精品解析：河南省南阳市兴宛学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高二上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 3. 已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为    A. B. C. D. 4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 11. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 13. 设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________． 14. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为_____． 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 16. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 19. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）证明：直线与平面相交. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可求解. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B. 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，再逐项比对即可判断作答. 【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距， 长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是， 椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距， 长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是， 由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等. 故选：D 3. 已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围. 【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想. 4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 5. 在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意易知是的中位线，即， 所以. 故选：C 6. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得. 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 8. 已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为，解得. 故选：A. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C. 【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为. 由消去y，整理得，解得或. 因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，， 所以，，，故A正确. 因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确. 由圆的对称性可知，点，所以. 因为，所以点B到直线l的距离， 所以的面积，故C错误. 由以上分析可知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得. 【详解】由题意可得，则， 联立可得，解得或， 即，， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，则， 故与不垂直，即不为，故C错误； 对D：，又，故，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，又， 所以，所以， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 13. 设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求解即可． 【详解】设，，则，， 所以，也即， 因为，的中点为，所以，， 所以，所以， 所以直线的斜率为，经检验满足题意． 故答案为： 14. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由题意得直线，即， 由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【小问1详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，， 设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得，， 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 18. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 19. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）证明：直线与平面相交. 【答案】（1） 在三棱柱中， ∵平面， ∴四边形为矩形， 又E，F分别为，的中点， ∴， ∵，E为的中点， ∴，而， ∴平面； （2）； （3） 平面的一个法向量为， ∵，， ∴， ∴， ∴与不垂直， ∴与平面不平行且不在平面内， ∴与平面相交． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果； （3）根据平面一个法向量与直线方向向量数量积不为零，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 如图建立空间直角坐标系，    由题意得，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∴， ∴， 令，则，， ∴平面的一个法向量， 又∵平面的一个法向量为， ∴， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $