精品解析：广东省深圳市宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测高三数学试题

宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测 高三 数学 2026.9 注意事项： 1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码． 2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试时间120分钟． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，3，5，7，8，9，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】6个数据由小到大顺序排列为3，3，5，7，8，9， 因为．故第3个数据即为第40百分数． 2. 已知向量，不共线，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的平行性质求解． 【详解】向量，不共线，由，得，得． 3. 集合，，且为非空集合，则可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，且为非空集合， 由选项可知当时，， ， 所以集合，，符合题意； 当时， 无意义，集合A不存在，不合题意； 当时，， ， 所以集合，，不合题意； 当时，， ， 所以集合，，不合题意； 综上，可以取. 4. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】当时，， ，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即. 5. 若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，求出椭圆焦点，利用两者相等求出的值，然后利用联立方程组解出第一象限坐标即可得到答案. 【详解】由题可得抛物线的焦点坐标是, 所以椭圆的右焦点坐标是,所以即, 所以椭圆方程是， 联立椭圆方程与抛物线方程, 把抛物线方程代入椭圆方程，去分母整理得, 解得或，因为，故， 因为求第一象限的交点，代入抛物线方程解得, 所以交点坐标为. 6. 已知函数的最小值为，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后分析单调性，结合的取值范围求出函数最小值，结合已知最小值为，即可求出的值. 【详解】由题可知函数定义域为，对求导得， 若，恒成立，在上单调递减，无最小值，不符合题意，因此， 令，解得： 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故为函数极小值点，即最小值点， 代入得： 由题知最小值为，即，解得，故. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 8. 一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记分，三个球总得分为，则（ ） A. 当“”时，一定没有摸到黄球 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当“”时，可能出现2个黄球，1个红球的情况，不正确． 对于B，当“”时，可能出现2红，1黄或2白，1黑， 故，不正确 对于C，当“”时， 可能出现2红，1黑；2黄，1黑；1红，1黄，1黑；1红，1白，1黑；1黄，1白，1黑． 故，不正确． 对于D，每摸出1个球得分期望为，故，正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，则，A选项正确； ，， ，，，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确. 10. 已知圆：，椭圆：，直线：，则（ ） A. 若与相交于，，对于，，不可能是定值 B. 若与，都相切，则这样的直线有四条 C. 若与椭圆相切且与圆有两个交点，，则面积的最大值为 D. 若与圆相切且与椭圆有两个交点，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长分析弦长是否为定值；B选项：先由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，再联立直线与椭圆方程，令判别式得到另一个的关系式，联立求解的解的个数；C选项：先由直线与椭圆相切得的关系式，再用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合三角形面积公式，代入弦长公式后用代数方法求最值；D选项：先由直线与圆相切得的关系式，再联立直线与椭圆方程，令判别式，结合之前的关系式求解的范围. 【详解】圆​圆心为，半径；椭圆：； 选项A：直线与相交的弦长公式为： ， 若取则，此时（等于圆直径）， 对任意弦长都是定值2，因此A错误； 选项B：与相切：将代入椭圆方程， 整理得， 令判别式，得， 与相切：圆心到直线距离为1，即，平方得， 联立两式消去，得，即, 该二次方程判别式，解得, 两个不同对应两个，共4条直线，因此B正确； 选项C：由与相切得，因为直线与圆有两个交点， 所以， 整理得解得； 所以​的面积： ， 由均值不等式​，等号成立时​，即， 代入和，存在实数满足条件，因此面积最大值为0.5，C正确； 选项D：与​相切得，与​有两个交点, 则直线与椭圆联立的判别式，代入得， 整理得，解得或，D正确. 11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为，是圆锥的一个轴截面，为中点，过，两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴为 B. 椭圆的离心率为 C. 与的交点是椭圆的一个焦点 D. 内接于椭圆的矩形面积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用直角三角形的运算及二倍角公式得，然后利用余弦定理求得截面椭圆的长轴长判断A；根据线面角的定义及余弦定理求得，根据新定义即可求解离心率判断B；根据椭圆离心率求得，利用直角三角形性质求得，结合即可判断C；法一：设，则四边形面积，利用正弦函数性质求解最大值；法二：不妨设C在第一象限，点坐标为，利用基本不等式求得，即可求解面积最大值，判断D． 【详解】在中，，，， 所以． 对于A，椭圆的长轴为的长，在中， ，，． 所以根据余弦定理得 ． 所以，A正确； 对于B，如图 设与的交点为，由线面角定义可知， 由上可知，，， 在中，， 在中，． 由题设可知，B选项正确； 对于C，由上可知，，又，所以． 在中，，所以， 又，所以不为椭圆焦点，故C选项错误； 对于D，如图：椭圆的标准方程为． 法一：设，则四边形面积， 当时，．选项D正确． 法二：不妨设C在第一象限，点坐标为，，， 而，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【详解】椭圆方程化为标准形式为. ∴ 椭圆焦点在轴上，且，. ∴ ，即. ∴ 离心率. 13. 已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【答案】1120 【解析】 【分析】先根据项数得出，应用二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以， 则展开式中的常数项为． 14. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定有序数列的定义得到，，，，，探究得到的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可. 【详解】因为，所以，，，，， 显然，，，中分别有2，4，8项，其中的项为1，，，中分别有3，6，12项，其中的项为1. 设中总共有项，其中有项1. 则,. 所以，，，，，中1的总个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）为线段的中点 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果； （2）根据题意，由面面角的定义即可得到为平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． 【小问2详解】 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 16. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【小问1详解】 由题意可知， 则， 所以 ； 【小问2详解】 （i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，点在边上，是角的内角平分线，，，． （1）求； （2）在的延长线上，连接，，在直线上是否存在一点，使．若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由倍角公式得出，再由余弦定理求出，由勾股定理和锐角三角函数得出答案； （2）由平行性质得出应在的延长线上，由三角恒等变换得出，，进而由正弦定理得出的长. 【小问1详解】 由题，， 解得：，，， 在中，， ，，． 【小问2详解】 由题，，故应在的延长线上， 是角的内角平分线，，即三角形为等腰三角形， ， ，，， ， ， ，， 在中，， ． 18. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． （1）若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； （3）若与交于，且，证明： 【答案】（1）； （2）由（1）可知，，则． 设，．由于在抛物线上，所以． 由，求导数得，，所以在点切线的斜率为：， 其方程为． 联立方程，消得，①， 此时即, 由于直线与椭圆：交于，两个不同的点， 所以为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以直线与垂直． （3）当时，直线，即，介于轴与抛物线准线之间． 延长交抛物线的准线于点， 再联立方程，消得，①， 此时即. 显然为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以与轴垂直． 则点的坐标为；点的坐标为， 则直线的斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以． 由抛物线的定义，为等腰三角形，且得直线平分． 而，．所以， 由角平分线性质可知， 因为,故， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的基本性质即可求解； （2）利用导数法来写出抛物线在某点处的切线，然后借助方程组思想和韦达定理来求出中点的坐标，再通过直线与直线相交求解出的横坐标，即可得出证明； （3）利用（2）的解法同理可求出的横坐标，再利用抛物线的定义可求出点的坐标为，然后通过斜率可判断，再借助几何意义可得，从而问题即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可知抛物线E的焦点为，故，则， 因为椭圆C的离心率为，， 所以联立方程组可解得：，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设函数． （1）时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点且，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）证明如下： 由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得. 等价于． 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于， 由且得， 记，则， 记，则，所以单调递减， 所以，则， ∴单调递减， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【小问1详解】 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． 【小问2详解】 ． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则， ，． 则单调递增．单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测 高三 数学 2026.9 注意事项： 1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码． 2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试时间120分钟． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，3，5，7，8，9，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知向量，不共线，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 集合，，且为非空集合，则可以取（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小值为，则的值为（） A. B. C. D. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记分，三个球总得分为，则（ ） A. 当“”时，一定没有摸到黄球 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 已知圆：，椭圆：，直线：，则（ ） A. 若与相交于，，对于，，不可能是定值 B. 若与，都相切，则这样的直线有四条 C. 若与椭圆相切且与圆有两个交点，，则面积的最大值为 D. 若与圆相切且与椭圆有两个交点，则或 11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为，是圆锥的一个轴截面，为中点，过，两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴为 B. 椭圆的离心率为 C. 与的交点是椭圆的一个焦点 D. 内接于椭圆的矩形面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为______． 13. 已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 14. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，点在边上，是角的内角平分线，，，． （1）求； （2）在的延长线上，连接，，在直线上是否存在一点，使．若存在，求的长，若不存在，说明理由． 18. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． （1）若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； （3）若与交于，且，证明： 19. 设函数． （1）时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $