精品解析：广西南宁市银海三雅学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

银海三雅学校2027届高三秋季学期开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义进行计算即可. 【详解】由，得． 故选：D． 3. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将已知模长等式两边平方，代入已知模长数值即可求出的值. 【详解】 将两边平方，得：  ， 代入已知，，可得，， 且，代入上式得：  ， 整理计算得，即，因此的值为1. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，， 故双曲线的方程为，且， 又点在该双曲线上，所以，解得， 所以，故该双曲线的渐近线方程是. 故选：A 5. 正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据上下底面边长之比设出上下底面边长，再结合高和侧棱长的关系求出上下底面边长，最后根据正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】设正四棱台的下底面边长，因为上下底面边长之比为，所以上底面边长，取上下底面的中心分别为，连接，作 于，如图： 则， ，在中，由勾股定理， ，代入可得，解得， 则上底面面积，下底面面积， 所以该正四棱台的体积. 6. 首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（ ） A. 20 B. 42 C. 44 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】固定甲去接驳点A后，将问题转化为剩余4名志愿者分配到A、B、C三点，且B、C均至少分配1人，用容斥原理计算符合要求的方案数. 【详解】已知志愿者甲固定去A，因此A已满足至少1人的要求，仅需保证B、C两个接驳点均至少分配1人， 剩余4名志愿者每人可选择A、B、C中任意一个接驳点， 4名志愿者无限制分配的总情况数为种； 排除B接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或C，共种； 排除C接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或B，共种； 上述两类排除情况中，“B、C均无人，剩余4人均分配到A”的情况被重复排除，需补回1种； 由容斥原理，符合条件的选派方案种数为. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得. 【详解】由为奇函数，得， 故①，函数的图象关于点对称； 由为偶函数，得②， 则函数的图象关于直线对称； 由①②得， 则， 故的周期为，所以， 由，令得，即③， 已知， 由函数的图象关于直线对称，得， 又函数的图象关于点对称，得 所以，即， 所以④，联立③④解得 故时，， 由关于对称，可得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆与轴相切，则 B. 若，则圆C1与圆C2相离 C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 D. 直线与圆C1始终有两个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可. 【详解】因为，， 对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误； 对B，当时，，两圆相离，故B正确； 对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误； 对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确. 故选：BD 10. 等比数列的公比，，，记前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出判断A；利用等比数列前项和公式推理判断BD；利用片断和及等比数列通项公式推理判断C. 【详解】在等比数列中，由，得，而， 整理得，又，解得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， ， 因此，C正确； 对于D，由，得，D正确. 11. 已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 拋物线的准线方程为 B. 若直线过，且轴，则 C. 若直线过，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出，确定焦点位置，即可判断A项；通过计算点的坐标易判断B项；设的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；对于D项，结合图形可推出当且仅当经过点时，，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，计算的中点的横坐标，即得的中点到轴距离的最小值为2. 【详解】由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且. 对于A，拋物线的准线方程为，故A正确； 对于B，因直线过，且轴，把代入，解得， 故，故B正确； 对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为， 代入，可得，由韦达定理，可得，故C错误； 对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立. 设直线的方程为，，代入，可得， 则，由韦达定理，可得，， 则， 因，故可得，即得， 设的中点为，而即点到轴的距离， 因， 故当时，的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设是等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件列出方程组，求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由可得，即①， 由可得，即②， 联立①②，解得，，所以. 13. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，，，是球的球面上不共面的四个动点，是边长为的正三角形，，，和平面所成角相等，，分别是，的中点，且，则球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，三棱锥为正三棱锥可推出⊥平面，从而得到，故三棱锥为棱长为的正方体的一部分，则正方体的体对角线即为球的直径，从而得解 【详解】由题可知，是正三角形且，，和平面所成角相等， 故，∴三棱锥为正三棱锥， ∴（正三棱锥的对棱垂直）． 又，分别为，的中点， ∴，∴ 又，∴，， ∴⊥平面，∴⊥平面， ∴，∴， ∴三棱锥为棱长为的正方体的一部分， 则球的直径，即， ∴球的体积． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数； （2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图计算各组频率，确定第百分位数位于区间内，利用面积比例列方程求解； (2)计算“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，根据分层抽样确定抽取的人中两类人的人数，确定随机变量的取值，利用超几何分布概率公式计算概率并求期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：  : ， : ， : ， : ， : ， : ， : . 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以第百分位数位于第组内. 设第百分位数为， 则， 解得. 故这名学生日行步数的第百分位数为. 【小问2详解】 样本中“不健康生活方式者” 的人数为人， “超健康生活方式者”（步数不少于千步）的人数为人. 采用分层随机抽样的方法抽取人， 则抽取的“不健康生活方式者”人数为人， 抽取的“超健康生活方式者”人数为人. 从这人中随机抽取人，表示抽取的人中“超健康生活方式者”的人数， 则的可能取值为.  ， ， ， . 所以的分布列为： . 16. 如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为． （1）证明：； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，由是中点，得， 依题意，，则，由是等边三角形，得， 又平面，因此平面，而平面， 所以. （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由给定的数量关系及（1）证得直线，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，则， 连接，在中，， 则，即，又平面， 因此平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，由，令，得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】(1)将等式由正弦定理边化角，由和角正弦变形，角化边，再用余弦定理即可作答； (2)由三角形面积定理结合(1)中的即可得解. 【详解】（1）中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又由正弦定理得，而，于是， 由余弦定理得，即为钝角， 所以为钝角三角形； （2）中，因，则， 而，可得，．则有， 所以. 【点睛】思路点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意，，则， 椭圆方程为： 【小问2详解】 如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． 【小问3详解】 设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 【答案】（1） （2） （3） 由已知可得， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解即可； （2）将原不等式转化为，利用导数求的单调区间进而求最小值即可； （3）构造，，利用导数可知在单调递增，利用单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银海三雅学校2027届高三秋季学期开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（ ） A. 20 B. 42 C. 44 D. 50 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆与轴相切，则 B. 若，则圆C1与圆C2相离 C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 D. 直线与圆C1始终有两个交点 10. 等比数列的公比，，，记前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 拋物线的准线方程为 B. 若直线过，且轴，则 C. 若直线过，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设是等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 14. 已知，，，是球的球面上不共面的四个动点，是边长为的正三角形，，，和平面所成角相等，，分别是，的中点，且，则球的体积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数； （2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 16. 如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为． （1）证明：； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $