专题08 平面直角坐标系的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以四类核心题型为框架，通过解题通法引领、题型模版提炼、变式训练迁移，构建平面直角坐标系从性质应用到综合压轴的系统化训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心原则1项|利用坐标系性质解决问题|统领四类题型的底层逻辑| |角度问题|典例1+变式2|几何关系运用求未知量|从静态点坐标到动态角关系推理| |线段长度问题|典例1+变式2|辅助线转化坐标表示|坐标与线段数量关系的转化| |三角形面积问题|典例1+变式2|辅助线与分类讨论表面积|面积公式与坐标参数的结合| |将军饮马最值问题|典例1+变式2|模型应用与距离公式|最值模型在坐标系中的迁移| |压轴挑战|高难10题|综合运用四类方法|多知识点融合的复杂问题解决|

专题08 平面直角坐标系的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中的角度问题 题型二、平面直角坐标系中的线段长度问题 题型三、平面直角坐标系中的三角形面积问题 题型四、平面直角坐标系中的将军饮马最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平面直角坐标系中是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕点角度、线段长度、面积与最值展开，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中的角度问题 典例 1如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)；0 (2)或 (3)；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点，∴点， 当点在射线上（、）不重合，作，∴， ∵，∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的角度问题. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，几何关系的知识点的运用. 变式1-1如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）． (1)若，连接，，求的面积； (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)． 【分析】（1）根据得到，根据三角形面积公式计算即可； （2）分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：同（1）得， ∴， 即． 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得， 则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得， 则； 综上，点的坐标为或； （3）解：设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不变， 【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，进而根据可得的长，即可求得点、、的坐标； （2）设运动时间为秒，得到用表示的的面积和面积，进而根据的面积是面积的倍列出方程求得的值，即可求得点的坐标； （3）作，可得，同理可得，进而根据角的平分线的性质可得的度数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 由题意得：四边形为梯形， ， ， 故； （2）解：设运动时间为秒，，， ，， 的面积是面积的倍， ， 解得：或， 或 或； （3）解：大小不变，为． ， ， 作， ， 由题意得：， ， ， ， 同理：， 平分，平分 ，， ， ． 类型二、平面直角坐标系中的线段长度问题 典例2如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，进而即可求解； （2）设运动时间为秒， 则，，，即得，，再根据题意列出不等式解答即可； （3）易知四边形为平行四边形，所以为与的中点，设，又因为，因此的中点的坐标为，根据，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点，轴于点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∵个单位，个单位， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：设， 连接，由平移可知四边形为平行四边形， ∴为与的中点，， 设，则， ①当点P在y轴正半轴，即时，如图， ， ，解得， ， ②当点P在y轴负半轴，即时，如图， ， ，解得， ， 综上所述，当时，点的坐标或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，动点问题，平行四边形的性质，用中点坐标公式写出点P坐标是解题关键，列方程时要注意坐标中值的正负性． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的线段长度问题. 2.方法：利用几何关系作辅助线将点的坐标表示出来再求解即可. 变式2-1已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)h (2)①；②1 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【详解】（1）解：∵m、n满足， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴、 ∴， ∵点是y轴正半轴上的动点， ∴的面积； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 变式2-2已知，是等腰直角三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)4， (2)画图见解析，或，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）先过点作轴于，再结合（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）解：如图，即为所求作的直线； 当点在轴下方时， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ， ∴． 题型三、平面直角坐标系中的三角形面积问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】（1）由结合坐标轴位置直接写出坐标，再利用算出长度，得到点坐标； （2）代入确定坐标，拆分为三个小三角形，分别计算面积再求和得到总面积； （3）先算出面积，对点分第四象限、第三象限两种情况，拆分构造面积方程求解，得到对应点坐标． 【详解】（1）解：，在轴上，在轴上， ， ， ，在轴正半轴上， ； （2）解：连接， ， ， ； （3）解：存在，或，理由如下： ， 当在第四象限时，连接， ， 解得：， ， 当在第三象限时，连接，如图， ， 即， 解得：， ， 的坐标为或． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的角度问题. 2.方法：根据图形特点作辅助线，分类讨论把三角形面积表示出来是解答此题的关键. 变式3-1综合运用：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)填空：__________，__________； (2)是x轴上的动点． ①用含m的代数式表示线段的长为__________； ②若三角形的面积等于三角形的面积的，求点M的坐标； (3)直线l是第一、三象限坐标轴的夹角平分线，如图2，点P在l上，三角形的面积等于三角形的面积，则点P的坐标为__________． 【答案】(1)， (2)①；②点M的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值即可； （2）①根据题意可直接进行求解； ②利用三角形的面积公式列式得，解方程即可求解； （3）由题意可设，由题意可分：当点P在第一象限时，当点P在第三象限时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于三角形的面积的， ∴， 解得：或； ∴点M的坐标为或； （3）解：∵直线l是第一、三象限坐标的轴夹角平分线， ∴点到两坐标轴的距离相等， 设，由题意可分：当点P在第一象限时，如图，过点P分别作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵三角形的面积等于三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，如图， 同理可得：，， ∵三角形的面积等于三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或． 变式3-2已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 【答案】(1)；4；1；1 (2)①3；②；. (3)或. 【分析】（1）根据非负性进行求解即可； （2）①分割法求面积即可；②等积法求出的长，进而求出的坐标； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴， ∴， 画图略； （2）解：①作轴，轴， 由（1）知：； ∴， ∴ ∴的面积； ②∵的面积， ∴， ∴； ∵的面积， ∴， ∴， ∴. （3）解：当点在线段上，即，且时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，满足要求； 当点在线段的延长线上，即，且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，满足题意； 综上：或. 题型四、平面直角坐标系中的将军饮马最值问题 典例4【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E'三点共线时，取得最小值17；（3） 【分析】（1）根据，，得出； （2）作点E关于的对称点，得，根据题意，得，故当A、C、三点共线时，的值最小，以为一边构造矩形，得到利用勾股定理计算即可； （3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，， ∴， 作点E关于的对称点，得，根据题意，得， 故当A、C、三点共线时，的值最小，如图， 以为一边构造矩形，得到 ∴在中，由勾股定理得： ， ∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17； （3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 作点B关于的对称点，得，且， 根据题意，得， 故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为， 根据两点间距离公式，得 ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路线，两点之间线段最短，两点间距离公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的将军饮马模型问题. 2.方法：理解并掌握将军饮马模型，利用两点之间距离公式是解题的关键 变式4-1【阅读材料1】 我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离． 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． 求：线段的长度（即，两点间的距离）． 解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且． 在中，由勾股定理得． 所以． 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)在轴上有一动点，求的最小值． 【阅读材料2】 问题：求的最小值． 解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离． 所以求的最小值可以转化为（2）中的问题． 【探究深化】 (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的结论即可求出线段的长； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，求出的长度即可； （3），表示点到点的距离，表示点到点的距离．设点，，所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 【详解】（1）解：． （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． （3）解：， 表示点到点的距离，表示点到点的距离． 设点，， 所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质计算即可得出结果； （2）过点作，则，从而可得，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； （3）连接，先求出点的坐标为，设点的坐标为，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图2所示，过点作， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ，分别平分，，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：存在，如图3所示，连接， ，， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或 综上所述，点的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②，③点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出、，直接得到、两点坐标； （2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比； ②过点作轴于点，根据即可求出答案； ③设点纵坐标，拆分为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到点坐标； （3）设轴动点纵坐标为，分割表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，且， 两个非负数均为，即， 解得，， 点坐标为，点B坐标为； （2）解：①和有公共顶点，底边、在同一条直线上，因此两个三角形的高（点到直线的垂线段长度）完全相等， 面积比就等于底边长的比， ； ②过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ， ； ③设点坐标为，即， 以为底，高是点的纵坐标， ， ， 可得， 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：设点坐标为， ， 与以为公共底，高分别为点、点到轴的距离和， ， 由题意，且， 代入得：， 整理得， 即， 解得． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，同时点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，运动时间为秒． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)如图，当、分别在线段、上时，连接、，使，求的值； (3)在、的运动过程中，连接、，当时，请求出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)解：或，理由如下： 由（1）知，、， ， ①如图，当点Q在点C或上方时，即，过点Q作交于点H， ， ， 、， ， ， 即； ②如图，当点Q在点C下方时，即，此时，过点Q作， 同理得：， 、， ， ， 综上所述，和的数量关系为：或． 【分析】本题考查非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积公式及平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用完全平方式和绝对值的性质求解即可； （2）根据点的运动速度和时间表示出线段、的长度，进而表示出的长度，利用三角形面积公式分别求出和，从而建立方程求解即可； （3）分情况讨论：当点Q在点C上方或点Q在点C下方时，过点作的平行线，利用平行线的性质进行角度转换，从而求出和的数量关系． 【详解】（1）解：根据题意得： 解得：， 则点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是； （2）解：由（1）知，、， 、，且点B到的距离为， 、， ， ， 解得：； （3）略． 6．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 7． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)存在；点E的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可求得的值，得A、B的坐标，再由即可求得点D的坐标； （2）①过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； ②过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； （3）分两种情况考虑：①当点E在线段上时；②点E在线段的延长线上时；利用割补方法表示出的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴；； ∵交y轴于点D，， ∴； （2）解：①过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵， ∴， ∵分别是、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； ②过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵分别、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：设， ∵；；，， ∴， ①当点E在线段上时，如图； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； ②当点E在线段的延长线上时，如图5； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； 综上，点E的坐标为或． 9．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 10．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①②为定值， 【分析】（1）根据可得，，，进而求出的面积； （2）根据可得，进而求出此时点的坐标； （3）①设，，由得，由可得，进而求解；②设，由可得，由可得，进而求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， ，， ， 的面积为； （2）， ，即， 解得或， 此时点的坐标为或； （3）①设，， 如图，过点作射线，则，，则， ， ，即， ， ； ②为定值， 设， ， ，即， ， ，即， ， 即为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中的角度问题 题型二、平面直角坐标系中的线段长度问题 题型三、平面直角坐标系中的三角形面积问题 题型四、平面直角坐标系中的将军饮马最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平面直角坐标系中是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕点角度、线段长度、面积与最值展开，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中的角度问题 典例 1如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的角度问题. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，几何关系的知识点的运用. 变式1-1如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）． (1)若，连接，，求的面积； (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，． (1)求点、、的坐标； (2)如图2，点从出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点、移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点的坐标； (3)如图3，改变点的位置，当点在轴正半轴上，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于点，且点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 类型二、平面直角坐标系中的线段长度问题 典例2如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的线段长度问题. 2.方法：利用几何关系作辅助线将点的坐标表示出来再求解即可. 变式2-1已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 变式2-2已知，是等腰直角三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 题型三、平面直角坐标系中的三角形面积问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的角度问题. 2.方法：根据图形特点作辅助线，分类讨论把三角形面积表示出来是解答此题的关键. 变式3-1综合运用：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)填空：__________，__________； (2)是x轴上的动点． ①用含m的代数式表示线段的长为__________； ②若三角形的面积等于三角形的面积的，求点M的坐标； (3)直线l是第一、三象限坐标轴的夹角平分线，如图2，点P在l上，三角形的面积等于三角形的面积，则点P的坐标为__________． 变式3-2已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 题型四、平面直角坐标系中的将军饮马最值问题 典例4【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 题型模版 1.特征：平面直角坐标系中的将军饮马模型问题. 2.方法：理解并掌握将军饮马模型，利用两点之间距离公式是解题的关键 变式4-1【阅读材料1】 我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离． 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． 求：线段的长度（即，两点间的距离）． 解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且． 在中，由勾股定理得． 所以． 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)在轴上有一动点，求的最小值． 【阅读材料2】 问题：求的最小值． 解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离． 所以求的最小值可以转化为（2）中的问题． 【探究深化】 (3)求的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，同时点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，运动时间为秒． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)如图，当、分别在线段、上时，连接、，使，求的值； (3)在、的运动过程中，连接、，当时，请求出和的数量关系，并说明理由． 6．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 7． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $