空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学空间向量与立体几何核心内容，系统梳理已知线面角求其他量、已知二面角求其他量两大考点。前者围绕逆向公式、问题本质及建系设参等解题步骤展开，后者强化符号确定原则与方程建立，形成从几何角度到代数转化的递进学习支架。 该资料以各地阶段检测、期末等真题为例题，通过参数方程构建与几何意义验证，培养数学思维中的推理与运算能力，用代数语言表达空间关系发展数学语言能力。课中助力教师系统授课，课后学生可借变式训练分层巩固，有效查漏补缺。

空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题讲义 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题讲义 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心逆向公式 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，线面角大小为 （已知），则： · 这是列方程的核心依据：已知角度，即可建立关于未知参数的方程。 1. 问题本质 将角度条件转化为关于未知参数的代数方程（通常为一次或二次方程），解出参数后，即可求解所有相关几何量。 1. 常见未知量 点的坐标、线段长度、直线的方向参数、平面的位置参数，以及衍生的其他空间角、距离、体积、表面积等。 二、解题思路 1. 建系设参：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，将未知量设为参数（如设边长为 、动点分点为 、坐标轴上点的坐标为 等），用参数表示所有相关点的坐标。 1. 提取向量：确定直线的方向向量 ，用待定系数法求出平面的法向量 （法向量中可含参数）。 1. 列方程：代入线面角的正弦公式，代入已知角度的正弦值，建立关于参数的方程。 1. 解方程验根：求解方程，根据几何意义（长度为正、点在线段上等）舍去不合理解。 1. 求目标量：将解得的参数回代，计算题目要求的最终量（长度、角度、距离、体积等）。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【详解】（1）略 （2），，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得. 例2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1) 取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面 可得平面，且平面， 所以. (2) 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 故. 例3．（25-26高二上·四川泸州·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，为的中点，是棱上的点.    (1)证明：； (2)若，，，且与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) ∵，即， ∵平面平面，且平面平面， 平面，且， ∴平面，∵平面，∴. (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，从而得到线线垂直； （2）证明空间内三条直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，得到点坐标，设，通过平面的法向量及的数量积与线面角的关系求得，得到向量，分别求得平面与平面的法向量，由数量积求得平面与平面所成的二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）∵且为的中点， ∴，又∵，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 由（1）可知平面，且平面，所以 ∵，为的中点，∴， ∴如图以点为顶点建立空间直角坐标系，    ∴，，，，， 则，设，， 则， 平面的一个法向量为， 则，即， 即，∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 则，令，则，即， 则，令，则，即， 设平面与平面所成的二面角为， 则. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1) ∵平面平面ABCD，平面平面， 平面EAD，又平面EAD， . (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据直三棱柱的定义，把三棱柱补形成长方体，利用异面直线所成的角的定义、余弦定理进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）可知多面体ABCDEF为直三棱柱，作，. 当时，点和点重合， 如图将三棱柱补形成长方体，连， 即为直线BD和直线CE的夹角或其补角. 由题意可得：， ， 综上，直线BD和直线CE夹角的余弦值为. （3）∵平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，如图，以点为原点建立空间直角坐标系. 设，则， 由可得：， ，另外，设平面BCP的一个法向量为，结合， ，也即，取，则有， 结合，设直线BD和平面BCP所成角为， 则， 化简得：，可解得：（舍去）或. 综上，．             变式2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，，，是直线上的点． (1)若，，，四点共面，证明：. (2)设直线与平面所成角为，是否存在点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，， 得，设， 则， 由，，，四点共面，得共面，存在实数对使得， 则，即， 解得，因此，即，又， 所以. (2)存在，或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用共面向量定理求出点的坐标，进而推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，则，取，得， 则， 整理得，解得或， 所以存在点，使得，或. 变式3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）由题可证得平面，且，所以可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，求得平面与平面夹角的余弦值； （2）（i）由点面距的向量求法，求得到平面的距离；（ii）假设存在满足题意，根据线面角的向量求法，求得的值. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面， 得平面. 因为，平面，所以． 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则， 取，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而. （i）当时，， 从而到平面的距离为. （ii）假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 考点二 已知二面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心逆向公式 设两个半平面的法向量分别为 、，二面角大小为 （已知），则： 1. 符号确定原则 二面角与法向量夹角相等或互补，正负号由二面角的锐钝性和法向量指向共同决定： · 若二面角为锐角：，取与法向量夹角余弦一致的符号； · 若二面角为钝角：，取与法向量夹角余弦相反的符号； · 无法直接判断锐钝时，需结合图形几何特征分析，或对两种情况分别验证。 1. 问题本质 将二面角的角度条件转化为关于参数的方程，求解未知量；相比线面角，符号判断是核心难点。 1. 常见未知量 棱长、动点位置、平面的倾斜程度、几何体的体积/表面积，以及其他空间角、距离等。 二、解题思路 1. 建系设参：建立空间直角坐标系，设出未知参数，用参数表示两个半平面内关键点的坐标。 1. 求两个法向量：分别求出两个半平面的法向量 、，其中至少一个法向量含未知参数。 1. 判断锐钝：根据立体图形直观判断二面角是锐角还是钝角，确定余弦值的正负。 1. 列方程：代入二面角的余弦公式，建立关于参数的方程。 1. 解方程验证：求解参数，验证解的几何合理性；多解时结合题意取舍。 1. 求目标量：代入参数，计算题目要求的最终量。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． (2)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 例2．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 例3．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 变式2．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)因为底面为直角梯形，，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2)因为，平面，平面，所以平面， 设平面平面，又平面，所以， 即， 由平面，即平面，平面， 所以，故或其补角为平面与平面所成角. 因为平面平面，所以，即. (3)或 【分析】（1）由已知得，再由面面垂直的性质定理证明结论； （2）由线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质定理得，根据二面角的定义及已知即可证； （3）构建合适的空间直角坐标系，取为中点，设并标注出相关点坐标，应用向量法求二面角列方程求参数值，最后由向量模长的坐标运算求长度. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示直角坐标系，则，，，. 取为中点，由可得，设， 设，所以，，， 设平面的法向量为，则，可取， 由题可取平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为，则， 化简得，解得或， 所以， 所以或. 变式3．（25-26高二上·陕西安康·期中）如图，在三棱台中，平面，.    (1)求的值； (2)若，二面角的大小为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面垂直的性质，可得平面，进而可得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，设，进而根据条件可设，分别求出平面和平面，根据条件可得，在中，过作于，设，从而可得，再利用平方关系，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为，则， 因为平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 则，又由棱台的性质知，所以四边形为平行四边形， 则，所以. （2）如图，过作，且平面，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 过作于，同理可证得平面，所以， 又，所以四边形为平行四边形，则，， 由棱台的性质及（1）知，所以为中点，又，则， 又，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则由，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，所以， 由题知，整理得到，得到 在中，过作于，设， 则，得到，又， 所以，整理得到， 解得或（舍），所以.    2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题讲义 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题讲义 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心逆向公式 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，线面角大小为 （已知），则： · 这是列方程的核心依据：已知角度，即可建立关于未知参数的方程。 1. 问题本质 将角度条件转化为关于未知参数的代数方程（通常为一次或二次方程），解出参数后，即可求解所有相关几何量。 1. 常见未知量 点的坐标、线段长度、直线的方向参数、平面的位置参数，以及衍生的其他空间角、距离、体积、表面积等。 二、解题思路 1. 建系设参：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，将未知量设为参数（如设边长为 、动点分点为 、坐标轴上点的坐标为 等），用参数表示所有相关点的坐标。 1. 提取向量：确定直线的方向向量 ，用待定系数法求出平面的法向量 （法向量中可含参数）。 1. 列方程：代入线面角的正弦公式，代入已知角度的正弦值，建立关于参数的方程。 1. 解方程验根：求解方程，根据几何意义（长度为正、点在线段上等）舍去不合理解。 1. 求目标量：将解得的参数回代，计算题目要求的最终量（长度、角度、距离、体积等）。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 例2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 例3．（25-26高二上·四川泸州·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，为的中点，是棱上的点.    (1)证明：； (2)若，，，且与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 变式2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，，，是直线上的点． (1)若，，，四点共面，证明：. (2)设直线与平面所成角为，是否存在点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点二 已知二面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心逆向公式 设两个半平面的法向量分别为 、，二面角大小为 （已知），则： 1. 符号确定原则 二面角与法向量夹角相等或互补，正负号由二面角的锐钝性和法向量指向共同决定： · 若二面角为锐角：，取与法向量夹角余弦一致的符号； · 若二面角为钝角：，取与法向量夹角余弦相反的符号； · 无法直接判断锐钝时，需结合图形几何特征分析，或对两种情况分别验证。 1. 问题本质 将二面角的角度条件转化为关于参数的方程，求解未知量；相比线面角，符号判断是核心难点。 1. 常见未知量 棱长、动点位置、平面的倾斜程度、几何体的体积/表面积，以及其他空间角、距离等。 二、解题思路 1. 建系设参：建立空间直角坐标系，设出未知参数，用参数表示两个半平面内关键点的坐标。 1. 求两个法向量：分别求出两个半平面的法向量 、，其中至少一个法向量含未知参数。 1. 判断锐钝：根据立体图形直观判断二面角是锐角还是钝角，确定余弦值的正负。 1. 列方程：代入二面角的余弦公式，建立关于参数的方程。 1. 解方程验证：求解参数，验证解的几何合理性；多解时结合题意取舍。 1. 求目标量：代入参数，计算题目要求的最终量。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 例2．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 变式2．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 变式3．（25-26高二上·陕西安康·期中）如图，在三棱台中，平面，.    (1)求的值； (2)若，二面角的大小为，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $