专题01 频率分布直方图中的计算问题（7题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦频率分布直方图核心计算，覆盖7类常考题型，从基础量算到综合应用，构建“概念-计算-应用”递进逻辑，培养数据观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|7类题型，每类5-7题|含频率频数、数字特征（均/中/众/百分位数/方差）、实际应用及概率综合，重点标注高频考点|从基础频率计算到数字特征推导，再到实际问题与概率综合，形成完整统计量计算体系| |综合攻坚|选择、填空、解答题共12题|多考点融合，考查数据解读与综合应用能力|深化统计量间关联，强化用数学语言表达现实问题的应用意识|

专题01 频率分布直方图的相关计算 题型01 根据频率分布直方图求频率、频数 1． 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可求解. 【详解】已知的频率为，组距为，因此，解得. 又因为所有组频率和为，因此， 代入，计算得 ，则， 因此，. 2． 【答案】A 【详解】由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中， 月均用水量不低于立方米的频率为， 因该市有万居民， 故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万. 3． 【答案】C 【分析】依据频率分布直方图计算出样本中竞赛成绩为优秀的学生频率，再去推测这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数即可. 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为. 4． 【答案】 【分析】根据的频率计算出，再由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 5． 【答案】 【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【详解】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 6． 【答案】 / 【分析】①由直方图中所有矩形的高度之和乘以组距为可求解，②再由频率分布直方图求出时间在小时以上的频率，再求人数. 【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1， 所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 题型02 根据频率分布直方图求平均数  1． 【答案】B 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 2． 【答案】A 【分析】利用频率分布直方图中各频率之和为求得，再利用其估计平均数的方法列式计算即可得解. 【详解】由频率分布直方图得：，解得， 则从左到右各小矩形面积依次为， 所以该组样本数据的平均数为. 故选：A. 3． 【答案】C 【分析】根据频率之和为1求出最后一组对应的频率，利用相关公式求出平均数，得到答案. 【详解】设最后一组对应的频率为， 由题意得，，解得， 故， 所以可以估计总体的平均数为26. 故选：C 4． 【答案】C 【分析】根据题意，由频率之和为1，可得的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得，则，故得分的平均数为：. 故选：C 5． 【答案】71 【分析】先求出的值，再根据平均数的公式求解即可. 【详解】根据频率分布直方图可知：， 即， 由图可估计平均数: ． 6． 【答案】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可求得的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，可得出评分的平均数. 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 题型03 根据频率分布直方图求中位数与众数 1． 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确； 选项B：，， 所以中位数位于内，且设为x， 则，解得，故B错误； 选项C：得分在之间的频率为，故C正确； 选项D：得分在之间的频率为， 所以得分在之间的共有人，故D正确. 故选：B 2． 【答案】D 【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 3． 【答案】C 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，故A错误； 对于B，由图可知，时速在内的频率最大，所以众数的估计值为，故B错误； 对于C，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，时速的平均数估计值为，所以时速的平均数估计值小于其中位数的估计值，故D错误. 4． 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的形态判断数据的偏态，利用偏态分布中平均数与中位数的大小关系进行判定. 【详解】在频率分布直方图中，数据的分布形态决定了平均数与中位数的相对大小： 对于A、B：直方图大致对称，数据分布均匀，平均数与中位数大致相等，A、B错误； 对于C：若直方图呈现“右偏”分布，即长尾在右侧（大数值方向），极端大值会拉高平均数， 使得平均数大于中位数，C错误； 对于D：若直方图呈现“左偏”分布，即长尾在左侧（小数值方向），极端小值会拉低平均数， 使得平均数小于中位数，D正确. 5． 【答案】76 【分析】先根据频率分布直方图求出的值，然后根据中位数的定义求出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：76. 6． 【答案】 【分析】由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，由频率分布直方图计算众数、平均数的方法可得答案. 【详解】由于组距为，且所有矩形面积之和为， 所以有. 竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值作为众数的估计值． 由频率分布直方图可得平均成绩约为：. 7． 【答案】 0.015/ 70 【分析】根据所有的频率之和等于1，便可求出a的值；根据频率分布直方图可知，人数最多的组为，即可得出众数. 【详解】因为所有的频率之和等于1，所以，解得：； 根据频率分布直方图可知，人数最多的组为，所以众数为. 故答案为：；. 题型04 根据频率分布直方图求百分位数 1． 【答案】C 【分析】根据频率和为1可得，分析可知这组样本数据的分位数在区间内，结合百分位数的定义列式求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 因为，， 所以这组样本数据的分位数在区间内，设其为t， 则，解得. 2． 【答案】C 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3， 又，， 故55%分位数在内，约为． 3． 【答案】C 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出参数的值，然后计算各组频率，确定，分位数所在的区间，最后利用面积比例关系计算得出结果． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为，得，解得， 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为， 因为前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 所以分位数位于区间内， 设分位数为，，解得， 所以估计这名学生成绩的分位数为． 4． 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 5． 【答案】 【详解】计算每组频率 ，， ，， ，. 前四组累计频率：， 前五组累计频率：， 所以第 75 百分位数落在区间内，设第 75 百分位数为， 则， 综上，该高校数学建模比赛成绩的第 75 百分位数为分. 6． 【答案】 【分析】计算各区间累计频率，确定第80百分位数所在区间并求解即可. 【详解】由图可知组距为20，可得各分数段的频率和累计频率为： ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 因为，因此第80百分位数落在区间内. 所以第80百分位数为：. 7． 【答案】 【分析】根据频率分布直方图中频数与频率的关系求出的值，利用频率之和为求出的值，确定前选手所在的分数区间，利用面积法计算分数线． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为． 组的频率为． 因为这组的频数是这组频数的倍，且样本容量相同， 所以这组的频率是这组频率的倍， 即，解得． 由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可得： ， 解得． 各组的频率依次为： ：； ：； ：； ：； ：． 因为选取成绩前的选手为一等奖获得者，即求第百分位数． 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以一等奖的分数线位于内． 设一等奖的分数线为， 则， 即， 解得，即． 故估计一等奖的分数线为分． 题型05 根据频率分布直方图求方差与极差 1． 【答案】D 【分析】求各组频率，以每组的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知各组频率依次为， 估计该商场月销售额的平均数为， 所以估计该商场月销售额的方差为. 2． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求各组的频率.对于A：根据频率即可求频数；对于B：根据极差的定义分析判断；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：以每组区间的中点值为参考，结合平均数、方差的计算公式运算即可. 【详解】由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是， 对于选项A：指标值在区间的产品约有件，A选项正确； 对于选项B：指标值的最大极差为，最小极差为，B选项正确； 对于选项C：因为，， 所以指标值的第百分位数在内，小于，C选项不正确； 对于选项D：抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差的估计值分别为： ， ， D选项正确； 综合以上分析，该样本统计量的叙述不正确的选项是C． 故选：C. 3． 【答案】D 【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小 【详解】解：由题意 由频率分布直方图得： 甲地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 乙地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 ∴ 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高， ∴ 故选：D. 4． 【答案】A 【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案. 【详解】由题意进行数据分析，可得： ，解得：； ，解得：； 所以. 比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：. 故选：A 5． 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 6． 【答案】(1)；90 (2)86；75；76；169 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，解方程求出，进而得到60分以上的频率，再乘以样本容量即可得对应人数； （2）众数取最高矩形区间中点；上四分位数先找累计频率定位所在区间，再通过列方程找频率为的位置即可； 平均数用各组组中值乘以对应频率求和即可求得；方差利用频率加权计算各组与平均数偏差的平方和即可求得. 【详解】（1）根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. （2）上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86； 众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差：. 题型06 频率分布直方图的实际问题 1． 【答案】ACD 【详解】由题意，得，解得，故A正确； 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5，故B错误； 因为，，所以中位数在40～50间， 设中位数位，则，解得，故C正确； 0.1+0.05=0.15，所以估计月收入在内的小微企业有（0.1+0.05）×500=75家，故D正确. 2． 【答案】(1)200人； (2)37.5. 【分析】频率分布直方图中，小矩形的面积表示相应组的频率．先利用总面积为 求出 ，再根据相应组的频率求人数，并用各组区间中点值作加权平均估计平均数． 【详解】（1）各组组距均为 ． 由各组频率之和为 ，得解得 ． 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）． （2）五组的频率依次为 ． 各组区间的中点值依次为 ． 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为 故估计平均数为 ． 3． 【答案】(1)320 (2)该样本路段是早高峰拥堵路段，理由为：由已知，得理想状态下通行时间的1.2倍为：． 由频率分布直方图，知区间和区间对应的频率／组距分别为0.028和0.004， 因此，通行时长超过70秒的车辆所占频率为． 所以通行时长超过理想状态下通行时间的1.2倍（69.6秒）的车辆占比大于0.32． 因为， 所以该样本路段是早高峰拥堵路段 (3)不能以作为基准时长．理由如下： 因为频率分布直方图在左边“拖尾”，所以平均数小于中位数， 若以作为基准时长，那么有超半数的车辆通行时长大于， 即在该样本路段通行时长不超过的车辆不到半数． 所以不能以作为基准时长． 能以作为基准时长．理由如下： 的估计值为：． 当通行时长在时，频率为． 当通行时长在时，频率为， 由上可知中位数在区间内． 设中位数为，则，解得，所以中位数为64.375． 由于64.375与62.6比较接近，又因为样本具有随机性， 所以可以以作为基准时长． 【分析】（1）由频率直方图读出区间频率/组距，乘组距得频率，再乘样本容量得频数； （2）先计算理想时长1.2倍阈值，统计超阈值车辆占比，与30%标准比较判断是否拥堵； （3）若以平均数作为基准，因直方图左偏，平均数小于中位数，则超过半数车辆大于平均数，不满足“至少半数不超过”的条件，故不能；若仅从数值近似角度，当平均数与中位数相差不大时，也可采用. 【详解】（1）因为区间对应的频率／组距为0.032，组距为10， 所以通行时长在的车辆所占频率为． 因为抽取的共1000辆车，所以． 因此，抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在的车辆数为320． （2）略 （3）略 4． 【答案】(1) (2)74 (3)15.43. 【分析】（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和1运算求解； （2）同一组中的数据用该组区间的中点值代替，结合平均值的公式求解； （3）要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75，进行求解． 【详解】（1）由，解得. （2）. 即平均值为74. （3）由（2）可知. 要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75. 若，则 频率； 若，则， 频率； 当b最小时，， 且， 解得，即b的最小值约为15.43. 5． 【答案】(1)； (2)分； (3)分． 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形的面积之和为建立方程求解； （2）利用组距的中点乘以对应的频率，求和即可估计平均值； （3）根据频率分布直方图，从高分向低分累加频率，确定前所在的区间，利用面积比例计算分数线． 【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为，根据所有小矩形的面积之和为可得： ， 解得． （2）根据频率分布直方图，样本分数的平均值估计为： 所以估计份样本分数的平均值为分． （3）因为分数排名前20%的同学入围决赛，即对应累计频率为为80%的分数， 前四组的频率之和为，前五组的频率之和为， 所以入围决赛的分数线位于区间 内， 设进入决赛的同学至少达到 分，则， 即，解得， 故估计进入决赛的同学至少达到分． 6． 【答案】(1)众数为，平均数为. (2)每天应该进千克苹果． 【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. （2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 题型07 频率分布直方图与概率的综合问题 1． 【答案】(1)合理分数为分；平均分为70.2分 (2)总平均数是62，总方差是26． (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 2． 【答案】(1)，分位数为 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解； （2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； （2）由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 3． 【答案】(1)，所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异 (2) (3)证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2；从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1． ，     ，     所以， 又，    显然，     故事件，不相互独立． 【分析】（1）利用平均分的定义分别计算实验班与非实验班的分数，然后根据题中所给的成绩有明显差异的判断条件进行判断. （2）根据题意列出从这6人中随机抽取3人的样本空间,然后列出抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的样本点，最后利用古典概型公式求解. （3）利用独立事件的定义,判断事件是否独立即可. 【详解】（1）非实验班数学平均分的近似值为 实验班数学平均分的近似值为 因为， 所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异． （2）因为实验班数学成绩在区间,,内的学生人数之比为． 所以从区间,,内抽取的学生人数分别为2,3,1． 记数学成绩在区间的2人为,，在区间的3人为,,, 在区间的1人为c．     从这6人中随机抽取3人的样本空间 ,共有20个样本点．     用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间”, 则,有10个样本点，     故． （3）略 4． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出的值，再利用组中值乘以对应频率求和即可得到平均数； （2）①根据频率之比确定分层抽样中各层抽取的人数，利用古典概型概率公式计算即可； ②利用独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1， 可得：，解得. 估计这110名学生成绩的平均数为： . 所以，估计这110名学生成绩的平均数为 分. （2）① 成绩在的频率为，成绩在的频率为. 因为，所以采取分层抽样的方法从中抽取6人， 其中成绩在（即“良好”）的人数为人，成绩在的人数为人. 设“这两人成绩等级被认定为‘良好’”为事件， 则. 故这两人成绩等级被认定为“良好”的概率为. ②成绩不高于60分（即“不合格”）的频率为. 用样本估计总体，从该地区随机抽取一人，其成绩“不合格”的概率为. 设“从该地区随机抽取两人，这两人成绩都‘不合格’”为事件，则. 故这两人成绩都“不合格”的概率为. 5． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为，列方程求解参数； （2）先由直方图算出及格频率并当作单次及格概率，再分别用二项分布或古典概型算出恰份、恰份及格的概率，相加得到至少 份及格的概率； （3）先算出两组区间样本数量，以组中值结合加权平均求整体均值，再利用分层方差公式加权计算总方差. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）解法1由直方图知， 的频率为 ，用频率估计概率， 设至少有2份试卷及格为事件 ，有2份试卷及格为事件 ，有3份试卷及格为事件 ，    解法2：由直方图知， 的频率为 ，用频率估计概率， 设1为及格试卷，0为不及格试卷，则样本空间， 设事件A=“有 2 份试卷及格”，则A=， 设事件B=“有 3份试卷及格”，则B= 由古典概型知，， 所以=+=. （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 2． 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 3． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 4． 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 二、多选题 5． 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D. 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确； 选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确； 选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以上四分位数为分，故C正确； 选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误. 6． 【答案】BCD 【详解】A选项：成绩落在区间的频率为，故A错误. B选项：成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率，故中位数在， 设中位数为，则，解得，故中位数为76.25， B正确. C选项：成绩落在区间的频率最大，故众数为75，C正确. D选项：成绩低于60分的频率为，其人数为，故D正确. 7． 【答案】ABC 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； 三、填空题 8． 【答案】①③④ 【分析】根据总人数乘以该频率可得到对应学生人数，计算判断①；结合频率分布直方图中所有矩形面积和为1，列出关于的方程，求解判断②；根据中位数是把频率分布直方图分成左右面积相等的点，找到中位数所在区间，再利用中位数计算公式求解，判断③；计算各区间累计频率，找到所在区间，再用百分位数公式求解，判断④. 【详解】频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为10， 因此， 解得，故②错误； 成绩在的频率为，总抽取人数为200， 因此该区间人数为人，故①正确； 成绩分的频率：， 成绩分的累计频率：， 因此中位数在内，中位数为：， 估计全校中位数为87合理，故③正确； 累计频率到90分为，累计频率到100分为， 因此80百分位数在内：，④正确. 9． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 四、解答题 10． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）频率和为，得； （2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间内，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. 11． 【答案】(1)，众数为 (2)4人 (3) 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 12． 【答案】(1)40；； (2)平均数为32.25；第80百分位数为37.5 【分析】（1）根据频率与频数的关系求使用时长在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数. 【详解】（1）由题意可知，使用时长在内的频率为， 故使用时长在内的学生人数为. 由图可得：， 解得； （2）由（1）知，则平均数为 ， 前三组的频率和为， 前四组的频率和为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 频率分布直方图的相关计算 常考题型·精准突破 题型01 根据频率分布直方图求频率、频数 题型02 根据频率分布直方图求平均数 题型03 根据频率分布直方图求中位数与众数（重） 题型04 根据频率分布直方图求百分位数（高频） 题型05 根据频率分布直方图求方差与极差 题型06 频率分布直方图的实际问题 题型07 频率分布直方图与概率的综合问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 根据频率分布直方图求频率、频数 1．（2026·云南玉溪·二模）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可求解. 【详解】已知的频率为，组距为，因此，解得. 又因为所有组频率和为，因此， 代入，计算得 ，则， 因此，. 2．（25-26高二下·内蒙古·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 【答案】A 【详解】由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中， 月均用水量不低于立方米的频率为， 因该市有万居民， 故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万. 3．（25-26高二下·重庆·期末）重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 【答案】C 【分析】依据频率分布直方图计算出样本中竞赛成绩为优秀的学生频率，再去推测这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数即可. 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为. 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，则________，________.    【答案】 【分析】根据的频率计算出，再由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 5．某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 【答案】 【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【详解】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 6．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 【答案】 / 【分析】①由直方图中所有矩形的高度之和乘以组距为可求解，②再由频率分布直方图求出时间在小时以上的频率，再求人数. 【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1， 所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 题型02 根据频率分布直方图求平均数  1．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 【答案】B 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 2．随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．43.6万人 B．44.5万人 C．45万人 D．49.1万人 【答案】A 【分析】利用频率分布直方图中各频率之和为求得，再利用其估计平均数的方法列式计算即可得解. 【详解】由频率分布直方图得：，解得， 则从左到右各小矩形面积依次为， 所以该组样本数据的平均数为. 故选：A. 3．如图是是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数为（    ）    A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据频率之和为1求出最后一组对应的频率，利用相关公式求出平均数，得到答案. 【详解】设最后一组对应的频率为， 由题意得，，解得， 故， 所以可以估计总体的平均数为26. 故选：C 4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（    ）    A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2 【答案】C 【分析】根据题意，由频率之和为1，可得的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得，则，故得分的平均数为：. 故选：C 5．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的平均数为__________． 【答案】71 【分析】先求出的值，再根据平均数的公式求解即可. 【详解】根据频率分布直方图可知：， 即， 由图可估计平均数: ． 6．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为____________，评分的平均数为____________．    【答案】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可求得的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，可得出评分的平均数. 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 题型03 根据频率分布直方图求中位数与众数 1．（25-26高三上·天津·阶段检测）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（   ） A．可求得 B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有80人 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确； 选项B：，， 所以中位数位于内，且设为x， 则，解得，故B错误； 选项C：得分在之间的频率为，故C正确； 选项D：得分在之间的频率为， 所以得分在之间的共有人，故D正确. 故选：B 2．（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 【答案】D 【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 【答案】C 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，故A错误； 对于B，由图可知，时速在内的频率最大，所以众数的估计值为，故B错误； 对于C，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，时速的平均数估计值为，所以时速的平均数估计值小于其中位数的估计值，故D错误. 4．（25-26高一下·天津西青·期末）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（    ） A．         B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的形态判断数据的偏态，利用偏态分布中平均数与中位数的大小关系进行判定. 【详解】在频率分布直方图中，数据的分布形态决定了平均数与中位数的相对大小： 对于A、B：直方图大致对称，数据分布均匀，平均数与中位数大致相等，A、B错误； 对于C：若直方图呈现“右偏”分布，即长尾在右侧（大数值方向），极端大值会拉高平均数， 使得平均数大于中位数，C错误； 对于D：若直方图呈现“左偏”分布，即长尾在左侧（小数值方向），极端小值会拉低平均数， 使得平均数小于中位数，D正确. 5．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    【答案】76 【分析】先根据频率分布直方图求出的值，然后根据中位数的定义求出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：76. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝______；估计该校学生竞赛成绩的众数为______，平均成绩为______． 【答案】 【分析】由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，由频率分布直方图计算众数、平均数的方法可得答案. 【详解】由于组距为，且所有矩形面积之和为， 所以有. 竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值作为众数的估计值． 由频率分布直方图可得平均成绩约为：. 7．某校组织高二学生参加了历史学科的学业水平考试，某班成绩的频率分布直方图如下图所示，则_______，并估计该班学生此次考试成绩的众数为______. 【答案】 0.015/ 70 【分析】根据所有的频率之和等于1，便可求出a的值；根据频率分布直方图可知，人数最多的组为，即可得出众数. 【详解】因为所有的频率之和等于1，所以，解得：； 根据频率分布直方图可知，人数最多的组为，所以众数为. 故答案为：；. 题型04 根据频率分布直方图求百分位数 1．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（     ） A．8.2 B．8.3 C．8.5 D．8.6 【答案】C 【分析】根据频率和为1可得，分析可知这组样本数据的分位数在区间内，结合百分位数的定义列式求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 因为，， 所以这组样本数据的分位数在区间内，设其为t， 则，解得. 2．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】C 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3， 又，， 故55%分位数在内，约为． 3．（25-26高一下·云南普洱·期末）某校举办咖啡文化知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，现随机抽取100名学生的成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的分位数为（    ） A．75 B．80 C．84 D．86 【答案】C 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出参数的值，然后计算各组频率，确定，分位数所在的区间，最后利用面积比例关系计算得出结果． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为，得，解得， 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为， 因为前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 所以分位数位于区间内， 设分位数为，，解得， 所以估计这名学生成绩的分位数为． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 5．（25-26高一下·天津南开·期末）为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛.为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为__________分. 【答案】 【详解】计算每组频率 ，， ，， ，. 前四组累计频率：， 前五组累计频率：， 所以第 75 百分位数落在区间内，设第 75 百分位数为， 则， 综上，该高校数学建模比赛成绩的第 75 百分位数为分. 6．（25-26高一下·北京·阶段检测）北中英才学生在某次抽样检测中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，估计此次考试成绩的第80百分位数为________． 【答案】 【分析】计算各区间累计频率，确定第80百分位数所在区间并求解即可. 【详解】由图可知组距为20，可得各分数段的频率和累计频率为： ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 ：频率，累计频率 因为，因此第80百分位数落在区间内. 所以第80百分位数为：. 7．（25-26高一下·江苏无锡·期末）为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．    【答案】 【分析】根据频率分布直方图中频数与频率的关系求出的值，利用频率之和为求出的值，确定前选手所在的分数区间，利用面积法计算分数线． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为． 组的频率为． 因为这组的频数是这组频数的倍，且样本容量相同， 所以这组的频率是这组频率的倍， 即，解得． 由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可得： ， 解得． 各组的频率依次为： ：； ：； ：； ：； ：． 因为选取成绩前的选手为一等奖获得者，即求第百分位数． 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以一等奖的分数线位于内． 设一等奖的分数线为， 则， 即， 解得，即． 故估计一等奖的分数线为分． 题型05 根据频率分布直方图求方差与极差 1．（26-27高三上·河南·开学考试）某商场统计了一段时间内的销售情况，得到如下频率分布直方图. 由图估计该商场月销售额的方差为（    ） A．165 B．155 C．150 D．145 【答案】D 【分析】求各组频率，以每组的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知各组频率依次为， 估计该商场月销售额的平均数为， 所以估计该商场月销售额的方差为. 2．从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（    ） A．指标值在区间的产品约有33件 B．指标值的极差介于50与70之间 C．指标值的第60百分位数大于205 D．指标值的方差的估计值是150 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求各组的频率.对于A：根据频率即可求频数；对于B：根据极差的定义分析判断；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：以每组区间的中点值为参考，结合平均数、方差的计算公式运算即可. 【详解】由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是， 对于选项A：指标值在区间的产品约有件，A选项正确； 对于选项B：指标值的最大极差为，最小极差为，B选项正确； 对于选项C：因为，， 所以指标值的第百分位数在内，小于，C选项不正确； 对于选项D：抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差的估计值分别为： ， ， D选项正确； 综合以上分析，该样本统计量的叙述不正确的选项是C． 故选：C. 3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小 【详解】解：由题意 由频率分布直方图得： 甲地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 乙地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 ∴ 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高， ∴ 故选：D. 4．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下： 估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案. 【详解】由题意进行数据分析，可得： ，解得：； ，解得：； 所以. 比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：. 故选：A 5．（多选）（25-26高三上·山东临沂·期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 6．（26-27高二上·宁夏吴忠·开学考试）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 【答案】(1)；90 (2)86；75；76；169 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，解方程求出，进而得到60分以上的频率，再乘以样本容量即可得对应人数； （2）众数取最高矩形区间中点；上四分位数先找累计频率定位所在区间，再通过列方程找频率为的位置即可； 平均数用各组组中值乘以对应频率求和即可求得；方差利用频率加权计算各组与平均数偏差的平方和即可求得. 【详解】（1）根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. （2）上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86； 众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差：. 题型06 频率分布直方图的实际问题 1．（多选）（25-26高二下·江西·期末）某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．图中的值为0.025 B．估计这些小微企业的平均月收入约为45万元 C．估计这些企业月收入的中位数为42 D．这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家 【答案】ACD 【详解】由题意，得，解得，故A正确； 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5，故B错误； 因为，，所以中位数在40～50间， 设中位数位，则，解得，故C正确； 0.1+0.05=0.15，所以估计月收入在内的小微企业有（0.1+0.05）×500=75家，故D正确. 二、解答题 2．（26-27高二上·重庆渝中·开学考试）为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】(1)200人； (2)37.5. 【分析】频率分布直方图中，小矩形的面积表示相应组的频率．先利用总面积为 求出 ，再根据相应组的频率求人数，并用各组区间中点值作加权平均估计平均数． 【详解】（1）各组组距均为 ． 由各组频率之和为 ，得解得 ． 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）． （2）五组的频率依次为 ． 各组区间的中点值依次为 ． 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为 故估计平均数为 ． 3．（25-26高一下·北京东城·期末）为提升城市主干路通行效率，某交通管理部门计划为辖区内一条城市主干路优化红绿灯配时．该主干路由若干个单位路段（即相邻两个红绿灯路口之间的道路段）构成，现选取这条主干路的一个单位路段作为样本路段进行研究．从早高峰期间途经该样本路段的小型汽车中随机抽取1000辆，记录其通行时长（单位：秒），并将收集的数据分成7组，得到如下的频率分布直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在（单位：秒）的车辆数； (2)根据《城市交通运行状况评价规范》国家标准，若在某一时段，路段内通行时长超过理想状态下通行时长1.2倍的车辆占比超过；则可认为该路段在这一时段为拥堵路段．已知该样本路段理想状态下通行时长为58秒，判断该样本路段是否为早高峰拥堵路段，并说明理由； (3)为确定沿线红绿灯配时，现需预设该样本路段早高峰的基准通行时长（单位：秒）．若交管部门计划早高峰期间至少半数车辆在该样本路段通行时长不超过，请判断能否以收集数据的平均数作为基准通行时长，并说明理由． 【答案】(1)320 (2)该样本路段是早高峰拥堵路段，理由为：由已知，得理想状态下通行时间的1.2倍为：． 由频率分布直方图，知区间和区间对应的频率／组距分别为0.028和0.004， 因此，通行时长超过70秒的车辆所占频率为． 所以通行时长超过理想状态下通行时间的1.2倍（69.6秒）的车辆占比大于0.32． 因为， 所以该样本路段是早高峰拥堵路段 (3)不能以作为基准时长．理由如下： 因为频率分布直方图在左边“拖尾”，所以平均数小于中位数， 若以作为基准时长，那么有超半数的车辆通行时长大于， 即在该样本路段通行时长不超过的车辆不到半数． 所以不能以作为基准时长． 能以作为基准时长．理由如下： 的估计值为：． 当通行时长在时，频率为． 当通行时长在时，频率为， 由上可知中位数在区间内． 设中位数为，则，解得，所以中位数为64.375． 由于64.375与62.6比较接近，又因为样本具有随机性， 所以可以以作为基准时长． 【分析】（1）由频率直方图读出区间频率/组距，乘组距得频率，再乘样本容量得频数； （2）先计算理想时长1.2倍阈值，统计超阈值车辆占比，与30%标准比较判断是否拥堵； （3）若以平均数作为基准，因直方图左偏，平均数小于中位数，则超过半数车辆大于平均数，不满足“至少半数不超过”的条件，故不能；若仅从数值近似角度，当平均数与中位数相差不大时，也可采用. 【详解】（1）因为区间对应的频率／组距为0.032，组距为10， 所以通行时长在的车辆所占频率为． 因为抽取的共1000辆车，所以． 因此，抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在的车辆数为320． （2）略 （3）略 4．（25-26高一下·湖北荆州·期末）某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 【答案】(1) (2)74 (3)15.43. 【分析】（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和1运算求解； （2）同一组中的数据用该组区间的中点值代替，结合平均值的公式求解； （3）要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75，进行求解． 【详解】（1）由，解得. （2）. 即平均值为74. （3）由（2）可知. 要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75. 若，则 频率； 若，则， 频率； 当b最小时，， 且， 解得，即b的最小值约为15.43. 5．（25-26高一下·吉林长春·期末）为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常识竞赛活动．现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数分成六组：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计200份样本分数的平均值； (3)若规定分数排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 【答案】(1)； (2)分； (3)分． 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形的面积之和为建立方程求解； （2）利用组距的中点乘以对应的频率，求和即可估计平均值； （3）根据频率分布直方图，从高分向低分累加频率，确定前所在的区间，利用面积比例计算分数线． 【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为，根据所有小矩形的面积之和为可得： ， 解得． （2）根据频率分布直方图，样本分数的平均值估计为： 所以估计份样本分数的平均值为分． （3）因为分数排名前20%的同学入围决赛，即对应累计频率为为80%的分数， 前四组的频率之和为，前五组的频率之和为， 所以入围决赛的分数线位于区间 内， 设进入决赛的同学至少达到 分，则， 即，解得， 故估计进入决赛的同学至少达到分． 6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 【答案】(1)众数为，平均数为. (2)每天应该进千克苹果． 【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. （2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 题型07 频率分布直方图与概率的综合问题 1．（25-26高一下·吉林延边·期末）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 【答案】(1)合理分数为分；平均分为70.2分 (2)总平均数是62，总方差是26． (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)，分位数为 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解； （2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； （2）由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 3．（25-26高一下·河南·期末）某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件，不相互独立． 【答案】(1)，所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异 (2) (3)证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2；从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1． ，     ，     所以， 又，    显然，     故事件，不相互独立． 【分析】（1）利用平均分的定义分别计算实验班与非实验班的分数，然后根据题中所给的成绩有明显差异的判断条件进行判断. （2）根据题意列出从这6人中随机抽取3人的样本空间,然后列出抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的样本点，最后利用古典概型公式求解. （3）利用独立事件的定义,判断事件是否独立即可. 【详解】（1）非实验班数学平均分的近似值为 实验班数学平均分的近似值为 因为， 所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异． （2）因为实验班数学成绩在区间,,内的学生人数之比为． 所以从区间,,内抽取的学生人数分别为2,3,1． 记数学成绩在区间的2人为,，在区间的3人为,,, 在区间的1人为c．     从这6人中随机抽取3人的样本空间 ,共有20个样本点．     用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间”, 则,有10个样本点，     故． （3）略 4．（25-26高一下·重庆渝中·期末）某地区教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，从中抽取110名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)估计这110名学生成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)若知识问答成绩不高于60分的成绩等级被认定为“不合格”，知识问答成绩在中的成绩等级被认定为“良好”． ①现采取分层抽样的方法，从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这两人成绩等级被认定为“良好”的概率； ②用样本估计总体，若从该地区随机抽取两人，求这两人成绩都“不合格”的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出的值，再利用组中值乘以对应频率求和即可得到平均数； （2）①根据频率之比确定分层抽样中各层抽取的人数，利用古典概型概率公式计算即可； ②利用独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1， 可得：，解得. 估计这110名学生成绩的平均数为： . 所以，估计这110名学生成绩的平均数为 分. （2）① 成绩在的频率为，成绩在的频率为. 因为，所以采取分层抽样的方法从中抽取6人， 其中成绩在（即“良好”）的人数为人，成绩在的人数为人. 设“这两人成绩等级被认定为‘良好’”为事件， 则. 故这两人成绩等级被认定为“良好”的概率为. ②成绩不高于60分（即“不合格”）的频率为. 用样本估计总体，从该地区随机抽取一人，其成绩“不合格”的概率为. 设“从该地区随机抽取两人，这两人成绩都‘不合格’”为事件，则. 故这两人成绩都“不合格”的概率为. 5．（25-26高一下·安徽·期末）学校举办了数学学科节知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷中抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为，列方程求解参数； （2）先由直方图算出及格频率并当作单次及格概率，再分别用二项分布或古典概型算出恰份、恰份及格的概率，相加得到至少 份及格的概率； （3）先算出两组区间样本数量，以组中值结合加权平均求整体均值，再利用分层方差公式加权计算总方差. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）解法1由直方图知， 的频率为 ，用频率估计概率， 设至少有2份试卷及格为事件 ，有2份试卷及格为事件 ，有3份试卷及格为事件 ，    解法2：由直方图知， 的频率为 ，用频率估计概率， 设1为及格试卷，0为不及格试卷，则样本空间， 设事件A=“有 2 份试卷及格”，则A=， 设事件B=“有 3份试卷及格”，则B= 由古典概型知，， 所以=+=. （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 3．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 4．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 二、多选题 5．（25-26高一下·河南信阳·期末）中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（   ） A．频率分布直方图中m的值为0.010 B．在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C．根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D．如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D. 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确； 选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确； 选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以上四分位数为分，故C正确； 选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误. 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（    ） A．成绩落在区间的频率为0.03 B．这100名学生成绩的中位数为76.25 C．这100名学生成绩的众数为75 D．成绩低于60分的学生人数为5人 【答案】BCD 【详解】A选项：成绩落在区间的频率为，故A错误. B选项：成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率，故中位数在， 设中位数为，则，解得，故中位数为76.25， B正确. C选项：成绩落在区间的频率最大，故众数为75，C正确. D选项：成绩低于60分的频率为，其人数为，故D正确. 7．（25-26高一下·河南郑州·期末）1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 【答案】ABC 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； 三、填空题 8．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是__________. ①在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人 ②图中的值为0.020 ③估计全校学生成绩的中位数为87 ④估计全校学生成绩的 【答案】①③④ 【分析】根据总人数乘以该频率可得到对应学生人数，计算判断①；结合频率分布直方图中所有矩形面积和为1，列出关于的方程，求解判断②；根据中位数是把频率分布直方图分成左右面积相等的点，找到中位数所在区间，再利用中位数计算公式求解，判断③；计算各区间累计频率，找到所在区间，再用百分位数公式求解，判断④. 【详解】频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为10， 因此， 解得，故②错误； 成绩在的频率为，总抽取人数为200， 因此该区间人数为人，故①正确； 成绩分的频率：， 成绩分的累计频率：， 因此中位数在内，中位数为：， 估计全校中位数为87合理，故③正确； 累计频率到90分为，累计频率到100分为， 因此80百分位数在内：，④正确. 9．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 四、解答题 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）频率和为，得； （2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间内，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. 11．（25-26高一下·湖南娄底·期末）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 【答案】(1)，众数为 (2)4人 (3) 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 12．（25-26高一下·广东深圳·期末）为了解高一学生使用错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求使用时长在内的学生人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数； 【答案】(1)40；； (2)平均数为32.25；第80百分位数为37.5 【分析】（1）根据频率与频数的关系求使用时长在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数. 【详解】（1）由题意可知，使用时长在内的频率为， 故使用时长在内的学生人数为. 由图可得：， 解得； （2）由（1）知，则平均数为 ， 前三组的频率和为， 前四组的频率和为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 频率分布直方图的相关计算 常考题型·精准突破 题型01 根据频率分布直方图求频率、频数 题型02 根据频率分布直方图求平均数 题型03 根据频率分布直方图求中位数与众数（重） 题型04 根据频率分布直方图求百分位数（高频） 题型05 根据频率分布直方图求方差与极差 题型06 频率分布直方图的实际问题 题型07 频率分布直方图与概率的综合问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 根据频率分布直方图求频率、频数 1．（2026·云南玉溪·二模）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·内蒙古·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 3．（25-26高二下·重庆·期末）重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，则________，________.    5．某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 6．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 题型02 根据频率分布直方图求平均数  1．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 2．随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．43.6万人 B．44.5万人 C．45万人 D．49.1万人 3．如图是是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数为（    ）    A．24 B．25 C．26 D．27 4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（    ）    A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2 5．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的平均数为__________． 6．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为____________，评分的平均数为____________．    题型03 根据频率分布直方图求中位数与众数 1．（25-26高三上·天津·阶段检测）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（   ） A．可求得 B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有80人 2．（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 4．（25-26高一下·天津西青·期末）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（    ） A．         B．   C．   D．   5．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    6．（26-27高三·全国·一轮复习）某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝______；估计该校学生竞赛成绩的众数为______，平均成绩为______． 7．某校组织高二学生参加了历史学科的学业水平考试，某班成绩的频率分布直方图如下图所示，则_______，并估计该班学生此次考试成绩的众数为______. 题型04 根据频率分布直方图求百分位数 1．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）某科技公司对一批新型锂电池的续航时间（单位：小时）进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数约为（     ） A．8.2 B．8.3 C．8.5 D．8.6 2．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 3．（25-26高一下·云南普洱·期末）某校举办咖啡文化知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，现随机抽取100名学生的成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的分位数为（    ） A．75 B．80 C．84 D．86 4．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 5．（25-26高一下·天津南开·期末）为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛.为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为__________分. 6．（25-26高一下·北京·阶段检测）北中英才学生在某次抽样检测中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，估计此次考试成绩的第80百分位数为________． 7．（25-26高一下·江苏无锡·期末）为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．    题型05 根据频率分布直方图求方差与极差 1．（26-27高三上·河南·开学考试）某商场统计了一段时间内的销售情况，得到如下频率分布直方图. 由图估计该商场月销售额的方差为（    ） A．165 B．155 C．150 D．145 2．从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（    ） A．指标值在区间的产品约有33件 B．指标值的极差介于50与70之间 C．指标值的第60百分位数大于205 D．指标值的方差的估计值是150 3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 4．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下： 估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（多选）（25-26高三上·山东临沂·期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 6．（26-27高二上·宁夏吴忠·开学考试）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 题型06 频率分布直方图的实际问题 1．（多选）（25-26高二下·江西·期末）某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．图中的值为0.025 B．估计这些小微企业的平均月收入约为45万元 C．估计这些企业月收入的中位数为42 D．这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家 2．（26-27高二上·重庆渝中·开学考试）为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 3．（25-26高一下·北京东城·期末）为提升城市主干路通行效率，某交通管理部门计划为辖区内一条城市主干路优化红绿灯配时．该主干路由若干个单位路段（即相邻两个红绿灯路口之间的道路段）构成，现选取这条主干路的一个单位路段作为样本路段进行研究．从早高峰期间途经该样本路段的小型汽车中随机抽取1000辆，记录其通行时长（单位：秒），并将收集的数据分成7组，得到如下的频率分布直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在（单位：秒）的车辆数； (2)根据《城市交通运行状况评价规范》国家标准，若在某一时段，路段内通行时长超过理想状态下通行时长1.2倍的车辆占比超过；则可认为该路段在这一时段为拥堵路段．已知该样本路段理想状态下通行时长为58秒，判断该样本路段是否为早高峰拥堵路段，并说明理由； (3)为确定沿线红绿灯配时，现需预设该样本路段早高峰的基准通行时长（单位：秒）．若交管部门计划早高峰期间至少半数车辆在该样本路段通行时长不超过，请判断能否以收集数据的平均数作为基准通行时长，并说明理由． 4．（25-26高一下·湖北荆州·期末）某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 5．（25-26高一下·吉林长春·期末）为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常识竞赛活动．现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数分成六组：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计200份样本分数的平均值； (3)若规定分数排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 题型07 频率分布直方图与概率的综合问题 1．（25-26高一下·吉林延边·期末）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 3．（25-26高一下·河南·期末）某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件，不相互独立． 4．（25-26高一下·重庆渝中·期末）某地区教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，从中抽取110名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)估计这110名学生成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)若知识问答成绩不高于60分的成绩等级被认定为“不合格”，知识问答成绩在中的成绩等级被认定为“良好”． ①现采取分层抽样的方法，从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这两人成绩等级被认定为“良好”的概率； ②用样本估计总体，若从该地区随机抽取两人，求这两人成绩都“不合格”的概率． 5．（25-26高一下·安徽·期末）学校举办了数学学科节知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷中抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 3．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 4．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 二、多选题 5．（25-26高一下·河南信阳·期末）中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（   ） A．频率分布直方图中m的值为0.010 B．在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C．根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D．如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（    ） A．成绩落在区间的频率为0.03 B．这100名学生成绩的中位数为76.25 C．这100名学生成绩的众数为75 D．成绩低于60分的学生人数为5人 7．（25-26高一下·河南郑州·期末）1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 三、填空题 8．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是__________. ①在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人 ②图中的值为0.020 ③估计全校学生成绩的中位数为87 ④估计全校学生成绩的 9．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 四、解答题 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 11．（25-26高一下·湖南娄底·期末）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 12．（25-26高一下·广东深圳·期末）为了解高一学生使用错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求使用时长在内的学生人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $