河南焦作市第一中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

2025级高二上学期9月月考 数学参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．A． 2．C． 3．A． 4．C． 5．B． 6．D． 7．B． 8．C． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．AD． 10．ACD． 11．ABD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．答案：． 13．答案： 14．答案：①③． 四、解答题（共77分） 15．（13分） （1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为．圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3），即点在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 16．（15分） （1）联立 由得，代入得，，，交点． （2）若直线过原点，则两截距均为0，此时直线斜率为，方程为；若不过原点，设，即，代入得，方程为．故所求直线为或． （3）：的斜率为．三直线能构成三角形，须同时满足：与（斜率）不平行，即；与（斜率）不平行，即；不过交点，即，．故 17．（15分） （1）由正弦定理，结合已知条件，可得． 交叉相乘得，即． 因为，所以，故．于是，即．因此．故为直角三角形． （2）由（1）知，故 解得，．直角三角形内切圆半径． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则 ，，． 内切圆圆心为，内切圆方程为． 设圆上动点，记距离平方和为，则 ． 由圆方程展开得，将其代入的表达式： ． 由可知．当时，取得最大值88；当时，取得最小值72． 综上，距离平方和的最大值为88，最小值为72． 18．（17分） 设，因为且在第一象限，所以 其中，．（1）由中点坐标公式：，． 解得，．于是，．直线的斜率． 故直线的方程为，即． （2）由余弦定理：，即． 的面积． 由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号，此时面积最大．由，代入，得．因此，．直线的斜率． 故直线的方程为，即． （3）直线经过与，其方程为， 即． 题设条件等价于． 将代入直线方程，得． 展开整理：．即直线恒过定点 19．（17分） （1），，则，， 故． （2）当时，，变换公式为，即 ①由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾，故上式是关于、的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． ②设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为，故 ，， 均等价于，即（）．此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为．两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（先看，的情形）： ． ·若，即，则：，即上面的情形； ·若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线；当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期9月月考 数学 全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是虚数单位，若实数，满足，则（ ） A．， B．， C．， D．， 2．设圆的方程为，直线的方程为，点的坐标为．那么（ ） A．点在直线上，但不在圆上 B．点在圆上，但不在直线上 C．点既在圆上，又在直线上 D．点既不在直线上，也不在圆上 3．如果方程（）所表示的曲线关于直线对称，那么必有（ ） A． B． C． D． 4．如果直线沿轴负方向平移3个单位，再沿轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ） A． B．3 C． D． 5．已知两条直线：，：，其中为实数．当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．直线关于点对称的直线是（ ） A． B． C． D． 7．设，，且，则（ ） A． B． C． D． 8．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（ ） A． B． C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 10．设直线：与：，则（ ） A．当时， B．当时， C．当时，，间的距离为 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 11．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A．四面体的外接球的表面积为 B．不存在点，使，，，四点共面 C．过且与垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．点是四边形内的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，，且与的夹角为，则_______． 13．已知圆：，求圆关于直线：的对称圆方程____________________． 14．在平面直角坐标系中，如果与都是整数，则称点是整点．已知直线：，下列命题中正确的是_______（写出所有正确命题的编号）． ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若和都是无理数，则直线不经过任何整点； ③存在只经过一个整点的直线； ④存在只经过两个不同整点的直线． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（13分） 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 16．（15分） 已知两直线：，：． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线，交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线：与直线，能构成三角形，求实数的取值范围． 17．（15分） 在中，，，所对的边分别为，，，且，． （1）求证：为直角三角形； （2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，且． （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标． 19．（17分） 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （a）证明：点也在某一条直线上； （b）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $