第一章 三角形全章高频重点题型突破(专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“基础-综合”双阶架构系统突破三角形全章重点，通过题型归类与模型构建，强化几何直观与推理能力，实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|12题型（含识别、三边关系等）|性质直接应用（如角平分线性质计算）、判定方法（SSS/SAS等）、作图规范（垂直平分线尺规作图）|从三角形基本概念（顶点、边、角）到特殊线段（高、中线），再到全等判定与性质，形成“概念-性质-应用”链条| |综合攻坚|全等几何综合、垂直平分线+角度计算等|模型迁移（如“手拉手”全等）、辅助线构造（延长中线证全等）、实际问题转化（选址问题用垂直平分线性质）|整合多知识点，通过探究性问题（如内角和证明）培养推理意识，结合生活情境提升应用能力|

第一章 三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 题型2·三角形三边关系求参数。 题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 题型4・命题、定理、证明辨析（真假命题、反例、互逆命题） 题型5 三角形内角和定理的证明 题型6 三角形的外角的定义及性质 题型7·全等三角形基础性质应用。 题型8·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 题型9·垂直平分线性质基础计算(重) 题型10·垂直平分线作图与实际选址 题型11·角平分线性质基础计算(重) 题型12·角平分线尺规作图 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 4．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 6．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 ◆题型2·三角形三边关系求参数 7．用三根木棒摆成三角形，其中有两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 9．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 ◆题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 10．下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 ◆题型 4·命题、定理、证明辨析(真假命题、反例、互逆命题) 15．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 16．下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 17．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， ◆题型5·三角形内角和定理的证明 18．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 19．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 20．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． ◆题型6·三角形的外角的定义及性质 21．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 ◆题型7·全等三角形基础性质应用 24．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 25．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 26．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 ◆题型8·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HD) 28．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 29．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 30．如图，，，．求证：． 31．如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． ◆题型9·垂直平分线性质基础计算(重) 32．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 33．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 34．如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ◆题型10·垂直平分线作图与实际选址 35．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 36．如图，在，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）的条件下，连接，求的周长． 37．如图，有一个四边形小区，点分别是小区的超市和快递驿站（点E在边上），现小区管理人员打算在边上修建一处居民健身中心P，使得，请你帮小区管理人员找出居民健身中心P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ◆题型 11·角平分线性质基础计算(重) 38．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 39．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 40．已知如图中的周长为20，点是与的角平分线的交点，于点，若，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 41．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 42．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 ◆题型 12·角平分线尺规作图中 43．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 44．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 45．如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． ◆题型1全等几何综合证明 1．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 2．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 3．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 4．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） ◆题型2 垂直平分线·+·角度综合计算 5．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 6．如图，在中，直线，分别为边，的垂直平分线，且交于点，连接，，，．若和的周长分别为24和10，求的长． 7．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． ◆题型3 角平分线·+·全等三角形的综合 8．综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 9．【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 10．已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 11．我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 1．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 3．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 5．如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 6．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 7．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 8．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 9．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 题型2·三角形三边关系求参数。 题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 题型4・命题、定理、证明辨析（真假命题、反例、互逆命题） 题型5 三角形内角和定理的证明 题型6 三角形的外角的定义及性质 题型7·全等三角形基础性质应用。 题型8·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 题型9·垂直平分线性质基础计算(重) 题型10·垂直平分线作图与实际选址 题型11·角平分线性质基础计算(重) 题型12·角平分线尺规作图 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 3．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 4．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 5．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 6．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． ◆题型2·三角形三边关系求参数 7．用三根木棒摆成三角形，其中有两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵已知两边长和， ∴，即， 对比选项，只有符合该范围． 8．已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 9．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． ◆题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 10．下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据三角形高的定义，判断线段是否从顶点出发垂直于对边或延长线，逐一甄别选项． 【详解】解：A、垂直于，而非，不符合“从向对边作垂线”的定义，故不是高； B、垂直于，同样不是向对边作的垂线，不符合高的定义； C、是从向边引的线段，但未与垂直，不满足垂直条件； D、从顶点出发，且垂直于的延长线，垂足为，完全符合三角形高的定义． 11．如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 13．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 14．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． ◆题型 4·命题、定理、证明辨析(真假命题、反例、互逆命题) 15．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 16．下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 【答案】C 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如两个独立的直角相等，但不是对顶角，该命题是假命题，故本选项不符合题意． B．只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在平行于已知直线的直线，该命题是假命题，故本选项不符合题意． C．同旁内角互补，两直线平行，是平行线的判定定理，该命题是真命题，故本选项符合题意． D．只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，该命题是假命题，故本选项不符合题意． 17．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． ◆题型5·三角形内角和定理的证明 18．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 19．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 20．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ◆题型6·三角形的外角的定义及性质 21．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 22．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 23．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【答案】B 【分析】延长，交于点，根据三角形的内角和求出，得到，再根据三角形的外角，求出，由图中，得到应增加，即可解答． 【详解】解：延长，交于点， ， 而图中 应增加． ◆题型7·全等三角形基础性质应用 24．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 25．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 27．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． ◆题型8·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HD) 28．如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、根据，和能推出，故本选项符合题意； B、根据，，不能推出，故本选项不符合题意； C、根据，和不能推出，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出，故本选项不符合题意． 29．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点为，的中点， ，． 又， ． 30．如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，得到，进而即可证明． 【详解】略． 31．如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：与的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． 【分析】根据“”证明和全等，再结合全等三角形性质，即可推出与的数量关系． 【详解】略 ◆题型9·垂直平分线性质基础计算(重) 32．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 33．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 34．如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． ◆题型10·垂直平分线作图与实际选址 35．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】依据尺规作垂直平分线得到中点，连接，就是所求中线． 【详解】解：分别以，为圆心，选取大于的相同长度为半径画弧，弧线分别在线段上下方各产生一个交点； 过上两个交点画出直线，直线与交于点，此时是中点； 连接，线段即为边上的中线． 36．如图，在，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1) 直线即为所求： (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，即得的周长，代入已知计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 37．如图，有一个四边形小区，点分别是小区的超市和快递驿站（点E在边上），现小区管理人员打算在边上修建一处居民健身中心P，使得，请你帮小区管理人员找出居民健身中心P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点P为所作． ． 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，连接，作线段的垂直平分线交于． 【详解】略 ◆题型 11·角平分线性质基础计算(重) 38．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 39．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 40．已知如图中的周长为20，点是与的角平分线的交点，于点，若，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 41．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 42．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． ◆题型 12·角平分线尺规作图中 43．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 解：P点的位置如图所示： 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】略 44．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点即为中转站． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】略 45．如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图可知平分， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∴， ． ◆题型1全等几何综合证明 1．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 2．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 3．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 4．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． ◆题型2 垂直平分线·+·角度综合计算 5．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：在和中， ，， ， ， ， ． 6．如图，在中，直线，分别为边，的垂直平分线，且交于点，连接，，，．若和的周长分别为24和10，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，利用该性质进行线段等量代换，从而简化周长计算是解题的关键． 利用垂直平分线的性质，将三角形周长中的线段进行等量代换，从而求出的长度． 【详解】解：如图，连接． 直线，分别是边，的垂直平分线， ，，，， ． 的周长， 的周长， ， ． 7．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据垂直关系可证得，又根据平行关系可得，即可求解； （2）由已知条件证明，即可证得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，体现了“边、角关系的推导与转化”能力． ◆题型3 角平分线·+·全等三角形的综合 8．综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（或）， ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①由已知可得，则，进而得； ②过点C作，交于点F，可证得，从而； （2）过点C作于点M，于点N，证明，从而得出； （3）取中点G，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴； ② 略 （2）略 （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②，，之间的数量关系为， 理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （2）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 【答案】(1) (2)， 理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质,构造全等三角形是解题关键． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵, ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：． （2）略 11．我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 【答案】（1）② （2），理由如下： 如图中，作交延长线于点于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）8 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质及全等三角形判定，结合等腰三角形性质进行线段转化． （1）利用角平分线的性质直接得出结论； （2）如图中，作交延长线于点于点，证明，从而证明； （3）如图，在上截取，连接，利用前面结论得到，结合等腰三角形性质求出的长度． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：②； （2）解：略； （3）如图，在上截取，连接， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 由（2）的结论得， ， ， ， ， ， ， ． 1．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【详解】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 2．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 3．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 4．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 5．如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质可求出的度数，判定①；根据角平分线的定义及三角形内角和定理可求出的度数，判定②；根据内外角平分线的性质求出，进而求出，再求出，判定③；根据邻补角的角平分线互相垂直判定④；根据平行线的判定条件分析⑤． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ， ， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②错误； 平分，平分， ， ， 如图， 平分，平分 ，， ， ，故③正确； 平分，平分， ， ，故④正确； 若，则， ， ，即，题目未给出，故⑤不一定正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 6．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 8．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 9．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ． (2) (3)， 证明：由（1）知， ，， 分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， 即， ． 【分析】（1）根据证明即可得； （2）由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知 ， ， 在和中，，， ， ， ， ． （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $