第42讲 空间距离及立体几何中的探索性问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间距离及立体几何探索性问题”，依据课标要求明确向量法解决点线、点面、线线、面面距离的考查核心，通过考点梳理对接高考评价体系，分析点到面距离、探索性问题等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”，如以2025江苏常州质检题为例，详解向量法求点面距离的“法向量求解-投影计算”步骤，培养数学思维与数学语言表达能力。设易错辨析和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

第42讲 空间距离及立体几何中的探 索性问题 1 【课标要求】 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平 行的平面的距离问题. 2 知识聚焦 ① 1.点到直线的距离 如图①,已知直线的单位方向向量为,是直线 上 的定点,是直线外一点,设,则向量 在直 线上的投影向量,在 中,由 勾股定理,得 ______ ___________________________. 3 ② 2. 点到平面的距离 如图②,已知平面 的法向量为,是平面 内的 定点,是平面 外一点.过点作平面 的垂线 ,交 平面 于点,则是直线的方向向量,且点 到平 面 的距离就是在直线上的投影向量 的长 度.因此 _ _______________________. 3. 两条平行直线之间的距离 求两条平行直线,之间的距离,可在其中一条直线上任取一点 ,则 两条平行直线间的距离就等于点到直线 的距离. 4 4. 直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离， 用求点到平面的距离的方法求解： 直线与平面 之间的距离，其中, ，是平面 的法向量. 两平行平面 , 之间的距离，其中 , ， 是平 面 ， 的法向量. 5 课前演练 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若平面平面,则平面 与平面 间的距离可转化为平面 内某条直线到平面的距离,也可转化为平面内某点到平面 的距 离.( ) √ [解析] 两平行平面间的距离可以用其中一个平面上的点到另一个平面的距离，或其中一个平面上的一条直线到另一个平面的距离来表示，故正确. 6 （2）若平面 的法向量是，点在平面 内， 则点到平面 的距离为 .( ) √ [解析] 连接，易知，则点到平面 的距离 ，故正确. 7 （3）在正四棱柱 中，底面边长为1，侧棱长为2, , 分别是异面直线和上的任意一点，则, 间距离的最小值 为 .( ) √ [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，所以，， ， 设且即令 ， 则，，所以 ， 8 所以异面直线和之间的距离，所以， 间距离的最小值为 ,故正确. 题组二 教材改编 1.在长方体中，，， 为 的中点，则点到平面 的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 如图所示，以为坐标原点，，， 所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，， ，，所以，. √ 10 设平面 的法向量为 ，则令 ，则. 连接，则，所以点 到平面的距离为 .故选D. 11 2.若两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，且两平面 的一个法向量为 ，则两平面间的距离是( ) A.1 B. C. D. [解析] 依题意，平行平面 ， 间的距离即为点到平面 的距离，因为，所以平行平面 ， 间的距离 . √ 12 3.已知直线过定点，且直线的一个方向向量为 ， 则点到直线 的距离为( ) A. B. C. D. √ 13 [解析] 连接，由题意得 ，所以. 因为直线 的一个方向向量为，所以，所以 , . 设直线与直线所成的角为 ，则,，所以，所以点 到直线的距离 .故选A. 14 探究点一 点到直线、点到平面的距离 例1（1）[2026·上海复旦大学附中期末]已知空间中三点 ， ，，则点到直线 的距离为( ) A.2 B. C. D.3 [解析] 根据题意可知,,所以 , 则点到直线的距离 . 故选B. √ 15 （2）[2025·江苏常州质检]如图，在棱长为3的正方 体中，点是棱 上的一点，且 ，则点到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以为坐标原点，，， 所在的直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，， ，所以，. 16 设平面 的法向量为，所以 令，解得，，所以. 连接 ，可得，所以点到平面 的距离 .故选B. 17 总结反思 1.求解点到直线 的距离问题的常用方法 （1）两点间距离法.在直线上找点 ,使之满足 确定点 的坐标,进而通过两点间距离公式求解 即可得到答案. （2）勾股定理法.求向量在向量上投影向量的长度,则其与 和所求距离是直角三角形三条边的长,进而利用勾股定理即可得到答案. 18 2.求解点到平面 的距离问题的常用方法 （1）空间向量法.平面的一个法向量为,则所求距离 . （2）等体积法.（其中为点到平面 的 距离）,若其体积可求,可求，则 可求. 19 【对点演练1】（1）[2025·广东江门模拟]在棱长为2的正方体 中，为的中点，则点到直线 的距离为 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图所示，以为原点，,, 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 连接,则,,,所以 , ,所以点到直线 的距离 ,故选B. 20 （2）[2026·湖南长沙长郡中学期中]如图，在棱长为4 的正方体中，,,分别是棱 ， ,的中点，过作平面 ，使得 ，则 点到平面 的距离是( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，连接，则,,, , ，, , . 21 设平面 的法向量为， , ，, ，则令，得 ，，则， 点到平面 的距离 .故选D. 22 探究点二 直线与平面、平行平面间的距离 例2 如图，在四棱锥中，底面 为直角 梯形，，， ， 平面，， . 求直线到平面 的距离. 解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 底面为直角梯形，， ， ， ，解得 ， 23 则，，，， ，显然平面 ， 直线到平面的距离即为点到平面 的距离. 设平面的法向量为 ， 则取，得 . ， 点到平面 的距离 . 24 总结反思 求解直线与平面、平面与平面之间的距离问题时，将线面距离和面 面距离转化为点到平面的距离进行求解,即在直线或平面上找一个点, 应用点到平面的距离问题的求解方法求解该点到平面的距离即可. 25 【对点演练2】（1）已知正方体的棱长为2， ， ，，分别是棱，，，的中点，则平面 与 平面 之间的距离为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以为坐标原点，，， 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，所以，，. 26 由题意知，平面 平面,所以平面与平面之间的距离等于点 到平面的距离. 设平面的法向量为 ，则 取，得 ，所以点到平面 的距离，则平面 与平面之间的距离是 .故选B. 27 （2）在棱长为1的正方体中，为的中点， 为的中点，则直线到平面 的距离为_ __. [解析] 以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,, ，所以,，故 . 又 平面， 平面，所以 平面，故直线到平面的距离等于 到平面的距离. 28 设平面的法向量为 ，又，所以 即取，则. 连接 ，又，所以到平面 的距离为 . 探究点三 立体几何中的探索性问题 例3 如图，在四棱锥中，平面 平面 ， ，，，为棱 的中点. （1）证明：平面 . 30 证明：如图①，取的中点，连接, . 为棱的中点，, . ,,, ， 四边形是平行四边形， . 又 平面, 平面, 平面 . 31 （2）若,，在棱上是否存在点，使得点 到平面 的距离是？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由. 32 解：,, , , . 平面 平面，平面 平面, 平面 ， 平面 . 又 平面, . 又,,, 两两垂直. 以点为坐标原点，,,所在直线分别为, , 轴建立空间直角坐标系，如图②， 33 则,,,, ，为棱的中点， ，则,. 设平面的法向量为 ，则令，则, ，所以 . 假设在棱上存在点，使得点到平面 的距离是 . 设,，则,连接 ，则 . 34 ， 点到平面的距离是 ，解得 . 在中，，则 . 综上可知，存在满足题意的点，且 . 总结反思 利用空间向量巧解探索性问题的策略 （1）空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行 复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断； （2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存 在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题. 所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题. 36 【对点演练3】 [2026·河北承德期中] 如图，四边形 为梯形， ，，四边形为矩形，且 平面 ， ，为 的中点. （1）证明：平面 . 37 证明：因为 平面，, 平面 ，所以，，又，所以,, 两两垂直， 以为原点，直线,,分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，， ，所以，， . 38 设平面的法向量为 ，则令 ，得 ，于是 ，即，又 平面，所以 平面 . （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线 与平 面所成角的正弦值为？若存在，求出 的长；若不存在， 说明理由. 40 解：假设在线段（不含端点）上存在一点 ，使得直线与平面所成角的正弦值为 . 设， ，又 ，所以，由（1）知 ， ，设平面的法向量为 ，则令 ，得 . 41 设直线与平面所成的角为 ，则 , ，整理得 ，又，所以 ，所以存在满足题意的点 ，此时 . $