1.4.2 用空间向量研究距离问题（6个核心题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离问题，系统梳理点到直线、点到平面、线面距离、面面距离、异面直线距离的向量求法，及距离的存在性探究与最值问题，构建从基础公式到综合应用的递进式学习支架。 资料以题型为纲，每个题型含基础知识、方法技巧、典型例题与巩固练习，通过公垂向量求异面直线距离、距离最值转化为函数问题等实例，培养学生用数学思维分析空间关系、用数学语言表达距离模型的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

1.4.2 用空间向量研究距离问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 2．异面直线与空间向量 设，分别是空间中直线与的方向向量． （1）若与异面，则与的关系为与不平行． （2）若与不平行，则与的位置关系为_相交或异面_______． （3）公垂线段：一般地，如果与是空间中两条异面直线，，，_，_______．则称为与的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的__距离______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求点到直线的距离 基础知识 核心知识 设直线的方向向量为，是直线外一点，在直线上 点到直线的距离： 几何含义：以为邻边的平行四边形的高 方法技巧 1.取直线上一点，构造向量 2.写出直线方向向量并求模长 3.代入公式计算 4.向量法无需找垂线，避免几何作图困难 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 【例题2】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 【巩固练习2】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A． 平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 【题型2】 求点到平面的距离 基础知识 核心知识 设平面的法向量为，是平面外一点，在平面内 点到平面的距离： 方法技巧 1.在平面内任选一点，连接得到 2.求平面的法向量 3.距离是向量在法向量上投影的绝对值 4.无需确定垂足位置，是立体几何最常用向量公式 典型例题 【例题1】（江苏镇江市2026-2027学年高三上学期期初监测数学试题）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 【例题2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，．求到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 【巩固练习2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 【题型3】 求直线/平面到平面的距离 基础知识 核心知识 1.直线与平面平行：直线上任意一点到平面的距离，就是直线到平面的距离 2.两平面平行：一个平面内任意一点到另一个平面的距离，就是两平面之间的距离 只有线面平行、面面平行时，才有稳定距离定义 方法技巧 1.先证明线面平行/面面平行 2.在直线（或其中一个平面）上任选一个方便计算的点 3.转化为【点到平面距离】模型求解 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 【例题2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 【巩固练习2】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 【巩固练习3】（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 【题型4】 求异面直线的距离 基础知识 核心知识 设异面直线的公垂线方向向量为（同时垂直两条直线方向向量） ，异面直线距离： 方法技巧 1.写出两条异面直线的方向向量 2.联立方程求出同时垂直两向量的公垂向量 3.在两条直线上各取一点，构造连线向量 4.代入投影公式计算，不用找公垂线段 典型例题 【例题1】（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量方法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， ， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【题型5】 距离的存在性探究 基础知识 核心知识 依托上述四类距离公式，设动点坐标，把距离表示为含参数的表达式 根据方程是否有解，判断点是否存在 方法技巧 1.建系，设出动点参数坐标 2.写出距离表达式，根据题意列方程 3.研究方程解的个数，判定存在性 4.检验解对应的点是否在题目限定的线段/平面区域内 典型例题 【例题1】（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中 ，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明： 又平面 平面 又平面 平面平面 (2)，截面周长为12 (3)存在， 【分析】（1）运用直角梯形垂直关系，再结合已知得到线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用平面平行相交的性质作出截面，再通过直角三角形，平行四边形性质求得周长； （3）先计算出点C到平面的距离，如果距离大于3，则不存在；如果距离小于3，则存在；最后如果存在，那么点在运动过程中所围成的图形是：以点为球心半径为的球面被平面所截的面，计算出半径求得圆面积. 【详解】（1）略 （2） 连接交于点，连接，取中点，连接,， 四边形 为平行四边形 点为中点， ，四边形为平行四边形,则 ， 点G平面，故四边形即为所求截面， 平面 ,为直角三角形， ,故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：; （3）假设平面内存在动点，使其到点的距离为3， 方法一（等体积法）： 设点到平面距离为h，那么 取中点，由可知为正三角形， 所以， 由可得 , 即， 由于， 所以，, , 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截得的截面，截面形状为圆， 半径,. 方法二（建坐标系）： 取中点，由可知为正三角形， 所以， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 那么, 设平面法向量为，那么 取，则为平面一个法向量， 那么点到平面距离， 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截，截面形状为圆， 半径,. 【例题2】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点，，理由如下： 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面， 平面； (2) (3) 假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而利用线面角的向量方法即可求解； （3）假设存在点，设，再利用点到平面的距离为即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）略 【巩固练习2】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 【题型6】 距离的最值与范围 基础知识 核心知识 把距离写成关于参数的函数，转化为函数求值域问题 距离表达式常为二次函数、根式函数 方法技巧 1.建系设参，写出距离函数 2.化简函数，优先转化为二次函数在区间上的最值 3.注意参数取值范围（动点在线段上时，参数有边界） 4.也可结合几何意义辅助验证结果 典型例题 【例题1】（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题． 【详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以，从而， 且是等腰直角三角形，故， 设为的中点．因为为三棱台，所以， 又因为，所以四边形为等腰梯形，故， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 在等腰梯形中，， 由，得， 所以； 以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由于三棱台的上、下底面相似，且， 所以，故， 因为点在棱上运动，故可设， 其中，则， 所以， 设平面 的法向量为， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又，故点到平面的距离为， 即， 化简得， 因为，且， 所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且. 【例题2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）如图，在棱长为的正方体 中，分别是棱，的中点，点 为线段 上的动点，则（   ） A．平面截正方体 所得的截面形状是五边形 B．向量在向量上的投影向量的模为 C．存在点，使得 D．点到棱₁距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】通过截面图形判断选项A；建立空间直角坐标系，利用向量投影公式判断选项B；根据坐标关系判断C；通过坐标法求点到直线的距离判断选项D. 【详解】如图直线与、的延长线分别交于、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 则五边形即为所得截面图形，选项A正确； ， 向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 所以，，， ，， 向量在向量上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量的模为， 选项B正确； 设，其中，，，， 则，所以， ，， 假设存在点，使得， 整理得， 解得（舍去）或， 所以存在点，使得，选项C正确； 由上知,所以点在上的射影为， 点到棱₁距离， 当，点到棱₁距离的最小值为 ， 选项D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，，过点的平面与棱分别交于点，且，记. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，连接. 因为为正三角形，所以. 因为，所以，即， 所以为等腰直角三角形，则. 因为在正三角形中，，所以. 又，所以，即. 又因为，平面. 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. (2) (3). 【分析】（1）取的中点，连接，根据正三角形的性质，可证，根据勾股定理，可证，，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，求出平面的法向量，易得平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案. （3）由（2）得各点坐标，求出平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，可得的表达式，整理计算，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，又由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以直线，为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则. 因为，所以为的中点，又，所以为的中点， 则，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则可取， 易知平面的一个法向量为. 则， 由图象得平面与平面的夹角为锐二面角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）得，. 则. 设平面的法向量为， 则，令，则可取， 所以， 于是. 设，则， 则 ， （当且仅当，即时取“”）， 所以的最小值为. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 2．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 5．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，由垂直关系的向量表示可得，利用公垂线的定义可得A正确，利用投影向量模长公式计算可得B错误，由点到直线距离的向量求法可得C正确，再由点到平面距离的向量求法可得D正确. 【详解】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，可得； 对于A，易知， 易知，即， 根据定义可知线段是异面直线与的公垂线段，即A正确； 对于B，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 所以，异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为，即B错误； 对于C，所以在方向上的投影向量的模长为； 所以点到直线的距离为，即C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以，又， 因此点到平面的距离为，即D正确. 故选：B 6．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以， 所以，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 二、多选题 8．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 9．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，下列结论正确的是（   ）    A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A选项，求解，夹角的正弦值，再进行求解即可；对于B选项，，所以两直线的距离可转化为点到直线的距离进行计算；对于C选项，求解平面的法向量，在通过点到平面的距离公式进行计算即可；对于D选项，由可知平面，所以线面距离可按照点到平面的距离来算. 【详解】因为六面体为正方体，所以，，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    因为正方体棱长为，所以，，，，，，，， 因为为线段的中点，为线段的中点，所以， 所以对于A选项，，， 设，夹角为，点到直线的距离为，所以， ，所以，故A正确； 对于B选项，，， ，， 所以直线到直线的距离转化为点到直线的距离， 所以直线的一个单位向量， 所以到直线的距离为，故B正确； 对于C选项，设平面的法向量为，，， 所以，即，令，所以，， 所以，所以点到平面的距离为，故C错误； 对于D选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离转化为到平面的距离，， 所以到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为正方体中，点在线段 （包括端点）上运动，有下列判断：①平面平面；②平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④顶点到直线距离的取值范围是其中，正确的是________．（把所有正确判断的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的线面垂直、面面平行关系判断①②；把点参数化，利用向量夹角判断③；利用点到直线距离公式判断④． 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则 对于①，平面内有 又 计算得 所以，且． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 又平面，故平面平面，①正确． 对于②，平面内有， 计算得， 所以，且． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 所以平面 . 因为，所以平面，且不在平面内，因此平面，②正确． 对于③，设， 则，所以 设异面直线与所成角为，则 当或时，，此时； 当时，，此时． 因此的取值范围不是，③错误． 对于④，顶点到直线的距离记为． 由点到直线的向量距离公式， 因为，所以， 于是 因为，所以，从而，即，④正确． 综上，正确判断为①②④． 11．（25-26高二上·河南焦作·期中）在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 故答案为：. 四、解答题 12．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 【答案】(1)如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【详解】（1）略 （2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 13．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，.，，    (1)试问为何值时，平面？并予以证明. (2)若， （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理即可证明； （2）（i）以为原点，，，所在直线建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和平面的一个法向量，然后用空间向量的夹角公式； （ii）设，，表示点坐标，求出平面的一个法向量，最后用空间向量点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）当时，平面，证明如下： 取的中点，连接，， 因为，所以为的中点， 在中，为中点，为中点， 则，， 又因为，，， ，，所以四边形是平行四边形， ，平面，平面， 所以平面； （2）（i）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，   ，，，，， ， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 ， 则， 令，得，，故， 设两平面的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （ii）设，， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 点到平面的距离为 ， 解得，故. 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 由题意得：三条直线两两垂直； 以为坐标原点，的方向，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，    ，，，； 所以，，， 因为，所以直线与平面不垂直. (2)直线与平面所成角的正弦值为； (3) 由（1）得：，，，， ，，； 设线段上是否存在一点，且，，则； 设平面的一个法向量为：，则，令，得； ，所以点到平面的距离为： ； 所以在线段上不存在一点，使得点到平面的距离是. 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直，数量积为零，即可判断直线与平面的位置关系； （2）利用空间向量法求线面角即可； （3）设线段上是否存在一点，且，，利用空间向量法求点到平面的距离，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）的：，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，； 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）略 15．（25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. $1.4.2 用空间向量研究距离问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 2．异面直线与空间向量 设，分别是空间中直线与的方向向量． （1）若与异面，则与的关系为与不平行． （2）若与不平行，则与的位置关系为_相交或异面_______． （3）公垂线段：一般地，如果与是空间中两条异面直线，，，_，_______．则称为与的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的__距离______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求点到直线的距离 基础知识 核心知识 设直线的方向向量为，是直线外一点，在直线上 点到直线的距离： 几何含义：以为邻边的平行四边形的高 方法技巧 1.取直线上一点，构造向量 2.写出直线方向向量并求模长 3.代入公式计算 4.向量法无需找垂线，避免几何作图困难 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【例题2】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A． 平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【题型2】 求点到平面的距离 基础知识 核心知识 设平面的法向量为，是平面外一点，在平面内 点到平面的距离： 方法技巧 1.在平面内任选一点，连接得到 2.求平面的法向量 3.距离是向量在法向量上投影的绝对值 4.无需确定垂足位置，是立体几何最常用向量公式 典型例题 【例题1】（江苏镇江市2026-2027学年高三上学期期初监测数学试题）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，．求到平面的距离． 【巩固练习2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【题型3】 求直线/平面到平面的距离 基础知识 核心知识 1.直线与平面平行：直线上任意一点到平面的距离，就是直线到平面的距离 2.两平面平行：一个平面内任意一点到另一个平面的距离，就是两平面之间的距离 只有线面平行、面面平行时，才有稳定距离定义 方法技巧 1.先证明线面平行/面面平行 2.在直线（或其中一个平面）上任选一个方便计算的点 3.转化为【点到平面距离】模型求解 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【巩固练习2】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【巩固练习3】（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【题型4】 求异面直线的距离 基础知识 核心知识 设异面直线的公垂线方向向量为（同时垂直两条直线方向向量） ，异面直线距离： 方法技巧 1.写出两条异面直线的方向向量 2.联立方程求出同时垂直两向量的公垂向量 3.在两条直线上各取一点，构造连线向量 4.代入投影公式计算，不用找公垂线段 典型例题 【例题1】（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【题型5】 距离的存在性探究 基础知识 核心知识 依托上述四类距离公式，设动点坐标，把距离表示为含参数的表达式 根据方程是否有解，判断点是否存在 方法技巧 1.建系，设出动点参数坐标 2.写出距离表达式，根据题意列方程 3.研究方程解的个数，判定存在性 4.检验解对应的点是否在题目限定的线段/平面区域内 典型例题 【例题1】（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中 ，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【例题2】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【巩固练习2】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型6】 距离的最值与范围 基础知识 核心知识 把距离写成关于参数的函数，转化为函数求值域问题 距离表达式常为二次函数、根式函数 方法技巧 1.建系设参，写出距离函数 2.化简函数，优先转化为二次函数在区间上的最值 3.注意参数取值范围（动点在线段上时，参数有边界） 4.也可结合几何意义辅助验证结果 典型例题 【例题1】（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）如图，在棱长为的正方体 中，分别是棱，的中点，点 为线段 上的动点，则（   ） A．平面截正方体 所得的截面形状是五边形 B．向量在向量上的投影向量的模为 C．存在点，使得 D．点到棱₁距离的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，，过点的平面与棱分别交于点，且，记. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 6．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 二、多选题 8．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 9．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，下列结论正确的是（   ）    A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 三、填空题 10．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为正方体中，点在线段 （包括端点）上运动，有下列判断：①平面平面；②平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④顶点到直线距离的取值范围是其中，正确的是________．（把所有正确判断的序号都填上） 11．（25-26高二上·河南焦作·期中）在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题 12．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 13．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，.，，    (1)试问为何值时，平面？并予以证明. (2)若， （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 15．（25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． $