第二章常用逻辑用语单元复习讲义（基础篇）-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理常用逻辑用语单元体系，涵盖命题真假判断、充分必要条件、量词命题等核心内容，按“概念辨析-命题推理-参数应用”递进呈现，清晰展现逻辑关系与知识内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题设计”，如结合《论语》名句判断条件关系（题型34），培养数学思维与逻辑推理素养，分层练习覆盖基础题（如命题真假辨析）与综合题（充要条件证明），附解题策略与易错点分析，助力学生自主构建逻辑体系，教师可精准实施分层教学。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第二章常用逻辑用语单元复习（基础篇） 题型01 判断命题的真假 1.下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 2.下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 3.给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 题型02 根据命题的真假求参数 4.已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 5.若和或都是假命题，则的范围是 6.若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 7.设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．（多选题）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 9．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 10．已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 11. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 12. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 13. 已知，：关于的方程的两根均大于，，. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 题型03 判断充分不必要、必要不充分、充要条件 14. 已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17. 若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18.（多选）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 19.已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 20.已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 题型04 由充分不必要、必要不充分、充要条件求参数 21.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22. 已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 23. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 24. 设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 25. 已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 27.设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 28.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 29. 30. 设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 31. 已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 31.已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 32.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 题型05 古诗词中的条件判断 33.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 题型06 充要条件的证明 37.已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 38.关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 39.“不等式在上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 40.已知，证明：“”是“”的充要条件. 41.（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 42.已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 题型07 全称/存在量词命题的判断与改写 43. 下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 44. 下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 45. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 题型08 全称、存在量词命题的真假判断 46. 下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 47. 已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 48. 已知下列命题：①所有素数都是奇数；②；③对任意一个无理数，也是无理数；④有一个实数，使；⑤有些四边形是菱形.其中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．5个 49. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 题型09 全称、存在量词命题的真假求参数 50.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51.若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 52. 若命题为真命题，则m的取值范围为 . 53. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54. 若命题“”是真命题，则不能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 55.若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 56.已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 题型10 全称、存在量词命题的否定 57.命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 58. 命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 59.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 60.写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 61.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 62. 已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 63.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 64.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 65.已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 66.若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 67.若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 68.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 69.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 70.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 71.已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 72.已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 73.已知，，. (1)若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 74.已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 75.已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 76.设集合，，其中． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题q：“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第二章常用逻辑用语单元复习（基础篇） 题型01 判断命题的真假 1.下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 2.下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 3.给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过计算判别式判断，对于②，利用不等式的性质判断，对于③，举例判断，对于④，由等式的性质判断. 【详解】对于①，因为当时，，所以方程有实数根，所以①是真命题； 对于②，因为，，所以，所以②是真命题； 对于③，对角线相等的四边形可能是矩形，可能是等腰梯形，也可能是其它四边形，所以③是假命题； 对于④，由，得或，即、中至少有一个为0，所以④为真命题. 故答案为：①②④ 题型02 根据命题的真假求参数 4.已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 5.若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 6.若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【解题思路】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解答过程】若甲、乙命题均为假命题，则， 可得， 所以若甲、乙命题至少有一个是真命题，则或. 故答案为：. 7.设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或者p假q真，由此列出不等式，从而可得出答案. 【详解】解：若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真， 当p真q假，则，解得， 或，无解， 综上，. 故选：C. 8．（多选题）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 9．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 10．已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 11. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 12. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【解答过程】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 13. 已知，：关于的方程的两根均大于，，. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出命题为真时参数的取值范围，即可得解； （2）首先求出命题为真时实数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】（1）若命题：关于的方程的两根均大于为真命题， 则，解得， 所以当命题为假命题时或， 即实数的取值范围为； （2）若，，即，， 设，故只需，所以， 即命题为真时实数的取值范围为； 因为，有且只有一个是真命题， (i)若真假，结合(1)中结论可知，则，解得； (ii)若假真，结合(1)中结论可知， ，解得或， 综上所述，实数的取值范围为. 题型03 判断充分不必要、必要不充分、充要条件 14. 已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 15.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义，充分条件的概念可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，如，则， 无法得到. 若，则， 则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 17. 若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】得到，然后根据小充分大必要进行判断即可. 【详解】由题可知：：， 所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 18.（多选）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 19.已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 【答案】充分不必要 【分析】方程无实数根，则，根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】方程无实数根，则有，所以，但不能推出，所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 20.已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分不必要条件的定义，即得. 【详解】∵集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＞3}， 由图易知“x∈A”可推出“x∈B”， “x∈B”推不出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 题型04 由充分不必要、必要不充分、充要条件求参数 21.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 22. 已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 23. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【解析】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 24. 设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由题可知是成立的充分条件，因此集合B是集合A的子集，由此列出不等式求解即可. 【解析】因为是成立的必要条件，所以是成立的充分条件，因此, 当时满足题意，此时，解得； 当时，有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 25. 已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【解答过程】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A. 26. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解； （2）由题意转化为，列出不等式组求解即可. 【解析】（1）当时，集合，或， 故 （2）由题知：，即且， 当时，，解得， 当时，，解得， 由得，； 综上所述：实数的取值范围为. 27.设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）解一元一次不等式、指数不等式求集合，再由集合交并补运算求集合； （2）根据题设有是的真子集，列不等式组即可求参数范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，且或，则． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 由，， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为． 28.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】由，可得， 得，即，区间长度为2， 区间长度为1， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又，区间长度为2，区间长度为1， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 29. 设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【答案】 【解析】命题，，由是的充分非必要条件，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 30. 已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 31.已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】由题意知，，，即真包含于，所以，即a的取值范围为. 32.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 题型05 古诗词中的条件判断 33.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 34.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 35．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 36．”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【分析】由充分、必要条件概念即可判断. 【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C​ 题型06 充要条件的证明 37.已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 38.关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 39.“不等式在上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】当时，恒成立； 当时，，即，解得； 综上：. 故选：B 40.已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解题思路】分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 41.（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【解答过程】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是. 42.已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【解答过程】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 题型07 全称/存在量词命题的判断与改写 43. 下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【解析】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 44. 下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【解析】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 45. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【解析】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 题型08 全称、存在量词命题的真假判断 46. 下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，由得，不是整数，所以A选项错误. B选项，由得，不是整数，所以A选项错误. C选项，或时，，所以C选项错误. D选项，由于，所以D选项正确. 故选：D 47. 已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 48. 已知下列命题：①所有素数都是奇数；②；③对任意一个无理数，也是无理数；④有一个实数，使；⑤有些四边形是菱形.其中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．5个 【答案】C 【解析】对于①所有素数都是奇数，由于是素数，又是偶数，所以①是假命题； 对于②，由于这个式子恒成立，所以②是真命题； 对于③对任意一个无理数，也是无理数，由于是无理数，但的平方是有理数，所以③是假命题； 对于④有一个实数，使，由于判别式，所以这个方程不存在实数解，即④是假命题； 对于⑤有些四边形是菱形，显然四边形中存在菱形，所以⑤是真命题； 综上真命题的是②和⑤， 故选：C. 49. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C 题型09 全称、存在量词命题的真假求参数 50.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 51.若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 52. 若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 53. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 54. 若命题“”是真命题，则不能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据命题为真分离参数求得在上的最大值，可得结果. 【详解】由，可得， 即. 故选：D. 55.若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据原命题的否定是真命题，令 ，由求解参数范围即可. 【解答过程】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令 ， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 56.已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【解答过程】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为：， 综上，或， 故实数m的取值范围为 题型10 全称、存在量词命题的否定 57.命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】对全称命题进行否定，先将全称量词“”改为存在量词“”，并否定结论即可. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 58. 命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【解答过程】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：B. 59.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的否定即可求解. 【详解】命题“”的否定是：， 故选：C 60.写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【解答过程】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 61.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 62. 已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将假命题转化为其否定命题（全称命题）为真命题，通过分离变量结合基本不等式求最值，确定的取值范围. 【解析】命题为假命题，则其否定“，”为真命题. 对，将不等式变形为. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 因此. 63.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到不等式组，解得即可； 【解析】因为，，所以，解得 故选：A 64.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 65.已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】假设命题为真命题，可得实数m的取值范围是，再取补集即可得结果. 【详解】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题， 可得，且，则实数m的取值范围是， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数m的取值范围即为集合在上的补集， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 66.若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 67.若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 68.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用命题的真假，通过求解即可； 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 69.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 70.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【解析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 71.已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 72.已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出两命题都是真命题时的取值范围，再由两个命题中为一真一假，得真假或假真，进行求解． 【详解】若命题为真命题时，则， 若命题为真命题时，则，得或， 由两个命题中为一真一假，得真假或假真， 则，或， 得或， 故选：C 73.已知，，. (1)若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分析命题为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案； （2）根据p是q的充分条件，得到关于m的不等式组，解可得答案. 【详解】（1）对于，解可得， 若，则， 若，有且只有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，即，无解， 若假真，即，解可得或， 综合可得：或， 即的取值范围为； （2）若是的充分不必要条件，则有，解可得， 即的取值范围为. 74.已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先解绝对值不等式得p，根据充分条件的定义转化集合关系计算参数即可； （2）先分类讨论计算，再利用必要条件的定义转化集合关系计算参数即可； 【解答过程】（1）由题意可知． 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． （2）当，即时，，满足题意； 当，即时，或． 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或． 综上，a的取值范围是． 75.已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由补集的定义求解； （2）根据求解； （3）根据，为真命题求解. 【解答过程】（1）由题意 或； （2）若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； （3）若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 76.设集合，，其中． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题q：“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据“”是“”的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，列出不等关系，即可求解. （2）根据命题为真，结合集合的性质，可得，列出不等关系，即可求解. 【解答过程】（1）∵“”是“”的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， ∴， 解得， 即实数a的取值范围为． （2）若命题q：“，使得”是真命题，则，则有， ∵， 则， 解得， 即实数a的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $