★数学文化——立体几何背景问题 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数学文化与立体几何”专题，依据高考评价体系梳理了几何体体积、表面积、球的切接三大核心考点，通过《九章算术》《增删算法统宗》等古代数学名著问题，归纳出体积计算、表面积求解、球内外接等常考题型，明确高频考查趋势。 课件亮点在于“文化情境+数学建模+规范运算”的备考策略，如以《九章算术》“羡除”体积题为例，用分割法转化为棱柱与棱锥体积差，培养空间观念与数学思维。设“公式模板”和“单位换算易错警示”，通过真题变式训练助学生掌握技巧，教师可精准突破考点，提升复习效率。

★数学文化——立体几何背景问题 2027 内容索引 一 二 三 几何体体积中的数学文化 几何体表面积中的数学文化 球的切、接问题中的数学文化 几何体体积中的数学文化 1.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”其大致意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注:π取3,寸、斤是我国古代计量单位)(　　) A.125.77 B.864 C.123.23 D.369.69 C 由题意知,大球半径R=6,空心球的半径r=6-0.3=5.7, 则其体积 (63-5.73)≈123.23(立方寸). 又1立方寸金重1斤,则金球重123.23斤,故选C. 2.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”其大致意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:丈、尺是我国古代计量单位,一丈等于十尺)(　　) A.24 642 B.26 011 C.52 022 D.78 033 B 3.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD,ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是(　　) A.110 B.116 C.118 D.120 D 4.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一.如图,斗拱构件之一的“斗”的几何体,由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2、900 cm2,高为9 cm,长方体形凹槽的高为12 cm,“斗”的密度是0.50 g/cm3,那么这个“斗”的质量是(　　) A.3 990 g B.3 010 g C.6 900 g D.6 300 g C 图① 图② D 6.我国数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.其大致意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图,将底面直径都为2b,高都为a的椭半球体和被挖去同底等高的圆锥的圆柱放置于同一平面β上,用平行于平面β且与平面β距离为d的平面截这两个几何体,可得到圆和圆环两个截面且面积相等.据此,短半轴长为1,长半轴长为3的椭球体的体积是　　　　　.  4π 由题意知半椭球体的体积等于右侧组合体的体积, ∴半椭球体的体积为πb2a-πb2a=πb2a, ∴椭球体的体积V=πb2a. ∵椭球体短半轴长为1,长半轴长为3,即b=1,a=3, ∴椭球体的体积V=πb2a=π×12×3=4π. 几何体表面积中的数学文化 7.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”.现有一鳖臑P-ABC如图所示,PB⊥底面ABC,AC⊥BC, PB=AC=4,其体积为8,则其表面积为(　　) B 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛,问高几何?”其大致意思为:有一个长方体的粮仓,宽3丈,长4丈5尺,可装粟一万斛.已知1斛粟的体积为2.7立方尺,1丈为10尺,则该粮仓的高是　　　　　尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,且使这个圆柱形粮仓的表面积(含上下两底)最小,那么它的底面半径是　　　　　　　　　　　　　尺.  20 　 设长方体高为h, 根据长方体体积公式可得10 000×2.7=30×45×h,解得h=20尺. 设圆柱形粮仓的底面半径为R,高为H,表面积为S. 根据题意可知,长方体粮仓的体积等于圆柱形粮仓的体积, 球的切、接问题中的数学文化 9.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的表面积为(　　) A.9π B.18π C.27π D.36π C 10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为2的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(　　) A 11.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC, AA1=2,当阳马B-ACC1A1的体积为 时,堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积的最小值为(　　) B 12.端午节为每年农历五月初五,是中国首个入选世界非遗的节日.民间有吃粽子、佩香囊的习俗,吃粽子是为了纪念战国时期楚国爱国诗人屈原,佩香囊有驱瘟驱虫、襟头点缀之用.“扈江离与辟芷兮,纫秋兰以为佩.”粽子和香囊都是六面体,如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到香囊、粽子形状的六面体(如图).有以下命题: ①六面体的体积为; ②若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为; ③折后棱AB,CD所在直线异面且垂直; ④折后棱AB,CD所在直线相交. 其中的真命题是　　　　　.(填序号)  ①②④ 平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,标上各顶点后按照虚线翻折成六面体如图所示,则折后棱AB,CD所在直线相交,故③错误,④正确. 13.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为 ,则正方体的外接球的表面积为　　　　　.  12π 本 课 结 束 V= 根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为38×5 550=7 803 300(立方尺),一个秋天工期所需人数为=26 011,故选B. 如图,将羡除补成三棱柱D1A1E-C1B1F,则AA1=BB1=2,DD1=CC1=1. 四棱锥E-AA1D1D的体积为(1+2)×10×3=15, 同理=15. 又三棱柱D1A1E-C1B1F的体积为3×10×10=150, 所以羡除的体积为V==120. 故选D. 由题意可知,棱台的体积为V台=(400+900+)×9=5 700(cm3), 设长方体的长为x cm,宽为y cm,则xy=900,又原长方体的高为12 cm,所以,长方体凹槽的体积为V=12xy-6x=9xy=8 100(cm3), 所以,“斗”的体积为5 700+8 100=13 800(cm3), 因此,“斗”的质量为13 800×0.5=6 900(g). 5.在古代,正四棱台也叫“方亭”.图①是上底为a,下底为b的一个“方亭”,分别沿平面BB1C1C和平面AA1D1D截下两侧的几何体并拼在一起,得到图②所示的“刍甍”.已知“方亭”的体积为V1,“刍甍”的体积为V2,若(约等于0.618,被称为黄金分割比例,且恰好是方程x2+x-1=0的一个实根),则=(　　) A. B. C. D. 设“方亭”的高为h,则V1=h(a2+ab+b2), V2=V1-a2h-2 =h(2b2-a2-ab), 设m=,则m2+m-1=0,即m2+m=1, A.4+4 B.32 C.8+8 D.24+8 三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC=AC·BC·PB=8,得BC=3. ∵PB⊥平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC,PB⊥AC, ∴AB=PC=5. ∵AC⊥PB,AC⊥BC,∴AC⊥平面PBC,∴AC⊥PC. ∴该鳖臑的表面积为3×4+3×4+5×4+5×4=32. 可得10 000×2.7=πR2H,故H= S=2πR2+2πR·H=2πR2+2πR=2πR2+ 将其看作S关于R的函数,R>0,则有S'=4πR- 令S'=0,得R3=,即R= 当R<时,S'<0;当R>时,S'>0, 所以当R=时,S取到最小值,即圆柱形粮仓的表面积最小. 设球的半径为R,则(2R)2·R=18,解得R=3, 故半球的表面积为S=4πR2+πR2=3π×32=27π. A.16π B. C.8π D.4π 根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球,所以(2R)2=22+22+(2)2,解得R=2,故该二十四等边体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×22=16π. A. B. C. D. 设AC=x,BC=y,由题意得x>0,y>0, 又B-ACC1A1的体积为,由2xy=,得xy=2. 堑堵ABC-A1B1C1的外接球即以CA,CB,CC1为棱的长方体的外接球, 故2R==2, 当且仅当x=y=时,等号成立. ∴外接球的体积为R3= 对于①,由题意可知,该六面体是由两个全等的正四面体组合而成,正四面体的棱长为1,如图所示,在棱长为1的正四面体S-ABC中,取BC的中点D,连接SD,AD,作SO⊥平面ABC,垂足O在AD上,则AD=SD=,OD=AD=,SO=,所以该六面体的体积为V=2VS-ABC=21,故①正确. 对于②,若该六面体内有一球,球心为O,则当该球与SD相切时,该球体积最大,过球心O作OE⊥SD,则OE就是球O的半径,如图所示, 因为SO·OD=SD·OE,所以球O的半径R=OE=,所以球O体积的最大值为V球=π,故②正确. ∵“牟合方盖”的体积为, 又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为π∶4, ∴正方体的内切球的体积V球=, ∴内切球的半径r=1,∴正方体的棱长为2, ∴正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线,即2R=2,∴R=, ∴正方体的外接球的表面积为S=4πR2=4π()2=12π. $