江苏省苏州市第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心知识，融合猪血木保护、芯片产业等现实情境，通过基础巩固到创新探究的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数零点、充分条件|第6题以濒危植物增长考查指数函数应用，体现数学眼光| |多选|3/18|命题否定、函数图像分析|第10题结合总产量图像考查变化率，培养几何直观| |填空|3/15|定义域、零点、函数最值|第14题含参函数最值探究，强化逻辑推理| |解答|5/77|函数奇偶性、实际盈利建模、新定义性质|18题芯片公司盈利问题考查数学建模，19题新定义性质探究发展创新意识|

高一数学（参考答案） 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 函数的零点是（ ） A. 2 B. C. -2 D. 2或-1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解. 【详解】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 3. 已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】利用指数函数的性质求出，，得出的解析式，从而得出结论． 【详解】恒过定点， ， ， 为减函数，且过点， 的函数图象不经过第三象限． 故选：． 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】实数，则， 当时，，因此， 当时，而，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数与一次函数的函数性质与图象特征判断即可. 【详解】解：对于A，幂的指数，则直线应为减函数，A错误； 对于B，幂的指数，则直线应为增函数，B错误； 对于D，幂的指数，则，即直线与y轴交点在轴上方，D错误； 易知C正确. 故选：C. 6. 猪血木是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（   ）（参考数据：） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质列出不等式求解． 【详解】设需要经过年翻一番， 则，， 取对数得，即， 所以，又 故至少需要8年， 故选：B． 7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由内层函数在上递增，且最小值大于0可得． 【详解】由题意内层函数在上递增，且最小值大于0． 所以，解得， 故选：C． 8. 已知函数，，且，则（ ） A ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再逐一分析每一个选项即得解. 详解】由题得，解得， 所以函数的图象如下图所示： 对于A、B：由图可知若，且， 则，的值可正，可负，也可以为零，故A、B错误； 对于C：当时，， 满足， ，故C错误； 对于D：， 由可得，即，故D正确； 故选：D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（   ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 【答案】BD 【解析】 【分析】通过将变形成可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由“且”，得，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对D：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故D正确； 故选：BD. 10. 某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（ ） A. 前三年总产量增长的速度越来越快 B. 前三年总产量增长的速度越来越慢 C. 第年后至第年这种产品停止生产了 D. 第年后至第年间总产量匀速增加 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据折线图数据依次判断各个选项即可. 【详解】对于AB，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，A错误，B正确； 对于C，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，C正确； 对于D，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先作出函数和的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程和的根即可计算判断D. 【详解】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数满足得函数满足，解该不等式即可求解. 【详解】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 13. 函数的零点 ，则的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】先说明函数为单调增函数，再利用零点存在定理可求得答案. 【详解】函数都是单调递增函数， 故是单调递增函数， 又，， 故的零点在 ， 故 ， 故答案为：4 14. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，画出函数的图象，数形结合可得的范围，即可得解. 【详解】当时，， 则在上单调递减，此时， 当时，， 则函数在上单调递增，此时， 在上单调递减，此时， 当时，由，即，得， 当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图， 若在区间上既有最大值，又有最小值， 得，因此， 则的最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值； 【答案】（1）；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）把待求式用表示后代入计算； （2）由对数的运算法则计算； 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以. （2） . 16. 已知定义在上的函数，对于，恒有. （1）求证：是奇函数； （2）若是增函数，解关于x不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出，再令结合奇函数的定义即可判断； （2）利用单调性，将不等式转化为，然后对进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 取，则，解得， 取，则， 所以， 故为奇函数； 【小问2详解】 不等式，即， 又为上的单调递增函数， 则，即， 当时，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为． 当时，解得，不等式的解集为． 17. 定义上的奇函数和偶函数满足. （1）求函数和函数的解析式； （2）设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，与已知式联立方程组可解得； （2）由（1）化简函数式并确定定义域，然后由零点存在定理求解，注意分类讨论． 【小问1详解】 由已知，① 得：，又为奇函数，偶函数； 即② 由①②联立，解得：，. 【小问2详解】 ①当时，，得，不符合题意； ②当时，由得：若满足题意，需， 即，解得. 综上，满足题意的实数的取值范围是. 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 （1）求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 【答案】（1）， （2）方案二更合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到解析式； （2）根据二次函数的性质求出方案一的总利额，再由，利用基本不等式求出年平均盈利额达到最大值时的值，即可求出方案二的总利额，即可判断. 【小问1详解】 依题意可得，； 小问2详解】 方案一：总盈利额， 又， 所以当或时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利额为万元； 方案二：年平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，年平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． （1）当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； （2）若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 【答案】（1）函数具有性质M， （2）． 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可； （2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为在上单调递增， 所以在上的函数值的取值范围是，即， 显然，所以， 故函数具有性质． 【小问2详解】 解：， 因为在上单调递减，在上单调递增， 而，故， 而，故，故或. 当时，单调递减， ∴，得，整理得， ∵与矛盾，∴当时，不合题意． 当时，在单调递增， ∴，知在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根， 令，， 由，，，知， 综上可得的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点是（ ） A. 2 B. C. -2 D. 2或-1 3. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A B. C. D. 6. 猪血木是中国特有单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（   ） （参考数据：） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，且，则（ ） A. ，， B. ，， C. D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（   ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 10. 某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（ ） A. 前三年总产量增长的速度越来越快 B. 前三年总产量增长的速度越来越慢 C. 第年后至第年这种产品停止生产了 D. 第年后至第年间总产量匀速增加 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13. 函数的零点 ，则的值为_______. 14. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为_________. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值； 16. 已知定义在上的函数，对于，恒有. （1）求证：奇函数； （2）若是增函数，解关于x的不等式. 17. 定义上的奇函数和偶函数满足. （1）求函数和函数解析式； （2）设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 （1）求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． （1）当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； （2）若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $