专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，河南专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇编河南多地高一上期中真题，聚焦指数函数与对数函数5大高频考点，融合科技热点（如福建舰、AI大模型）与实际应用（销售、污染治理），实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|35题|指数运算、指数函数单调性、对数性质|结合福建舰销售情境考查函数建模，多选辨析指数函数奇偶性与图像| |填空|10题|定义域、最值、解析式|设置有限集合元素个数问题，深化指数函数与集合的综合应用| |解答|13题|函数性质、不等式恒成立、实际应用|AI训练效率模型题综合考查分段函数与导数应用，污染治理题体现数学建模核心素养|

专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．A 2．C 3．ACD 4．C 5．【答案】 【分析】 根据函数有意义及指数幂运算即可求解. 【详解】 由题意， ，解得且， 则函数的定义域是. 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 由分段函数解析式即可直接求解. 【详解】 ， 所以． 故答案为： 7．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据指数幂运算性质计算即可； （2）根据立方和公式计算即可求解. 【详解】 （1） ； （2） ， ， ， 8．【答案】（1）；（2）5. 【分析】 （1）利用指数运算法则及根式运算计算得解. （2）利用指数运算性质化简求解. 【详解】 （1）原式. （2）由，得，则， 所以. 9．【答案】18 【分析】 根据题目条件利用指数函数单调性可得，再利用指数运算法则求解. 【详解】 指数函数在上单调，在上的最大值和最小值之和为， 即，可得， 则指数函数在上的最大值和最小值之和为， ， 故答案为：18 10．【答案】 【分析】 由题意得到，通过或或讨论求解即可. 【详解】 因为集合中有3个元素，所以， 所以或或， 因为，， 所以无实数根， 由得；得． 当时，，，此时． 当时，，，不成立． 当时，，，不成立， 所以实数b的所有取值组成的集合为． 故答案为： 考点02 指数函数 1．BD 2．A 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．C 13．D 14．B 15．C 16．C 17．ACD 18．ABC 19．C 20．ACD 21．【答案】 【分析】 令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】 对于函数，令可得，此时， 故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知点求出的值，根据奇函数的定义和性质即可求出的解析式； （2）先根据的分段情况，分别求解每一段不等式的解集，再取并集即可. (1) 小问详解： 当时，因为的图象过点，，， 所以 ，解得 ，当时，， 由定义域为的函数为奇函数得， 当时，，则，所以， 综上， ； (2) 小问详解： 当时，由，解得，所以； 当时，由，不满足题意； 当时，由，解得， 综上，不等式的解集为． 23．【答案】(1) ;(2) ;(3) 【详解】(1) 由题利用即可求解； （2）当x＜0，则﹣x＞0，根据函数为奇函数f（﹣x）＝﹣f（x）及当x＞0时，，可得函数在x＜0时的解析式，进而得到函数在R上的解析式； （3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数的取值范围． 【详解】 解：（1）函数是定义在上的奇函数 ,解得 （2）由(1) 当,又是奇函数， (3) 由及函数是定义在上的奇函数得 由的图像知为R上的增函数，， 【点睛】 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键． 24．【答案】（1）     （2） 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为.     （3）      【分析】 （1）设，结合题设列方程组求解即可； （2）结合二次函数的性质分、两种情况讨论求解即可； （3）由题意可得，令，结合二次函数的性质及题意可得，令，，进而结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 由题意，设， 则， ， 则， 又，则 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解： 函数开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，， 所以函数的值域为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以函数的值域为. 综上所述，当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为. (3) 小问详解： 由，则， 所以， 令，则，且， 因为函数开口向下，对称轴为， 又，则， 所以函数在上单调递减， 则 ， 两式相减得，， 整理得，， 由于，则，即，则， 代入，得， 则， 令，由于，且 ，则，即， 而， 因为函数开口向上，对称轴为， 则函数在上单调递减， 而，，则，所以. 25．【答案】 【分析】 利用函数奇偶性性质和定义可以得到 ,，代入不等式后，利用换元法将不等式化为在上恒成立，再借助双勾函数的图像性质可以得到的最大值，进而得到. 【详解】 由已知得，为奇函数，为偶函数， 所以， 联立解得 ,， 代入不等式得：在上恒成立． 令，则， 则不等式可化为，即， 恒成立． 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，，即，即有． 故答案为：． 26．【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. (2) 小问详解： 不等式可化为，即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 27．【答案】 【分析】 由题意可知在上时恒成立.讨论当时，因为指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集；当时，由指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集，即可求得数a的取值范围. 【详解】 由题意可知，当时，恒成立. 当时，函数在上单调递减，且当时，， ∴，即，∴或， 由∵，即此情况无解； 当时，函数在上单调递增，当时，， ∴，即，，∴或， ∵，∴； 综上所述，. 故答案为： 考点03 对数 1．C 2．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故. 3．【答案】（1）     （2）11      【分析】 （1）利用指数的运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 4．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ． 5．【答案】（1）     （2）10      【分析】 （1）由指数幂的运算可； （2）由对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式 考点04 对数函数 1．A 2．A 3．B 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合对数函数性质运算求解即可，注意对数型函数的定义域； （2）分析可知在上单调递增，且对恒成立，分和两种情况运算求解即可. (1) 小问详解： 若，则， 对于不等式，即， 则 ，解得或， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 若在上单调递增， 则在上单调递增，且对恒成立， 若，则在上单调递减，不合题意； 若，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 5．【答案】 【分析】 根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．BC 3．ACD 4．【答案】（1）     （2） 模型③ 最符合题意. 理由：因为表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①. 因为表示在两侧等距的函数值相等（即函数图象关于对称）， 而表格中的数据并未体现出此规律（），所以排除模型②. 将，分别代入模型③ ，得 ，解得 ， 所以. 经验证，，均满足该函数解析式，故选择模型③.     （3）日销售收入在第8天最低，最低为5000元.      【分析】 （1）根据销售收入列式求解即可； （2）根据单调性和对称性质排除函数模型① ，② ，将，分别代入模型③ ，即可求解解析式； （3）先求得，然后利用基本不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 由题意得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元. 5．【答案】（1）     （2）6     （3）      【分析】 （1）分离常数，根据函数单调性确定值域即可； （2）化简得，当时，取得最小值； （3）令，则，即 ，再分析单调性列出不等式即可． (1) 小问详解： ， 在上单调递增，且，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： ，， 所以当，即时，取得最小值， 时，一天中6时污水污染指数最低； (3) 小问详解： ， 令，则， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增， 又该厂每天的污水污染指数不超过3， ，解得， ∴调节参数的范围为． 6．【答案】（1）     （2）         （3）      【分析】 （1）根据待定系数法求的解析式； （2）根据分段函数画出函数的图象即可； （3）将方程的根转化为图象交点个数，结合（2）所化图象，列出不等式组，解不等式即可. (1) 小问详解： 设二次函数， ，， ， ， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若有四个不同的实数根， 等价于与的图象有四个交点， 由图可知， 即 ， . 故实数的取值范围为& a\in \left(-1,2\right). 7．【答案】（1），     （2）     （3）当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元.      【分析】 （1）设，依题意可得，结合求出的范围，再求出的函数解析式； （2）当时代入求值； （3）利用基本不等式求出的最小值，即可得解. (1) 小问详解： 设，则，所以， 因为，即 ，解得， 所以， 所以关于的解析式为，. (2) 小问详解： 因为，， 当时，可得， 所以长为时，该休闲场所的总造价元； (3) 小问详解： 因为， 当且仅当 ，即时等号成立 ， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 即当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元. 8．【答案】（1）100万元     （2）     （3）销售产品为40万件时，利润最大，最大利润为910万元.      【分析】 （1）依题意，当购进产品数量为8万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示； （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. (1) 小问详解： 依题意，当购进产品数量为8万件时，利润是万元. (2) 小问详解： 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； . (3) 小问详解： 由（2），当时，单调递增，所以当时，取得最大值，最大利润是450万元； 当时，，所以当时，取得最大值，最大利润是500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 9．【答案】（1）     （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高．      【分析】 （1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 10．【答案】①     ② 1 【分析】 作出函数 的图象，结合图象易得，，，进而得到，即可求解. 【详解】 作出函数 的图象，如图， 由题意关于的方程有4个不同的实根，，且， 则有4个交点， 即，则的取值范围是； 且，， 又，则，即， 所以. 故答案为：；1 11．【答案】（1）和3     （2）8     （3）      【分析】 （1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以 ，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. (3) 小问详解： 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）设，则的分数指数幂形式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南开封·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）下列等式中正确的是（     ） A.  B.  C. （） D. （） 4．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数 ，则　　　　　　． 7．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 8．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 9．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知指数函数（且）在区间上的最大值和最小值之和为3，则它在区间上的最大值和最小值之和为　　　　　　　　． 10．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为　　　　　　． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，，，则下列大小关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知函数（且）的图象过定点，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）若，则下列选项一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）设，，，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（       ） ①       ② ③       ④ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③ 7．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设甲：；乙：，则（       ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·河南开封·期中）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，函数 在上单调函数，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）设，，，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知且，函数 ，若存在实数，使函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 18．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 20．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知函数且，则（     ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 21．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数的图象恒过定点　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知定义域为的函数为奇函数，当时，（均为实数，且），且的图象过点，，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 23．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 24．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若在上的值域为，求的取值范围． 25．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）若函数且的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知，则满足的关系式是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 3．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）化简求值： （1） （2） 4．（25-26学年高一上·河南开封·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·河南开封·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 5．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知，且，函数 在上单调递减，则实数的取值范围为　　　　　. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（     ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 2．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 3．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）（多选）已知函数 ，若，且，则（     ） A.  B.  C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 4．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 5．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈，环境治理刻不容缓.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为污水治理调节参数，且. （1）求函数的值域； （2）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （3）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？ 6．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知二次函数满足，且.    （1）求的解析式； （2）画出函数的图象； （3）若有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 7．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）求S关于的函数解析式，并写出定义域； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 8．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）2025年国际电竞锦标赛在上海举行，某公司推出一款限量版电竞主题键盘，公司需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以每件80元的价格出售，可售出15万件；每降价1元，销量增加5000件.若采购量不超过30万件，每件成本为30元；若采购量超过30万件，则与制造商直接合作，此时利润（单位：万元）与销量（单位：万件）满足关系：. （1）当购进产品数量为8万件时，利润是多少？ （2）写出利润关于购进产品数量的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 9．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： ．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 10．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知函数 ，若关于的方程有4个不同的实根，，且，则的取值范围是　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）设，则的分数指数幂形式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】 ． 故选：A． 2．（25-26学年高一上·河南开封·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数幂的运算法则化简. 【详解】 . 故选：C. 3．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）（多选）下列等式中正确的是（     ） A.  B.  C. （） D. （） 【答案】ACD 【分析】 根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】 对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 4．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】 结合指数运算法则与基本不等式计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 5．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数有意义及指数幂运算即可求解. 【详解】 由题意， ，解得且， 则函数的定义域是. 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知函数 ，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由分段函数解析式即可直接求解. 【详解】 ， 所以． 故答案为： 7．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据指数幂运算性质计算即可； （2）根据立方和公式计算即可求解. 【详解】 （1） ； （2） ， ， ， 8．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）5. 【分析】 （1）利用指数运算法则及根式运算计算得解. （2）利用指数运算性质化简求解. 【详解】 （1）原式. （2）由，得，则， 所以. 9．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知指数函数（且）在区间上的最大值和最小值之和为3，则它在区间上的最大值和最小值之和为　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 根据题目条件利用指数函数单调性可得，再利用指数运算法则求解. 【详解】 指数函数在上单调，在上的最大值和最小值之和为， 即，可得， 则指数函数在上的最大值和最小值之和为， ， 故答案为：18 10．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得到，通过或或讨论求解即可. 【详解】 因为集合中有3个元素，所以， 所以或或， 因为，， 所以无实数根， 由得；得． 当时，，，此时． 当时，，，不成立． 当时，，，不成立， 所以实数b的所有取值组成的集合为． 故答案为： 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 举例说明判断AC；利用幂函数、指数函数单调性推理判断BD. 【详解】 对于AC，取 ，，AC错误； 对于B，函数在R上单调递增，，B正确； 对于D，函数在R上单调递增，，D正确. 故选：BD 2．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，，，则下列大小关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数的单调性判断. 【详解】 因为在上单调递减，又， 所以； 因为在上单调递增，所以. 综上，. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知函数（且）的图象过定点，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】 令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 4．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）若，则下列选项一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用特殊值法判断AB；利用指数函数单调性CD. 【详解】 当时，，，故AB选项错误； 因为，所以，由在定义域上单调递增， 所以，，C选项错误，D选项正确. 故选：D 5．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）设，，，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用指数函数和幂函数的单调性分析得出的大小关系． 【详解】 ，函数在R上单调递增， ，即，故； ，函数在上单调递增， ，即，故， ． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（       ） ①       ② ③       ④ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③ 【答案】C 【分析】 利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可. 【详解】 对① ，因为指数函数单调递减，所以，① 错误； 对② ，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，② 正确； 对③ ，因为幂函数在单调递增，所以，③ 正确； 对④ ，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递减，所以， 即，④ 错误； 故选：C. 7．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设甲：；乙：，则（       ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】 由指数函数单调性得到，但不能保证两者非负，故充分性不成立，必要性成立，得到答案. 【详解】 ，但不一定得到，例如为负数，充分性不成立， ，必要性成立， 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B 8．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用幂函数、指数函数的单调性比较大小. 【详解】 函数在上单调递增，； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：A 9．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数和幂函数单调性比较大小. 【详解】 由在定义域上单调递减，所以得：， 由在定义域上单调递增，所以得：， 即：.故A项正确. 故选：A. 10．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】 依题意 ，解得， 所以的定义域是. 故选：C 11．（25-26学年高一上·河南开封·期中）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】 由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 12．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）已知，函数 在上单调函数，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数的单调性，分段考虑单调性，再考虑分段点的函数值大小即得. 【详解】 对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增. 对于，因函数在上单调递减， 由题意需使在上单调递减，即． 依题意，需使 ，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：C． 13．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由幂函数、指数函数的单调性即可判断. 【详解】 因为指数函数在定义域内为减函数， 所以， 因为幂函数在单调递增， 所以， 所以， 故选：D 14．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】 由在R上单调递减可知，，即， 由在上单调递增可知，，所以，即， 综上所述，. 故选：B 15．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）设，，，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数、的单调性即可. 【详解】 因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 16．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知且，函数 ，若存在实数，使函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，结合不等式性质计算可得结果. 【详解】 因为在上单调递减，则 ，解得 ， 因为，所以，要存在满足， 故． 所以实数的取值范围是. 故选：C． 17．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】 由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D. 【详解】 A,当时，，定义域为， 因为， 所以为偶函数，A正确； B，因为， 所以， 则有最大值，没有最小值，B错误； C，因为在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； D，当时，， 所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 18．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】 因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 19．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 由不等式恒成立，得恒成立，从而求得. 【详解】 因为函数是增函数，所以当时，；当时，；当时，. 所以不等式恒成立，等价于恒成立. 所以. 故选：C. 20．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（多选）已知函数且，则（     ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【分析】 代入计算即可得A；利用指数函数单调性可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】 A：，故的图象过定点，故A正确； B：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故B错误； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递增，故， 即当时，函数的最小值是，故D正确. 故选：ACD 21．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）函数的图象恒过定点　　　　　　. 【答案】 【分析】 令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】 对于函数，令可得，此时， 故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 22．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知定义域为的函数为奇函数，当时，（均为实数，且），且的图象过点，，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知点求出的值，根据奇函数的定义和性质即可求出的解析式； （2）先根据的分段情况，分别求解每一段不等式的解集，再取并集即可. (1) 小问详解： 当时，因为的图象过点，，， 所以 ，解得 ，当时，， 由定义域为的函数为奇函数得， 当时，，则，所以， 综上， ； (2) 小问详解： 当时，由，解得，所以； 当时，由，不满足题意； 当时，由，解得， 综上，不等式的解集为． 23．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) ;(2) ;(3) 【详解】(1) 由题利用即可求解； （2）当x＜0，则﹣x＞0，根据函数为奇函数f（﹣x）＝﹣f（x）及当x＞0时，，可得函数在x＜0时的解析式，进而得到函数在R上的解析式； （3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数的取值范围． 【详解】 解：（1）函数是定义在上的奇函数 ,解得 （2）由(1) 当,又是奇函数， (3) 由及函数是定义在上的奇函数得 由的图像知为R上的增函数，， 【点睛】 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键． 24．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2） 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为.     （3）      【分析】 （1）设，结合题设列方程组求解即可； （2）结合二次函数的性质分、两种情况讨论求解即可； （3）由题意可得，令，结合二次函数的性质及题意可得，令，，进而结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 由题意，设， 则， ， 则， 又，则 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解： 函数开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，， 所以函数的值域为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以函数的值域为. 综上所述，当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为. (3) 小问详解： 由，则， 所以， 令，则，且， 因为函数开口向下，对称轴为， 又，则， 所以函数在上单调递减， 则 ， 两式相减得，， 整理得，， 由于，则，即，则， 代入，得， 则， 令，由于，且 ，则，即， 而， 因为函数开口向上，对称轴为， 则函数在上单调递减， 而，，则，所以. 25．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用函数奇偶性性质和定义可以得到 ,，代入不等式后，利用换元法将不等式化为在上恒成立，再借助双勾函数的图像性质可以得到的最大值，进而得到. 【详解】 由已知得，为奇函数，为偶函数， 所以， 联立解得 ,， 代入不等式得：在上恒成立． 令，则， 则不等式可化为，即， 恒成立． 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，，即，即有． 故答案为：． 26．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. (2) 小问详解： 不等式可化为，即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 若对任意的时，不等式恒成立， 则有， 当时，，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）若函数且的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由题意可知在上时恒成立.讨论当时，因为指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集；当时，由指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集，即可求得数a的取值范围. 【详解】 由题意可知，当时，恒成立. 当时，函数在上单调递减，且当时，， ∴，即，∴或， 由∵，即此情况无解； 当时，函数在上单调递增，当时，， ∴，即，，∴或， ∵，∴； 综上所述，. 故答案为： 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知，则满足的关系式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将条件中的指数式化成对数式，然后利用换底公式和同底的对数的加法公式求解即可. 【详解】 ，所以， ，所以， ， 所以， 故选：C. 2．（25-26学年高一上·河南联考·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故. 3．（25-26学年高一上·河南九师联盟·期中）化简求值： （1） （2） 【答案】（1）     （2）11      【分析】 （1）利用指数的运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. (1) 小问详解： (2) 小问详解： 4．（25-26学年高一上·河南开封·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ． 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）10      【分析】 （1）由指数幂的运算可； （2）由对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·河南开封·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分式和对数的意义列方程求解即可. 【详解】 令 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 整理可得，，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】 因为，， 则，所以. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·河南联考·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得. 【详解】 ，，， 故. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合对数函数性质运算求解即可，注意对数型函数的定义域； （2）分析可知在上单调递增，且对恒成立，分和两种情况运算求解即可. (1) 小问详解： 若，则， 对于不等式，即， 则 ，解得或， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 若在上单调递增， 则在上单调递增，且对恒成立， 若，则在上单调递减，不合题意； 若，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（25-26学年高一上·河南开封·期中）已知，且，函数 在上单调递减，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·河南部分普通高·期中）已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（     ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【分析】 由解析式代入数据即可求解. 【详解】 由函数解析式，可得： 第8天的播放量是第3天播放量的 . 故选：B． 2．（25-26学年高一上·河南部分学校·期中）（多选）已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 【答案】BC 【分析】 根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可得选项A错误；利用二次函数对称轴可得选项B正确；根据关系化简不等式可得选项C正确；利用两不等式的关系可得选项D错误. 【详解】 由题意得，，且是关于的方程的根， 所以，即，故A错误. 因为的图象的对称轴是直线，开口向下，且， 所以，故B正确. ，故C正确. 由得，由必可得到，所以⫋，故D错误． 故选：BC． 3．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）（多选）已知函数 ，若，且，则（     ） A.  B.  C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 作出的图象，数形结合求得判断A；利用二次函数对称性求得判断B；，利用对勾函数单调性求取值范围判断C；，利用单调性法则得在上单调递减，进而利用单调性求解范围判断D. 【详解】 设，作出 的大致图象，如图：    由图可知，，故A正确； 由题意为方程即的两根， 故，B错误； 对于C，， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 由，解得或（舍去），所以， 函数在上单调递减，令， 由对勾函数知在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为即，故D正确. 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·河南新乡辉县·期中）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】（1）     （2） 模型③ 最符合题意. 理由：因为表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①. 因为表示在两侧等距的函数值相等（即函数图象关于对称）， 而表格中的数据并未体现出此规律（），所以排除模型②. 将，分别代入模型③ ，得 ，解得 ， 所以. 经验证，，均满足该函数解析式，故选择模型③.     （3）日销售收入在第8天最低，最低为5000元.      【分析】 （1）根据销售收入列式求解即可； （2）根据单调性和对称性质排除函数模型① ，② ，将，分别代入模型③ ，即可求解解析式； （3）先求得，然后利用基本不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 由题意得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元. 5．（25-26学年高一上·河南名校联考·期中）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈，环境治理刻不容缓.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为污水治理调节参数，且. （1）求函数的值域； （2）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （3）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】（1）     （2）6     （3）      【分析】 （1）分离常数，根据函数单调性确定值域即可； （2）化简得，当时，取得最小值； （3）令，则，即 ，再分析单调性列出不等式即可． (1) 小问详解： ， 在上单调递增，且，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： ，， 所以当，即时，取得最小值， 时，一天中6时污水污染指数最低； (3) 小问详解： ， 令，则， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增， 又该厂每天的污水污染指数不超过3， ，解得， ∴调节参数的范围为． 6．（25-26学年高一上·河南洛阳·期中）已知二次函数满足，且.    （1）求的解析式； （2）画出函数的图象； （3）若有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）         （3）      【分析】 （1）根据待定系数法求的解析式； （2）根据分段函数画出函数的图象即可； （3）将方程的根转化为图象交点个数，结合（2）所化图象，列出不等式组，解不等式即可. (1) 小问详解： 设二次函数， ，， ， ， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若有四个不同的实数根， 等价于与的图象有四个交点， 由图可知， 即 ， . 故实数的取值范围为& a\in \left(-1,2\right). 7．（25-26学年高一上·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）求S关于的函数解析式，并写出定义域； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 【答案】（1），     （2）     （3）当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元.      【分析】 （1）设，依题意可得，结合求出的范围，再求出的函数解析式； （2）当时代入求值； （3）利用基本不等式求出的最小值，即可得解. (1) 小问详解： 设，则，所以， 因为，即 ，解得， 所以， 所以关于的解析式为，. (2) 小问详解： 因为，， 当时，可得， 所以长为时，该休闲场所的总造价元； (3) 小问详解： 因为， 当且仅当 ，即时等号成立 ， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 即当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元. 8．（25-26学年高一上·河南信阳罗山县·期中）2025年国际电竞锦标赛在上海举行，某公司推出一款限量版电竞主题键盘，公司需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以每件80元的价格出售，可售出15万件；每降价1元，销量增加5000件.若采购量不超过30万件，每件成本为30元；若采购量超过30万件，则与制造商直接合作，此时利润（单位：万元）与销量（单位：万件）满足关系：. （1）当购进产品数量为8万件时，利润是多少？ （2）写出利润关于购进产品数量的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）100万元     （2）     （3）销售产品为40万件时，利润最大，最大利润为910万元.      【分析】 （1）依题意，当购进产品数量为8万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示； （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. (1) 小问详解： 依题意，当购进产品数量为8万件时，利润是万元. (2) 小问详解： 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； . (3) 小问详解： 由（2），当时，单调递增，所以当时，取得最大值，最大利润是450万元； 当时，，所以当时，取得最大值，最大利润是500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 9．（25-26学年高一上·河南新乡·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： ．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）     （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高．      【分析】 （1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 10．（25-26学年高一上·河南部分名校·期中）已知函数 ，若关于的方程有4个不同的实根，，且，则的取值范围是　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 1 【分析】 作出函数 的图象，结合图象易得，，，进而得到，即可求解. 【详解】 作出函数 的图象，如图， 由题意关于的方程有4个不同的实根，，且， 则有4个交点， 即，则的取值范围是； 且，， 又，则，即， 所以. 故答案为：；1 11．（25-26学年高一上·河南信阳固始县·期中）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3     （2）8     （3）      【分析】 （1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以 ，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. (3) 小问详解： 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $