精品解析：山东济南市历城区山东大学附属中学2026-2027学年上学期九年级开学调研数学试题

山大附中九年级开学调研数学试题 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 3. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 5. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 7. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（ ） A. 保持不变 B. 增加了 C. 增加了 D. 减少了 8. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 11. 若，则________． 12. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是___________． 13. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上______，使得方程左边配成一个完全平方式． 14. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 15. 如图，在菱形中，，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为，若，则的长为______． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 19. 大同黄花菜是大同市特色地理标志农产品，品质优良、采摘期集中，用工需求大．为缓解大同黄花菜采摘季的劳动力短缺问题，并降低生产成本，某黄花菜种植基地引进了智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍．用一台智能采摘机器人采摘600千克黄花菜，比4个工人采摘这些黄花菜要少用1天．求一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜多少千克． 20. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 21. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 22. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中九年级开学调研数学试题 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质对各选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项A，平行四边形对边相等，，∴结论成立； 选项B，平行四边形对边相互平行，，∴结论成立； 选项C，平行四边形的对边相互平行，同旁内角互补，，∴结论成立； 选项D，平行四边形对角相等，，∴结论不成立． 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形有而菱形没有的性质． 【详解】解：矩形的对角线长度相等，而菱形的对角线不一定相等（除非是正方形）．因此，对角线相等是矩形特有的性质．故选项A符合题意， 菱形的对角线互相垂直且平分，但矩形的对角线仅互相平分而不垂直（除非是正方形）．因此，此性质属于菱形而非矩形．故选项B不符合题意， 矩形和菱形都是平行四边形，对角相等、对边相等是平行四边形的基本性质，矩形和菱形均具备，故选项C、D不符合题意． 故选A． 3. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 4. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 5. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 7. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（ ） A. 保持不变 B. 增加了 C. 增加了 D. 减少了 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质及判定为等边三角形，求出木条长度；再根据正方形性质及勾股定理求出图2中对角线的长，最后计算差值即可． 【详解】解：图1中， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 图2中， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴相对于图1，图2中对角线的长度增加了． 8. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房方程． 【详解】解：设增长率为x， 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为2亿元， ∴． 故选：D． 9. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，，求解，结合作图求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 10. 如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，连接，作，则，当三点共线时，有最小值，此时点与点重合，斜边上的中线求出的长，菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的最小值即可. 【详解】解：过点作于，作于点，连接，，则即为点到线段的距离，， ∴当三点共线时，有最小值为，此时点与点重合， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ，解得  ， ， 是的中点，， ， 点到线段的距离的最小值为. 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求式子化简即可得到结果． 【详解】解：设，得，， ∴． 12. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上______，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】9 【解析】 【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程——配方法，此类题型解题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 14. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由菱形的性质可证为等边三角形，设，则，，，则，在中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由折叠的性质得：， 四边形是菱形， ， 又， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，设，则， 在中，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 或 解得； 【小问2详解】 解： ， ， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问4详解】 解： ， ， ， 解得. 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，菱形即为所求作．（作法不唯一） 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及尺规作图，熟练掌握菱形的判定及尺规作图是解题的关键；先作出的角平分线，然后作线段的线段垂直平分线，进而问题可求解． 【详解】略 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】略 19. 大同黄花菜是大同市特色地理标志农产品，品质优良、采摘期集中，用工需求大．为缓解大同黄花菜采摘季的劳动力短缺问题，并降低生产成本，某黄花菜种植基地引进了智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍．用一台智能采摘机器人采摘600千克黄花菜，比4个工人采摘这些黄花菜要少用1天．求一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜多少千克． 【答案】千克 【解析】 【分析】设一个工人平均每天可采摘黄花菜千克，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一个工人平均每天可采摘黄花菜千克，则一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜千克， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（千克）． 答：一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜150千克． 20. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 21. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】（1）， （2）当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【解析】 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 22. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） （1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形中，且， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $