1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题题型讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，系统梳理空间两点间距离、点到直线距离、点到平面距离，以及异面直线、线面、面面距离，还涵盖异面直线所成角、线面角、二面角等核心知识点，形成从基础到复杂的递进学习支架。 该资料亮点在于知识点与考点深度融合，通过转化思想（如异面直线距离转化为点面距离）和四棱锥、直三棱柱等具体几何体例题，培养学生空间观念与逻辑推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，提升用数学语言表达空间关系的能力。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 目录 知识点一、空间两点间的距离. 知识点二、点到直线的距离 1 知识点三、点到平面的距离.… .2 知识点四、其他距离问题…。 .2 知识点五、异面直线所成的角… …2 知识点六、直线与平面所成的角2 知识点七、平面与平面所成的角（二面角） .3 考点一：点到直线的距离… 4 考点二：点到平面的距离。 5 考点三：其他距离问题… .8 考点四：求异面直线的夹角… .9 考点五：求直线与平面的夹角 .11 考点六：求二面角平面与平面的夹角 .13 巩固训练.。 ..16 第一 》》》 温故知新 知识点一、空间两点间的距离 1核心公式 设两点A(x,,),B,,),向量B=(化，-，片一，32-)，则距离 dB=AB=V(x2-x)2+02-y)2+(22-z)2 2.关键要点 基于向量模长计算，本质是将两点距离转化为空间向量的坐标运算，是其他距离问题的基 础。 知识点二、点到直线的距离 1.向量法原理与公式 PA2-( PA. 设直线方向向量为5,1上一点P,空间点A,则距离 PA-S 核心逻辑：先求PA在了上的投影长度5|，再通过勾股定理求垂线段长度。 知识点三、点到平面的距离 1.法向量法公式 d=PA- 设平面C法向量为n,C内一点P,空间点A,则距离 il。 核心逻辑：PA在法向量方上的投影长度即为点到平面的垂线段长度。 知识点四、其他距离问题 1.异面直线间的距离 转化法：取异面直线Q、b,过力作平面“且使 b a 《,则a上任意一点到平面“的 距离即为异面直线a、b间的距离（可套用点到平面距离公式）。 向量积直接公式：设异面直线a的方向向量为m,直线b的方向向量为，在a上取 点A,在b上取点B(即B为两直线上任意两点构成的向量)，则距离 d=AB(m× |m×i 注：m×i为向量而与万的向量积（叉积），其方向垂直于而和万所确定的平面，模 m训sin60为m与元的夹角)。 长为 (为 2直线与平面间的距离（线面平行） 直线上任意一点到平面的距离即为线面距离，直接套用点到平面距离公式。 3.平行平面间的距离 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离即为面面距离，套用点到平面距离公式。 知识，点五、异面直线所成的角 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，所成的锐角或直角称为异面直线 所成的角，记为。：花国是0孕1。 2.向量求法：设异面直线4、2的方向向量分别为、，则 cosa0s(亿，F1i-L |1 3.易错点：需取数量积的绝对值，确保结果为锐角或直角。 知识点六、直线与平面所成的角 1.定义：直线与平面中垂直于该直线在平面内射影的直线所成的角，记为P,范围是 3 3. 2.向量求法：设直线的方向向量为u,平面的法向量为，则 sin Bcos((亿，)F|i-万 :(本质：直线与平面所成角和直线与法向量的夹角互余)。 3.关键提醒：公式中是“sinB”，而非“cosB”,避免与线线角公式混淆。 4 知识点七、平面与平面所成的角（二面角) 1.定义：从二面角棱上一点出发，分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角 (锐角或钝角)称为二面角的平面角，记为Y,范围是[0，π]。 2.向量求法：设两个平面的法向量分别为几、n2,则： 若二面角为锐角，则c0 sy=cos(n,n2〉|； 若二面角为钝角，则CosY=-C0s(n1,n2》: 核心公式：cosy=±n (符号由二面角实际开合方向判断)。 nn 3.难点突破：法向量的方向不唯一，需通过观察几何体或取特殊点验证二面角的锐角/钝角 属性。 5 第二部分 )》》X 必做典例 考点一：点到直线的距离 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为△PBC的重 心，PM-号P月，且p43,AB=2则点0到直线DM的距离为() P A--- V66 B.V66 C. 33 A D. 6 4 6 4 2. 如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AB⊥BC,AB=2,BC=1,点P在线段AG上，点P到 直线BB的距离的最小值为 P 6 3.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=BB=2,AB1BC,D为AB的中点，点 E在线段CD上，点F在线段BB上，求线段EF长的最小值. C 考点二：点到平面的距离 4已知平面a外一点40,0，D,平面a内一点B(0,1,山，平面a的一个法向量i=(L1,-),则 点A到平面0的距离为 1 5.(25-26高二下湖南衡阳·期末)如图，在直四棱柱ABCD-4B,CD中，底面ABCD为矩 形，E为棱BB的中点 D A ()若AB=AD,证明：AC⊥DE」 (2)设AD=1,AB=2,A4=4,DF=DE(1>0),且点F到平 √2i 面ABC,的距离为21，求1的值 6.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.已知E, F分别为PA,PC的中点，平面DEF与棱PB交于点G ()求证：DEL平面PAB: (2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值： (3)判断线段EF上是否存在一点H,使得点H到平面CDC的 √5 距离为10？若存在，请求出点H的坐标：若不存在，请说明 理由 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC, AB=CD=AD=-L,M为棱PC的中点. ()证明：BMII平面PAD: M (2)若PC=V5,PD=1,在棱PA上是否存在点2，使得点 D、 5v6 B 到平面BDM的距离是18？若存在，求出PQ的长：若不 存在，说明理由. 9 考点三：其他距离问题 【解题技巧】 无论是直线到平面的距离，还是平面到平面的距离，均需满足平行关系： 直线到平面距离：直线与平面必须平行（线面平行）： 平面到平面距离：两个平面必须平行（面面平行）。 两者的核心解题逻辑一致一一转化为点到平面的距离，再利用空间向量求解。 8己知A0,10),B(21,0,C(-1,0,0,D0,-1,1D,则异面直线AB与CD之间的距离是() 2 A. B.Z C.2 D.2 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别为BB1,CC的中点，G为线段 1 DD上的点，且DG-3DD,过E,F,G的平面交AM于点H,则直线AD到平面EFGH 的距离为() D C B G E H A437 B.237 C 2 37 37 37 D V3 37 10 ABCD-ABC D ABD DC 10.在棱长为2的正方体 中，求求平面 与平面 的距离： D A, D B 考点四：求异面直线的夹角 1.知图，正方体ABCD-4BCD,的棱长为1，若点M为AB的中点.C-CC,则DB与 MN所成角的余弦值为() D C B D A M B 5 5 5 A. 21 B. 21 C.14 D.14 11 12.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平 面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保 持相等，记CM=BN=a(O<a<V2),则当MN的长最小时，异面直线MN与AF所成角的 余弦值为 M B 13.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点M为棱A4的中点，若N为底面A,B,CD1内一点 (不包含边界)，且满足MN11平面BDC.设直线N与直线CC所成的角为a,则 tana的最小值为- B D M B 12 考点五：求直线与平面的夹角 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD, 且PA=PD= 2a,设E,F分别为PC,BD的中点. (I)证明：直线EF1I平面PAD； (2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值. 15.如图，在四楼锥P-ABCD中，AB/1CD,AB=2DC,∠ABC=90°，△PAD为等腰直角三角 形，AD为斜边，其中AB=2,PD=BC=1,PB=PC B (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD, √6 (②)线段PB上是否存在一点T,使得AT与平面PAD所成角的正弦值为6，若存在，求出 PT PB的值；若不存在，请说明理由. 13 16（25-26高-下吉林长春期未)在梯形A8CD中，B1/CD:∠B1D 3 AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）将△ACD沿AC 折起到△ACD'位置，使得平面D'AC⊥平面BAC(如图2)： D P 图1 图2 (I)求证：BCI/平面POD; (2)求二面角A-BC-D的大小： V58 3)线段PD上是否存在点巴，使得CQ与平面BCD所成角的余弦值为8？若存在，求出 P№ PD的值：若不存在，请说明理由 17.如图，在三棱柱ABC-ABG中，点A在底面ABC的射影为O,AB LAC,AA=AB=4 AC=3,A0=25,B是AB的中点. C (1)证明：OE∥平面A4CC； A V10 (2)若直线AB与平面BAC所成角的正弦值为5，求AB. 14 考点六：求二面角平面与平面的夹角 18如图，在四棱锥p-ABCD中，四边形HBCD为菱形，乙ADC 3'△PAD为正三角形， AC=23,PC=32 (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD, (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值. 9在三棱锯P-BC中，PC=AB=AC=2BC,PC1平面BC,点M是枝p1士的 2 点，点V是棱BC上的动点，且PM=CN=x(0<x<V2). 鸣-号、东证：1AC M (2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-C的余弦值 B 15 20.如图，四棱柱ABCD-A,B,CD的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且∠BAD=60°，M是侧 棱DD,上的点，DM=2MD,N是线段CD上的动点. D NC M B ! D B ()以D为坐标原点、DC为y轴正方向、DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，写出 点B的坐标. (2)求点B到平面ACM的距离. 3W10 (3)在线段D,C上是否存在一点N,使得平面ACM与平面ACN夹角的余弦值为10？若存 在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由. 16 21.(25-26高二下·江苏镇江·期末)图1是边长为V2的正方形ABCD,将△ACD沿AC折起得 到直二面角P-AC-B,如图2所示 D B B 图1 图2 ()求异面直线AB与PC所成角： 7W51 (②)棱P4上是否存在一点M,使得二面角M-BC-A的余弦值为51，若存在，求出 AM AP的值；若不存在，请说明理由， 17 第三部分 )>》X 巩固训练 巩固训练 1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC-90°，M为BB1的中点，N为BC的中 点。 (1)求点M到直线AC的距离；(4分) (2)求点N到平面MA1C1的距离.(6分) 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中 点。 D C A E (1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分) (2)求直线FC到平面AB1E的距离.(6分) 18 ABCD-ABCD C 2.已知正方体 的棱长为1，E为 中点，求下列问题： DB AE (1)求异面直线 与 的距离： ABE A (2)求到平面 的距离： B)求DC 平面 BE 的距离： ADB DCB (4)求平面 与平面 的距离 B 19 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 目录 知识点一、空间两点间的距离 1 知识点二、点到直线的距离 1 知识点三、点到平面的距离 2 知识点四、其他距离问题 2 知识点五、异面直线所成的角 2 知识点六、直线与平面所成的角 2 知识点七、平面与平面所成的角（二面角） 3 考点一：点到直线的距离 4 考点二：点到平面的距离 7 考点三：其他距离问题 13 考点四：求异面直线的夹角 16 考点五：求直线与平面的夹角 19 考点六：求二面角平面与平面的夹角 26 巩固训练 34 知识点一、空间两点间的距离 1.核心公式 设两点，，向量，则距离。 2.关键要点 基于向量模长计算，本质是将两点距离转化为空间向量的坐标运算，是其他距离问题的基础。 知识点二、点到直线的距离 1.向量法原理与公式 设直线方向向量为，上一点，空间点，则距离。 核心逻辑：先求在上的投影长度，再通过勾股定理求垂线段长度。 知识点三、点到平面的距离 1.法向量法公式 设平面法向量为，内一点，空间点，则距离。 核心逻辑：在法向量上的投影长度即为点到平面的垂线段长度。 知识点四、其他距离问题 1.异面直线间的距离 转化法：取异面直线、，过作平面且使，则上任意一点到平面的距离即为异面直线、间的距离（可套用点到平面距离公式）。 向量积直接公式：设异面直线的方向向量为，直线的方向向量为，在上取点，在上取点（即为两直线上任意两点构成的向量），则距离。 注：为向量与的向量积（叉积），其方向垂直于和所确定的平面，模长为（为与的夹角）。 2.直线与平面间的距离（线面平行） 直线上任意一点到平面的距离即为线面距离，直接套用点到平面距离公式。 3.平行平面间的距离 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离即为面面距离，套用点到平面距离公式。 知识点五、异面直线所成的角 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，所成的锐角或直角称为异面直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设异面直线、的方向向量分别为、，则。 3.易错点：需取数量积的绝对值，确保结果为锐角或直角。 知识点六、直线与平面所成的角 1.定义：直线与平面中垂直于该直线在平面内射影的直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则（本质：直线与平面所成角和直线与法向量的夹角互余）。 3.关键提醒：公式中是“”，而非“”，避免与线线角公式混淆。 知识点七、平面与平面所成的角（二面角） 1.定义：从二面角棱上一点出发，分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（锐角或钝角）称为二面角的平面角，记为，范围是。 2.向量求法：设两个平面的法向量分别为、，则： 若二面角为锐角，则； 若二面角为钝角，则； 核心公式：（符号由二面角实际开合方向判断）。 3.难点突破：法向量的方向不唯一，需通过观察几何体或取特殊点验证二面角的锐角/钝角属性。 考点一：点到直线的距离 1. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 2. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h，则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 3. 如图，在直三棱柱中，， ，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【答案】 【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，得，根据EF的长最小满足，应用向量垂直的坐标表示可得，最后由向量模长的坐标表示和二次函数性质求最值. 【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 考点二：点到平面的距离 4. 已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可. 【详解】， 故点A到平面的距离为. 故答案为： 5. （25-26高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解(2)或 【分析】（1）连接BD，，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量为，再根据向量的加法求出，进而根据点F到平面的距离为即可求出λ的值． 【详解】（1）连接BD，，因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离，解得或． 6. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，所以，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）先证明平面，由此可得，再证明，由此可得，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）设，，由此可得，根据点到平面的距离的向量求法结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面，所以平面， （2）由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故，由（1）平面，平面， 所以，故，又，所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 7. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接． 为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 考点三：其他距离问题 【解题技巧】 无论是直线到平面的距离，还是平面到平面的距离，均需满足平行关系： 直线到平面距离：直线与平面必须平行（线面平行）； 平面到平面距离：两个平面必须平行（面面平行）。 两者的核心解题逻辑一致——转化为点到平面的距离，再利用空间向量求解。 8. 已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 9. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG=DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则EFG D1(0，0，1)，A1(1，0，1)， ∴=(-1，0，0)= =(-1，0，0)，则=∴∥. 又∵EF⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， ∴A1D1∥平面EFGH. ∴A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离. 设平面EFGH的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=6，则y=-1，∴n=(0，-1，6)， 又∵= ∴点D1到平面EFGH的距离d== ∴直线A1D1到平面EFGH的距离为. 10. 在棱长为的正方体中，求求平面与平面的距离； 【答案】 【分析】先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； 【详解】连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，，令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. 考点四：求异面直线的夹角 11. 如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 12. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用两点距离的坐标公式可得，进而得到的长最小时的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】因为，是正方形，且它们所在的平面互相垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得， 则， 所以当时，取得最小值，此时分别为的中点，，所以， 因此，即异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为： 13. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面， 所以平面，同理可得平面， 又平面MPQ， 故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为．故答案为：. 考点五：求直线与平面的夹角 14. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）求出直线PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的正切值. 【详解】（1）取AD中点O，连接，在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形，则， 所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ， 则，取平面PAD的法向量为， 所以，且平面，所以平面； （2）由（1）知：，取平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ，则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 15. 如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）根据已知，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面；    （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 16. （25-26高一下·吉林长春·期末）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【详解】（1）在梯形中，，，，P为的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 17. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点． (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BO并延长交AC于D，先证O为BD的中点，然后可得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，线面角为，根据平面法向量的求解方式得到平面的一个法向量，再利用求解即可. 【详解】（1）如图①，连接BO并延长交AC于D． 连接OA，，易得平面ABC． 因为平面ABC，平面ABC， 所以，． 又，所以， 即，故． 因为，所以， 则，， 即，故，所以， 故O为BD的中点，又E是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴， 过点A作，建立如图②所示的空间直角坐标系Axyz， 易得， 设，，则， 故，，，，， 则，，， 设平面AEC的法向量为， 则， 则，令，得，故， 设直线AB与平面EAC所成的角为θ， 则 解得，即． 考点六：求二面角平面与平面的夹角 18. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设中点为，连接，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，分别为轴建立坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用坐标公式求解即可. 【详解】（1）设中点为，连接， 因为四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为正三角形，则，， 因为，所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）可知两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，， 易知平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，可得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． (1)当时，求证：； (2)当的长最小时，求二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明出，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，计算出，得到垂直关系. （2）计算出当时，取得最小值，求出两平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 【详解】（1）由，得，则，又平面， 以为坐标原点，直线分别为轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 当时，分别为的中点，， 则，，因此， 所以. （2）由，得， 则，当且仅当时取等号， 此时， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，由图形知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 20. 如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)6(3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【分析】（1）取的中点，连接，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到，，两两垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出的长度，进而即可得到点的坐标；（2）先结合（1）求出平面的一个法向量，再根据点到平面的距离公式计算求解即可；（3）设，则，先求平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求出，进而即可得出出点的位置． 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐 标系，如图．由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以，从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 21. （25-26高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，，设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 巩固训练 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，M为BB1的中点，N为BC的中点. (1)求点M到直线AC1的距离；(4分) (2)求点N到平面MA1C1的距离.(6分) 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)， M(2，0，1)，C1(0，2，2)， 直线AC1的一个单位方向向量为u= =(2，0，1)， 故点M到直线AC1的距离 d===. (2)设平面MA1C1的法向量为n=(x，y，z)， 则即 取x=1，得z=2， 故n=(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量， 因为N(1，1，0)， 所以=(-1，1，-1)， 故N到平面MA1C1的距离 d===. 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分) (2)求直线FC1到平面AB1E的距离.(6分) 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)，EFC1(0，1，1)，A(1，0，0). (1)因为==所以∥即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离. 取u==又=.所以=·u= 所以直线FC1到直线AE的距离为=. (2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离. =(1，0，0)=(0，1，1)，设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，则 即取z=2，可得n=(1，-2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为= 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 2．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， 则、、、，、、、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $