等量同种电荷，所以a点电势和c点电势相等，故正电荷在c点电势能等于在a点电势能。故B正确； C．在中垂线上从O点开始向两侧电势降低，故O点电势最高，故C正确； D．由对称性知O点的场强为零，电荷从d点静止释放，在它从d点运动到b点的过程中，加速度可能先减小再增大。故D错误。 故选BC。 【变式训练5-3】(多选)等量同种带正电的点电荷的连线和其中垂线如图所示。一个带负电的试探电荷，先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则(　　) A．试探电荷所受电场力的方向一直不变 B．试探电荷所受电场力的大小一直增大 C．试探电荷的电势能一直减少 D．a、b、c三点的电势关系为：φa<φb<φc 解析　根据等量同种正点电荷电场线分布特点，电场强度在a、c点不为零，在b点为零，故电场力大小不可能一直增大，则选项B错误；因直线ab上电场强度方向向左，bc上电场强度方向向下，则负试探电荷受到的电场力方向在直线ab上向右，在直线bc上向上，故选项A错误；负试探电荷从a点移到b点电场力做正功，电势能减少，φa<φb；从b点移到c点电场力仍做正功，电势能减少，φb<φc，故选项C、D正确。 答案　CD 题型06：不等量点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2 产生的电场的电场线，虚线为一电子在只受电场力作用下从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是(　 ) A．A 点的电场强度小于B点的电场强度 B．Q1的电荷量大于Q2 的电荷量 C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．电子在A点的速度大于在B点的速度 解析：选D　根据在同一电场中，电场线较密的地方表示场强较大可知，A点的电场强度比B点的电场强度大，A错误；根据电场线分布情况可知，Q1、Q2是同种电荷，由点电荷Q2周围电场线较密可知点电荷Q2带电荷量较多，即Q1＜Q2，B错误；电子做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹侧，可知电子从A点运动到B点的过程中，受到的电场力F方向斜向下，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增加，动能减少，速度减小，C错误，D正确。 【典型例题2】（多选）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（　　） A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 【答案】CD 【解析】 A．根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷时同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为同种负电荷；故A错误； B．根据等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，故B错误； C．因为两点电荷是同种负电荷，电场线指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，故C正确； D．根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知由M到P电场力做负功，由P到N电场力做正功；由M到P动能减小，由P到N动能增加，故电子运动到P点时动能最小，故D正确。 故选CD。 【变式训练6-1】如图，真空中电荷量为和的两个点电荷分别位于点与点，形成一个以延长线上点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），为连线上的一点，S为等势面与直线的交点，为等势面上的一点，下列说法正确的是（　　） A．点电势低于点电势 B．点电场强度方向指向O点 C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点 D．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做正功 【答案】B 【解析】 A．在直线上，左边正电荷在右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知点电势高于等势面与交点处电势，则点电势高于点电势，故A错误； C．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则右侧，设距离为，根据 可知除无穷远处外，直线MN电场强度为零的点只有一个，故C错误； D．由A选项分析可知：点电势低于电势，则正电荷在点的电势能低于在电势的电势能，将正试探电荷从T点移到P点，电势能增大，静电力做负功，故D错误； B．设等势圆的半径为，距离为，距离为，如图所示 根据 结合电势的叠加原理、满足 解得 由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的场强方向必过等势面的圆心，O点电势 可知 可知T点电场方向指向O点，故B正确。 故选B。 【变式训练6-2】两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则(       ) A．a处为正电荷，qa＜qb B．a处为正电荷，qa＞qb C．a处为负电荷，qa＜qb D．a处为负电荷，qa＞qb 【答案】B 【解析】 试题分析：若把该图象与等量异种点电荷电场中的部分等势面图比较，可以得到：靠近正电荷的点电势高，靠近负电荷的点，电势较低，所以，a处为正电荷．等量异种点电荷电场中的部分等势面图象中的等势面左右对称，无穷远处的电势为0．该图象的左侧的等势线比较密，无穷远处的电势为0，所以无穷远处到两点之间的电势差相比，与a点之间的电势差比较大，所以a点所带的电量就多．综上分析B正确，ACD错误 考点：考查了电场线，电势 题型07：两个等量异种点电荷电场中的电势能、电势问题 【典型例题1】如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中点和点、点和点皆关于两电荷连线的中点对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是（　　） A．电荷在点受力最大 B．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 C．电荷沿直线由到的过程中，电场力先做正功后做负功 D．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 【答案】D 【详解】A．根据电场线的疏密特点，在AB连线上，O点电场强度最小，则受到电场力最小，而在CD连线上，O点的电场强度最大，则受到电场力最大，因此电荷在O点受力不是最大，故A错误； B．根据电场线的疏密可知，从A到B的过程中，电场强度先减小后增大，则电场力也先减小后增大，故B错误； C．电荷沿直线由C到D的过程中，电场力与速度始终垂直，电场力不做功，故C错误； D．根据电场线的疏密可知，从C到D的过程中，电场强度先增大后减小，则电场力也先增大后减小，故D正确。故选D。 【典型例题2】如图所示，竖直平面内光滑圆弧轨道半径为R，等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于圆周最低点，CD是AB边的中垂线，在A、B两顶点上放置一对等量异种电荷，现把质量为m带电荷量为＋Q的小球由圆弧的最高点M处静止释放，到最低点C时速度为v0，不计＋Q对原电场的影响，取无穷远处为零电势，静电力常量为k，则（　　） A．小球在圆弧轨道上运动过程机械能守恒 B．C、D两点电势相等 C．M点电势为 D．小球对轨道最低点C处的压力大小为 答案：C 解析：A．小球在圆弧轨道上运动过程中，电场力对小球做功，机械能不守恒，故A不符合题意； B．根据等量异种电荷的电场分布，CD为等势面，故B不符合题意； C．无穷远处电势为0，CD为等势面，所以CD电势为0，小球从M到C，由动能定理，电场力所做的功 所以M点的电势 故C符合题意； D．小球对轨道最低点C处的压力大小 故D不符合题意。 故选C。 【变式训练7-1】如图所示，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为圆心，以l为半径的半圆路径．A、B两处各放有一点电荷，电荷量分别为＋q和－q.下列说法正确的是(　　) A．单位正电荷在O点所受的静电力与在D点所受的静电力大小相等、方向相反 B．单位正电荷从D点沿任意路径移到无限远，静电力做正功，电势能减小 C．单位正电荷从D点沿DCO移到O点，电势能增大 D．单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电势能增大 答案　C 解析　电荷量为＋q的电荷在O点产生的电场强度大小为：E1＝k，方向向右；电荷量为－q的电荷在O点产生的电场强度大小为E2＝k，方向向右，所以O点的合场强为E＝2k，方向向右，单位正电荷在O点受到的静电力大小为：F＝2ek，方向向右．电荷量为＋q的电荷在D点产生的电场强度大小为：E2＝k，方向向右；电荷量为－q的电荷在D点产生的电场强度大小为E3＝k，方向向左，所以D点的合场强为E′＝k，方向向左，单位正电荷在D点受到的静电力大小为：F′＝ke，方向向左，A错误；因为D点靠近负电荷，远离正电荷，所以D点的电势为负，无限远处电势为零，而正电荷从低电势向高电势处运动静电力做负功，电势能增大，B错误；等量异种电荷连线的中点处电势为零，故O点电势比D点电势高，正电荷在电势高处电势能大，则在O点电势能比在D点电势能大，C正确，D错误． 【变式训练7-2】如图所示，在真空中A、B两点分别放置等量的异种电荷＋q、－q，在通过A、B两点的竖直平面内相对于AB对称取一个矩形路径abcd，且ab平行于AB，a、d到A点的距离等于b、c到B点的距离．设想将一个电子沿路径abcd运动一周，则下列说法正确的是(　　) A．由a到b，电势降低，电子的电势能减小 B．由a到b，电势升高，电子的电势能增大 C．由b到c，电场力对电子先做正功，后做负功，总功为零 D．由d到a，电子的电势能先减小后增大，电势能的变化总量为零 答案：D 解析： AB、由a→b，电势降低，电场力做负功，电子的电势能增加，故A错误，B错误； C、如图，画出过b、c的等势线，则知由b→c，电势先降低再升高，则电场对电子先做负功，后做正功．根据对称性可知，b、c两点的电势相等，电场力做的总功为零，故C错误； D、根据对称性可知，则知由d→a，电势先升高再降低，则电场对电子先做正功，后做负功，电子的电势能先减小后增大，d、a两点的电势相等，电场力做的总功为零，电势能的变化总量为零，D正确． 故选D． 【变式训练7-3】如图所示的平面内，有静止的等量异号点电荷，M、N两点关于两电荷连线对称，M、P两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是(　 ) A．M点的场强比P点的场强大 B．M点的电势比N点的电势高 C．N点的场强与P点的场强相同 D．电子在M点的电势能比在P点的电势能大 解析：选C　等量异种点电荷的电场线分布如图所示，则M点的场强与P点的场强大小相等，N点的场强与P点的场强大小相等，方向相同，A错误，C正确；根据等量异种点电荷的电势分布特点可知，M点的电势与N点的电势相等，M点的电势高于P点的电势，根据Ep＝qφ＝－eφ可知，电子在M点的电势能比在P点的电势能小，B、D错误。 题型08：涉及匀强电场的电势能、电势问题 【典型例题·】如图所示，A、B为匀强电场中同一条电场线上的两点。电势分别为、；电荷量为的试探电荷在A、B两点的电势能分别为、。则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．根据沿电场方向电势降低可知，A、B两点的电势大小关系为故A正确，B错误； CD．根据电势能表达式可知电荷量为的试探电荷在A、B两点的电势能大小关系为 故CD错误。故选A。 【典型例题2】下列说法正确的是（　　） A．在电场中，凡是电场线通过的点，场强不为零，不画电场线区域内的点场强为零 B．在电场中，电场强度大的地方，电势一定高 C．电荷在电场中某点的电势能等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功 D．电荷在电场中某点的电势等于把它从这点移动到零电势位置时静电力所做的功 【答案】C 【详解】A．电场是客观存在的，有电场的空间充满了电场，没有电场线的地方也有电场，场强不为零，A错误； B．电场线的疏密代表了电场的强弱，但不代表电势的高低。在电场中，电场强度大的地方，电势不一定高，B错误； C．电荷在电场中某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功，C正确； D．电荷在电场中某点的电势，等于把它从这点移动到零电势位置时静电力所做的功与电荷的比值，D错误； 故选C。 【典型例题2】如图所示，竖直方向的匀强电场中O点固定一点电荷，一带负电小球绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，A、B是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电势分别为φA、φB，电场强度分别为EA、EB，不计空气阻力，小球可视为质点，则(　 ) A．φA＞φB、EA＞EB B．φA＜φB、EA＜EB C．φA＜φB、EA＞EB D．φA＞φB、EA＜EB 解析：选D　小球做匀速圆周运动，则匀强电场的电场力和重力相平衡，所以匀强电场的电场强度方向向下，O点固定的点电荷带正电，EA＜EB，点电荷产生的电势在圆周上是相等的，匀强电场中沿电场线方向电势越来越低，则φA＞φB，D正确。 【典型例题4】如图所示，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相垂直的直径。将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向(　　) A．平行于直径ab指向a B．平行于直径ab指向b C．垂直于直径ab指向pm弧 D．垂直于直径ab指向nq弧 答案　D 解析　由于带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，根据W＝－ΔE和W＝q(φa－φm)可知，电场力做负功，且φa<φm，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，根据W＝q(φm－φb)可知，电场力做正功，且φb<φm，由于电势能变化量相同，则可知a点与b点电势相等，故直径ab是一条等势线，且m点电势高于a、b点电势，所以电场强度的方向垂直于直径ab指向nq弧，故选项D正确。 【变式训练8-1】如图所示，一带电微粒沿与CD平行方向(垂直AD方向)射入倾角为θ的光滑斜面上，斜面所在区域存在和AD平行的匀强电场，微粒运动轨迹如图中虚线所示，则(　　) A．若微粒带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下 B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加 C．微粒从M点运动到N点动能一定增加 D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加 答案　C 解析　若微粒带正电荷，重力沿斜面向下的分力大于静电力时，静电力的方向可以沿斜面向上，也可以沿斜面向下，故A错误；当静电力沿斜面向上时，则静电力做负功，电势能增加，当静电力沿斜面向下时，静电力做正功，电势能减小，故B错误；由于合力沿斜面向下，故合力一定做正功，根据动 【变式训练8-2】如图，在匀强电场A、B两处分别放入两个正点电荷qA和qB，且qA = 2qB。甲同学选择零势能面后，算出A、B两点的电势能，得出A的电势能小于B的电势能的结论。其他同学看了甲的结论，分别发表了以下看法。你赞同的看法是（　　） A．甲同学得出的结论与零势能面选择无关 B．甲同学选取的零势能面一定在A的左边 C．甲同学选取的零势能面一定在B的右边 D．甲同学选取的零势能面一定在A和B之间 【答案】B 【详解】若规定零电势在A的左侧，则AB电势均小于零，根据 可知，两个正点电荷的A和B，A的电势能小于B的电势能；若规定零电势在B的右侧，则AB电势均大于零，根据可知，两个正点电荷的A和B，A的电势能大于B的电势能；若规定零电势在AB之间，则A电势大于零，而B电势小于零，根据可知，两个正点电荷的A和B，A的电势能大于B的电势能；故B正确ACD错误；故选B。 【变式训练8-3】实验室中探测到电子在匀强电场中的运动轨迹为一条抛物线。为研究问题方便，建立如图所示的坐标系，该抛物线开口向下，a、b是抛物线上的两点。下列说法正确的是(　　) A．匀强电场方向可能沿x轴正方向 B．匀强电场方向可能沿y轴负方向 C．匀强电场中a点的电势比b点高 D．电子在b点的动能比在a点的大 答案　C 解析　电子在电场中做曲线运动，电场力应指向轨迹内侧向下，若匀强电场方向沿x轴正方向，电子所受的电场力沿x轴负方向，A错 误；若匀强电场方向沿y轴负方向，电子所受电场力方向沿y轴正方向，B错误；抛物线开口向下，从a点到b点电子一定做减速运动，动能减小，电势能增大，因负电荷在电势高处电势能小，可知匀强电场中，a点的电势比b点的高，电子在b点的动能比a点的小，C正确，D错误。 能定理可知，动能一定增加，故C正确；若静电力沿斜面向上，静电力做负功，机械能减小，故D错误． 【变式训练8-4】我们把两个等量异号点电荷组成的系统称为电偶极子。面积足够大的平行板电容器，两极板之间的距离为d，将电容器接在电压恒定的电源两端，规定无穷远处电势为0。将带电量极小的电偶极子用长度为l的绝缘轻杆连接，将其从无穷远处移到电容器两极板之间处于如图所示的状态（杆和极板垂直），移动电偶极子的过程中电场力做功为W；将两极板分别围绕O、点顺时针旋转，如图中虚线所示，仍将绝缘轻杆连接的电偶极子从无穷远处移动到同一位置，此过程中电场力做功为（） A．0 B．W C． D． 【参考答案】．B 【名师解析】设初始时刻电场强度为，则，正负电荷所在点的电势分为和，则其电势能为，则电场力做功；现将两极板旋转，场强变为，则，故。故选B。 【变式训练8-5】 有一匀强电场，电场线与坐标平面平行。如图所示，以O点为圆心，以R＝0.10 m为半径的圆周上任一点P的电势满足φ＝－40sin（θ＋60°）＋40（V），θ为O、P两点连线与x轴正方向所成的角，该圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，以顺时针方向角度为正，则下列说法正确的是（　　） A. 该电场强度方向与x轴正方向成θ＝60°角 B. 该圆周内所有点的电势不可能小于零 C. 该匀强电场的场强大小为 D. 该匀强电场的场强大小为E＝400 V/m 【参考答案】BD 【名师解析】 由题意可知，当θ＝30°时，圆周上点P1的电势为φ1＝0，为圆周上的最低电势，当θ＝210°时，圆周上点P2的电势为φ2＝80 V，为圆周上的最高电势，所以该电场强度方向与x轴正方向成θ＝30°角，A错误，B正确；该匀强电场的场强大小为，所以C错误，D正确。 题型09：空间想象、空间表达问题 【典型例题1】如图，边长为1m的正方体ABCD—EFGH所处空间中存在匀强电场（图中未画出）。已知A、B、F三点的电势分别为20V、10V、0，则下列判断正确的是（　　） A．电场方向从F指向A B．A、E两点电势差和H、D两点电势差相等 C．场强大小一定为V/m D．把负电荷从A移到E电场力做正功 【答案】．B 【解析】．连接AF和BE相交与O点，则O点的电势为10V，所以OB为等势线，电场线只要垂直于OB（BE）即可，故A错误； 根据匀强电场特点可知，B正确； 设电场线绕O点旋转 ，则 当转过 时，电场强度为20V/m，故C错误； A点电势为20V，E点电势为10V，把负电荷从A点移动到E点，负电荷的电势能增加，电场力做负功，故D错误。 【典型例题2】(多选)如图所示，在正四面体的两个顶点分别固定电荷量为Q的等量异种电荷，a、b是所在棱的中点，c、d为正四面体的另外两个顶点，则以下判断正确的是(　　) A．c、d两点电势相等 B．a、b两点的电场强度相同 C．沿棱从b到d电势逐渐降低 D．负的试探电荷沿棱从c到d电势能始终不变 答案　ACD 解析　由题知，通过两电荷的中垂面是一等势面，c、d在同一等势面上，电势相等，负的试探电荷沿棱从c到d静电力不做功，电势能始终不变，故A、D正确；由电场强度的叠加原理可知，a、b两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误；由以上分析知沿棱从b到d方向，与电场强度方向成锐角，而沿场强方向电势降低，故C正确． 【典型例题3】如图所示，a、b、c、d、e、f是以O为球心的球面上的点，平面aecf与平面bedf垂直，分别在b、d两点处放有等量同种点电荷＋Q，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　) A．a、e、c、f四点电场强度相同 B．a、e、c、f四点电势不同 C．电子沿球面曲线a→e→c运动过程中，静电力先做正功后做负功 D．电子沿直线由a→O→c运动过程中，电势能先减少后增加 答案　D 解析　等量同种点电荷中垂面上，关于O点对称的点的电场强度大小相等，方向相反，故A错误；a、e、c、f四点在同一等势线上，电势相同，故B错误；电子沿球面曲线a→e→c运动过程中，电势处处相同，静电力不做功，故C 【典型例题4】在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成37°角．如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，cos370=0.8，重力加速度为g。如果以圆周运动最低点所在平面为重力势能为0的平面，（不计空气阻力）求： （1）运动过程中动能的最小值Ekmin； （2）运动过程中机械能的最小值E机min。 【参考答案】（1）Ekmin =；（2）E机min = 【名师解析】 （1）由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，类比重力场，如图所示在圆上各点中，小球在平衡位置A时动能最大，在平衡位置A的对称点B时，小球的动能最小，在B点时，小球受到的重力和电场力，其合力F作为小球做圆周运动的向心力，而绳的拉力恰为零有：F= 又因：F= 联立解得：Ekmin= （2）小球静止时，受重力、电场力、和绳子的拉力，由平衡条件得：=tan370 解得：Eq=mg 方向水平向右，且小球带正电； 当小球在圆上最左侧C点时，即平行于电场最左侧，电势能最高，电势能最大，机械能最小。 从B至C由动能定理可知： Ekc -Ekmin=mgLcos37° - EqL（1-sin37°） 故：E机min = mgL+ Ekc E机min = 【变式训练9-1】如图所示，A、B、C是等边三角形的三个顶点，AB边的中点为M，BC边的中点为N，O点为三角形的中心，分别在A、B、C固定放置电荷量为+Q、+Q、-Q的点电荷时，下列说法正确的是（　　） A．M、N两点的电场强度大小相等 B．M点的电势高于N点的电势 C．将一个不计重力的负电荷沿直线由O点向C点移动的过程中，电势能逐渐减小 D．将一个不计重力的负电荷沿直线由O点向N点移动的过程中，受到的电场力做负功 【答案】BD 【详解】A．根据电场强度及平行四边形法则，M点的电场强度小于N点的电场强度，故A错误； B．M点距正电荷较近，N点距负电荷较近，则M点的电势大于N点的电势，故B正确； C．将一个不计重力的负电荷沿直线由O点向C点移动的过程中，电场力做负功，电势能逐渐增大，故C错误； D．将一个不计重力的负电荷沿直线ON由O点向N点移动的过程中，受到C点的负电荷和B点的正电荷的合电场力垂直于ON，不做功，受到A点的正电荷的电场力做负功，故D正确。故选BD。 【变式训练9-2】如图所示，两正四面体边长均为l0，两正四面体bcd面完全重合，电荷量为Q的两正、负电荷A、B分别置于两四面体左、右两顶点，静电力常量为k，则(　 ) A．b、c、d三点的电场强度大小相等，方向不同 B．b、c、d三点的电势不相等 C．平面bcd上电场强度的最大值为 D．平面bcd上电场强度的最大值为 解析：选C　根据电场强度的合成满足平行四边形定则，则等量异种电荷连线的中垂面上的b、c、d三点的场强大小相等，方向均与bcd面垂直，则方向相同，选项A错误；等量异种电荷的中垂面为等势面，则b、c、d三点的电势相等，选项B错误；等量异种电荷的连线的中点场强最大，由几何关系可知正四面体的面的中线长为l0，正四面体的高为h＝＝l0，则连线中点的场强为Emax＝×2＝，选项C正确，D错误。 【变式训练9-3】(多选)如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上的B、C、D三个顶点各固定一个电荷量为＋q的点电荷，一个质量为m的点电荷N恰好可以静止在A点。若把点电荷N从A点沿过A点的竖直面向上移动到无穷远处，电场力做功的大小为W。不考虑N对电场的影响，以无穷远处电势为零，重力加速度为g。根据上述现象，可以判定(　 ) A．A点的电场强度为EA＝ B．点电荷N带电荷量大小为qN＝ C．A点的电势为φA＝ D．点电荷N的电势能将先增大后减小 解析：选AB　固定的每个正点电荷对小球的库仑力大小为F＝，设F与竖直方向的夹角为θ，由几何关系可得cos θ＝，对小球，由平衡条件有3Fcos θ＝mg，解得qN＝，A点的电场强度为EA＝＝，故A、B正确；根据题意可知，点电荷N在A点的电势能为A点的电势为W，则A点的电势为φA＝＝，故C错误；把点电荷N从A点沿过A点的竖直面向上移动到无穷远处，电场力一直做正功，电势能一直减小，故D错误。 【变式训练9-4】如图所示，空间中存在A、B、C、D四个点恰好构成一个棱长为a的正四面体，其中在水平面上的A、B、C三个顶点各固定一个电荷量为的点电荷，另一个质量为m的点电荷M恰好可以静止在D点。把该点电荷M从D点移动到无穷远处，电场力做功为W。不考虑点电荷M对电场的影响，无穷远处电势为零，静电力常量为k，重力加速度为，则D点处的电势为（ ） A. B. C. D. 【参考答案】B 【名师解析】 过D点做平面ABC的垂线DO，如图所示 由几何关系可得 ， 根据点电荷M恰好可以静止在D点，设点电荷M的电荷量，可得 代入数据，解得 把该点电荷M从D点移动到无穷远处，电场力做功为W，即D点处的电势能为W，由公式 可得D点处的电势为 故选B。 【变式训练9-5】如图所示，正三棱锥OMNF的底面三角形MNF的中心为P（图中未画出）。现在顶点O处固定一负的点电荷，在MNF平面内，下列说法正确的是（　　） A. P点的电势最高 B. P点的电场强度最小 C. 正检验电荷沿NF移动时，电势能先减小后增大 D. 正检验电荷沿MN移动时，电场力始终不做功 【参考答案】C 【名师解析】 P点离O点的负电荷的距离最近，则P点电势最低，电场强度最大，选项AB错误； 从N到F，电势先降低后升高，根据可知正检验电荷沿NF移动时，电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，选项C正确，D错误。 【变式训练9-6】如图所示，光滑斜面上等高处固定着两个等量正电荷，两电荷连线的中垂线上有一带负电的小球。现将小球由静止释放，取两电荷连线中点为坐标原点O，以此连线中垂线沿斜面向下为正方向，取无限远处电势为零，设小球在O点重力势能为零，则小球运动过程中加速度a、重力势能、机械能E、电势能随位置x变化的关系图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【参考答案】A 【名师解析】 小球在O点以上向下运动时， 因从开始下滑到O点的过程中电场强度可能先增大后减小，则加速度先增大后减小；在O点时加速度为 在O点以下向下运动时 随场强先增大后减小，则加速度先减小后增大，故A正确； 因O点为零重力势能点，且沿斜面向下为正方向，则重力势能 即O点上方重力势能为正，O点下方重力势能为负，故B错误； 因从开始到O点，电场力做正功，则机械能增大；在O点以下向下运动时，电场力做负功，机械能减小，可知O点的机械能最大，故C错误； 由题意得O点电势最高，而负电荷在电势高的地方电势能小，则小球在O点的电势能最小， 故D错误。 【变式训练9-7】某空间存在一足够大且沿水平方向电场。在该电场中的一个粗糙水平面上，将带电量为-q，质量为m的绝缘物块自某点O由静止释放，其速度v与位移x的关系图像为如图所示的一条斜率为k的直线，物块与水平面的滑动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列判断中正确的是（　　） A. 物块的加速度a随位移x的变化关系为 B. 该电场的电场强度E随物块位置x的变化关系为 C. 物块从O点到的过程中，电势能减少量为 D. 若取O点电势为零，则处的电势为 【答案】D 【解析】 由题图可得t时刻物块的速度为， 设物块在一段极短时间后，在时刻的位置为，则有 又由加速度的定义式 可得物块的加速度为 故A错误； 由牛顿第二定律 可得 故B错误； 物块在处的速度为v=，则从O点到的过程中由动能定理 解得电场力做功为 故物块的电势能减少量为；又由 若取O点电势为零，则处的电势为，故C错误，D正确。 【变式训练9-8】如图所示的O-xyz三维坐标系中，xOy平面在水平地面内，z轴正方向竖直向上，空间有水平方向的匀强电场，电场方向与x轴正方向夹角θ=37°，场强大小E=500V/m。现从坐标原点O以初速度v0=15m/s竖直向上抛出一带正电小球，已知小球质量m=0.01kg，带电量 重力加速度g=10m/s²。下列说法正确的是（　　） A. 小球运动过程中电势能先减小后增大 B. 经t=1.5s小球的速度最小，为7.5m/s C. t=2s时，小球的位置坐标为（8，6，10） D. 取O点为零势能点，小球落地时的电势能为-2.25J 【参考答案】C 【名师解析】 小球运动过程中沿x、y轴两个方向，电场力均做正功，则电势能减小，选项A错误； 因沿水平方向电场力 竖直向下的重力 mg=0.1N 则两个力的合力与竖直方向的夹角 大小为 当小球沿合力方向的速度减为零时速度最小，则经过的时间 小球的速度最小，为 选项B错误； t=2s时，沿z方向的位移 沿x方向的位移 沿y方向的位移 小球的位置坐标为（8，6，10）选项C正确； 小球落地时的时间 沿电场力方向的位移 则电场力做功等于的电势能减小，即 即取O点为零势能点，小球落地时电势能为-1.125J，选项D错误。 题型10：对称问题 【典型例题1】(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是(　　) A．D点的电势小于A点的电势 B．D点的电势小于C点的电势 C．试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大 D．直线BD所在的水平面为等势面 答案　AD 解析　取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ1，在两个负电荷电场中电势为－2φ2，因φ1>φ2，故A点的电势为(2φ1－2φ2)>0；同理C点的电势为(－2φ1＋2φ2)<0.D点在左上正电荷、左下负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，有φA>φD，φD>φC，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加速度也相同，所以试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，静电力不做功，所以此面一定为等势面，故D正确． 【典型例题2】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　 ) 　　　 解析：选ABC　将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知a、b两点的场强相等，A项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故a、b两点的电势相等，B项正确；关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，根据对称性可知c、d两点的场强相等，C项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故φc＞φd，D项错误。 【变式训练10-1】如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心。现将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动，则（　　） A. 在移动过程中，O点电场强度变小 B. 在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大 C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功 D. 当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点 【参考答案】D 【命题意图】本题考查静电场及其相关知识点。 【解题思路】 O是等量同种电荷连线的中点，场强为0，将A处的正点电荷沿OA方向移至无穷远处，在移动过程中，O点电场强度变大，选项A错误；在移动过程中，C点出的场强EC变小，由F=qEC可知C点的正电荷所受静电力变小，选项B错误；由于A点电场方向沿OA方向，移动过程中，移动电荷所受静电力做正功，选项C错误；A点电场方向沿OA方向，沿电场线方向电势降低，移动到无穷远处时，O点的电势高于A点电势，选项D正确。 【变式训练10-2】如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（　　） A. L和N两点处的电场方向相互垂直 B. M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C. 将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D. 将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 【答案】AB 【解析】 A．两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向由N指向O，同理可知，两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L，L点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在L处产生的场强方向由O指向L，则L处的合场方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故A正确； B．正方形底边的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方一对等量异号电荷距离较远，则M点的场方向向左，故B正确； C．由图可知，M和O点位于两等量异号电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误； D．由图可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功不为零，故D错误。 故选AB。 【变式训练10-3】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　 ) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 解析：选A　根据对称性可知，移去a处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，电势是标量，现在撤去a处的绝缘棒后，则O点的电势减小。故选A。 题型11：联系实际 【典型例题1】冷冻电子显微镜能捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程。如图为某种电子显微镜内电场线的分布图，一电子仅在电场力作用下沿直线从a点运动到c点，b为线段ac上的一点。下列说法正确的是（　　） A．场强大小关系为： B．电势高低关系为： C．电子从a点运动到c点的过程中，其电势能逐渐变大 D．电子从a点运动到c点的过程中，其动能先变大后变小 【答案】C 【详解】A．由于b点处的电场线更密集，因此场强大小关系为：，故A错误； B．沿电场线方向电势降低，因此电势高低关系为：，故B错误； CD．电子从a点运动到c点的过程中，电场力做负功，因此其电势能逐渐变大，动能逐渐变小，故C正确，D错误。故选C。 【典型例题2】如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是(　 ) A．a点的电势比b点的低 B．a点的电场强度比b点的小 C．液滴在a点的加速度比在b点的小 D．液滴在a点的电势能比在b点的大 【答案】D　高压电源左为正极，则两极间所加强电场的电场强度向右，而沿着电场线电势逐渐降低，可知φa>φb，故A错误；电场线与等势面垂直，根据等势面可大致画出电场线分布，可知a处的电场线较密，则Ea>Eb，故B错误；液滴的重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为a＝，因Ea>Eb，可得aa>ab，故C错误；液滴在电场力作用下向右加速，则电场力做正功，动能增大，电势能减少，即Epa>Epb，故D正确。 【变式训练11-1】一装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，圆筒内的电场线如图所示，A、B两点到电极P的距离相等，A、B、C三点和电极P在一条直线上，下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度大于A点的电场强度 B．C点与A点的电场方向相同 C．C点的电势比B点的电势高 D．将一试探电荷从C点沿不同的路径移至A点，电场力做的功可能不相等 【答案】C 【详解】A．根据电场线的疏密程度与电场强度的关系，结合题图可知A点的电场强度大于B点的电场强度，故A错误： B．电场方向与电场线相切，由题图可知C点与A点的电场方向相反，故B错误； C．沿着电场线方向电势降低，可知C点的电势比B点的电势高，故C正确； D．电场力做的功与移动路径无关，将一试探电荷从C点沿不同的路径移至A点，电场力做的功相等，故D错误。故选C。 【变式训练11-2】(多选)如图为某静电矿料分选器原理图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分别落在收集板中央的两侧。下列关于矿粉分离过程说法正确的是(　 ) A．落在收集板左侧的矿粉带正电 B．电场力对落在收集板两侧的矿粉均做负功 C．矿粉的电势能均减小 D．矿粉的电势能均增大 解析：选AC　由题图知，匀强电场的方向水平向左，所以落在收集板左侧的矿粉带正电，A正确；因为落在收集板左、右两侧的矿粉所受电场力与其偏转方向均一致，所以电场力对落在两侧的矿粉都做正功，电势能均减小，故B、D错误，C正确。 【变式训练11-3】如图所示是用于离子聚焦的静电四极子场的截面图，四个电极对称分布，其中两个电极带正电荷，形成高电势＋U，两个电极带负电荷，形成低电势－U。图中a、b、c、d四个点为电场中的四个位置，下列说法正确的是(　 ) A．图中虚线表示电场线 B．a点的电势高于b点的电势 C．电荷在四个电极的表面分布均匀 D．c点的电场强度大小与d点的电场强度大小相等 解析：选B　四个电极都是等势面，电场线与等势面垂直，则图中虚线表示等势面，不表示电场线，选项A错误；a点的电势为零，b点电势小于零，则a点电势高于b点的电势，选项B正确；每个电极附近的等势面分布的疏密不同，则电极表面的电场线疏密不同，则电荷在每个电极的表面分布不均匀，选项C错误；因c点等势面较d点密集，则c点电场线分布较d点密集，即c点的电场强度比d点的电场强度大，选项D错误。 【变式训练11-4】如图所示是高压电场干燥中药技术基本原理图，在大导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电；水分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去，在鼓风机的作用下飞离电场区域从而加速干燥。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹。下列说法正确的是(　 ) A．A处的电场强度大于D处 B．B处的电势高于C处 C．水分子做匀变速运动 D．水分子由A运动到C的过程中电势能减少 解析：选D　电场线密的地方电场强度大，A处的电场强度小于D处，A错误；顺着电场线方向电势降低，B处的电势低于C处，B错误；水分子受到的电场力是变力，所以做变加速运动，C错误；水分子两端带等量异种电荷，所以水分子的棒状与电场方向平行，且上端的电场强度大，受到较大的电场力，故水分子受到的合力沿电场线向上，即电场力对水分子做正功，根据功能关系可知电势能减少，D正确。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $