嵌套函数的零点问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以换元法为核心，系统构建嵌套函数零点问题的“拆解-求解-整合”方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |嵌套函数零点问题|16题|换元解套+依次解方程，代数几何结合逐层击破|从复合函数概念出发，通过换元转化为内外层函数零点问题，构建“拆解-求解-整合”的逻辑链条，覆盖零点个数、参数范围等核心考法|

2.11 嵌套函数的零点问题 基础知识梳理 形如的函数,俗称嵌套函数,此类函数的零点数量、零点范围、参数范围问题常见于各类试卷的压轴小题.其解题思路一般分为两步： （1）“换元”以“解套”：令，则,这样即可将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数的零点问题进行处理； （2）依次解方程：令②中,先由方程解出的值，然后将的值代入方程①中解出的值,即为函数的零点. 嵌套函数的零点问题可结合代数和几何,通过上述换元或者借助图象,一分为二,逐层击破. 1．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则函数的零点个数是__________. 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 12．已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 13．已知，关于的方程有6个根，则的取值范围为_____ 14．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为_______. 15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________． 16．已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.11 嵌套函数的零点问题 基础知识梳理 形如的函数,俗称嵌套函数,此类函数的零点数量、零点范围、参数范围问题常见于各类试卷的压轴小题.其解题思路一般分为两步： （1）“换元”以“解套”：令，则,这样即可将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数的零点问题进行处理； （2）依次解方程：令②中,先由方程解出的值，然后将的值代入方程①中解出的值,即为函数的零点. 嵌套函数的零点问题可结合代数和几何,通过上述换元或者借助图象,一分为二,逐层击破. 1．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 2．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先令推出，令，作出函数与函数的图象即可判断. 【详解】由题得，，令， 则，解得， 因为，因此，解得， 故，此时，满足条件. 令，由，则，则， 作出函数与函数的图象如下： 由图知，函数在上的零点个数为2. 3．已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，方程的根即为方程与的根． 结合函数的图象可知，有2个不同的根，则要有3个不同的根，才能使方程有5个实数根， 所以，由图象可知． 4．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 5．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 6．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 7．已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析分段函数，作函数图象，令，由图象得出有４个解的取值范围，把已知条件转化为在区间内有两个不同根，根据需要满足的条件列不等式组求解． 【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ，值域为， 当时，，在处取得最小值2，当时，， 当，；函数图象如下， 令，则有8个零点，等价于方程 的两个不同根使得和的解的个数和为8， 由图象可知，当时，有4个解， 要使总解数为8，需均在内， 设，则需满足： ，解得， 的取值范围是，故B正确． 故选：B． 8．已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 9．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有个零点转化为方程有5个实根，令，解得 ，，即或，结合函数图象即可求出答案. 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 因为函数恰好有个不同的零点， 所以方程有个根， 设，则方程化为， 解得，， 即或， 由图可知方程有两个根， 则方程有三个根，所以由图可知， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 10．已知函数，则函数的零点个数是__________. 【答案】7 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是 ，和）． 方程的解为或， 由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等， 显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 12．已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 13．已知，关于的方程有6个根，则的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用数形结合，把问题转化为一元二次方程在区间内有两个不相等的根,即可求参数范围. 【详解】作出函数的图象： 根据图象可知：要使得关于的方程有6个根， 令，则满足一元二次方程在区间有个根， 所以满足不等式组：，解得， 故的取值范围为， 故答案为： 14．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为_______. 【答案】 【分析】先作出的函数图像，令，则方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根，令，可得，解出即可. 【详解】由题意作出的函数图像： 令，所以， 当时，方程没有解， 当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 方程有4个不相等的实数根 等价于方程在有两个不等的实根， 令， 所以，解得， 所以实数取值范围是， 故答案为： 15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程解得或，再画出函数的图象，转化为交点个数问题，求的取值范围. 【详解】，整理为 ，得或， ， 当时，函数单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 如图，画出函数的图象， ，得，所以与有2个交点， 则，得， 所以的取值范围是. 故答案为： 16．已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合从而得解. 【详解】令， 解得或， 如图画出函数的大致图象，    当时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点， 则或，解得或， 故答案为： 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $