第04讲 电场强度 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦电场强度专题，涵盖场强定义、叠加计算、电场线、场强图像等核心考点，按基础概念、矢量叠加、特殊方法、实际应用的逻辑层次组织知识，通过考情分析、知识梳理、解题策略指导、题型归纳训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破矢量运算、图像分析等难点。 讲义创新采用微元法、等效法等特殊解题策略，结合题型分层训练（基础理解到综合应用）和真题演练，培养学生科学思维与模型建构能力。设置巩固提升练习即时反馈，确保学生高效掌握场强计算技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第04讲 电场强度 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：电场强度的理解 8 题型02：点电荷电场强度的叠加 13 （一）：2个点电荷电场强度的叠加计算 13 （二）3个点电荷电场强度的叠加计算 17 （三）多个点电荷电场强度的叠加计算 19 题型03：点电荷与匀强电场的叠加 21 题型04：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 25 题型05：非点电荷电场强度的特殊计算方法 29 （一） 微元法 29 （二） 等效法 35 （三） 对称法 42 （四） 割补法 63 （五） 极限法 72 题型06：场强与电场线 72 题型07：场强图像 78 （一）E－x图像对称模型 78 （二）E－x图像不对称模型 84 题型08：场强的实际应用 97 题型09：静电防护 100 巩固提升 104 1. 题型分值：选择、填空、计算题，4～7分；静电场核心基础，综合大题必考。 2. 核心考点 ① 三个电场强度公式辨析：② 电场线与场强大小、方向关系； ③ 多个点电荷场强矢量叠加； ④ 匀强电场场强、电势差综合计算； ⑤ 场强方向判断：正电荷向外，负电荷向内，正试探电荷受力同向。 3. 高频易错点 ① 混淆三个公式适用条件，乱用公式； ② 误认为E与试探电荷q、电场力F成正比； ③ 场强是矢量，叠加只算大小忘记分解方向； ④ E＝d是沿电场线的垂直距离，不是两点直线距离。 4. 命题趋势：结合平衡、带电粒子偏转综合考查，矢量计算为重点。 一：基础识记 1. 熟记场强三个公式、各自适用范围； 2. 记住场强物理意义、单位、电场线规律。 二：理解目标 1. 理解定义式E＝：场强由场源决定，与试探电荷无关； 2. 分清点电荷、匀强电场场强分布特点； 3. 掌握场强矢量叠加原理。 三：应试目标 1. 能快速判断概念选择题对错，避开比例陷阱； 2. 多点电荷场强叠加会正交分解计算； 3. 匀强电场结合电势差、受力综合列式解题。 知识点一：电场强度 1.定 义：放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的电荷量q的比值。 2.定义式：E＝。单位为N/C或V/m。 3.点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度，E＝。 4.方向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点的电场强度方向。 5.电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。 知识点二：对电场和电场强度的理解 1. 电场强度反映了电场的力的性质： 电场强度的大小和方向具有唯一性，是由电场本身的特性(形成电场的电荷及空间位置)决定的，与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电荷量的多少均无关．电场中不同的地方，电场强度一般是不同的． 2. 电场强度具有矢量性： 电场强度描述了电场的强弱，其方向与在该点的正电荷所受静电力的方向相同，与在该点的负电荷所受静电力的方向相反。 3.公式E＝可变形为F＝qE，正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反。 知识点三：电场强度的性质 1.矢量性:规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 2.唯一性:电场中某一点的电场强度E是唯一的,它的大小和方向与放入该点的电荷q无关,它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 3.叠加性:如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 知识点四：电场强度的理解和计算 三个场强公式的比较 表达式比较 E＝ E＝ E＝ 公式意义 电场强度定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中E与U的关系式 适用条件 一切电场 ①真空；②点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 知识点五：电场强度的叠加 1.电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和． 2.运算法则：平行四边形定则． 知识点六：电场线 1.六种典型电场的电场线 2.电场线的特点 ①电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷． ②电场线在电场中不相交． ③在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏． ④电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向． ⑤沿电场线方向电势逐渐降低． ⑥电场线和等势面在相交处相互垂直． 3.电场线的应用： ①判断电场力的方向：正电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相同，负电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相反。 ②判断电场强度的大小(定性)：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小。 ③判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快。 ④判断等势面的疏密：电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏。 ⑤等量同号点电荷的电场（电场线分布如图1） A.两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大． B.两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小． C.关于中心点O对称的点，场强等大反向． 图1　　　　　　　　　　图2 ⑥等量异号点电荷的电场（电场线分布如图2） A.两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小． B.两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大． C.关于中心点对称的点，场强等大同向． 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 比较项目 等量异种点 电荷 等量同种点 电荷 电场线的分布图 连线中点O 处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿连线的中垂线由O点向外的场强大小 O点最大，向外逐渐变小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等) 等大同向 等大反向 知识点七：非点电荷电场强度的叠加及计算方法 1.等效法: 在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。例如:一个点电荷+q与一个接地无限大薄金属板在板右侧空间形成的电场,等效为两个等量异种点电荷+q与-q在右侧空间形成的电场,如图(甲)、(乙)所示。 2.对称法: 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 3. 填补法: 将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板,或将半球面补全为球面,从而化难为易、事半功倍。 4.微元法:将带电体分成许多元电荷,每个元电荷看成点电荷,先根据库仑定律求出每个元电荷的电场强度,再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 5.极限法：物理中体现极限思维的常用方法有极限法。极限法是把某个物理量推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．极限思维法在进行某些物理过程分析时，具有独特作用，使问题化难为易，化繁为易，收到事半功倍的效果。 选用技巧 (1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法． (2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法． (3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法． 1. 公式选用口诀 任意电场用E＝；孤立点电荷用E＝；仅匀强电场用E＝。 2. 场强叠加步骤 分别算出每个点电荷在目标点场强大小→标注方向→正交分解→矢量求和。 3. 选择题秒杀点 ①去掉试探电荷q，空间场强不变； ②电场线越密，电场强度越大； ③负电荷产生的场强指向自身，正电荷背离自身。 4. U=Ed解题关键 d：两点沿电场线方向的距离，斜向长度必须投影。 5. 符号规范 计算场强大小代绝对值；判断受力方向再单独区分正负电荷。 题型01：电场强度的理解 【典型例题1】关于电场强度的概念，下列说法正确的是(　　) A．由E＝可知，某电场的场强E与q成反比，与F成正比 B．正、负试探电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与放入试探电荷的正负有关 C．电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关 D．电场中某一点不放试探电荷时，该点场强等于零 解析：选C.电场中某点场强的大小由电场本身决定，与有无试探电荷、试探电荷的受力情况及所带电荷性质无关，A、B、D错误，C正确． 【典型例题2】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则(　　) A．点电荷Q一定为正电荷 B．点电荷Q在A、B之间 C．A点的电场强度大小为2×103 N/C D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大 【答案】　BCD 【解析】　由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由场强的定义式可知，其斜率的绝对值大小为各点的场强大小，则EA＝＝2×103 N/C，EB＝＝0.5×103 N/C＝.同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C、D正确；由题图知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确． 【变式训练1-1】有关电场强度的理解，下述说法正确的是(　　) A．由E＝可知，电场强度E跟放入的电荷q所受的电场力F成正比 B．当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度 C．由E＝k可知，在离点电荷很近的地方，r接近于0，电场强度为无穷大 D．电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关 【答案】D 【解析】电场强度E可以根据定义式E＝来测量，电场强度就等于每单位正电荷所受的力，但电场强度与试探电荷无关，是由电场本身决定的，故A错误；电场强度是由电场本身决定的，是电场的一种性质，与试探电荷是否存在无关，故B错误，D正确；库仑力属于强相互作用力，是一种远程力，点电荷电场强度的决定式E＝k，也不适用于r接近0的情况，故C错误。 【变式训练1-2】A为已知电场中的一固定点，在A点放一电量为q的电荷，所受电场力为F，A点的场强为E，则（　　） A．若在A点换上电量为“”的电荷，A点的场强方向发生变化 B．若在A点换上电量为“2q”的电荷，A点的场强将变为2E C．若在A点移去电荷“q”，A点的场强变为零 D．A点场强的大小、方向与q的大小、正负、有无均无关 【答案】D 【解析】电场强度是通过比值定义法得出的，其大小及方向与试探电荷无关；故放入任何电荷时电场强度的方向、大小均不变。故选D。 【变式训练1-3】一个点电荷的电荷量为，所在位置的电场强度方向竖直向上，大小为，则该点电荷所受电场力的大小和方向（　　） A．9×1013 N，水平向右 B．9×1013 N，水平向左 C．0.225N，竖直向下 D．0.225N，竖直向上 【答案】D 【解析】根据 正电荷受到电场力方向与电场方向一致，竖直向上。故选D。 【变式训练1-4】把试探电荷放到电场中的某点，测得该点的场强为，若在同一点放入电荷量为的试探电荷时，测得该点的场强（　　） A．大小为，方向与相同 B．大小为，方向与相反 C．大小为，方向与相同 D．大小为，方向与相反 【答案】A 【解析】电场强度由电场本身决定，与放入的试探电荷无关。所以该点的场强大小仍为E，方向与E相同。 故选A。 【变式训练1-5】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是(　　) A．B点的电场强度大小为0.25 N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m D．点电荷Q是正电荷 【答案】　C 【解析】由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝k＝4×105 N/C，E2＝k＝×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误． 【变式训练1-6】图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（　　） A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧 B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧 C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧 D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧 【答案】C 【解析】由知，F—q图像的斜率表示电场强度，根据题图乙F—q图线，可知 由，可知 无论场源电荷是正电荷还是负电荷，均应在a点左侧。 故选C。 【变式训练1-7】在静电场中的A、B两点放置试探电荷，其受到的静电力F与试探电荷的电荷量q的关系，分别如图中直线、所示。、两点的电场强度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设图像的横坐标单位长度电荷量为,纵坐标单位长度的力大小为根据 可知图像斜率表示电场强度，由图可知 可得 故选D。 【变式训练1-8】如图4所示，在孤立的点电荷Q所形成的电场中画一条直线AB，发现A点是直线上电场强度最大的点，其大小是E，B点电场强度大小是E，电子在A点的电势能比在B点的电势能小，则下列说法正确的是(　　) 图4 A.Q是负电荷 B.AB中点的电场强度大小是E C.AB中点的电场强度大小是E D.若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成E 【答案】D 【解析】由于电子在A点的电势能比在B点的电势能小，由Ep＝qφ可知φA>φB，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，Q是正电荷，故A错误；根据题意，由于A点的电场强度最大，则点电荷Q离A点最近，设距离为r，Q到B点的距离为r1，如图所示，由点电荷电场强度公式E＝可得，E＝，E＝，解得r1＝2r，由几何关系可得AB＝＝r，设Q到AB中点C的距离为r2，由几何关系可得r2＝＝r，则AB中点的电场强度大小是EC＝＝E，故B、C错误；若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成EA＝＝＝E，故D正确。 【变式训练1-9】电荷均匀分布的带电球体在球体外部产生的电场强度与位于球心处等电荷量的点电荷产生的电场强度相等。已知地球所带的电荷量约为4×105 C，地球的半径约为6 000 km，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，若将地球视为一个均匀带电球体，则地球表面附近的电场强度大小约为(　 ) A．50 N/C B．100 N/C C．200 N/C D．300 N/C 【答案】B　 【解析】将地球产生的电场强度等效的看作地球球心处的一个带电荷量为Q的点电荷在地面产生的电场强度，根据点电荷电场强度的表达式可知E＝k＝100 N/C，故B正确，A、C、D错误。 【变式训练1-10】如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是(　　) A．甲带负电，乙带正电 B．甲的电荷量大于乙的电荷量 C．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点 D．P点的电场强度小于Q点的电场强度 【答案】B 【解析】根据电场线分布特点，可判断出甲带正电、乙带负电，并且甲的电荷量大于乙的电荷量，A错误，B正确；在P位置静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子沿P位置电场线的切线从静止加速，不沿电场线运动，C错误；根据电场线的密集程度可以判断出P点的电场强度大于Q点的电场强度，D错误． 【变式训练1-11】（多选）下列关于电场强度的两个表达式E＝和E＝k的叙述，正确的是（　　） A．E＝是电场强度的定义式，E的大小与F、q没有必然联系 B．E＝是电场强度的定义式，F是放入电场中的电荷所受的力，q是产生电场的电荷的电荷量，它适用于任何电场 C．E＝k是点电荷场强的计算公式，Q是产生电场的电荷的电荷量，它不适用于匀强电场 D．从点电荷场强计算式分析库仑定律表达式F＝k，式中k是点电荷q2产生的电场在点电荷q1处的场强大小，而k是点电荷q1产生的电场在点电荷q2处的场强大小 【答案】ACD 【解析】A．公式E＝是电场强度的定义式，是比值定义法，即E的大小与F、q没有必然联系，选项A正确；B．公式E＝是电场强度的定义式，F是放入电场中的电荷所受的力，q是放入电场中的试探电荷的电荷量，它适用于任何电场，选项B错误；C．公式E＝k是点电荷场强的计算公式，Q是产生电场的电荷的电荷量，它不适用于匀强电场，选项C正确；D．从点电荷场强计算式分析库仑定律表达式F＝k式中k是点电荷q2产生的电场在点电荷q1处的场强大小，而k是点电荷q1产生的电场在点电荷q2处的场强大小，选项D正确。故选ACD。 【变式训练1-12】(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝，方向水平向右．下列说法正确的是(　　) A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左 B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左 D．在A点放置一个电荷量＋2q的试探电荷，所受电场力为2F 【答案】CD 【解析】　E＝是电场强度的定义式，某点场强大小和方向与场源电荷有关，而与放入的试探电荷没有任何关系，故选项A、B错；因负电荷受到电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F＝qEA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确． 题型02：点电荷电场强度的叠加 （一）：2个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】如图所示，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点。已知在P、Q连线上某点R处的电场强度为零，且PR＝2RQ。则(　　) A.q1＝2q2 B.q1＝4q2 C.q1＝－2q2 D.q1＝－4q2 【答案】B 【解析】由题意知q1、q2为同种电荷，设RQ＝r，则PR＝2r，有k＝k，q1＝4q2。选项B正确。 【典型例题2】在x轴上固定有两个正、负点电荷，一个带电荷量为＋Q1、一个带电荷量为－Q2(Q1>0、Q2>0)，用E1表示Q1在x轴上产生的电场强度大小，E2表示Q2在x轴上产生的电场强度大小．当Q1>Q2时，E1＝E2的点有两个，分别为M点和N点，M、N两点距Q2的距离分别为r1和r2，如图所示．则当的比值增大时(　　) A．r1、r2都减小 B．r1、r2都增大 C．r1减小，r2增大 D．r1增大，r2减小 【答案】A 【解析】设Q1、Q2两点电荷之间的距离为L，x轴上M、N两点的电场强度大小相等，则k＝k，k＝k，解得r1＝，r2＝，当的比值增大时，r1、r2都减小，故A正确，B、C、D错误． 【典型例题3】如图所示，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则(　 　) A．两点电荷都带正电 B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电 C．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 D．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 【答案】C 【解析】若两点电荷都带正电，则两点荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，选项A错误；若A点的点电荷带负电，则A电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷带正电，则C电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，选项B错误；分析可知A点电荷带正电，C点电荷带负电，如图所示，则cos 30°＝。设AC＝L，则AB＝L，BC＝2L，EA＝k，EC＝k解得＝，选项C正确，D错误。 【变式训练2-1-1】真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　) A.x0 B.(2－1)x0 C.2x0 D.(2＋1)x0 答案　B 解析　由于两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，则Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷电场强度公式和电场强度叠加可得＝，又Q2＝8Q1，解得L＝(2－1)x0，故B正确。 【变式训练2-1-2】如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为(　 　) A．E B．E C．E D．E 【典例1a拔尖题】【答案】D 【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝k可知，B、C处所放正电荷在A处的电场强度大小相等，设为E1，两电荷的合电场强度方向竖直向上，由于A点的电场强度刚好为零，故匀强电场方向竖直向下，满足2E1cos 30°＝E；若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则两电荷的合电场强度大小等于E1，方向水平向左，与匀强电场叠加后，A点的电场强度大小为E′＝，联立可解得E′＝E，故D正确。 【变式训练2-1-3】如图，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场图中未画出，电场强度大小为E。坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形。若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电场强度恰好为零。则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为       A. E B. C. D. 【答案】B 【解析】解：C点三个电场方向如图所示：根据题意可知：，又知道：，故解得：，故B正确，ACD错误。故选B。   【变式训练2-1-4】（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 【答案】BD 【详解】A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持平衡。 设与线段交点为点，由几何关系 解得 因此有， 根据正弦定理，对甲有 对乙有 因为 是一对相互作用力，可得 A错误； B．根据点电荷场强公式，由场强叠加知识，可知C到D之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，若有一正试探电荷从C运动到D的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C点电势高于D点电势，B正确； C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在点带电量为的正点电荷的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等，方向相同。但是点带电量为的正点电荷在E、F两点的电场强度不同。E、F两点电场强度大小不同，C错误； D．电势是标量，与线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。 故选BD。 【变式训练2-1-5】如图所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像如图乙和沿y方向的电场强度 Ey随θ变化的图像如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所带电荷量之比为1：1 B．小球A、B 所带电荷量之比为1：2 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先减小后增大 【答案】B 【详解】AB．由乙、丙两图可知，当时，小球B在O点正上方，此时，，则说明小球A一定在y轴上固定；当θ=0时，，，小球B在O点正右侧，由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离r相同，此时有， 则小球A、B所带电荷量之比为，故A错误，B正确； CD．盘中心O处的电场强度为小球A 和小球B在O点产生的场强的矢量和，随着小球B从θ=0转到2π的过程中，和大小都不变，且方向一直沿轴负方向，方向从轴负方向逆时针旋转一周，则和的夹角从先减小到，再增大到，接着减小到，根据平行四边形定则可知，小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小再增大，故CD错误。 故选B。 （二）3个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 【答案】B 【解析】处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝k，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向． 【典型例题2】如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)(　 　) A．，方向向右　　 B．，方向向左 C．，方向向右 D．，方向向左 【答案】D 【解析】当负点电荷在H点时，F点处电场强度恰好为零，根据公式E＝k可得负点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝k，方向水平向左，故两个正点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝k，方向水平向右；负点电荷移到O点，在F点产生的电场强度大小为E1＝k，方向水平向左，所以F点的合场强为k－k＝k，方向水平向左，故D正确，A、B、C错误． 【变式训练2-2-1】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形为三角形的中心，当棒所带电荷量均为棒带电荷量为时，点的电场强度大小为，现将棒取走，棒的电荷分布不变，则取走棒后，点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB、AC棒带电完全相同，在P点产生的电场强度大小相同，由于两个带电棒都关于过P点的轴对称，因此两个带电棒在P点的电场方向都是沿着棒的垂直平分线过P点斜向下，又两个电场方向互成120°角，则AB棒和AC棒在P点产生的合电场强度大小等于AB棒在P点产生的电场强度大小。BC棒在P点产生的电场强度是AB棒和AC棒在P点产生的合电场强度的2倍，因P点的合电场强度大小为，所以BC棒在P点产生的电场强度为，若取走BC棒后，P点的电场强度大小为。故选A。 【变式训练2-2-2】如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　 　) A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q 【答案】B 【解析】(a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝，方向由点(a，a)指向点(0，2a)，如图所示。因在距P点为a的某点处放置的正点电荷Q，使得P点电场强度为零，此正电荷Q应位于(0，2a)点，且电荷量Q满足＝，解得Q＝2q，B正确。 【变式训练2-2-3】(多选)如图所示，a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有(　　) A.d点电场强度的方向由O指向d B.O点电场强度的方向由d指向O C.d点的电场强度大于O点的电场强度 D.d点的电场强度小于O点的电场强度 【答案】AD 【解析】a、c两点的点电荷在d点的合电场强度的方向由O指向d，b点的点电荷在d点的电场强度的方向由O指向d，所以d点的电场强度的方向是由O指向d，选项A正确；同理，O点的场强的方向也是由O指向d，选项B错误；设菱形的边长为L，则a、c两点的点电荷在d点的电场沿Od方向的分量均为EOd＝cos 60°＝，故d点的电场强度为Ed＝2×＋＝；a、c两点的点电荷在O点的合场强为0，故O点的电场强度为EO＝＝，所以Ed＜EO，选项C错误，D正确。 （三）多个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度(　 　) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 【答案】C 【解析】一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝＝，方向竖直向下，故选C. 【变式训练2-3-1】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有（ ） A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【答案】D 【解析】两个等量同种电荷在其连线的中点处的合场强为零，两个等量同种正电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向远离正电荷的方向，两个等量同种负电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向负电荷的方向。在正方体的上面中心，上面的四个电荷分成两组产生的场强都是零，下面的四个电荷分成两组产生的场强等大反向，所以正方体的上面中心处的合场强为零，同理所有各面中心处的合场强都为零。在体中心，可以将八个电荷分成四组，产生的合场强为零。而在各边中心，场强无法抵消，合场强不为零，故选D。 【变式训练2-3-2】(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是(　　) A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零 B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点 C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功 D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上 【答案】ACD　 【解析】由对称及电场叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部各点电场强度处处不为零，故A正确．分析可知O点电场强度等于零，由对称及电场叠加原理可知，除O点外，菱形内部的电场强度为零的点都是成对出现的，所以在菱形内部不可能只存在两个电场强度为零的点，故B错误．当y0＝8l时，由对称性可知点(0，－3l)和点(0，3l)的电势相等，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)和从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做功相同，由等量同种点电荷形成的电场的特点可知，在x、y正半轴上的两个点电荷形成的电场中，点(4l，5l)和点(0，3l)是两点电荷连线的中垂线上对称的两点，电势相等，所以将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力不做功；在x负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；在y负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；综上所述，当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移到点(0，－3l)，电场力做正功，故C正确．当y0＝4l时，x、y正半轴的两个点电荷在点(l，l)处的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，大小为·，x、y负半轴的两个点电荷在点(l，l)的合场强与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，大小为·，故该点的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，负点电荷受到的电场力与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，故D正确． 【变式训练2-3-3】如图所示，一个绝缘圆环，当它的段均匀带电且电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电，而另一半圆ADC均匀带电，则圆心O处电场强度的大小和方向为 A. ，方向由O指向D B. 4E，方向由O指向D C. ，方向由O指向B D. 0 【答案】A 【解析】当圆环的均匀带电，电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E， 当半圆ABC的带电，由如图所示的矢量合成可得，在圆心处的电场强度大小为，方向由O指向D；当另一半圆ADC均匀带电，同理，在圆心处的电场强度大小为，方向由O指向D；根据矢量的合成法则，则有：圆心O处的电强度的大小为，方向由O指向D，故A正确，BCD错误。故选A。   题型03：点电荷与匀强电场的叠加 【典型例题1】带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是(　　) A．这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的，很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场 B．电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度 C．电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度 D．若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板 答案　D 解析　由于这种平行金属板形成的电场的电场线不是等间距的平行直线，所以不是匀强电场，选项A错误．从电场线分布看，A处的电场线比B处密，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，选项B、C错误．A、B两点所在的电场线为一条直线，电荷受力方向沿着这条直线，所以若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板，选项D正确． 【典型例题2】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1 【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量 则速率为v时受阻力 则当油滴匀速下落时 解得可知则 （2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得 其中 对b由受力平衡可得 其中 联立解得 【变式训练3-1】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查库仑定律、受力分析以及共点力的平衡。 【详解】AB．由题图可知，对小球M受力分析如图（a）所示，对小球N受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，故B正确，A错误； CD．由几何关系可知，两小球之间的距离为 当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得 两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得 整理解得 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练3-2】（（多选）如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，O点固定一带电量为Q（Q>0）的点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直．则（　　） A．A、C两点的场强方向相同 B．A、B、C、D四点，B点处的电场强度最大 C．C点的场强大小一定为0 D．D点的场强大小可能为0 【答案】BD 【解析】A．作出A、C两点的场强，如图所示 可知A、C两点的场强方向不相同，故A错误； B．点电荷和匀强电场在四个点产生的场强大小相等，根据平行四边形定则，可知当两个分场强的大小不变时，其合场强随它们夹角的减小而增大，因点电荷在B点产生的场强与匀强电场在B点的场强，方向相同，即夹角为零，故B点的电场强度最大，故B正确； C．根据平行四边形定则，可得C点的场强大小为 故C错误； D．当点电荷Q在D点的电场强度的方向与匀强电场方向相反，且大小相等时，则D点的电场强度大小可以为零，故D正确。 故选BD。 【变式训练3-3】（如图为水平匀强电场，一个质量为0.1㎏带电量为0.1C的带负电小球，用一根细线悬挂在 电场中，静止时悬线与竖直方向成370角．(sin37．=0.6   cos37．=0.8) 求: （1） 判断电场方向      （2）电场力的大小      （3）电场强度大小． 答案：（1）水平向右（2）0.75N（3）7.5N/C 解析：（1）负电荷受到向左的电场力，可知电场方向水平向右； （2）由受力图可知：F=mgtan370=0.1×10×0.75N=0.75N. （3）根据F=Eq可得 题型04：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 【典型例题1】如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（　　） A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大 B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大 C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0 D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0 【答案】BC 【详解】A．真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图 可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以 故A错误； B．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以 故B正确； CD．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即 因为ab连线上电场方向向右，所以 故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题2】如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强相同 B．a、b两点的电势相同 C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变 D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值 【答案】BD 【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A错误； B．由对称性和等势线可知，a、b两点电势相同，选项B正确； C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C错误； D．半圆上任一点，设与P点连线与夹角为， 则为定值。选项D正确。 故选BD。 【变式训练4-1】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【答案】C 【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知A错误； B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误； C．由于沿电场线电势降低，可知 根据 可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确； D．根据 可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。故选C。 【变式训练4-2】如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（　　） A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功 B．O点的场强小于N点的场强 C．N点的场强大小为 D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加 【答案】D 【详解】A．在圆形虚线上移动电荷时，左边正电荷对电荷的作用力与位移方向始终垂直不做功，右边负电荷对电荷的库仑力方向不可能与电荷的位移方向一直垂直，所以要做功，故在圆形虚线上移动电荷，电场力做功，A错误； B．根据图中的电场线分布示意图可知，O点的电场线比N点的电场线密集，所以O点的场强大于N点的场强，B错误； C．正负电荷在N点的场强大小分别为， 因为N点到负电荷的距离为，根据几何知识可知正负电荷在N点的场强方向夹角为，所以N点的场强大小为C错误； D．根据等量异种点电荷的电场线分布可知PQ的中垂线为一等势线且电势为0，故O点电势为0，N点电势为，所以把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加，D正确。 故选D。 【变式训练4-3】如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（　　） A．速度先增大，再减小 B．速度一直增大 C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大 D．加速度先减小，再增大 【答案】AD 【详解】根据等量负点电荷的电场线分布可知，在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，电场强度方向沿中垂线指向O点；若M、N相距较远，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度先变大后变小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，小球C的速度不断减小，加速度先变大后变小——具有对称性。如果M、N相距较近，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度越来越小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，速度不断减小，加速度越来越大。 故选AD。 【变式训练4-4】如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强与D点的场强相同 B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速 C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差 D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变 【答案】C 【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点，C、D 两点电场强度大小相等、方向想反，A错误； B．A、O间电场方向由A指向O，O、B间电场方向由B指向O，则质子将沿A、B直线先加速运动，再减速运动，B错误； C．根据等量同种电荷电势分布特点，可知 ，则即C正确； D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，电势始终降低，则电子的电势能始终增大，D错误。 故选C。 题型05：非点电荷电场强度的特殊计算方法 （1） 微元法 微元法：将均匀带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 【典型例题1】一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝　① 由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强EP＝k＝k　② 由对称性可知，各小段电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故 E＝nEx＝n··cos θ＝　③ 而r＝④ 联立①②③④式，可得E＝，D正确． 【典型例题2】如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，带电荷量为Q，其圆心为O点．有一带电荷量为q的小球恰能静止在O点正上方的P点，O、P间距为L，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角为θ，静电力常量为k.以下说法正确的是(　 　) A．P点电场强度大小为 B．P点电场强度大小为 C．P点电场强度大小为 D．P点电场强度大小为 【答案】D 【解析】将圆环分为n等份(n很大)，每等份均可看成点电荷，则圆环上每份电荷量q′(q′＝)在P点产生的电场强度的大小为E＝＝＝，由对称性可知，所有点电荷在P点水平方向上合场强为0，竖直方向上的合场强大小为E′＝cos θ＝，选项D正确，A、B、C错误． 【典型例题3】如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 【答案】A 【解析】把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为q＝，根据点电荷场强公式，点电荷在O1O2中点的场强为E＝，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的场强为E＝cos 45°，两个圆环在O1O2中点的合场强为E总＝，故A正确，B错误；带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误； 根据电场叠加原理，在O2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误． 【典型例题4】半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷．点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷．将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零．圆环上剩余电荷分布不变，q为(　 　) A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝ C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝ 【答案】C 【解析】取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，在O点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，又E′＝k，联立解得q＝，故选C. 【变式训练5-1-1】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球大小不计，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度的大小和方向为    A. 水平向右 B. 水平向左 C. 水平向左 D. 水平向左 【答案】D 【解析】AB、对小球受力分析如图所示，小球到圆环中心O距离为R，故L，，故由受力分析可知： 故：，方向向左，故AB错误；CD、小球处于圆环上的电荷所形成的电场中，由于圆环不能视为点电荷，可以取圆环上一小部分，这部分电荷看视为点电荷，其电荷量为，它在小球所做位置产生的电场强度，根据对称性，圆环上所有电荷产生的场强；故 ，圆环带正电，故电场方向水平向左；故C错误，D正确。故选D。   【变式训练5-1-2】如图所示，半径为R的两平行金属圆环竖直固定，两圆环各带等量的同种电荷，电荷量为Q且电荷分布均匀，两圆环中心连线O1O2与环面垂直，P、M、N为连线O1O2上的三个位置，且O1P＝PM＝MN＝NO2＝R。不计两圆环电荷间的相互影响，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.O1、O2两点场强为0 B.P、N两点的场强相同 C.P、N两点的电势不一定相等 D.P点的场强大小为 答案　D 解析　因为两圆环彼此在对方圆心处场强不为0，O1、O2两点场强均不为0，故A错误；P、N两点场强大小相等但方向不同，故B错误；根据对称性特点可知P、N两点是等势点，故C错误；P点的场强大小为E＝∑cos 45°－∑×，故D正确。 【变式训练5-1-3】如图所示，长为4l，倾角为37°的光滑绝缘细杆AD垂直穿过半径为l、带电量为－Q的固定大圆环圆心O，细杆上B、O、C三点等分细杆长度。现从细杆的顶端A无初速度地释放一个质量为m，带电量为＋q的套在细杆上的可视为点电荷的小滑环。已知静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，大圆环上的电荷均匀分布，小滑环上的电荷不影响电场分布，则下列说法正确的是（　　） A．大圆环在B点产生的场强大小为 B．小滑环在B点的加速度大小为 C．小滑环从B到C的过程中电场力所做的功为 D．小滑环在D点的速度大小为 【答案】D 【详解】A．由题意可知圆环上电荷分布均匀，取环上一点，设其电荷量为Q1，该点到B点的距离为，Q1在B点产生的场强为以O点为坐标原点，OA方向为正方向建立x轴，Q1在B点产生的场强在x轴方向的分量为大圆环在B点产生的场强大小 故A错误； B．小滑环在B点，由牛顿第二定律得解得故B错误； C．由对称性可知B、C两点电势相等小滑环从B到C的过程中电场力所做的功 故C错误； D．由对称性可得库仑力做功；从A到D，由动能定理得 解得故D正确。故选D。 【变式训练5-1-4】如图所示，有一均匀带正电的绝缘细圆环，半径为r、带电量为q。点P、Q、N把圆环分为三等分，现取走P、Q处两段弧长为的小圆弧。NO延长线交细圆环于M点，静电力常量为k，则在O点同定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力为（　　） A．方向由O指向N，大小为 B．方向由O指向N，大小为 C．方向由O指向M，大小为 D．方向由O指向M，大小为 【答案】A 【详解】由于圆环所带电荷量均匀分布，故长度为的小圆弧所带电荷量为 根据对称性，没有取走电荷时圆心 O点的电场强度为零，取走 P、Q两处的电荷后，圆环剩余电荷在 O点产生的电场强度大小等于P、Q处弧长为的小圆弧所带正电荷在O点产生的合场强大小，方向相反，则 P、Q处弧长为的小圆弧所带正电荷在O点产生的合场强沿ON方向，则取走 P、Q两处的电荷后， O点的电场强度沿OM方向。所以，在 O点固定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力大小为，沿ON方向。 故选A。 【变式训练5-1-5】三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【答案】B 【详解】+q在P点的场强为 方向与x轴夹角为45°斜向右下，圆环在P点的场强沿水平方向，因P点场强沿y轴负方向，可知圆环在P点的场强与点电荷+q在P点在x方向的场强的分量等大反向，可知圆环在P点的场强方向沿x轴负向，可知圆环带负电；圆环在P点的场强解得故选B。 【变式训练5-1-6】(多选)如图，水平面上有一水平均匀带电圆环，带电量为，其圆心为点。有一带电量，质量为的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在点正下方的点。间距为，与圆环边缘上任一点的连线与间的夹角为。静电力常量为，则带电圆环在点处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】AB．如图所示 选取圆环上某一小微元，所带电荷量为，该微元在点的场强大小为 由于整个圆环上所有带电微元在点的场强在水平方向的合成为零，故带电圆环在点处的场强大小为 A错误B正确； CD．小球恰能静止在点，根据受力平衡可得 解得带电圆环在点处的场强大小为C错误，D正确； 【变式训练5-1-7】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着正电荷，电量为+Q，x轴垂直于环面且过圆心O．在x轴上距圆心O距离s处有一点P，则 A．O点的电场强度为零，电势最低 B．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小 C．P点的场强大小 D．P点的场强大小 【答案】BD 【详解】A．圆环上均匀分布着正电荷，根据对称性可知，圆环上各电荷在O点产生的场强相互抵消，合场强为零．圆环上各电荷产生的电场强度在x轴有向右的分量，根据电场的叠加原理可知，x轴上电场强度方向向右，根据顺着电场线方向电势降低，可知在x轴上O点的电势最高．故A错误． B．O点的场强为零，无穷远处场强也为零，所以从O点沿x轴正方向，场强应先增大后减小．故B正确． CD．设圆环上足够小的圆弧上的电量为q′的电荷，在x轴上P点产生的沿x轴上的场强为：，其中，，根据数学知识求和可得P点的场强大小：故C错误，D正确． 【变式训练5-1-8】N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) 答案　　沿OP指向P 解析　P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝，方向沿OP指向P. （2） 等效法 【知识思维方法技巧】 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 如图甲、乙所示，把一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场。 【典型例题1】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形ABC，P为三角形的中心，当AB、AC棒所带电荷量均为，BC棒带电荷量为时，P点场强大小为E，现将BC棒取走，AB、AC棒的电荷分布不变，则取走BC棒后，P点的场强大小为 A. B. C. D. E 【答案】C 【解析】AB、AC棒带电完全相同，相对P点位置等距，故这两带电棒在P点产生的电场强度大小相同，两个带正电的棒在P点的电场方向都是沿着棒的垂直平分线从P点向外方向，二个电场方向互成角，故二者在P点产生的场强大小与各自在P点产生的电场强度大小相同，方向垂直于BC，并指向BC棒的位置；根据点电荷的电场强度公式，则BC棒在P点的电场强度与AB棒在P点的电场强度大小相等，由于BC棒带负电，故其在P点的场强方向也是垂直于BC棒并指向BC棒。因P点合场强大小为E，所以BC棒在P点产生的电场强度大小为，故若取走BC棒后，P点的场强大小为，故C正确，ABD错误。 故选C。  【典型例题2】如图甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布，P在点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的，图乙中两异号点电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线，由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(k为静电力常量)，其中正确的是(　　) A. B. C. D． 【答案】A　 【解析】根据P点的电场线方向可以得P点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，乙图上＋q右侧d处的场强大小为E＝k－k＝k，根据题意可知，P点的电场强度大小与乙图上＋q右侧d处的场强大小相等，即为k，故A正确，B、C、D错误。 【典型例题3】如图所示，a、b、c、d、e、f六点把绝缘均匀圆环平均分成六部分，其中圆弧af、bc带正电，圆弧de带负电，其余部分不带电，单位长度圆弧所带电荷量相等。圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小为E。则圆心O处的合电场强度大小为(　　) A．0 B.E C．E D．2E 【答案】D 【解析】因单位长度圆弧所带电荷量相等，所以圆弧af、bc、de所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小相等，都等于E；圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠dOc的角平分线，圆弧bc所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠fOe的角平分线，圆弧de所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠dOe的角平分线，两两夹角为60°，如图所示，根据平行四边形定则可知圆心O处的合电场强度大小为2E，选项D正确。 【变式训练5-2-1】一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置。如图13所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则(　　) A.a点的电场强度大小为E＝4k B.a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小 C.b点的电场强度和c点的电场强度相同 D.一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零 【答案】B 【解析】由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝k＋k＝，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势大于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。 【变式训练5-2-2】电荷量为荷O，金属板右侧空间的电场分布如图甲所示，P点是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中是两等量异种点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( 　　) A．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【答案】C 【解析】由题意可知，从乙图可以看出，P点处的电场方向为水平向左；由图乙可知，带等量异种电荷的两点电荷在P点电场的叠加情况，其场强大小为E＝2kcosθ＝2k·＝2k，故选项C正确。 【变式训练5-2-3】电荷量为的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d，图中P点到金属板和点电荷间的距离均为已知P点的电场强度为，则金属板上感应电荷在P点处产生的电场强度E的大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】电荷量为的点电荷在P点产生的场强为，方向向右；金属板上感应电荷为负电荷，在P点处产生的电场强度方向也向右，大小设为E，根据电场的叠加知，故C正确，ABD错误。 故选C。 【变式训练5-2-4】经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示），与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据B点的电场线方向可以得B点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图上+q右侧B处的场强大小为 故A正确，BCD错误。 【变式训练5-2-5】如图，四根彼此绝缘的均匀带电导线a、b、c、d围成一个正方形线框，线框在正方形中心O点产生的电场强度大小为E0，方向竖直向下；若仅撤去导线c，则O点场强大小变为E1，方向竖直向上，则若将导线c叠于导线a处，则O点场强大小变为(　　) A．E1－E0 B．E1－2E0 C．2E1＋E0 D．2E1 【答案】C 【解析】正方形线框在O点产生的电场方向竖直向下，则表明左右带电导线在O点产生的电场强度为零．a、c产生的电场强度竖直向下．撤去c，O点处的场强竖直向上，表明a带负电，c带负电，则c在O点产生的电场强度为Ec＝E1＋E0，将c叠于a处，则O点处场强大小为E′＝2E1＋E0. 【变式训练5-2-6】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上．移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变．关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　　) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 【答案】A 【解析】根据对称性与电场叠加原理可知，移去a处绝缘棒前O点电场强度为0，则移去a处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，设每根长棒在O点产生的电势为φ0，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在O点产生的电势为4φ0，现在撤去a处的绝缘棒后，其他三棒在O点产生的电势为3φ0，故O点的电势减小，故选A. 【变式训练5-2-7】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为(　　) A.，水平向右 B.，水平向左 C.，水平向右 D.，水平向左 【答案】　A 【解析】　如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为E′。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′。则O点的合场强E＝2E′，则E′＝，所以圆弧BC在圆心O处产生的场强为，方向水平向右，故A正确，B、C、D错误。 【变式训练5-2-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为的圆环，为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上处取下足够短的带电量为的一小段，将其沿连线向下移动的距离到点处，设圆环的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为，若此时在点放一个带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】线框上的电荷在O点产生的场强等效为q电荷在O点产生的电场强度 方向竖直向下，在F点电荷量为q的电荷在O点产生的电场强度为 方向竖直向上，此时O点的场强为 方向竖直向下，则带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小 故C正确，ABD错误。故选C。 【变式训练5-2-9】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A.k B.k C.k D.k 答案　D 解析　该电场可等效为z轴h处与－h处的等量异种点电荷产生的电场，如图所示， 则在z＝处的电场强度大小为E＝k＋k＝k，故选项D正确。 【变式训练5-2-10】磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架，细胞膜上的离子泵可以输运阴阳离子，使其均匀地分布在分子层上，其结构示意如图所示。已知无限大均匀带电薄板周围的电场为匀强电场，静电力常量为，介质的相对介电常数为，细胞膜的面积；磷脂双分子层可视为两片平行的带电薄板，板间充满介电常数为的介质。初始时，两板不带电，间距为。现通过离子泵使两板分别带上电荷和，两板间产生静电吸引力，导致间距变化，已知单层无限大带电板的电场强度大小为，关于两板间的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．当系统处于平衡状态时， B．当系统处于非平衡状态时， C．当系统处于平衡状态时， D．当系统处于非平衡状态时， 【答案】C 【详解】由题意，已知单层无限大带电板的电场强度大小为。两极板带电荷和时，根据场强叠加原理，则两极板间的电场强度大小为 不管系统是否处于平衡状态，只要两极板带电荷和，根据场强叠加原理，两板间的电场强度都是由两板各自产生的电场叠加而成，其大小均为。 故选C。 【变式训练5-2-11】一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个电荷在球心O处产生的电场强度大小相同。对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为 El＞E2 因电荷Q在球心O处产生的场强大小 则 故A正确，B错误； CD．对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等，即 E3＝E4 由于方向不共线，由合成法则可知 故C错误，D正确。 故选AD. （3） 对称法 【知识思维方法技巧】 利用带电体电荷分布具有对称性或者带电体产生的电场具有对称性的特点求合场强，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向。 【典型例题1】如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 答案　C 解析　若点电荷带正电，则点电荷会向背离O点方向运动，选项A错误；若点电荷带负电，则点电荷会向O运动，加速度可能先增加后减小，也可能一直减小，但是速度一定越来越大，选项B错误；若点电荷能越过O点，则根据能量关系以及对称性可知，点电荷一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零，选项C正确；若点电荷能运动到O点，此时加速度为零，速度达到最大值，选项D错误． 【典型例题2】如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反， 即。由于d点和b点相对于圆盘是对称的，因此Q在d点产生的电场强度。d点处的合电场强度，故B正确。故选B。 【典型例题3】如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，则带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度正确的是（　　） A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左 C．大小为，方向向左 D．大小为，方向向右 【答案】B 【解析】图中A点的电场强度为0，则带电薄板在A点的场强与点电荷q在A点的场强等大反向，则带电薄板在A点的场强大小 方向向右，由对称性可知，带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度 方向向左。故选B。  【典型例题4】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于一过球心的倾斜平面将球面分为两部分，其中则所分出的较小这部分部分的电荷在O处的电场强度E为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】假设将半球面分成三等分，这三等分球面在O处产生的电场强度大小相等。根据对称性，作出半球面上三个部分的电荷在O点产生的电场强度、、，如图乙所示。显然，三个电场强度的矢量和为，则，故B正确，ACD错误；故选B。 【典型例题5】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圆环面且过圆心O的轴线上有A、B、C三个点，C和O、O和A间的距离均为d，AB间距离为在B点处有一电荷量为的固定点电荷．已知A点处的场强为零，k为静电力常量，求： 带电圆环在O点处的场强大小； 点处场强． 【解析】圆环上关于圆心对称的两小段圆弧上的电荷在O点处产生的场强大小相等、方向相反，其合场强为零，则带电圆环在O点处的场强为． 点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆环和B点处点电荷在A点处产生的场强大小均为： 、两者方向相反 根据对称性可知，带电圆环在C点处产生的场强大小为 、方向沿OC向外 B处点电荷在C点处产生的场强大小为 、方向沿OC向外 则C点处场强 解得、方向沿OC向外． 【变式训练5-3-1】ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 【答案】D 【解析】可从电场叠加角度分析，把均匀带电细杆等效为沿杆放置的无数点电荷．则设c为a关于P1对称的点，则ac间的电荷在P1点产生的电场场强为零，ab杆上电荷在P1处产生的场强可等效为cb段电荷在P1处产生的场强．而P2处场强是ab上所有电荷产生电场的叠加，所以两点场强方向必定相反，由对称性可知，cb段电荷在P1点和P2点产生的场强大小相等，而P2点场强大小等于ac，cb两段电荷在P2点产生场强大小之和．故E1<E2. 【变式训练5-3-2】一半径为R的绝缘球体上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，以球心为原点O建立坐标系，如图所示，在x＝3R的D点有一电荷量为q的固定点电荷，已知在x＝2R的C点电场强度为零，静电力常量为k。则下面说法正确的是(　　) A．D点点电荷带负电 B．O点电场强度为零 C．F点电场强度大小为 D．从B点到D点，电势先升高后降低 【答案】C 【解析】因为C点的电场强度为零，故D点为正电荷，故选项A错误；均匀带电绝缘球体在球心O处产生的电场强度为零，即O点的电场强度源自D点电荷产生的电场强度EO＝，故选项B错误；均匀带电绝缘球体在其周围形成的电场具有对称性，因此均匀带电绝缘球体在C点与F点产生的场强大小相等，方向相反，即EC＝EF，又因为在C点合场强为零，则有EC＝，在F点合场强大小为EF＝＋＝，故选项C正确；C点处电场强度为零，则从B到C电场线向右，从C到D电场线向左，故从B点到D点，电势先降低后升高，故选项D错误。 【变式训练5-3-3】半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为(　　) 图5 A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 答案　C 解析　取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，剩余圆环上的电荷在O点产生的电场强度与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和相等，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，在O点产生的电场强度大小为E′＝k，E′＝E，解得q＝，故C正确。 【变式训练5-3-4】图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图 把材料按圆分成均等份，假设圆环带正电荷，每一份产生的电场强度如图。由对称性可知，左边图有两部分抵消了，其中一部分产生的电场强度即为合电场强度E。而右边的图没有抵消，由平行四边形定则结合对称性得O点的场强 故选C。 【变式训练5-3-5】在一半径为R的圆周上均匀分布有N个绝缘带电小球(可视为质点)无间隙排列，其中A点的小球带电荷量为+4q，其余小球带电荷量为+q，此时圆心O点的电场强度大小为E，现仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为 A．大小为E，方向沿AO连线斜向下 B．大小为E/2，方向沿AO连线斜向下 C．大小为E/3，方向沿OA连线斜向上 D．大小为E/4，方向沿OA连线斜向上 【答案】C 【解析】假设圆周上均匀分布的都是电荷量为+q的小球，由于圆周的对称性，根据电场的叠加原理知，圆心O处场强为0，所以圆心O点的电场强度大小等效于A点处电荷量为+3q的小球在O点产生的场强，则有，方向沿AO连线向下；A处+q在圆心O点产生的场强大小为，方向沿AO连线向下；设其余小球带电荷量为+q的所有小球在O点处产生的合场强为，方向沿AO连线向上；故仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为，方向沿AO连线向上。故选C。 【变式训练5-3-6】如图所示，一固定的均匀带电圆环，圆心为O，带电量为Q。MN为垂直于圆环的轴线，M、N两点距圆心均为r。在圆心正下方2r的位置固定一电量为+q的小带电体。在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止。不计试探电荷的重力，静电力常量为k。则N点的电场强度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止，即M点场强为零。 电量为+q的小带电体在M处产生电场强度为方向向上。 根据电场的叠加原理，带电圆环与小球在M处产生电场强度大小相等，方向相反，所以带电圆环在M处产生的电场强度大小方向向下 根据对称性可以知道带电圆环在N处产生的电场强方向向上 电量为+q的小带电体在N处产生电场强度为方向向上 所N点处场强的大小为故选D。 【变式训练5-3-7】如图所示，一电荷量为的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且，在a点处有一电荷量为的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】a点处的电荷量为的点电荷在b处产生的电场强度为，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为，方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为，方向向右；而电荷量为的点电荷在d处产生的电场强度为，方向向右，所以d点处场强的大小为，方向向右，故A正确，BCD错误。故选A。   【变式训练5-3-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为k，若此时在O点放一个带电荷量为Q的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的静电力大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　圆环上的电荷在O点产生的电场强度大小等效为电荷量为q的一小段在E处时在O点产生的电场强度大小，为E1＝＝，方向竖直向下，电荷量为q的一小段在F点时，在O点产生的电场强度大小为E2＝＝，方向竖直向上，此时O点的电场强度大小为E＝E1－E2＝，方向竖直向下，则带电荷量为Q的带正电的试探电荷在O点受到静电力的大小F＝EQ＝，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练5-3-9】北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，裹运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（　　） A. ab两点电势差大于bc两点电势差 B. a、c两点的电势相等 C. b、d两点的场强相等 D. 正的试探电荷从b点到d点电势能增加 【参考答案】C 【名师解析】 根据对称性可知，ab两点间与bc两点间电场强度的平均值相同，则ab两点电势差等于bc两点电势差，故A错误； 由图可知，电场方向由a到c，由于沿着电场线，电势降低，因此a点电势比c点电势高，故B错误； 根据对称性可知，b、d两点的场强大小相等，方向相同，故C正确； 根据对称性可知，b、d两点所在直线为等势线，则b、d两点的电势均为零，则正的试探电荷从b点到d点电场力做功为零，电势能不变，故D错误。 【变式训练5-3-10】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【参考答案】A 【名师解析】 先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为 左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则 故选A。 【变式训练5-3-11】如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ） A. ，水平向右 B. ，水平向右 C. ，水平向左 D. ，水平向右 【答案】B 【解析】 由于a点的电场强度为零，则带电矩形薄板在a点的电场强度E1与点电荷在a点的电场强度大小相等，方向相反，有 由对称性可知，带电矩形薄板在b点的电场强度大小也为E1，方向水平向右，与点电荷在b点的电场强度叠加，则b点处的电场强度方向水平向右，大小为 故选B。 【变式训练5-3-12】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，半球面总电荷量为q，球面半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，且。已知N点的场强大小为E，如果把半球面改为带总电荷量为，则M点的场强大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先在图中加一个带电荷量为的半径为R的球面，由于左半部分与带正电的半球面中和，相当于一个带的右半个球面，其在N点产生的电场强度为原来的和新加的共同产生，为，因为2q产生的绝对值大，这个数值和改为带电荷量为在M点产生效果一样，故选C。 【变式训练5-3-13】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电荷量，由于，故可视为点电荷，它在O点产生的场强大小为。由对称性可知整个圆环在O点的场强，则存在缺口时在O点的场强大小，即，故选项C正确。答案  C 【变式训练5-3-14】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上相同的正电荷．现将电荷量为Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为k为静电力常量，不考虑绝缘细棒之间及绝缘细棒与Q的相互影响      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据对称性可知，AF与CD上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和为零，AB与DE上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和为零．BC中点的点电荷在O点产生的电场强度的大小为，由题意分析可知EF上的细棒与BC中点的点电荷在O点产生的电场强度的矢量和为零，则EF上的细棒在O点产生的电场强度的大小也为，故每根细棒在O点产生的电场强度的大小都为，移走点电荷及AB边上的细棒，O点的电场强度为EF与DE上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和，即，D正确． 【变式训练5-3-15】如图所示，分别带均匀正电的三根绝缘棒AB、BC、CA构成正三角形，现测得正三角形的中心O点的电势为，场强的方向背离B，大小为E，当撤出AB、BC，测得中心O点的电势为，场强的大小为，规定无限远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A. 撤去AC，则中心O点的场强大小为 B. 撤去AC，则中心O点的电势为 C. AB在中心O点的场强大小为 D. AB在中心O点的电势为 【参考答案】A 【名师解析】 根据对称性，AC在O点的场强指向B点，三个棒状体都存在，O点的场强E的方向背离B，可得AB与BC的带电量相等，AB与BC在O点的合场强（设大小为）背离B点，根据矢量的合成可得 解得即撤去AC，中心O点的场强大小为，故A正确； B．设AB与BC在O点的电势为，则有解得即撤去AC，中心O点的电势为，故B错误； AB、BC在中心O点的场强大小相等、方向成角，可得AB在中心O点的场强大小等于，即，故C错误； AB、BC在中心O点的电势相等，可得AB在中心O点的电势为 故D错误。 【变式训练5-3-16】如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】B点C点的电荷在M的场强的合场强为 因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强，由对称性可知带电细杆在A点的场强为，方向竖直向上，因此A点合场强为 故选D。 【变式训练5-3-17】如图所示，半径为均匀带电球体的球心和均匀带电圆环圆心相距，其连线垂直于圆环所在平面，、为该连线上两点，分别位于圆环左右两侧，且。已知带电球体的电荷量为，静电力常量为点的电场强度为0。现将小球向左移动，使球心与点重合，移动过程中没有发生电荷的转移，则带电球体移动以后点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设均匀带电圆环在点产生的场强为，均匀带电球在点产生的场强为 已知初始时点的电场强度为0，则与等大反向，则 且带电圆环和带电球应带有同种电荷。设同时带正电荷，带电圆环在点产生的场强方向向右，根据对称性，在点产生的场强大小，方向向左； 当把带电球移到点，带电球在点产生的场强，方向向左； 此时的合场强大小 同理可得，环和球同时带负电荷时，的合场强大小也为。故选B。 【变式训练5-3-18】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P'点场强大小为 C．金属带电小球的电量为 D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右 【答案】C 【解析】A．根据对称性可知，带电量Q的圆环，在圆心O点场强为0，带电金属小球在O点的场强不为0，所以O 点的场强不为零，故A错误； B．设细线与半径的夹角为θ，由几何关系 θ=60° 由微元法，无限划分，设每一极小段圆环带电量为Δq，则 其中 ∑Δq=Q 解得 根据对称性可知，带电量为Q的圆环，在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的圆环在P′点的场强大小为，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′的电场强度的叠加，所以 故B错误； C．对小球受力分析如图，则 解得 选项C正确； D．剪断细线瞬间，小球受合外力沿细线方向斜向右下，则加速度方向斜向右下方，选项D错误。 【变式训练5-3-19】如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A．k　 B．k　　 C．k　　 D．k 【答案】C 【解析】设想将线框分为n个小段，每一小段都可以看成点电荷，由对称性可知，线框上的电荷在O点产生的场强等效为与A点对称的电荷量为q的电荷在O点产生的场强，故E1＝＝，B点的电荷在O点产生的场强为E2＝，由场强的叠加可知E＝E1－E2＝. 【变式训练5-3-20】如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为 方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为 方向水平向右，则点的合场强大小为 方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为 故选D。 【变式训练5-3-21】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度大小为（　　） A．E=E0sinα B．E=E0cosα C． D． 【答案】D 【解析】根据对称性，待求的电场强度E一定沿着α角的角分线向右下方，同理大瓣球面在O点的电场强度一定沿着大瓣的角分线向左下方，由于是半个球面，所以这两个电场强度一定垂直，合场强等于E0，根据平行四边形法则作图 D正确，ABC错误。 故选D。 【变式训练5-3-22】如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的场强大小为E1，右半部分在A2点的场强的大小为E2，则有   (       ) A．E1= E2 B．E1<E2 C．E1>E2 D．大小无法确定 【答案】C 【解析】如图甲所示 分开后左部分球冠所带电荷在点A1产生的场强以E1表示，右部分球层面电荷在A2产生的场强以E2表示，由对称性可知E1的方向向右，E2的方向向左。 如图乙所示 设想在另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，球缺在A2点产生的电场强度E3大于E2，球缺和球冠构成一个完整球，由于均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，那么，E1与E3必然大小相等，方向相反，所以球冠面电荷在点A1产生的场强E1大于球层面电荷在A2产生的场强E2，故C正确，ABD错误。故选C。 【变式训练5-3-23】如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为 。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为，C正确；ABD错误； 故选C。 【变式训练5-3-24】经过理论推理可知，两个大小不能忽略的带电均匀的半球面，相互作用力产生的压强为P=Eσ,其中E为场强，σ为单位面积上的电荷量，已知半径分别为R和r的带电均匀的半球，其带电量分别为Q和q，两半球的球心及最大横截面重合，两个半球之间的作用力大小为     （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】ABCD.如图(1)所示，表示两个带同种电荷两半球受力方向，如果对大半球补加半径为R的带电量为Q右半球，如图(2)所示，那么小半球所受力将变为零，因为带电球体内场强为零，由此可见，大球左、右两部分对小球的作用力大小相等，方向相反.      现在对小半球补加半径为r的带电量为q左半球，如图（3）所示，那么小半球左右两部分对大半球的作用力大小相等，方向相同。于是小球对大半球的作用力大小为2F，小球的电场在大半球表面处的场强（如图4所示）大小为 大半球表面上单位面积上的电荷量 大半球所受合力的大小等于大半球的平面上的电场力的大小，即 由于F合=2F，于是所求力的大小为 故D正确ABC错误。 故选D。 【变式训练5-3-25】半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷．如图所示，在A、B两处分别取走弧长为的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，、分别是A、B间两段圆弧的中点，已知，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的场强的大小和方向为（    ）    A．，由O指向 B．，由O指向 C．，由O指向 D．，由O指向 【答案】A 【详解】假设把取走的电荷放置到原位置，两处的电荷在点的电场强度分别为 两处的电荷在点的合电场强度为方向由指向，整个圆环在点的合场强为0，则圆环上剩余的电荷的场强的大小为方向由指向，综合可得故选A。 【变式训练5-3-26】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【答案】D 【详解】分别画出正、负电荷产生的电场强度的方向如图 由图可知，O点与P点的合场强的方向都向下，同理可知，在OP的连线上，各点的合场强的方向均向下； A．O点到两处电荷的距离比较小，所以两处电荷在O点产生的场强都大于在P处产生的场强，而且在O点出两处电荷的场强之间的夹角比较小，所以O点的合场强一定大于P点的合场强，故A错误； B．根据对称性可知OP连线是一条等势线，故B错误； CD．由于OP连线是一条等势线，将一正试探电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功，电势能不变，故C错误，D正确；故选D。 【变式训练5-3-27】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（　　） A．k B．k C．k D．k 【答案】B 【详解】在z轴上处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和；q在处产生的场强为 E1＝k 由于导体远端离处很远，影响可以忽略不计，故导体在处产生场强近似等于近端在处产生的场强；处合场强为0，故导体在处产生场强大小 E2＝E1 方向向上。根据对称性，导体近端在处产生的场强也为E2，方向向下。 电荷q在处产生的场强为 E3＝k 方向向下。 故在处的合场强为 E＝E2+E3 方向向下。B正确。 故选B。 【变式训练5-3-28】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有 (　　) A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 解析：选D.根据点电荷场强公式E＝及正方体的对称性可知正方体的体中心点及各面的中心点处场强为零，故答案为D. 【变式训练5-3-29】如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E [解析]　假设圆弧带电体ABC带正电，根据电场的叠加规律可知ABC在P点产生的电场强度方向沿BP连线向下；AB段产生的场强沿AB中点与P点连线向下，BC段产生的场强沿BC中点与P点的连线向上，并且AB和BC段在P点产生的电场强度大小相等；而P点处总的电场强度为AB和BC段单独产生的电场强度的合场强，如图所示，根据几何关系可知E＝2EABcos 30°，解得AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小EAB＝，故C正确，A、B、D错误。 [答案]　C 【变式训练5-3-30】电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（　　） A．圆形薄板所带电荷量为+Q B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左 C．B点的电场强度大小为，方向水平向右 D．B点的电场强度大小为，方向水平向右 【答案】BD 【详解】AB．A点的电场强度为零，而点电荷在A点产生的场强为 ，方向水平向右 则可知圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左，知圆形薄板带正电；若圆形薄板所带电荷量集中在圆心O，则电荷量大小应为，而实际上圆形薄板的电荷量是均匀分布在薄板上的，除了圆心O处距离A点的距离与点电荷距离O点的距离相同外，其余各点距离O点的距离都大于，若将电荷量均匀的分布在薄板上，则根据点电荷在某点处产生的场强公式 可知，合场强一定小于，因此可知圆形薄板所带电荷量一定大于+Q，故A错误，B正确； CD．B点关于O点与A点对称，则可知圆形薄板在B点产生的电场强度为 ，方向水平向右 而点电荷在B点产生的场强为 ，方向水平向右 则根据电场强度的叠加法则可得B点得电场强度为 ，方向水平向右 故C错误，D正确 故选BD。 【变式训练5-3-31】现有两个边长不等的正方形ABCD和abcd，如图所示，且Aa，Bb，Cc，Dd间距相等．在AB，AC，CD，DB的中点分别放等量的正点电荷或负点电荷．则下列说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度和电势均为零 B．把一负点电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零 C．同一点电荷在a、d两点所受电场力相同 D．将一正点电荷由a点移到b点电势能减小 【答案】BCD 【解析】据电荷分布的对称性可知道，ad方向的电场方向由a指向d，bc为等势线，电势为零，即bc电势相等，电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零，选项A错误，B正确；据电荷分布的对称性可知道同一点电荷在a、d两点所受电场力大小、方向均相同，选项C正确；bc为等势线，b、O电势相等，正点电荷由a点到b点可认为是a到O，电场力做正功，电势能减小，选项D正确． 【变式训练5-3-32】离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获和囚禁在一定范围内的装置。如图为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图，a、b、c、d是四根平行杆，他们与带有直流电压和叠加的射频电压相连，相当于四个电极，相对的电极带等量同种电荷，相邻的电极带等量异种电荷。在纸面内四根杆的连线是一个正方形，A、C是ac上的任意两点，B、D是bd上的任意两点，A、C、B、D到正方形中心O的距离相等，则（  ） A. D点的电场强度为零，电势最低 B. A、B、C、D四点电场强度大小相等 C. A点电势比B点电势高 D. 正点电荷沿直线从A经O运动到C，电势能先减小后增大 【答案】BCD 【解析】A项，两负电极在D点形成的电场水平向右，两正电荷在D点形成的电场也水平向右，所以电场强度不为0，电势与B点相同，故A项错误。 B项，A、B、C、D对称分布，电场线密集程度一样，所以这四点电场强度大小相等，故B项正确。 C项，A到B的电场线，是由A指向B，且电场线是曲线，沿着电场线的方向，电势逐渐降低，所以A点电势比B点电势高，故C项正确。 D项，从A到O，电场线从A指向O，从O到C，电场线从C指向O，正电荷沿AC运动时，电场先做正功，后做负功，相应的正点电荷的电势能先减小后增大，故D项正确。 【变式训练5-3-33】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　　) A.a、b两点的场强相等 B.a、b两点的电势相等 C.c、d两点的场强相等 D.c、d两点的电势相等 【答案】ABC 【解析】沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知a、b两点的场强相等，A项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故a、b两点的电势相等，B项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知c、d两点的场强相等，C项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故φc>φd，D项错误。 【变式训练5-3-34】已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0。如图所示为一带电量为+Q，半径为R的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2R，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．将+q的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能不变 B．在圆心O处放一个电量为-2Q的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q C．在+R处取走极小的一块面积ΔS，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS，B点场强大小为 【答案】AC 【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A正确； B．在圆心处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误； C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场，C正确； D．整个球壳在点的电场水平向右，在圆心正上方处取走极小一块面积在点的场强为 方向斜向右下，与矢量作差即为点电场强度，D错误。 故选AC。 （4） 割补法 用填补法（补偿法）计算非点电荷的电场强度 若题给条件建立的模型A不是一个容易求解的模型，可以补充一些条件，建立一个容易求解的模型B，且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型，将求解模型A的问题转化为求解完整的标准模型与模型B的差值问题。 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 【典型例题1】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设原来半径为的整个均匀带电球体的电荷量为，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为 可知以为直径在球内挖一球形空腔后，、两点的电场强度等于整个均匀带电球体在、两点的电场强度减去被挖的球形在、两点的电场强度，则有 可得 C正确，ABD错误； 故选C。 【典型例题2】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电荷量，由于，故可视为点电荷，它在O点产生的场强大小为。由对称性可知整个圆环在O点的场强，则存在缺口时在O点的场强大小，即，故选项C正确。答案  C 【典型例题3】如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O′点固定一带正电的点电荷Q，O′、M点间的距离为R，已知P点的场强为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强为(　 　) A．0 B． C． D．－ 【答案】C 【解析】因P点的场强为零，所以半球面对P点的场强和点电荷Q对P点的场强等大反向，即半球面对P点的场强大小为E1＝，方向沿轴线向右。现补全右半球面，如图所示，根据均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零知，球面在M点产生的电场强度均为零，即左半球面对M点场强和右半球面对M点场强等大反向，又由对称性知左半球面对P点的场强和右半球面对M点的场强等大反向，即左半球面对M点场强为E2＝，方向向右，点电荷Q对M点场强为E3＝，方向向左，故M点的合场强为EM＝－＝，方向向左，故选项C正确。 【变式训练5-4-1】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同.如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以为直径在球内挖一球形空腔，已知静电力常量为k，球的体积公式为，则A点处场强的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生电场的场强挖出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量则其在A点产生电场的场强所以剩余部分带电体在A点产生电场的场 故选B。 【变式训练5-4-2】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生场强为：，同理割出的小球半径为，因为电荷平均分布，其带电荷量，则其在A点产生的场强：，所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为，所以：BCD错误，A正确。故选：A。 【变式训练5-4-3】(等效法、补偿法)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为(　　) 图6 A.－E B.－E C. D.＋E 答案　A 解析　先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E，故A正确。 【变式训练5-4-4】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A. 场强大小为，方向沿OA方向 B. 场强大小为，方向沿AO方向 C. 场强大小为，方向沿OA方向 D . 场强大小为，方向沿AO方向 【答案】C 【解析】本题主要考查点电荷的场强。填补法分析：先将A点处－q换成＋q，这时由对称性可知，O点处场强为零，这个零场强实际上是B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处＋q的场强E2的矢量和，由E1+E2=0可知，E1方向向上，大小为；然后将A点处＋q换回成－q，则－q在O点的场强方向向上，大小为，与E1的叠加，得到C答案。 另解：等效对称法分析：将A处的－q看做是＋q和－2q组成，A点处＋q与B、C、D、E四点的＋q在O点处场强为零，这时，只需要考虑－2q在O点处场强，直接选C。 【变式训练5-4-5】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理 根据题意 根据对称性可知右半球壳在N点产生的电场强度大小和左球壳在M点产生场强大小相等即 解得 A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练5-4-6】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设半球面AB在D点产生的场强大小为E1，在C点产生的场强大小为E2，根据平衡条件得 补齐右半球，D点的合场强为 解得故选D。 【变式训练5-4-7】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为解得故选B。 【变式训练5-4-8】一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　) A.O、C两点电势相等 B.A点的电场强度大于B点 C.沿直线从A到B电势先升高后降低 D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大 答案　A 解析　将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右两侧球壳在C点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部分球壳在C点的电场强度都是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C点的电场强度方向水平向左，同理OC上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C点连线为等势线，故O、C两点电势相等，故A正确；设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝E2，根据对称性，左、右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在题图所示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误； 根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。 【变式训练5-4-9】如图甲所示，一半径为R的球面上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，电荷在球心O点处产生的电场强度为零。已知下部分半球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小，方向如图甲所示。现切掉含有正电荷的球面，如图乙，若剩下的正电荷均匀分布在剩下的球面。则切掉球面后，圆心O点处的电场强度大小为    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，把球面分成4等份，由于电荷是均匀分布在球面上的，故每一等份所带电荷在圆心O点处产生的电场强度大小都相等，设每一等份球面所带电荷在圆心O点处产生的电场强度大小为，则下半球中的两等份在圆心O点处的合场强大小为，每一部分产生的场强方向与的方向成夹角，根据平行四边形定则知：，可知被切掉的那部外球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小也为，由于球面完整时，圆心O点处的电场强度为零，故被切掉的那部分球面上的电荷在圆心O点处产生的电场重度与剩下的球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度是等大反向的，故剩下的球面在圆心O点处产生的电场强度大小也为，故选项A、B、C错误，选项D正确。 【变式训练5-4-10】(多选)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等。如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是(　　) A.A、B两点的电势相等 B.A、B两点的电场强度相同 C.点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功 D.同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大 【答案】BD 【解析】根据电场的叠加原理可知，x轴上电场线方向向右，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为E1和E2。由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1＝E2。根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场强大小分别为E2和E1，且 E1＝E2。则在图示电场中，A的场强大小为E1，方向向右，B的场强大小为E2，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，故B正确；点电荷从A点移到B点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C错误；A点的电势高于B点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大，故D正确。 【变式训练5-4-11】如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　） A．点电场强度的方向垂直于向下 B．点电场强度的方向斜向下 C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 【答案】AD 【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环 AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误； CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练5-4-12】(多选)如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 【答案】BCD 【解析】A．两小球分别在x轴上下两侧，电性相同，它们在P点产生的场强分别斜向上和斜向下，与x轴夹角相等，方向不同，故A错误； B．大球所带电荷均匀分布整个球体，它在外部产生的电场可等效为所有电荷集中在球心O点在外部产生的电场，由库仑定律故B正确； C．大球在P点产生的电场沿x轴方向，两小球在P点的合场强也沿x轴方向，且小于大球在P点的场强，由场强叠加原理可知，挖去两小球后，P点场强方向不变，故C正确； D．设两小球的球心到P点的距离为l，有几何关系 球体积公式为 小球半径是大球半径的一半，故小球体积是大球体积的八分之一，故小球所带电荷量为 两小球在P点场强均为 合场强为 剩余部分在P点的场强为故D正确。故选BCD。 （5） 极限法 【变式训练5-5-1】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将挖去的圆板补上，复原无限大均匀带电平板，设无限大均匀带电平板在Q点的场强为E，补回来的半径为r的圆板在Q点的场强为E1，待求的场强为E2，由电场叠加原理得 由得，当R无限大时 解得故选B。 题型06：场强与电场线 【典型例题1】在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是(　　) 答案　A 解析　带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受静电力指向轨迹的凹侧，如图所示，故A正确。 　 【典型例题2】如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 【答案】D 【详解】A．MN两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，选项A错误； B．M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误； CD．负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确； 故选D。 【典型例题3】某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】ABC．静电场中电场线不相交、不闭合，故B正确、故AC错误； D．若电场线相互平行，应等间距，故D错误。 故选B。 【典型例题4】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【答案】D 【详解】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误； B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误； C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误； D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。 故选D。 【变式训练6-1】如图所示的真空中，在正方体ABCD-A1B1C1D1空间中，A、C₁两点固定有两个等量正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．B点和D点的电势相等且比B1点和D1点的电势都高 B．B1点和D1点的场强相同 C．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做匀变速曲线运动 D．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做匀速圆周运动 【答案】D 【详解】A．由两个等量同号电荷产生电势的对称性知B点、D点、B1点和D1点处的电势均相等，故A错误； B．由电场叠加和对称性知顶点B1、D1处的电场强度大小相等，但方向不同，故B错误； C．电子要做匀变速曲线运动，则电子要受大小恒定的电场力，且与速度方向不在同一条直线上，两个正电荷形成的电场不是匀强电场，电子不受恒定的电场力，所以不可能匀变速曲线运动，故C错误； D．只在电场力作用下，电子要做匀速圆周运动，则必须受到大小恒定的电场力，当电子在垂直于AC1并过O点的平面内绕O点可以做匀速圆周运动，故D正确。 故选D。 【变式训练6-2】如图所示，已知椭圆的方程为，a、b、c、d分别为椭圆与坐标轴的交点，M、N分别是Oa、Od的中点，在a、c两点各固定一电荷量为+Q的点电荷，b、d两点各固定一电荷量为-Q的点电荷。规定无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（　　) A．椭圆中心O点的电场强度为零，电势也为零 B．椭圆的长轴上电场强度为零的位置有3处 C．将试探电荷+q沿坐标轴从M点经O点移至N点，其电势能一直减小 D．移除a处的点电荷+Q，若要使a处的电场强度为零，则应将b、d两处点电荷的电荷量均变为 【答案】C 【详解】A．根据等量同种点电荷的电场的分布特点可知，椭圆中心O点的电场强度为零，但该点的电势不为零，故A错误； B．根据等量同种点电荷的电场的分布特点可知，椭圆长轴上O点左、右两侧的电场方向分别沿Ob、Od方向，则只有O点的电场强度为零，故B错误； C．根据等量同种点电荷的电场的分布特点可知，从M点到O点电场方向由M点指向O点，从O点到N点电场方向由O点指向N点，可知，将试探电荷+q沿坐标轴从M点经O点移至N点，电场力始终做正功，根据功能关系可知，试探电荷的电势能一直减少，故C正确； D．若要使a处的电场强度为零，设b、d两处点电荷的电荷量的大小均为，则有 解得 那么这两处应该放置的点电荷的电荷量为，故D错误。 故选C。 【变式训练6-3】经过研究发现：点电荷和无穷大的接地金属板间的电场（如图甲）与等量异种电荷之间的电场分布（如图乙）完全相同。如图丙所示，固定于点的正点电荷到无穷大的接地金属板的距离为，是以点电荷为圆心、为半径的圆上的一条直径，静电力常量为，现从金属板表面上点正上方处由静止释放一个带负电的试探电荷，不计试探电荷的重力。下列说法正确的是（　　） A．以点电荷为圆心的圆上各点电势相等 B．试探电荷的轨迹可能为一条直线 C．试探电荷释放点的电场强度大小为 D．点的电场强度大小为 【答案】C 【详解】CD．根据题意可将图丙的电场等效为两个等量异种点电荷的电场，点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，则B点电场强度的大小为 试探电荷释放点与等效的两点电荷距离均为 根据场强叠加原则可知，试探电荷释放点的电场强度大小为 其中 联立解得 故C正确，D错误； A．由于可将图丙的电场等效为两个等量异种点电荷的电场，以点电荷为圆心的圆上不是等势面，所以圆上各点电势并不完全相等，故A错误； B．不计试探电荷的重力，则试探电荷只受电场力作用，由于释放点处的电场线不是直线，所以试探电荷的轨迹不可能为一条直线，故B错误。 故选C。 【变式训练6-4】电鳗瞬时放电时可产生高达的电压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人，如图甲。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为如图乙，P、Q两点间的电势差为，下列说法正确的是（　　）    A．点的电场强度小于Q点的电场强度 B．一电子从点移到Q点，电场力做功 C．一质子从点由静止释放，质子将沿P、Q间的电场线运动到点 D．一电子分别置于P、Q两点，电子在点处的电势能大 【答案】B 【详解】A．电场线分布的密集程度能够表示电场强弱，根据图乙可知，点的电场强度大于Q点的电场强度，故A错误； B．一电子从点移到Q点，电场力做功 故B正确； C．一质子从点由静止释放，所受电场力沿电场线切线方向，P、Q间的电场线为一条曲线，电场力方向与速度方向不在同一条直线上，此时，质子不能够沿P、Q间的电场线运动到点，故C错误； D．结合上述可知，电子从点移到Q点，电场力做负功，电势能增大，则一电子分别置于P、Q两点，电子在点处的电势能小，故D错误。故选B。 【变式训练6-5】真空中有两个带电金属导体、，其中导体内部存在空腔，两者间的电场线分布如图中带箭头实线所示，曲线为某带电粒子在该电场中的运动轨迹，、、、为电场中的四个点，为空腔内部的一点，取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（　　） A．点电势等于点电势 B．点电场强度与点电场强度相同 C．点电场强度和电势均小于零 D．带电粒子仅在电场力作用下沿曲线运动时，电场力先做负功再做正功 【答案】D 【详解】A．电势沿着电场线降低，c点电势高于d 点电势，A错误； B．电场线密集处电场强, 电场线稀疏处电场弱，a点电场强度大于b点电场强度，B错误； C．导体空腔内的电场强度为零，O点电场强度为零，C错误； D．由运动轨迹结合电场线分布可知，带电粒子带负电，电场力先做负功再做正功，D正确。故选 D。 【变式训练6-6】真空中固定一对等量异种电荷，其连线与中垂线交点为O。一个电子从A点到B点其运动轨迹图形如图所示（A、B两点离两电荷足够远）。若只考虑两个电荷产生的电场对电子的作用力，下列说法正确的是（　　） A．从A到O过程中电子的速度一直增大 B．从O到B过程中电子的电势能先减小后增大 C．在两个电荷产生的电场中，O点是中垂线上电势最低点 D．在两电荷产生的电场中，O点是中垂线上场强最小的点 【答案】B 【详解】C.根据等量异种电荷形成的电场中电场线、等势线分布可知，中垂线上所有点的电势相等且为零，故C错误； D.等量异种电荷形成的电场中，中垂线上自O点向两侧电场强度逐渐减小，O点的电场强度最大，故D错误； A.由以上分析可知，电子从A到O过程中电势先升高后降低，电子的电势能则先减小后增大，则电子的动能、速度先增大后减小，故A错误； B.同样，电子从O到B过程中电势先升高后降低，电子的电势能先减小后增大，故B正确； 故选B。 题型07：场强图像 （一）E－x图像对称模型 【典型例题1】空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．下列说法中正确的是(　　)． A．O点的电势最低 B．x2点的电势最高 C．x1和－x1两点的电势相等 D．x1和x3两点的电势相等 【答案】C 【解析】由题图知，O点两侧电场强度方向相反，因电场强度的方向沿x轴，故O点可能电势最低，也可能电势最高，A不正确；x1、x2、x3三点在同一电场线上，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，无论O点右侧电场强度沿x轴向右还是向左，x2点电势都不是最高，x1、x3两点的电势也不相等，故B、D不正确；由题图知，电场强度在O点两侧对称，故x1、－x1两点电势相等，C正确． 【典型例题2】预计2025年底，济宁光伏装机总量可达700万千瓦左右，光伏电站的核心部件由半导体材料制成。一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示，取O点的电势为零，则该电场中N点到P点的电势随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由E-x图像可知从N点到P点电场强度先增大后减小，根据可知，电势随位置x变化的图像的斜率表示电场强度，可知图像的斜率从N点到P点先变大后变小。O点电场强度最大，则图像在O点的斜率最大，只有C选项的图像符合此规律。故选C。 【典型例题3】某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系图线如图所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则(　　) A．A、B的电势相等 B．从N到O的过程中，电势一直升高 C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小 D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，电场力做功相等 【答案】D 【解析】根据U＝Ed可知E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势差，由于A和B之间图像与坐标轴围成的面积不为零，则A和B点的电势不相等，故A错误；电场强度E的方向为x轴正方向，从N到O电场强度方向沿x轴正方向增加，根据沿电场线方向电势降低可知，从N到O的过程中，电势一直降低，故B错误；从N到P电场线一直是沿＋x方向，电子从N移到P的过程中电场力方向一直沿x轴负方向，电场力一直做负功，电势能一直增大，故C错误；由E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势差可知，从N到O和从O到P电势差相等，根据W＝qU可知，电子从N移到O和从O移到P的过程中，电场力做功相等，故D正确。 【典型例题4】如图甲所示，真空中固定一个半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电小圆环，取中轴线为x轴，圆环圆心为坐标原点，向右为正方向，中轴线上的电场强度分布如图乙所示。x、-x是坐标轴上电场强度最大的两点，电场强度最大值为Em。已知点电荷q在距离为r处产生的电势为，k为静电力常量。则下列说法正确的是（　　） A．x处场强大小为 B．x处电势为 C．O点和x处的电势差为 D．若有带电荷量为的粒子沿x轴从O点一直向右运动，则其电势能先增加后减小 【答案】B 【详解】A．圆环带正电，x负半轴电场强度向左，x正半轴电场强度向右，大小都先增加后减小，取圆环极小部分在x处的电场为 沿x轴方向上分量为 则坐标轴x处场强为 则坐标轴x处场强为 故A错误； B．取圆环极小部分在x处的电势为 电势为标量，则代数相加可得 故B正确； C．E-x图线与坐标轴所围区域的面积表示电势差，则O点和x处的电势差大于，故C错误； D．O点右侧电场强度方向向右，负粒子从O点向右运动，电势减小，电势能增加，故D错误。 故选B。 【变式训练7-1-1】在图甲的直角坐标系中，轴上固定两等量的点电荷，距坐标原点均为，轴上有、、三点，其纵坐标值分别为、、。轴上各点电场强度随变化的关系如图乙所示，设沿轴正方向为场强正方向，其中和的图像与轴所围阴影部分面积大小分别为、。则（　　） A．点和的电场强度相等 B．一带电量为的电子从运动到位置电势能减小量为 C．某试探电荷分别在两点处的加速度大小之比为 D．在以合适的初速度释放一正电荷，该电荷可绕圆心过做匀速圆周运动 【答案】B 【详解】A．根据题意，由图乙可知，和的电场强度大小相等，但方向相反，故A错误； B．由公式可知，图像与坐标轴围城的面积表示电势差，则由图乙可知，和两点的电势差为 一带电量为的电子从运动到位置，电场力做功为 则电势能减小量为，故B正确； C．设、两点电荷带电量为，根据牛顿第二定律可得 所以带电粒子在两点处的加速度大小之比不是，故C错误； D．由图乙可知，处为等量正电荷，则在以合适的初速度释放一负电荷，该电荷可在垂直纸面内方向绕圆心过做匀速圆周运动，故D错误。故选B。 【变式训练7-1-2】空间有沿轴对称分布的电场，其电场强度随变化的图像如图所示，取沿向右为正方向。下列说法正确的是（　　） A．的电势最低 B．和两点的电势相等 C．正电粒子在处的电势能比在处的电势能小 D．正电粒子以一定的速度由处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小 【答案】B 【解析】A．从图象可以看出，电场强度的大小和方向都沿x轴对称分布，在O点右侧场强沿x轴正向，在O点左侧场强沿x轴负向，沿电场强度的方向，电势一定降低，故根据其电场强度E随x变化的图象容易判断，O点的电势最高，x1的电势并不是最低的，故A错误； B．由于x1和-x1两点关于E轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x1和从O点到-x1电势降落相等，则x1和-x1两点的电势相等，故B正确； C．因在x1处电势高于在x2处的电势，则正电粒子在处的电势能比在处的电势能大，故C错误； D．正电粒子以一定的速度由处沿x轴正方向运动的过程中，电场力先做负功，后做正功，则它的动能先减小后增大，故D错误。故选B。 【变式训练7-1-3】某电场在x轴上各点的场强方向沿x轴方向，规定场强沿x轴正方向为正，若场强E随位移坐标x变化规律如图，x1点与x3点的纵坐标相同，图线关于O点对称，则(　　) A．O点的电势最高 B．－x2点的电势最高 C．若电子从－x2点运动到x2点，则此过程中电场力对电子做的总功为零 D．若电子从x1点运动到x3点，则此过程中电场力对电子做的总功为零 【答案】　C 【解析】　规定场强沿x轴正方向为正，依据场强E随位移坐标x变化规律如题图所示，则电场强度方向如图所示； 根据顺着电场线电势降低，则O点的电势最低，故A错误；由上分析可知，电势从高到低，即为x3、x2、x1，由于－x2点与x2点电势相等，那么－x2点的电势不是最高，故B错误；若电子从－x2点运动到x2点，越过横轴，图线与横轴所围成的面积之差为零，则它们的电势差为零，则此过程中电场力对电子做的总功为零，故C正确；若电子从x1点运动到x3点，图线与横轴所围成的面积不为零，它们的电势差不为零，则此过程中电场力对电子做的总功也不为零，故D错误． 【变式训练7-1-4】一静电场在x轴上各点的电场强度E随x的变化关系图象如图所示，场强方向与x轴平行，以x轴正方向为场强的正方向。一电荷量为的粒子从点由静止释放，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子经过和两点时的加速度大小相等，方向相反 B．粒子将沿轴在~之间往复运动 C．原点O与之间和~之间的电势差相等 D．粒子由运动到的过程中电势能逐渐减小 【答案】D 【解析】A．由图像可知，和两点的场强大小相等，方向相同，受到的电场力大小相等方向相同，粒子经过和两点时的加速度大小相等，方向相同，A错误； B．电场方向均沿x轴正方向，带负电的粒子受力沿x轴负方向，粒子始终沿x轴负方向加速，B错误； C．E-x图线与x轴所围的面积表示电势差，原点O与之间的电势差小于~之间的电势差，C错误； D．粒子由运动到的过程中，电场力做正功，电势能逐渐减小，D正确。故选D。 【变式训练7-1-5】（多选）空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是(　 　) A．－x1处的电势比x1处的电势高 B．将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大后减小 C．将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动 D．负电荷在4个点中位于x2处电势能最大 【答案】BC 【解析】根据题意，电场关于x轴对称分布，作出电场线如图所示．根据沿电场线方向电势降低，则O点电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，则－x1处的电势与x1处的电势相等，故A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大后减小，选项B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，选项C正确；4个点中，x3点的电势最低，则负电荷在4个点中位于x3处电势能最大，选项D错误． 【变式训练7-1-6】（多选）空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示，带电粒子在此空间只受电场力作用。下列说法中正确的是(　　) A．在－x1处释放一带负电的粒子，它将沿x轴在－x1与x1之间做往返运动 B．带负电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动到x1处，它在x1处的速度等于在－x1处的速度 C．带正电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小 D．带正电的粒子在x1处的电势能比在x2处的电势能小、与在x3处的电势能相等 【答案】AB 【解析】电场沿x轴对称分布，在－x1处释放一带负电的粒子，它将沿x轴在－x1与x1之间做往返运动，选项A正确。带负电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动到x1处，它在x1处的速度等于在－x1处的速度，选项B正确。带正电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先减小后增大，选项C错误。从x1处到x3处，电场强度方向沿x轴正方向，带正电的粒子从x1处到x3处，电场力一直做正功，电势能减小，所以带正电的粒子在x1处的电势能比x2处的电势能大、比x3处的电势能大，选项D错误。 【变式训练7-1-7】（多选）如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷、关于轴对称，它们在轴上的图像如图乙所示（规定轴正方向为电场强度的正方向）。若在坐标原点由静止释放一个正点电荷，它将沿轴正方向运动，不计重力。则（　　） A．点电荷在处动能最大 B．处电势最高 C．、带等量正电荷 D．点电荷沿轴正方向运动的最远距离为 【答案】AD 【详解】AB．在真空中固定两个相同点电荷、关于轴对称，可知P点场强为0，对应坐标为，从点到P点，电场力做正功，电势能减小，从P点沿x轴正方向运动，电场力做负功，电势能增加，因此正点电荷在处电势能不是最大，正点电荷在处动能最大，故A正确，B错误； C．由图像可知，在P点的左侧电场强度为正值，沿x轴正方向，右侧电场强度为负值，沿x轴负方向，可知A、B带等量负电荷，故C错误； D．由对称性可知，点电荷沿轴正方向最远能到达点关于P点的对称点处，故点电荷沿轴正向运动的最远距离为，故D正确。 故选AD。 （二）E－x图像不对称模型 【典型例题1】如图1为某电场中的一条电场线。以O点为原点，向右为正方向建立x轴，发现电场线上从O点到A点场强E变化如图2所示，x1为A点坐标值，把电荷量为q的点电荷从O点移到A点（E0、E1为已知量），则下列说法正确的是（　　） A．该电场为匀强电场 B．点电荷从O点到A点，电势能一定增加 C．O、A间电势差为 D．在O、A间移动该电荷，使其沿电场线方向移动时，电场力所做的功最小 【答案】C 【解析】 A．根据图2，从O点移到A点，电场强度增大，该电场不是匀强电场，A错误； B．题目中没有说运动电荷的电性，所以电荷电势能增加或者减小是无法判断的，故B错误； C．O、A间电势差等于图像的面积 C正确； D． 因为电场力做功与路径无关，所以在O、A间移动该电荷，使其沿电场线方向移动时电场力所做的功，与沿其他路径移动时电场力所做的功都相等，D错误。故选C。 【典型例题2】静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点：x1、x2、x3、x4，相邻两点间的距离相等，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　 　) A．x2和x4两点处电势相等 B．由x1运动到x4的过程中加速度先增大后减小 C．由x1运动到x4的过程中电势能先增大再减小 D．设电荷从x2运动到x1，电场力做功W1，电荷从x3运动到x2，电场力做功W2，则W1＝W2 【答案】B 【解析】x2～x4处场强为x轴负方向，则从x2到x4处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x4处电势能较大，故A错误；由x1运动到x4的过程中，由题图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，所以电场力先增大后减小，加速度也先增大后减小，故B正确；x1～x4处场强为x轴负方向，则从x1到x4处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x4处电势能较大，故C错误；由于每两点间的距离相等，由题图可知，U32>U21，所以W2>W1，故D错误。 【典型例题3】（多选）如图所示是某质点运动的v-t图像，下列判断正确的是（　　） A．在第2 s末，质点的速度方向不发生改变 B．在0~2 s内，质点做直线运动，在2~4 s内，质点做曲线运动 C．在0~2 s内，质点的加速度大小和方向均不变 D．在2~4 s内，质点的加速度不断减小，方向发生了改变 【答案】AC 【解析】A．在第2 s末前后一小段时间内，速度均为负，质点的速度方向不发生改变，故A正确； B．v-t图像只能表示物体做直线运动，2~4 s内，质点做直线运动，故B错误； C．v-t图像斜率表示加速度，在0~2 s内，斜率不变，质点的加速度大小和方向均不变，故C正确； D．在2~4 s内，斜率均为正，但大小不断减小，所以质点的加速度不断减小，但方向不变，故D错误。 故选AC。 【变式训练7-2-1】沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置过程中，下列说法不正确的是（　　） A．粒子先加速后减速运动 B．粒子的电势能一直减小 C．坐标原点O和位置的电势差 D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量 【答案】A 【详解】ABD．由坐标原点O运动到位置过程中，电场方向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，粒子的动能增加量等于电势能的减小量，故A错误，BD正确； C．坐标原点O和位置间的电势差为图像与x轴所围成的面积，则有故C正确。 本题选择错误的，故选A。 【变式训练7-2-2】一种电场的某条电场线与轴重合，其场强大小与坐标的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此电场是匀强电场 B．由图像可以直接看出场强大小随均匀减小 C．图像的斜率表示电场的电势 D．与之间的电势差等于阴影部分的面积 【答案】D 【解析】AB．由题图可以看出关系图像是正比例函数图像，场强随均匀增大，此电场并非匀强电场，AB错误； C．虽然是匀强电场的表达式，但可推导非匀强电场的、、之间的关系，图线与轴所围成的面积表示电势差，图像的斜率不能表示电场的电势，C错误； D．梯形的面积表示与之间的电势差，由几何关系有，，则梯形的面积等于梯形的面积，即阴影部分的面积，所以与之间的电势差等于阴影部分的面积，D正确。故选D。 【变式训练7-2-3】沿着轴的一电场的图像如图甲所示，沿着轴的另一电场的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．甲图中，至电场的方向沿着轴的正方向 B．甲图中，O至电场强度的大小为 C．乙图中，O至电场的方向沿着轴的负方向，至电场的方向沿着轴的正方向 D．乙图中，坐标原点处与处之间的电势差为 【答案】D 【详解】A．至电势变大，根据顺着电场线方向电势减小，可得至电场的方向沿着轴的负方向，A错误； B．图像的斜率表示场强，所以有0至电场强度的大小为，B错误； CD．图像与横轴围成的面积为电势差的大小，根据图像可得O到时，电势差越来越大，且为正值，所以O到电场的方向一直沿着轴的正方向，坐标原点处与处之间的电势差为 ，C错误，D正确。故选D。 【变式训练7-2-4】如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则（　　） A．x1处场强大小为 B．x2处场强大小为 C．x1处电势大小为 D．x2处场强大小为 【答案】D 【解析】A．球体内某点的电场强度，由与共同确定，所以x1处的场强大小不是，A错误； BD．电荷量为Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，当作点电荷，则有x2处场强大小，B错误，D正确； C．由U=Ed，可知E-x图线与x轴所围的面积表示电势差，设坐标原点是零电势，x1处的场强大小不是，则x1处的电势大小不是，C错误。故选D。 【变式训练7-2-5】如图所示的某电场中，x轴上各点处电场强度E随x变化图象，x轴正向为电场强度的正方向，在x轴上0~x1间某点处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，粒子仅在电场力作用下运动，下列说法中正确的是（　　） A．x1处电势最低 B．x2处电势最高 C．粒子在向右运动的过程中，粒子的电势能可能先减小后增大再减小 D．粒子在向右运动的过程中，如果到达x2处速度刚好为零，则粒子运动的最大速度一定大于 【答案】D 【解析】AB．由题图可知，x轴上x1左侧场强方向向左，右侧场强方向向右，因此x1处电势最高，选项A错误，B错误； C．粒子在向右运动的过程中，电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，选项C错误； D．粒子在x1处速度最大，因此从x1处运动到x2处的过程中，有从x1处到x2处图线与x轴所围的面积为这两点间的电势差，因此U12＞所以有vm＞选项D正确。故选D。 【变式训练7-2-6】如图所示为轴上一段电场线的电场强度随位置的变化图像（场强正方向与轴正方向相同）。下列说法正确的是（　　） A．若仅考虑电场力作用，试探电荷在处的加速度最大 B．若到和到图像与坐标轴围成的面积相等，则电势差 C．若该电场由轴上的两个不等量异种电荷产生，则带正电的电荷在带负电的电荷的右侧 D．若该电场由轴上的两个不等量异种电荷产生，则电荷量小的电荷在电荷量大的电荷的右侧 【答案】D 【详解】A．场强越大，试探电荷的加速度越大，由图像知处加速度最大，故A错误； B．若到和到图像与坐标轴围成的面积相等，可得，但电势差，，故B错误； CD．若该电场由两个轴上的不等量异种电荷产生，处的场强为0，可知这是电荷量小的这一侧的电场分布，由于到的场强指向轴负方向，可知位于的左侧且靠近的电荷带负电，且电荷量小的负电荷在电荷量大的正电荷的右侧，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练7-2-7】真空中相距为3a的两个点电荷A和B，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在二者连线上各点场强随x变化的关系如图所示，以下说法正确的是(　　) A．二者一定是异种电荷 B．x＝a处的电势一定为零 C．x＝2a处的电势一定大于零 D．A、B的电荷量之比为1∶4 【答案】D 【解析】两点电荷连线中某点，电场强度E＝0，说明两点电荷在该点产生的场强等大反向，故两点电荷一定为同种电荷，A项错误；由场强公式可知，k＝k，故QA∶QB＝1∶4，D项正确；若两点电荷均为正点电荷，则连线上各点电势均大于零，B项错误；若两点电荷均为负点电荷，则连线上各点电势均小于零，C项错误。 【变式训练7-2-8】x轴上各点的电场强度如图所示，场强方向与x轴平行，规定沿x轴正方向为正，一负点电荷从坐标原点O以一定的初速度沿x轴正方向运动，点电荷到达x2位置速度第一次为零，在x3位置速度第二次为零，不计粒子的重力．下列说法正确的是(　　) A．O点与x2和O点与x3电势差UOx2＝UOx3 B．点电荷从O点运动到x2，再运动到x3的过程中，加速度先减小再增大，然后保持不变 C．点电荷从O点运动到x2，再运动到x3的过程中，速度先均匀减小再均匀增大，然后减小再增大 D．点电荷在x2、x3位置的电势能最小 【答案】A　 【解析】根据动能定理，电荷由O点到x2和O点到x3都有：－qU＝0－mv，故：UOx2＝UOx3，故A正确；由图可知，x轴正方向上场强沿着x轴正方向，场强大小是非线性变化，x轴负方向上场强方向沿着x轴负方向，为匀强电场，点电荷从坐标原点出发，其加速度先增大后减小，再增大后减小，而后增大再减小，再增大后减小，然后保持不变，在负x轴做匀变速直线运动，故B错误；由题意，点电荷到达x2位置速度第一次为零，在x3位置速度第二次为零，可知点电荷先向右减速到x2，再向左加速到原点，然后再减速到x3，故C错误；点电荷运动过程中动能和电势能之和保持不变，动能最小则电势能就最大，故点电荷到达x2位置速度第一次为零，在x3位置速度第二次为零，在x2、x3位置电势能最大，故D错误． 【变式训练7-2-9】x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于，处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是（　　） A．点电荷A、B分别带正电和负电 B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1：3 C．处电势最高且为零 D．将电子从处无初速度释放，其电势能一直减小 【答案】D 【详解】A．若点电荷A、B带异种电荷，则在x轴上区间的电场方向唯一不变化，即水平向右或水平向左，故A错误； B．由图可知在处电场强度为零，即解得故B错误； C．区间，电场方向沿x轴负方向，区间电场方向沿x轴正方向，可知区间，从处沿两侧电势降低，无限远处电势为零，故电势大于零；的区域内，电场方向指向x轴负方向，所以沿x轴负方向电势逐渐降低，无限远处电势为零，故的区域内的电势都小于零。所以处电势最高且大于零。故C错误； D．的区域内电场方向沿x轴负方向，所以电子释放后受水平向右的力，电场力一直做正功，电势能一直减小，故D正确。故选D。 【变式训练7-2-10】（多选）某静电场中，x轴上电场强度E随时间变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向．一带电量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到处，假设粒子仅受电场力作用，、已知，则　　 A．粒子一定带负电 B．粒子的初动能大小为 C．粒子沿轴正方向运动过程中电势能先增大后减小 D．粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为 【答案】BD 【解析】A．如果粒子带负电，粒子在电场中一定先做减速运动后做加速运动，因此x=3x0处的速度不可能为零，因此粒子一定带正电，A错误； B．根据动能定理， 可得：，B正确； C．粒子向右运动的过程中，电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，C错误； D．粒子运动到x0处动能最大，根据动能定理，解得，D正确。故选BD。 【变式训练7-2-11】（多选）电场中有一条电场线与x轴重合，x轴上各点的电场强度与位置的关系如图所示，一质子仅在电场力作用下，从坐标原点由静止释放沿x轴正方向运动，已知Oa＝ab＝bc＝d，b点电势φb＝0.则下列结论正确的是(　　) A．质子沿x轴做匀速直线运动 B．质子在a、c两点的电势能相等 C．质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4 D．坐标原点O的电势为1.5E0d 【答案】　CD 【解析】　由E－x图象和F＝qE可知，质子沿x轴先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速直线运动，最后做加速度增大的加速直线运动，故A错误；质子一直做加速直线运动，电场力做正功，电势能减小，故B错误；由E－x图象与x轴所围“面积”表示电势差，因此UOa＝E0d，UOb＝E0d，UOc＝2E0d，由动能定理有Eka＝qUOa＝qE0d，Ekb＝qUOb＝qE0d，Ekc＝qUOc＝2qE0d，所以质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4，故C正确；根据UOb＝φO－φb可得坐标原点O的电势为φO＝1.5E0d，故D正确． 【变式训练7-2-12】（多选）沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 【答案】CD 【解析】从O点到C点，电场强度方向保持不变，由于开始电场强度方向沿x轴正方向，所以沿电场线方向电势逐渐降低，则从O点到C点，电势逐渐降低，则A错误；由图像可知电场强度先增大后减小，则电场力也是先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，则B错误；因图像与横坐标轴围成的的面积表示电势差，则有UOC>3UOA，由动能定理有qUOA＝Ek，qUOC＝EkC，由上几式可得EkC>3Ek，所以粒子运动到C点时动能大于3Ek，则C正确；因UAB>UBC，所以粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，则D正确。 【变式训练7-2-13】（多选）在x轴上电场强度E与x的关系如图所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是(　　) A．φb＞φa＝φc＞φO B．φO＞φa＞φb＞φc C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d| D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加 答案　BC 解析　在E－x图象中，图象与x轴所围面积表示电势差，由图可以看出x轴上Oc段与图线所围面积大于ac段与图线所围面积，ac段与图线所围面积大于bc段与图线所围面积，即UOc＞Uac＞Ubc＞0，所以φO＞φa＞φb＞φc，故B正确，A错误；ac段与图线所围面积大于E0d，即Uac＞E0d，所以将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d|，故C正确；将质子从a点移到c点，电场力做正功，质子的电势能减少，D错误． 【变式训练7-2-14】（多选）真空中，在x轴上x＝0和x＝8 cm处分别固定两个点电荷Q1和Q2.电荷间连线上的电场强度E随x变化的图象如图12所示(x轴正方向为场强正方向)，其中x＝6 cm处E＝0.将一个正试探电荷在x＝2 cm处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)．则下列说法正确的是(　　) A．Q1、Q2均为同种电荷 B．Q1、Q2带电荷量之比为1∶9 C．在x＝6 cm处电势为0 D．该试探电荷沿x轴从x＝2 cm运动到x＝8 cm处，电势能先减小后增大 【答案】　AD 【解析】　由题图可知，在x＝0处场强为正，x＝8 cm处场强为负，故两电荷必为同种正电荷，A正确；根据x＝6 cm处E＝0可知，在x＝6 cm处，E1与E2大小相等，方向相反，由k＝k，解得＝，故B错误；由于无穷远处电势为零，两电荷为同种正电荷，可知在x＝6 cm处电势不为零，C错误；该试探电荷沿x轴从x＝2 cm运动到x＝8 cm处的过程中，电场力先做正功再做负功，因此电势能先减小后增大，D正确． 【变式训练7-2-15】（多选）真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是(　　) A．点电荷M、N一定为同种电荷 B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1 C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小 D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小 答案　AB 解析　x＝2a处场强为零且左侧场强向右(正值)、右侧场强向左(负值)，结合点电荷的场强特征可知，点电荷M、N一定为同种电荷，两点电荷在x＝2a处的场强大小满足k＝k，解得＝，A、B正确；由题图可知，O点右侧场强先减小再增大，故把一个检验电荷(假设带正电)由x1位置静止释放，据牛顿第二定律可得qE＝ma，其加速度先减小再增大，C错误；把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，向右运动过程静电力先做正功再做负功，其电势能先减小后增大，D错误． 【变式训练7-2-16】（多选）真空中相距为3a的两个点电荷M、N分别固定在x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在两者连线上各点的电场强度E随x变化的关系如图所示，设电场方向沿x轴正方向时E取正值，则以下判断正确的是(　 ) A．点电荷M、N均为正电荷 B．M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1 C．x＝2a处的电势一定为零 D．沿x轴从0到3a电势先降低再升高 [解析]　若两电荷为异种电荷，在x＝2a处，电场强度不可能为0，故两电荷为同种电荷，在0～2a范围内电场为正，方向沿x轴正方向，所以点电荷M、N为正电荷，故A正确；2a处合场强为0，由E＝知，＝，所以M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1，故B错误；由于零电势点的选取是任意的，故x＝2a处的电势不一定为零，沿电场线方向电势降低，故x＝0点的电势高于x＝2a点的电势，2a～3a范围内电场为负，方向沿x轴负方向，故x＝2a点的电势低于x＝3a点的电势，沿x轴从0移动到3a，电势先降低后升高，故C错误，D正确。 [答案]　AD 【变式训练7-2-17】（多选）沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 答案　CD 解析　由O点到C点，沿电场方向，电势一直降低，A错误；电场强度大小一直在变化，静电力也就在不断变化，带正电的粒子的加速度在不断变化，做变加速运动，B错误；根据E随x的变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确． 【变式训练7-2-18】（多选）真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的处的P点和处的Q点，它们之间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的检验电荷由处的M点由静止释放后能通过处的N点。不计检验电荷的重力，O为坐标原点，以下判断正确的是（    ） A．a、b均带正电 B．a电荷量大于b电荷量 C．x轴上从P至Q电势先降低再升高 D．M、O间的电势差大于O、N间的电势差 【答案】BD 【详解】A．由图像可知，从P到Q电场强度方向不变，带正电的检验电荷从M点由静止释放后能通过N点，说明a带正电、b带负电，故A错误； B．a带正电、b带负电，合场强最小时，a、b在该点产生的场强相等，设合场强最小时横坐标为x，则有 ，可知故B正确； C．从P到Q电场强度方向不变，从正电荷指向负电荷，沿着电场线的方向电势降低，可知x轴上从P至Q电势逐渐降低，故C错误； D．M、O间的平均电场强度大于O、N间的平均电场强度，M、O间距离和O、N间距离相等，根据 可知M、O间的电势差大于O、N间的电势差，故D正确。故选BD。 【变式训练7-2-19】（多选）如图所示，一质量为m，带电荷量为的粒子（不计重力），从原点O由静止开始运动，空间所加的沿x轴正方向，电场强度E与其位移x的关系图线如图所示。若选定原点的电势为零，图中、为已知量，则下列说法正确的是（　　） A．处的电势为 B．处的电势为 C．内，带电粒子的最大速度为 D．带电粒子在到的过程中做减速运动 【答案】BC 【解析】A．沿电场线方向电势降低，所以在处的电势为选项A错误； B．由于E-x图象与坐标轴围成的面积表示电势差，所以处的电势为选项B正确； C．根据分析可知该粒子沿x轴正方向做加速运动，在处速度最大，根据动能定理可得 解得带电粒子的最大速度为选项C正确； D．带电粒子在到的过程中做加速度减小的加速运动，选项D错误。故选BC。 【变式训练7-2-20】（多选）如图所示，在x轴上电场强度E随x变化的图像如图所示（x轴正方向为场强正方向），其中图线在x=6cm处与x轴相切。把一个检验电荷q放在x=2cm处由静止释放，电荷仅在电场力作用下向x轴正方向运动，运动到x=7.2cm处速度减为零，运动中只受电场力，下列说法正确的是：（　　） A．电荷q带正电 B．x轴上2cm到6cm过程中场强减小、电势增加 C．电荷q从2cm到4cm与从4cm到6cm过程中动能的增加相同 D．电荷q在2cm处与在7.2cm处电势能相等 【答案】AD 【解析】A．检验电荷q在x=2cm处由静止释放，电荷仅在电场力作用下向x轴正方向运动，则电场力方向沿x轴正向，x轴正方向为场强正方向， 所以电荷q带正电，A正确； B．由图可知，x轴上2cm到6cm过程中场强减小，方向沿x轴正向，电场力对电荷q做正功，电势能减小，B错误； C．由图可知，从2cm到4cm与从4cm到6cm之间的平均场强不等，电荷受到的平均电场力不同，电场力做功不同，根据动能定理，动能的增加量不相同，C错误； D．电荷q由静止从2cm处运动到7.2cm处停止，根据动能定理，电场力做功为零，根据则两点之间的电势差为零，即电荷q在2cm处与在7.2cm处电势能相等，D正确。故选AD。 【变式训练7-2-21】（多选）某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，一个带正电的点电荷只在电场力的作用下沿x轴运动，x1、x2、x3、x4四点间隔相等，则（　　） A．点电荷在x2和x4处电势能相等 B．点电荷由x1运动到x3的过程中电势能减小 C．x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差 D．点电荷由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大 【答案】BC 【解析】A．由x轴上的场强E随x的变化关系可知图线与x轴所围图形的面积表示电势差，所以点电荷在x2和x4处电势能不相等，选项A错误； B．x轴正方向为场强正方向，正点电荷受电场力沿x轴正方向，由x1运动到x3的过程中电场力做正功，电势能减小，选项B正确； C．由x轴上的场强E随x的变化关系可知图线与x轴所围图形的面积表示电势差，x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差，选项C正确； D．根据F=qE可知点电荷由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小，选项D错误。故选BC。 【变式训练7-2-22】（多选）如图甲所示，轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿轴正方向为正，轴上区域的电场强度分布如图乙所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　） A．A、B两点电荷电性相同 B．A、B两点电荷电荷量大小之比 C．在有限范围内，轴上仅有一处电场强度为零 D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处 【答案】BC 【详解】A．根据图乙可知，处的电场强度为0，则A、B两点电荷电性必定相反，故A错误； B．由于处的电场强度为0，则有 可得A、B两点电荷电荷量大小之比为，故B正确； C．由于处的电场强度为0，的场强沿轴负方向，的场强沿轴正方向，可知A带正电，B带负电；则在AB之间A的电场方向向右，B的电场方向也向右，即AB之间电场的方向始终不可能为0；A的电荷量大一些，A的左侧电场由A电荷决定，即A左侧的电场强度也不可能为0，即在有限范围内，轴上仅有位置一处电场强度为零，故C正确； D．根据图像，将一正点电荷从处由静止释放，所受电场力方向始终沿轴正方向，即该电荷将在电场力作用下沿轴正方向做加速运动，不可能回到处，故D错误。 故选BC。 【变式训练7-2-23】（多选）在竖直平面内存在一电场，其电场线分布如图甲所示，其中轴竖直向下。一带电小球从点由静止释放后沿轴正向运动，从到A运动的过程中，小球的机械能随小球运动的位移变化的图像如图乙所示，则小球（　　） A．带负电 B．从到A，所受合外力先减小后增大 C．从到A，电势能不断增大 D．从到A，速度不断增大 【答案】AC 【详解】A．根据图乙可知，小球的机械能逐渐减小，则电势能逐渐增大，即电场力做负功，则小球所受电场力方向向上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，故A正确； B．小球在OA之间运动过程中电场先分布先变密集后变稀疏，电场强度先增大后减小，令小球所受电场力的最大值为，若小于或者等于小球的重力mg，根据牛顿第二定律可知，从到A，所受合外力先减小后增大。若大于小球的重力mg，根据牛顿第二定律可知，从到A，所受合外力先减小至0，此过程合外力方向向下，再增大，此过程合外力方向向上，后减小至0，此过程合外力方向向上，最后增大，此过程合外力方向向下，故B错误； C．结合上述可知，小球的机械能逐渐减小，则从到A，电势能不断增大，故C正确； D．结合上述可知，若电场力最大值小于或者等于小球的重力mg，从到A，所受合外力先减小后增大，方向一直向下，此过程，小球的速度一直增大。若电场力最大值大于小球的重力mg，小球的加速度方向先向下，后向上，最后向下，则小球的速度先增大后减小最后增大，故D错误。 故选AC。 题型08：场强的实际应用 【典型例题】硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成，则圆心O点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径指向P点 B．，方向沿半径背离P点 C．，方向沿半径指向P点 D．，方向沿半径背离P点 【答案】B 【解析】当P点的电荷量为时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0，当P点的电荷为时，可由和两个电荷等效替代，故O点电场可以看做均匀带电圆环和产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为 电场方向为在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式训练8-1】（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大 B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大 C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 【答案】BD 【解析】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为 带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有 ， 可得 即粒子1入射时动能等于粒子2入射时的动能，故C错误； A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误； B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确； D．粒子3做向心运动，有 可得 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确； 故选BD 【变式训练8-2】（多选）反天刀是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，如图为反天刀周围的电场线分布示意图，A、B、C为电场中的点，下列说法正确的是（　　） A．头部带负电 B．A点电场强度大于B点电场强度 C．负离子运动到A点时，其加速度方向向右 D．图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹 【答案】BD 【解析】A．电场线从正电荷或无穷远处出发，终止于负电荷或无穷远处，根据电场线由鱼的头部出发可知，头部带正电，故A错误；B．电场线疏密程度表示电场强度大小，A处电场线比B处密，所以A处电场强度大于B处电场强度，故B正确；C．负离子在A点受到的电场力向左，其加速度方向向左，故C错误；D．正离子所受的电场力方向沿着电场线的方向，且指向运动轨迹的凹侧，则图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹，故D正确。故选BD。 【变式训练8-3】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1 【解析】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量 则速率为v时受阻力 则当油滴匀速下落时 解得 可知 则 （2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得 其中 对b由受力平衡可得 其中 联立解得 题型09：静电防护 【典型例题】如图所示，不带电，长为l的导体棒水平放置，现将一个电荷量为+q（q>0）的点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处，A、B分别为导体棒左右两端的一点，O为棒的中心，静电力常量为k。当棒达到静电平衡后，下列说法正确的是（    ） A．A、B都感应出负电荷 B．感应电荷在O处产生的电场强度方向水平向右 C．感应电荷在O处产生的电场强度大小 D．若把另一正电荷从A移到B，该电荷在A、B两点的电势能一定相等 【答案】CD 【知识点】利用静电平衡求场强、静电平衡、静电力做功的特点 【详解】ABC．根据静电平衡规律，导体A端带负电，B端带正电，静电平衡时O处的电场强度为零，即感应电荷在棒的中心O处产生的电场强度与电荷q在O点产生的电场强度等大反向，所以感应电荷在O处产生的电场强度大小，方向水平向左，故C正确,AB错误； D．静电平衡时导体是等势体，表面是等势面，把另一正电荷从A移到B，电场力做功为零，电势能不变，故D正确。 故选CD。 【典型例题2】避雷针是利用尖端放电的原理保护建筑物避免雷击的一种设施。某次雷雨天气，避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电场线分布如图所示，AB表示避雷针，CD为水平地面。以下说法正确的是（　　） A．M点的电场强度大于N点的电场强度 B．P点的电势低于Q点的电势 C．尖端放电时，避雷针的尖端B源源不断向外释放正电荷 D．雷雨云中积累有带负电的电荷 【答案】BD 【知识点】根据电场线的疏密比较电场强弱、电势和电场线的关系、尖端放电 【详解】A．电场线的疏密体现电场的强弱，N点电场强度大小大于M点电场强度大小，故A错误； B．沿电场线方向电势逐渐降低，P点的电势比Q点的低，故B正确； C．尖端放电时，空气中的电荷被电离，负电荷源源不断奔向尖端，空气中正电荷背离尖端运动，尖端没有向外释放正电荷，故C错误； D．从电场线方向知，雷雨云中积累有带负电的电荷，故D正确。 故选BD。 【典型例题3】静电除尘是利用静电场以净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、C两点在圆筒的一条直径上，BC=BP，金属圆筒Q接地（电势为0），下列判断正确的是（　　） A．AP=BP B．M、N两点的电场强度不相同 C．带负电的灰尘从M运动到C，动能减小 D．金属圆筒Q带正电，正电荷分布在圆筒内表面 【答案】BD 【知识点】电场力做功和电势能变化的关系、判断非匀强电场中等距的两点电势差大小、根据电场线的疏密比较电场强弱、静电平衡 【详解】A．依题意，A、B两点与电极P的电势差相等，因为A点到电极P的平均电场强度大于B点到电极P的平均电场强度，根据U=Ed可知，A点到电极P的距离较小，故A错误； B．由电场线分布图，根据对称性可知M、N两点的电场强度大小相等，方向不同，故B正确； C．依题意，B点的电势等于M点的电势，沿电场线方向电势降低，B点的电势小于C点的电势，则M点的电势小于C点的电势，根据Ep=qφ可知，带负电的灰尘从M运动到C，电势能减小，动能增加，故C错误； D．金属圆筒Q接地后，外表面的电荷全部导入大地，正电荷分布在圆筒内表面，故D正确。 故选BD。 【变式训练9-1】如图所示，在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时，下列说法正确的是(　　) A.A点的电场强度小于B点的电场强度 B.B点的电场强度小于C点的电场强度 C.由于静电屏蔽，C点的电场强度等于0 D.由于静电感应，球壳内表面感应出电荷 答案　C 解析　A点处于点电荷的电场中，所以A点的电场强度不等于零；金属空心球壳放在点电荷的电场中，最终处于静电平衡状态，球壳内部的电场强度处处为零，所以B、C两点的电场强度都为零，则EA>EB＝EC，故A、B错误，C正确；处于静电平衡的导体内部的电场强度处处为零，其内表面不带电，故D错误。 【变式训练9-2】某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线或等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（　　） A．实线表示电场线 B．离d点最近的导体表面电荷密度最大 C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同 D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零 【答案】D 【详解】A．处于静电平衡的导体，是个等势体，则整个导体为等势体，由于电场线方向总是与等势面垂直，所以实线不是电场线，是等势面，则A错误； B．根据等势面的疏密表示场强的强弱，则d点的场强较弱，并且电场强度越大的地方电荷密度越大，所以B错误； C．在“<”形导体右侧表面上下部分附近电场强度方向不相同，所以C错误； D．由于a、b在同一等势面上，则电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零，所以D正确； 故选D。 【变式训练9-3】下列四幅图描述的场景依次为雷电击中避雷针（图甲）、高压输电线上方还有两条与大地相连的导线（图乙）、燃气灶中的针尖状点火器（图丙）、工人穿戴着含金属丝制成的工作服进行超高压带电作业（图丁），关于这四幅图所涉及的物理知识，下列说法正确的是（    ） A．图甲中避雷针的工作原理主要是静电屏蔽 B．图乙中与大地相连的两条导线的作用和图丁中工作服内的金属丝的作用是相同的 C．图丙中的点火器是利用摩擦起电的原理进行点火的 D．图丙中的点火器的工作原理和图丁中工作服内掺入的金属丝的工作原理是相同的 【答案】B 【详解】A．避雷针的工作原理主要是利用尖端放电避免雷击，故A错误； BD．高压输电线的上方还有两条导线，这两条导线的作用是它们与大地相连，形成稀疏的金属“网”把高压线屏蔽起来，免遭雷击，与工作服内掺入的金属丝，都是利用了静电屏蔽的原理，故B正确，D错误。 C．点火器是利用高压尖端放电的原理，而工作服内掺入的金属丝，是利用了静电屏蔽的原理，故C错误； 故选B。 【变式训练9-4】如图，在一点电荷−Q附近有一不带电的球形导体处于静电平衡，其电势为φ1；现把球形导体左侧接地，达到静电平衡时断开接地并移走−Q后，其电势为φ2；下列说法正确的是（　　） A．接地时电子从大地沿导线向导体移动 B．接地达到静电平衡后，导体左侧半球不带电 C．接地达到静电平衡后，导体左侧半球电荷量不变 D．φ1<φ2 【答案】D 【详解】A．导体处在负电荷的电场中，则电势低于大地的电势，则接地时电子从导体沿导线向大地移动，选项A错误； BC．接地达到静电平衡后，导体所带电荷重新分配，导体左侧半球带正电，左侧半球电荷量发生改变，选项BC错误； D．开始时导体处在负电荷的电场中，则电势低于大地的电势，φ1<0；断开开关并移走-Q后，导体球重新达到静电平衡，但是带正电，电势φ2＞0，可知φ1<φ2 选项D正确。 故选D。 一：单选题 1.在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小关系是(　　) A.Ea＝Eb B.Ea＝2Eb C.Ea<Eb D.Ea>Eb 答案　D 解析　设F－q图像的横坐标单位长度表示的电荷量为q0，纵坐标单位长度表示的力大小为F0，根据E＝，可知F－q图像斜率表示电场强度，由题图可知Ea＝，Eb＝，可得＝4∶1，故选D。 2.把头发屑悬浮在蓖麻油里，加上电场，可以模拟出电场的分布情况。如图甲是模拟孤立点电荷和金属板之间的电场照片，图乙为简化后的电场线分布情况，则(　　) A.由图甲可知，电场线是真实存在的 B.图甲中，没有头发屑的地方没有电场 C.图乙中A点的电场强度大于B点的电场强度 D.在图乙电场中由A点静止释放的质子能沿着电场线运动到B点 答案　C 解析　电场线是假想的曲线，不是真实存在的，故A错误；题图甲中，没有头发屑的地方同样也有电场存在，故B错误；题图乙中A点的电场线较B点密集，可知A点的电场强度大于B点的电场强度，故C正确；因A、B之间的电场线为曲线，根据物体做曲线运动的条件可知，在题图乙电场中由A点静止释放的质子不可能沿电场线运动到B点，故D错误。 3.如图所示，内置金属网的高压静电防护服接地，O为防护服内的一点，把一带电荷量为＋Q的金属小球移动到距离O点为r的某处。金属小球可视为点电荷，静电力常量为k，无穷远处电势为0，下列说法正确的是(　　) A.金属小球激发的电场在防护服内不存在 B.金属小球与O点连线中点P处的电势为0 C.感应电荷在O点处产生的电场强度大小等于k D.防护服内金属网左侧外表面带负电，右侧内表面带正电 答案　C 解析　金属小球和防护服在防护服内产生的合电场强度为零，金属小球＋Q在O点产生的电场强度与感应电荷在O点产生的电场强度大小相等，方向相反，感应电荷在O点产生的电场强度大小为E＝，故A错误，C正确；从金属小球到O点的电场强度方向向右，防护服接地，电势为零，沿电场强度方向电势逐渐降低，P处的电势大于零，故B错误；防护服接地，由静电感应原理可以知道，防护服内金属网左侧外表面带负电，内表面不带电，故D错误。 4.如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q，静电力常量为k，则a电荷受到的其他三个电荷的库仑力的合力大小是(　　) A.0 B. C. D. 答案　D 解析　a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力，根据库仑定律，库仑力大小分别为Fca＝，Fba＝Fda＝k；根据力的合成法则，a电荷所受的库仑力大小为F＝，故A、B、C错误，D正确。 5.如图所示，绝缘斜面体ABC静止于粗糙的水平面上，∠B＝37°，∠C＝53°，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在AB和AC面上，且P、Q连线水平。已知AB、AC面均光滑，斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，sin 37°＝0.6。下列判断正确的是(　　) A.P、Q的质量之比是16∶9 B.P、Q带异种电荷，且Q的电荷量等于P的电荷量 C.水平面对斜面体底部有水平向右的静摩擦力 D.水平面对斜面体的支持力大于(M＋m1＋m2)g 答案　A 解析　对物体受力分析可知，库仑力F、重力mg和倾角θ的关系式为F＝mgtan θ，可知P、Q质量之比为，A正确；P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定带异种电荷，电荷量大小关系不能确定，B错误；对斜面体和P、Q所构成的整体受力分析，水平面对斜面体的支持力等于总重力，水平面对斜面体没有摩擦力，水平面对斜面体的支持力为FN＝(M＋m1＋m2)g，C、D错误。 6.如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为(　　) A.Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q B.Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q C.Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q D.Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q 答案　D 解析　选项A、B的电荷分别均为正和均为负，则根据电场强度的叠加原理可知，P点处的电场强度不可能为零，A、B错误；若三个点电荷的电荷量分别取C选项中的各值时，设P、Q1间的距离为r，Q1、Q3在P点产生的合电场强度大小为E，由余弦定理有cos 120°＝，解得E＝，而Q2产生的电场强度大小为E2＝，则P点处的电场强度不可能为零，C错误；若电荷量取D选项中的各值时，设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的电场强度大小相等，均为E1＝，则E'＝2E1cos 30°＝，方向沿Q2指向P，又Q2产生的电场强度大小为E2'＝，方向由P指向Q2，则P点处的合电场强度为零，D正确。 7.如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间为库仑斥力，设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示， 对Q滑块在沿着斜面方向有mgcos 30°＝Fcos 30°，可得F＝mg，而对P滑块，P与M间的动摩擦因数最小时有FN2＝F＋mgsin 30°，Ff＝μFN2，Ff＝mgcos 30°，联立解得μ＝，故选D。 8.如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则(　　) A.两绳中的张力大小一定相等 B.P的质量一定大于Q的质量 C.P的电荷量一定小于Q的电荷量 D.P的电荷量一定大于Q的电荷量 答案　B 解析　设Q和P两球之间的库仑力为F，绳子的拉力分别为FT1、FT2，Q和P的质量分别为m1、m2，细绳与竖直方向的夹角为θ，对两小球受力分析，如图所示， 对于小球Q有 q1E＋FT1sin θ＝F ① FT1cos θ＝m1g ② 对于小球P有 q2E＋F＝FT2sin θ ③ FT2cos θ＝m2g ④ 由①知，FT1sin θ＝F－q1E ⑤ 对比③⑤可得FT2>FT1 由②④可得 可知m2>m1；两小球的电荷量则无法判断。故选B。 9.经研究表明取无穷远处为零电势，导体球表面的电势与导体球所带的电荷量成正比，与导体球的半径成反比。金属小球a和金属小球b的半径之比为，所带电荷量大小之比，两小球间距远大于小球半径且间距为L时，它们之间的相互引力大小为F。现将金属小球a与金属小球b相互接触，达到静电平衡后再放回到原来位置，这时a、b两球之间的相互作用力是（不考虑万有引力）（　　） A．库伦斥力 B．库伦斥力 C．库伦引力 D．库伦引力 【答案】A 【详解】a、b两球相互吸引，两球带异种电荷，根据库仑定律公式得，相距L时的相互引力当它们相互接触后，先中和后重新分配。它们相互接触达到静电平衡后，电势相同。 因 a、b两球电量之比为中和后有解得中和后a、b两球电性相同，静电平衡后电场力大小为电场力表现为为库伦斥力，故A正确，BCD错误。 故选A。 10.如图所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球可看成质点且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是（　　） A．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1 B．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1 C．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1 D．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1 【答案】D 【详解】AB．三个带电小球两两之间存在库仑力，且库仑力的方向一定沿两小球的连线方向，假设C球带负电，对C球进行受力分析，可知匀强电场对C球的电场力方向水平向左，要使C球受力平衡，则A球须带正电，B球需带负电，故AB错误； CD．假设A球带正电，则匀强电场对A球的电场力方向水平向右，要使A球受力平衡，则B、C两球须均带负电且两者电荷量相等，分析B、C两球可知系统可处于平衡状态，对B球进行受力分析，可得 可得因此有故C错误，D正确。故选D。 11.如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【答案】C 【详解】对小球A进行受力分析如图 可得与相似，故有又由库仑定律，所以代入可得 小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量所以再次平衡后A、B间距离，C正确。故选C。 12.如图所示，绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角θ=30°。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，且小球A正好静止在斜面中点。在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B，两球相距为d。已知两球的质量均为m、电荷量均为+q，静电力常量为k，重力加速度为g，两球均可视为点电荷。则下列说法不正确的是（　　） A．两球之间的库仑力F=k B．当时，斜面对小球A的支持力为 C．当时，细线上拉力为0 D．将小球B移到斜面底面左端C点，当时，斜面对小球A的支持力为0 【答案】C 【详解】A．依据库仑定律，则两球之间的库仑力大小为F= k故A正确，不符合题意； BC．当时，则有k=mg对球受力分析，如图所示： 根据矢量的合成法则，依据三角知识，则斜面对小球A的支持力为N= mg；T= mg故B正确，不符合题意，C错误，符合题意； D．当小球B移到斜面底面左端C点，对球受力分析，如图所示： 依据几何关系可知，T与F的夹角为120∘，当时，即有k=mg根据矢量的合成法则，则有电场力沿垂直斜面方向的分力与重力沿垂直斜面方向的分力等值反向，那么斜面对小球A的支持力为N=0，故D正确，不符合题意；故选C。 13.一个均匀带正电的绝缘球体，单位体积内电荷量为ρ，球心为O，半径为r，内部有一个球形空腔，腔内的电场为匀强电场，空腔球心为P，半径为0.5r，且OP处于同一水平面上，OP连线延长线上有一点A，，静电力常量为k。已知：均匀带电球壳在其内部产生的场强为0。则下列说法正确的是（　　）    A．空腔内匀强电场方向可能垂直OP向上 B．该球体是一个等势体 C．A处场强大小为 D．空腔内场强大小为 【答案】D 【详解】A．题中含腔带电体可以看成一个完整的大球和一个电荷体密度相等的异种电荷的小球组合而成，所以空腔内匀强电场方向应沿大球半径向外，故A错误； D．对球腔中任意一点来说，大球产生的电场为小球产生的电场为所以空腔内场强大小为故D正确； C．A处场强大小为故C错误； B．沿电场方向电势降低，所以该球体电势不相等，不是等势体，故B错误。故选D。 14.如图所示，粗细均匀的圆形绝缘环位于空间直角坐标系中的平面内，其几何中心与坐标原点O重合。处于每个象限的圆环都均匀带有相同电量的电荷，电性如图所示。点1、2、3、4、5、6分别位于z、x、y轴上，它们与原点间距相同，以下说法正确的是（　　）    A．点1、点2处的场强大小相等，方向相反 B．一质子沿x轴从点4运动到点3的过程中电场力先做负功，再做正功 C．点3、点4处的电势一定相等 D．在点2处由静止释放一质子，质子将在点1、点2之间做往复运动 【答案】C 【详解】A．根据对称性及电场强度叠加原理，点1和点2的场强都为零，场强相同，A错误； D．点2的场强都为零，在点2处由静止释放一质子，质子不受电场力作用，将在2处保持静止，D错误； C．根据微元法和等效法，点3和点4可看作等量异种电荷中垂线上的点，电势跟无穷远处电势相同，C正确； B．点3和点4处在与无穷远处相同的等势面上，粒子沿轴从4运动到3的过程中电场力不做功，B错误。 故选C。 15.如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为方向水平向右，则点的合场强大小为方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为 故选D。 16.甲和乙图分别是半径为、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是和。已知点的电场强度大小为，则点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在图甲中，设圆环在O1点产生的磁场强度是E1，由此可知，四个圆环在O1点产生的合磁场强度大小，设圆环带正电，如图所示，则有 E0=2E1cos30°=2E1=E1；E1= E0在图乙中，半圆环分成三个圆环，这三个圆环在O2点产生的合磁场强度大小为E，则有     E=E1+2E1cos60°=E0+2×E0×=E0，A正确，BCD错误。 故选A。         17.如图所示，电荷量为+q的点电荷与接地的足够大金属薄板相距2d，O为薄板左表面的几何中心，A是薄板内的一点，静电力常量为k，则（　　） A．A点的电势大于零 B．A点的电势比B点的高 C．A点的电场强度为零 D．B点的场强大小为 【答案】C 【详解】A．金属薄板是等势体，由于金属薄板接地，所以A点的电势等于零，故A错误； B．金属薄板的电势为零，正点电荷周围电势为正，所以A点的电势比B点的低，故B错误； C．A点在金属薄板内部，静电平衡，电场强度为零，故C正确； D．金属薄板的左表面感应出负电荷，B点的场强是点电荷与金属薄板电场的叠加，大于，故D错误。 故选C。 18.如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（   ）    A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0 C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0 【答案】B 【详解】对于图a，由于是匀强电场，设电场强度为E，则两个＋q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向上，一个－2q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向向下，则图a整个系统受合力为0；同理分析，由于两个＋q的电荷所在的场强更弱，则图b整个系统受合力不为0。故选B。 19.如题图1所示，x轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿x轴正方向为正，x轴上区域的电场强度分布如题图2所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　） A．A、B两点电荷电性相同 B．A、B两点电荷电荷量大小之比 C．在有限范围内，x轴上仅有一处电场强度为零 D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处 【答案】C 【详解】A．根据图2可知，处的电场强度为0，则A、B两点电荷电性必定相反，A错误； B．由于处的电场强度为0，则有解得，B错误； C．由于处的电场强度为0，可知，A带正电，B带负电，则在AB之间A的电场方向向右，B的电场方向也向右，即AB之间电场的方向始终不可能为0，A的电荷量大一些，A的左侧电场由A电荷决定，即A左侧的电场强度也不可能为0，即在有限范围内，x轴上仅有位置一处电场强度为零，C正确； D．根据图像，将一正点电荷从处由静止释放，所受电场力方向始终沿x轴正方向，即该电荷将在电场力作用下沿x轴正方向做加速运动，不可能回到处，D错误。故选C。 20.雾霾的一个重要来源就是工业烟尘。为了改善空气环境，某热电厂引进了一套静电除尘系统。它主要由机械过滤网，放电极和互相平行的集尘板三部分构成。工作原理图可简化为如图所示。假设虚线为某带电烟尘颗粒（不计重力）在除尘装置中的运动轨迹，A、B是轨迹中的两点（　　） A．该烟尘颗粒带正电 B．烟尘颗粒在A点的动能大于在B点的动能 C．烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能 D．该烟尘颗粒在A点的加速度小于在B点的加速度 【答案】C 【详解】A．根据曲线运动中力与运动方向的关系以及电场力与电场方向的关系可知，烟尘颗粒带负电，A错误； BC．A到B过程中电场力做正功，所以从A到B电势能减小，动能增加，故B错误，C正确； D．电场线的疏密反映电场强度的大小，可见所以根据牛顿第二定律可知，烟尘颗粒在A点的加速度大于在B点的加速度，D错误。故选C。 二：多选题 1.如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【答案】ACD 【详解】D．将六棱柱的上表面拿出    由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确； C．由等量异种电荷的电势分布可知，，， 因此，C正确； AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误； 故选ACD。 2.如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（　　） A．L和N两点处的电场方向相互垂直 B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 【答案】AB 【详解】A．两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向由N指向O，同理可知，两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L，L点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在L处产生的场强方向由O指向L，则L处的合场方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故A正确； B．正方形底边的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方一对等量异号电荷距离较远，则M点的场方向向左，故B正确； C．由图可知，M和O点位于两等量异号电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误； D．由图可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功不为零，故D错误。故选AB。 3.如图所示，真空中A、B、C三点是同一圆周上的三等分点，O点是圆心，A、B连线长，D为A、B连线中点。若将电荷量均为的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量，则（　　） A．两点电荷间的库仑力大小为 B．将一负点电荷放在D点受到的电场力为零 C．C点的电场强度的大小为 D．从D到C电势逐渐升高 【答案】BC 【详解】A．根据库仑定律可知，A、B两点电荷间的库仑力大小为解得故A错误； B．在等量同种正点电荷周围的电场中，连线中点处的电场强度为零，则放在点的负点电荷受到的电场力为零，故B正确； C．两点电荷在C点产生的电场强度大小相等，均为根据电场叠加原理和几何关系，两点电荷在C点产生的合电场强度大小为解得电场强度的方向水平向右，故C正确； D．在等量同种正点电荷周围的电场中，连线中垂线上从中点到无穷远处电势逐渐降低，由此可知，从点到C点电势逐渐降低，故D错误。故选BC。 4.如图甲所示，两个等量同种点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上，电荷量q=+1×10-3C、质量m=0.01kg的小球在该水平面上从a点无初速度释放，沿中垂线运动到电荷连线中点O，其v-t图象如图乙中图线①所示，其中b点处为图线切线斜率最大的点，图中②为过b点的切线，则下列说法正确的是（　　） A．P、Q带正电荷 B．b点的场强E=10V/m. C．a、b两点间的电势差为45V D．带电小球由a点运动到O点的过程中，电势能先增大后减小 【答案】BC 【详解】A．带正电的小球从a点由静止释放，向上做加速运动，可知小球受到向上的电场力，aO线上的电场方向竖直向上，两电荷带负电，故A错误； B．图象上斜率表示加速度，在b点可得根据牛顿第二定律得联立解 故B正确； C．从a到b由动能定理得由图乙可得代入解得故C正确； D．由图象乙可知，小球速度一直增大，电场力一直做正功，故电势能一直减小，运动到O点时电势能最小，故D错误。故选BC。 5.如图所示，在三维坐标系中，A、B两点处分别固定两个点电荷，电荷量为和，A点坐标为，B点坐标为。另有一点电荷C仅在A、B处两电荷的作用力下，在平面内做匀速圆周运动，O为圆心，半径，不计重力作用。则（    ） A．点电荷C在做匀速圆周运动过程中，电势能发生变化 B．点电荷C在做匀速圆周运动过程中，电势能不发生变化 C．A、B两处点电荷的电荷量满足关系 D．A、B两处点电荷的电荷量满足关系 【答案】BD 【详解】AB．电荷C仅在A、B处两电荷的作用力下，在平面内做匀速圆周运动，由能量守恒可知，动能不变，电势能也不变，故A错误，B正确； CD．点电荷C在平面内做匀速圆周运动，可知A、B处两电荷的沿轴的分力相互抵消，运用几何关系可得解得故C错误，D正确。故选BD。 6.(多选)真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x≪r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　) A.P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r B.P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C.在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D.在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 答案　BCD 解析　设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的电场强度与竖直向下的夹角为θ，则根据电场强度的叠加原理可知，A点的合电场强度为E＝ksin2 θcos θ，可知当cos θ＝时E有最大值，且最大值为E＝，再根据几何关系可知A点到O点的距离为y＝r，故A错误，B正确； 在M点放入一电子，从静止释放，由于r>r，可知电子向上运动的过程中静电力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确； 根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，电子受到的静电力为F＝keq·，由于x≪r，整理后有F＝－·x，在N点放入一电子，从静止释放，电子将以O点为平衡位置做简谐运动，故D正确。 7.规定无限远处的电势为零，真空中离正点电荷距离为r处的电势，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量。如图，真空中的M、N为两个半径均为R、电荷量均为的均匀带电细圆环，两圆环竖直、正对固定，B为两圆心A、C连线的中点。已知，则（　　）    A．A点的场强为 B．B点的场强为 C．B点的电势为 D．C点的电势为 【答案】AC 【详解】A．由对称性可知M圆环在A点的合场强为零。把N圆环分成很多等份，每一份都可视为点电荷，设每一份的电荷量为，研究其中任意一份，它与A点的距离为 在A点的场强大小为根据对称性可知每一份对A点的电场强度垂直于CA连线的分量相互抵消，由三角函数知识解得沿着CA连线的分量求和即为N圆环在A处的场强故A正确； B．M、N圆环距B点的距离相等，根据矢量叠加可知B点的场强为0，故B错误； C．把M圆环分成很多等份，每一份都可视为点电荷，设每一份的电荷量均为，研究其中任意一份，它与B点的距离为故在B点产生的电势为因为电势为标量﹐所以M圆环在B处产生的电势为同理N圆环在B处产生的电势相等，M、N圆环在B点的电势为 故C正确； D．同理M圆环在C处产生的电势为，N圆环在C处产生的电势为则C点的电势为故D错误。故选AC。 8.是空间中的立方体，abcd分别是图示四条边的中点，在A、B、D、E、F、H六个顶点放置点电荷，电性和电荷量如图所示，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c、d四个点中b点电势最高 B．a、b、c、d四个点中a点电场强度最大 C．正方形abcd中心处的电场强度为0 D．把正检验电荷从a点沿ac连线移动到c点，电荷的电势能不变 【答案】ABD 【详解】A．根据点电荷的位置、电性和等量异号电荷、等量同号电荷的特点，可知a、b、c、d四个点中b点电势最高，故A正确； B．根据点电荷的电场强度和矢量的合成，可判断出a、b、c、d四个点中a点电场强度最大，故B正确； C．根据矢量的合成可知正方形abcd中心处电场强度的矢量和一定不为0，故C错误； D．ac连线是电场中的等势线，把正电荷从a点沿ac连线移动到c点，电荷的电势能不变，故D正确。 故选ABD。 9.如图所示，菱形ABCD上B、C、D三点放置电荷量分别为、、的点电荷，O为菱形的中心，a、b、c、d为四条边的中点，，则（　　）    A．a、b、c、d四点的电势关系为 B．a、b两点的电场强度大小相等 C．负试探电荷从OC中点处运动到OA中点处，电势能减小 D．正试探电荷沿直线从b到c，电场力一直做正功 【答案】AC 【详解】A．根据对称性可知，B、C两点处的点电荷在a点产生的电势与C、D两点处的点电荷在d点产生的电势相等。又D处点电荷在a点产生的电势与B处点电荷在d产生的电势相等，可得a、d两点处的电势相等，同理可得b点电势与c点电势相等，在B、C处点电荷产生的电场中，b点在两点电荷连线的垂直平分线上，a点距离负电荷远，则a点处的电势大于b点处的电势，根据以上分析可知，a、b、c、d四点的电势关系为故A项正确； B．根据对称性可知，B、D两点处的点电荷在a、b两点产生的电场强度相同，C点处点电荷在b点产生的电场强度大于在a点产生的，根据电场的叠加可知，a点的电场强度大小小于b点的电场强度大小，故B项错误； C．在B、D两点处点电荷产生的电场中，负试探电荷从OC中点到O点的过程，电场力均做正功，负试探电荷的电势能减小，又根据对称性可知，负试探电荷从O点到OA中点过程中，电场力均做负功，且做功大小相等，又C点处点电荷对负试探电荷一直做正功，则负试探电荷的电势能减小，故C项正确； D．根据之前的分析可知b、c两点电势相等，正试探电荷沿直线从b到c，电场力不可能一直做正功，故D项错误。故选AC。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 电场强度 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：电场强度的理解 8 题型02：点电荷电场强度的叠加 11 （一）：2个点电荷电场强度的叠加计算 11 （二）3个点电荷电场强度的叠加计算 13 （三）多个点电荷电场强度的叠加计算 14 题型03：点电荷与匀强电场的叠加 15 题型04：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 17 题型05：非点电荷电场强度的特殊计算方法 19 （一） 微元法 19 （二） 等效法 22 （三） 对称法 27 （四） 割补法 38 （五） 极限法 43 题型06：场强与电场线 43 题型07：场强图像 47 （一）E－x图像对称模型 47 （二）E－x图像不对称模型 50 题型08：场强的实际应用 58 题型09：静电防护 60 巩固提升 62 1. 题型分值：选择、填空、计算题，4～7分；静电场核心基础，综合大题必考。 2. 核心考点 ① 三个电场强度公式辨析：② 电场线与场强大小、方向关系； ③ 多个点电荷场强矢量叠加； ④ 匀强电场场强、电势差综合计算； ⑤ 场强方向判断：正电荷向外，负电荷向内，正试探电荷受力同向。 3. 高频易错点 ① 混淆三个公式适用条件，乱用公式； ② 误认为E与试探电荷q、电场力F成正比； ③ 场强是矢量，叠加只算大小忘记分解方向； ④ E＝d是沿电场线的垂直距离，不是两点直线距离。 4. 命题趋势：结合平衡、带电粒子偏转综合考查，矢量计算为重点。 一：基础识记 1. 熟记场强三个公式、各自适用范围； 2. 记住场强物理意义、单位、电场线规律。 二：理解目标 1. 理解定义式E＝：场强由场源决定，与试探电荷无关； 2. 分清点电荷、匀强电场场强分布特点； 3. 掌握场强矢量叠加原理。 三：应试目标 1. 能快速判断概念选择题对错，避开比例陷阱； 2. 多点电荷场强叠加会正交分解计算； 3. 匀强电场结合电势差、受力综合列式解题。 知识点一：电场强度 1.定 义：放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的电荷量q的比值。 2.定义式：E＝。单位为N/C或V/m。 3.点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度，E＝。 4.方向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点的电场强度方向。 5.电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。 知识点二：对电场和电场强度的理解 1. 电场强度反映了电场的力的性质： 电场强度的大小和方向具有唯一性，是由电场本身的特性(形成电场的电荷及空间位置)决定的，与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电荷量的多少均无关．电场中不同的地方，电场强度一般是不同的． 2. 电场强度具有矢量性： 电场强度描述了电场的强弱，其方向与在该点的正电荷所受静电力的方向相同，与在该点的负电荷所受静电力的方向相反。 3.公式E＝可变形为F＝qE，正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反。 知识点三：电场强度的性质 1.矢量性:规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 2.唯一性:电场中某一点的电场强度E是唯一的,它的大小和方向与放入该点的电荷q无关,它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 3.叠加性:如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 知识点四：电场强度的理解和计算 三个场强公式的比较 表达式比较 E＝ E＝ E＝ 公式意义 电场强度定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中E与U的关系式 适用条件 一切电场 ①真空；②点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 知识点五：电场强度的叠加 1.电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和． 2.运算法则：平行四边形定则． 知识点六：电场线 1.六种典型电场的电场线 2.电场线的特点 ①电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷． ②电场线在电场中不相交． ③在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏． ④电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向． ⑤沿电场线方向电势逐渐降低． ⑥电场线和等势面在相交处相互垂直． 3.电场线的应用： ①判断电场力的方向：正电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相同，负电荷的受力方向与电场线在该点的切线方向相反。 ②判断电场强度的大小(定性)：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小。 ③判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快。 ④判断等势面的疏密：电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏。 ⑤等量同号点电荷的电场（电场线分布如图1） A.两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大． B.两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小． C.关于中心点O对称的点，场强等大反向． 图1　　　　　　　　　　图2 ⑥等量异号点电荷的电场（电场线分布如图2） A.两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小． B.两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大． C.关于中心点对称的点，场强等大同向． 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 比较项目 等量异种点 电荷 等量同种点 电荷 电场线的分布图 连线中点O 处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿连线的中垂线由O点向外的场强大小 O点最大，向外逐渐变小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等) 等大同向 等大反向 知识点七：非点电荷电场强度的叠加及计算方法 1.等效法: 在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。例如:一个点电荷+q与一个接地无限大薄金属板在板右侧空间形成的电场,等效为两个等量异种点电荷+q与-q在右侧空间形成的电场,如图(甲)、(乙)所示。 2.对称法: 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 3. 填补法: 将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板,或将半球面补全为球面,从而化难为易、事半功倍。 4.微元法:将带电体分成许多元电荷,每个元电荷看成点电荷,先根据库仑定律求出每个元电荷的电场强度,再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 5.极限法：物理中体现极限思维的常用方法有极限法。极限法是把某个物理量推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．极限思维法在进行某些物理过程分析时，具有独特作用，使问题化难为易，化繁为易，收到事半功倍的效果。 选用技巧 (1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法． (2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法． (3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法． 1. 公式选用口诀 任意电场用E＝；孤立点电荷用E＝；仅匀强电场用E＝。 2. 场强叠加步骤 分别算出每个点电荷在目标点场强大小→标注方向→正交分解→矢量求和。 3. 选择题秒杀点 ①去掉试探电荷q，空间场强不变； ②电场线越密，电场强度越大； ③负电荷产生的场强指向自身，正电荷背离自身。 4. U=Ed解题关键 d：两点沿电场线方向的距离，斜向长度必须投影。 5. 符号规范 计算场强大小代绝对值；判断受力方向再单独区分正负电荷。 题型01：电场强度的理解 【典型例题1】关于电场强度的概念，下列说法正确的是(　　) A．由E＝可知，某电场的场强E与q成反比，与F成正比 B．正、负试探电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与放入试探电荷的正负有关 C．电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关 D．电场中某一点不放试探电荷时，该点场强等于零 【典型例题2】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则(　　) A．点电荷Q一定为正电荷 B．点电荷Q在A、B之间 C．A点的电场强度大小为2×103 N/C D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大 【变式训练1-1】有关电场强度的理解，下述说法正确的是(　　) A．由E＝可知，电场强度E跟放入的电荷q所受的电场力F成正比 B．当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度 C．由E＝k可知，在离点电荷很近的地方，r接近于0，电场强度为无穷大 D．电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关 【变式训练1-2】A为已知电场中的一固定点，在A点放一电量为q的电荷，所受电场力为F，A点的场强为E，则（　　） A．若在A点换上电量为“”的电荷，A点的场强方向发生变化 B．若在A点换上电量为“2q”的电荷，A点的场强将变为2E C．若在A点移去电荷“q”，A点的场强变为零 D．A点场强的大小、方向与q的大小、正负、有无均无关 【变式训练1-3】一个点电荷的电荷量为，所在位置的电场强度方向竖直向上，大小为，则该点电荷所受电场力的大小和方向（　　） A．9×1013 N，水平向右 B．9×1013 N，水平向左 C．0.225N，竖直向下 D．0.225N，竖直向上 【变式训练1-4】把试探电荷放到电场中的某点，测得该点的场强为，若在同一点放入电荷量为的试探电荷时，测得该点的场强（　　） A．大小为，方向与相同 B．大小为，方向与相反 C．大小为，方向与相同 D．大小为，方向与相反 【变式训练1-5】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是(　　) A．B点的电场强度大小为0.25 N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m D．点电荷Q是正电荷 【变式训练1-6】图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（　　） A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧 B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧 C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧 D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧 【变式训练1-7】在静电场中的A、B两点放置试探电荷，其受到的静电力F与试探电荷的电荷量q的关系，分别如图中直线、所示。、两点的电场强度之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-8】如图4所示，在孤立的点电荷Q所形成的电场中画一条直线AB，发现A点是直线上电场强度最大的点，其大小是E，B点电场强度大小是E，电子在A点的电势能比在B点的电势能小，则下列说法正确的是(　　) 图4 A.Q是负电荷 B.AB中点的电场强度大小是E C.AB中点的电场强度大小是E D.若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成E 【变式训练1-9】电荷均匀分布的带电球体在球体外部产生的电场强度与位于球心处等电荷量的点电荷产生的电场强度相等。已知地球所带的电荷量约为4×105 C，地球的半径约为6 000 km，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，若将地球视为一个均匀带电球体，则地球表面附近的电场强度大小约为(　 ) A．50 N/C B．100 N/C C．200 N/C D．300 N/C 【变式训练1-10】如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是(　　) A．甲带负电，乙带正电 B．甲的电荷量大于乙的电荷量 C．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点 D．P点的电场强度小于Q点的电场强度 【变式训练1-11】（多选）下列关于电场强度的两个表达式E＝和E＝k的叙述，正确的是（　　） A．E＝是电场强度的定义式，E的大小与F、q没有必然联系 B．E＝是电场强度的定义式，F是放入电场中的电荷所受的力，q是产生电场的电荷的电荷量，它适用于任何电场 C．E＝k是点电荷场强的计算公式，Q是产生电场的电荷的电荷量，它不适用于匀强电场 D．从点电荷场强计算式分析库仑定律表达式F＝k，式中k是点电荷q2产生的电场在点电荷q1处的场强大小，而k是点电荷q1产生的电场在点电荷q2处的场强大小 【变式训练1-12】(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝，方向水平向右．下列说法正确的是(　　) A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左 B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左 D．在A点放置一个电荷量＋2q的试探电荷，所受电场力为2F 题型02：点电荷电场强度的叠加 （一）：2个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】如图所示，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点。已知在P、Q连线上某点R处的电场强度为零，且PR＝2RQ。则(　　) A.q1＝2q2 B.q1＝4q2 C.q1＝－2q2 D.q1＝－4q2 【典型例题2】在x轴上固定有两个正、负点电荷，一个带电荷量为＋Q1、一个带电荷量为－Q2(Q1>0、Q2>0)，用E1表示Q1在x轴上产生的电场强度大小，E2表示Q2在x轴上产生的电场强度大小．当Q1>Q2时，E1＝E2的点有两个，分别为M点和N点，M、N两点距Q2的距离分别为r1和r2，如图所示．则当的比值增大时(　　) A．r1、r2都减小 B．r1、r2都增大 C．r1减小，r2增大 D．r1增大，r2减小 【典型例题3】如图所示，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则(　 　) A．两点电荷都带正电 B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电 C．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 D．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 【变式训练2-1-1】真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　) A.x0 B.(2－1)x0 C.2x0 D.(2＋1)x0 【变式训练2-1-2】如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为(　 　) A．E B．E C．E D．E 【变式训练2-1-3】如图，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场图中未画出，电场强度大小为E。坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形。若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电场强度恰好为零。则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为       A. E B. C. D. 【变式训练2-1-4】（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 【变式训练2-1-5】如图所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像如图乙和沿y方向的电场强度 Ey随θ变化的图像如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所带电荷量之比为1：1 B．小球A、B 所带电荷量之比为1：2 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先减小后增大 （二）3个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 【典型例题2】如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)(　 　) A．，方向向右　　 B．，方向向左 C．，方向向右 D．，方向向左 【变式训练2-2-1】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形为三角形的中心，当棒所带电荷量均为棒带电荷量为时，点的电场强度大小为，现将棒取走，棒的电荷分布不变，则取走棒后，点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　 　) A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q 【答案】B 【变式训练2-2-3】(多选)如图所示，a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有(　　) A.d点电场强度的方向由O指向d B.O点电场强度的方向由d指向O C.d点的电场强度大于O点的电场强度 D.d点的电场强度小于O点的电场强度 （三）多个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度(　 　) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 【变式训练2-3-1】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有（ ） A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【变式训练2-3-2】(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是(　　) A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零 B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点 C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功 D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上 【变式训练2-3-3】如图所示，一个绝缘圆环，当它的段均匀带电且电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电，而另一半圆ADC均匀带电，则圆心O处电场强度的大小和方向为 A. ，方向由O指向D B. 4E，方向由O指向D C. ，方向由O指向B D. 0 题型03：点电荷与匀强电场的叠加 【典型例题1】带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是(　　) A．这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的，很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场 B．电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度 C．电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度 D．若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板 【典型例题2】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    【变式训练3-1】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 【变式训练3-2】（（多选）如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，O点固定一带电量为Q（Q>0）的点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直．则（　　） A．A、C两点的场强方向相同 B．A、B、C、D四点，B点处的电场强度最大 C．C点的场强大小一定为0 D．D点的场强大小可能为0 【变式训练3-3】（如图为水平匀强电场，一个质量为0.1㎏带电量为0.1C的带负电小球，用一根细线悬挂在 电场中，静止时悬线与竖直方向成370角．(sin37．=0.6   cos37．=0.8) 求: （1） 判断电场方向      （2）电场力的大小      （3）电场强度大小． 题型04：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 【典型例题1】如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（　　） A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大 B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大 C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0 D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0 【典型例题2】如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强相同 B．a、b两点的电势相同 C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变 D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值 【变式训练4-1】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【变式训练4-2】如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（　　） A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功 B．O点的场强小于N点的场强 C．N点的场强大小为 D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加 【变式训练4-3】如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（　　） A．速度先增大，再减小 B．速度一直增大 C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大 D．加速度先减小，再增大 【变式训练4-4】如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强与D点的场强相同 B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速 C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差 D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变 题型05：非点电荷电场强度的特殊计算方法 （1） 微元法 【典型例题1】一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是(　　) A． B． C． D． 【典型例题2】如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，带电荷量为Q，其圆心为O点．有一带电荷量为q的小球恰能静止在O点正上方的P点，O、P间距为L，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角为θ，静电力常量为k.以下说法正确的是(　 　) A．P点电场强度大小为 B．P点电场强度大小为 C．P点电场强度大小为 D．P点电场强度大小为 【典型例题3】如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 【典型例题4】半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷．点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷．将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零．圆环上剩余电荷分布不变，q为(　 　) A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝ C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝ 【变式训练5-1-1】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球大小不计，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度的大小和方向为    A. 水平向右 B. 水平向左 C. 水平向左 D. 水平向左 【变式训练5-1-2】如图所示，半径为R的两平行金属圆环竖直固定，两圆环各带等量的同种电荷，电荷量为Q且电荷分布均匀，两圆环中心连线O1O2与环面垂直，P、M、N为连线O1O2上的三个位置，且O1P＝PM＝MN＝NO2＝R。不计两圆环电荷间的相互影响，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.O1、O2两点场强为0 B.P、N两点的场强相同 C.P、N两点的电势不一定相等 D.P点的场强大小为 【变式训练5-1-3】如图所示，长为4l，倾角为37°的光滑绝缘细杆AD垂直穿过半径为l、带电量为－Q的固定大圆环圆心O，细杆上B、O、C三点等分细杆长度。现从细杆的顶端A无初速度地释放一个质量为m，带电量为＋q的套在细杆上的可视为点电荷的小滑环。已知静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，大圆环上的电荷均匀分布，小滑环上的电荷不影响电场分布，则下列说法正确的是（　　） A．大圆环在B点产生的场强大小为 B．小滑环在B点的加速度大小为 C．小滑环从B到C的过程中电场力所做的功为 D．小滑环在D点的速度大小为 【变式训练5-1-4】如图所示，有一均匀带正电的绝缘细圆环，半径为r、带电量为q。点P、Q、N把圆环分为三等分，现取走P、Q处两段弧长为的小圆弧。NO延长线交细圆环于M点，静电力常量为k，则在O点同定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力为（　　） A．方向由O指向N，大小为 B．方向由O指向N，大小为 C．方向由O指向M，大小为 D．方向由O指向M，大小为 【变式训练5-1-5】三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【变式训练5-1-6】(多选)如图，水平面上有一水平均匀带电圆环，带电量为，其圆心为点。有一带电量，质量为的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在点正下方的点。间距为，与圆环边缘上任一点的连线与间的夹角为。静电力常量为，则带电圆环在点处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1-7】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着正电荷，电量为+Q，x轴垂直于环面且过圆心O．在x轴上距圆心O距离s处有一点P，则 A．O点的电场强度为零，电势最低 B．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小 C．P点的场强大小 D．P点的场强大小 【变式训练5-1-8】N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) （2） 等效法 【知识思维方法技巧】 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 如图甲、乙所示，把一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场。 【典型例题1】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形ABC，P为三角形的中心，当AB、AC棒所带电荷量均为，BC棒带电荷量为时，P点场强大小为E，现将BC棒取走，AB、AC棒的电荷分布不变，则取走BC棒后，P点的场强大小为 A. B. C. D. E 【典型例题2】如图甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布，P在点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的，图乙中两异号点电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线，由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(k为静电力常量)，其中正确的是(　　) A. B. C. D． 【典型例题3】如图所示，a、b、c、d、e、f六点把绝缘均匀圆环平均分成六部分，其中圆弧af、bc带正电，圆弧de带负电，其余部分不带电，单位长度圆弧所带电荷量相等。圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小为E。则圆心O处的合电场强度大小为(　　) A．0 B.E C．E D．2E 【变式训练5-2-1】一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置。如图13所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则(　　) A.a点的电场强度大小为E＝4k B.a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小 C.b点的电场强度和c点的电场强度相同 D.一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零 【变式训练5-2-2】电荷量为荷O，金属板右侧空间的电场分布如图甲所示，P点是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中是两等量异种点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( 　　) A．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【变式训练5-2-3】电荷量为的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d，图中P点到金属板和点电荷间的距离均为已知P点的电场强度为，则金属板上感应电荷在P点处产生的电场强度E的大小为    A. B. C. D. 【变式训练5-2-4】经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示），与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2-5】如图，四根彼此绝缘的均匀带电导线a、b、c、d围成一个正方形线框，线框在正方形中心O点产生的电场强度大小为E0，方向竖直向下；若仅撤去导线c，则O点场强大小变为E1，方向竖直向上，则若将导线c叠于导线a处，则O点场强大小变为(　　) A．E1－E0 B．E1－2E0 C．2E1＋E0 D．2E1 【变式训练5-2-6】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上．移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变．关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　　) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 【变式训练5-2-7】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为(　　) A.，水平向右 B.，水平向左 C.，水平向右 D.，水平向左 【变式训练5-2-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为的圆环，为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上处取下足够短的带电量为的一小段，将其沿连线向下移动的距离到点处，设圆环的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为，若此时在点放一个带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2-9】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A.k B.k C.k D.k 【变式训练5-2-10】磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架，细胞膜上的离子泵可以输运阴阳离子，使其均匀地分布在分子层上，其结构示意如图所示。已知无限大均匀带电薄板周围的电场为匀强电场，静电力常量为，介质的相对介电常数为，细胞膜的面积；磷脂双分子层可视为两片平行的带电薄板，板间充满介电常数为的介质。初始时，两板不带电，间距为。现通过离子泵使两板分别带上电荷和，两板间产生静电吸引力，导致间距变化，已知单层无限大带电板的电场强度大小为，关于两板间的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．当系统处于平衡状态时， B．当系统处于非平衡状态时， C．当系统处于平衡状态时， D．当系统处于非平衡状态时， 【变式训练5-2-11】一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（　　） A． B． C． D． （3） 对称法 【典型例题1】如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 【典型例题2】如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量 A. B. C. D. 【典型例题3】如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，则带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度正确的是（　　） A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左 C．大小为，方向向左 D．大小为，方向向右 【典型例题4】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于一过球心的倾斜平面将球面分为两部分，其中则所分出的较小这部分部分的电荷在O处的电场强度E为（ ） A. B. C. D. 【典型例题5】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圆环面且过圆心O的轴线上有A、B、C三个点，C和O、O和A间的距离均为d，AB间距离为在B点处有一电荷量为的固定点电荷．已知A点处的场强为零，k为静电力常量，求： 带电圆环在O点处的场强大小； 点处场强． 【变式训练5-3-1】ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 【变式训练5-3-2】一半径为R的绝缘球体上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，以球心为原点O建立坐标系，如图所示，在x＝3R的D点有一电荷量为q的固定点电荷，已知在x＝2R的C点电场强度为零，静电力常量为k。则下面说法正确的是(　　) A．D点点电荷带负电 B．O点电场强度为零 C．F点电场强度大小为 D．从B点到D点，电势先升高后降低 【变式训练5-3-3】半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为(　　) 图5 A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 【变式训练5-3-4】图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3-5】在一半径为R的圆周上均匀分布有N个绝缘带电小球(可视为质点)无间隙排列，其中A点的小球带电荷量为+4q，其余小球带电荷量为+q，此时圆心O点的电场强度大小为E，现仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为 A．大小为E，方向沿AO连线斜向下 B．大小为E/2，方向沿AO连线斜向下 C．大小为E/3，方向沿OA连线斜向上 D．大小为E/4，方向沿OA连线斜向上 【变式训练5-3-6】如图所示，一固定的均匀带电圆环，圆心为O，带电量为Q。MN为垂直于圆环的轴线，M、N两点距圆心均为r。在圆心正下方2r的位置固定一电量为+q的小带电体。在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止。不计试探电荷的重力，静电力常量为k。则N点的电场强度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练5-3-7】如图所示，一电荷量为的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且，在a点处有一电荷量为的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量    A. B. C. D. 【变式训练5-3-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为k，若此时在O点放一个带电荷量为Q的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的静电力大小为(　　) A. B. C. D. 【变式训练5-3-9】北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，裹运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（　　） A. ab两点电势差大于bc两点电势差 B. a、c两点的电势相等 C. b、d两点的场强相等 D. 正的试探电荷从b点到d点电势能增加 【变式训练5-3-10】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【变式训练5-3-11】如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ） A. ，水平向右 B. ，水平向右 C. ，水平向左 D. ，水平向右 【变式训练5-3-12】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，半球面总电荷量为q，球面半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，且。已知N点的场强大小为E，如果把半球面改为带总电荷量为，则M点的场强大小为（ ） A. B. C. D. 【变式训练5-3-13】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【变式训练5-3-14】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上相同的正电荷．现将电荷量为Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为k为静电力常量，不考虑绝缘细棒之间及绝缘细棒与Q的相互影响      A. B. C. D. 【变式训练5-3-15】如图所示，分别带均匀正电的三根绝缘棒AB、BC、CA构成正三角形，现测得正三角形的中心O点的电势为，场强的方向背离B，大小为E，当撤出AB、BC，测得中心O点的电势为，场强的大小为，规定无限远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A. 撤去AC，则中心O点的场强大小为 B. 撤去AC，则中心O点的电势为 C. AB在中心O点的场强大小为 D. AB在中心O点的电势为 【变式训练5-3-16】如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3-17】如图所示，半径为均匀带电球体的球心和均匀带电圆环圆心相距，其连线垂直于圆环所在平面，、为该连线上两点，分别位于圆环左右两侧，且。已知带电球体的电荷量为，静电力常量为点的电场强度为0。现将小球向左移动，使球心与点重合，移动过程中没有发生电荷的转移，则带电球体移动以后点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3-18】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P'点场强大小为 C．金属带电小球的电量为 D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右 【变式训练5-3-19】如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A．k　 B．k　　 C．k　　 D．k 【变式训练5-3-20】如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3-21】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度大小为（　　） A．E=E0sinα B．E=E0cosα C． D． 【变式训练5-3-22】如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的场强大小为E1，右半部分在A2点的场强的大小为E2，则有   (       ) A．E1= E2 B．E1<E2 C．E1>E2 D．大小无法确定 【变式训练5-3-23】如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3-24】经过理论推理可知，两个大小不能忽略的带电均匀的半球面，相互作用力产生的压强为P=Eσ,其中E为场强，σ为单位面积上的电荷量，已知半径分别为R和r的带电均匀的半球，其带电量分别为Q和q，两半球的球心及最大横截面重合，两个半球之间的作用力大小为     （     ） A． B． C． D． 【变式训练5-3-25】半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷．如图所示，在A、B两处分别取走弧长为的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，、分别是A、B间两段圆弧的中点，已知，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的场强的大小和方向为（    ）    A．，由O指向 B．，由O指向 C．，由O指向 D．，由O指向 【变式训练5-3-26】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【变式训练5-3-27】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（　　） A．k B．k C．k D．k 【变式训练5-3-28】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有 (　　) A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【变式训练5-3-29】如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E 【变式训练5-3-30】电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（　　） A．圆形薄板所带电荷量为+Q B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左 C．B点的电场强度大小为，方向水平向右 D．B点的电场强度大小为，方向水平向右 【变式训练5-3-31】现有两个边长不等的正方形ABCD和abcd，如图所示，且Aa，Bb，Cc，Dd间距相等．在AB，AC，CD，DB的中点分别放等量的正点电荷或负点电荷．则下列说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度和电势均为零 B．把一负点电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零 C．同一点电荷在a、d两点所受电场力相同 D．将一正点电荷由a点移到b点电势能减小 【变式训练5-3-32】离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获和囚禁在一定范围内的装置。如图为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图，a、b、c、d是四根平行杆，他们与带有直流电压和叠加的射频电压相连，相当于四个电极，相对的电极带等量同种电荷，相邻的电极带等量异种电荷。在纸面内四根杆的连线是一个正方形，A、C是ac上的任意两点，B、D是bd上的任意两点，A、C、B、D到正方形中心O的距离相等，则（  ） A. D点的电场强度为零，电势最低 B. A、B、C、D四点电场强度大小相等 C. A点电势比B点电势高 D. 正点电荷沿直线从A经O运动到C，电势能先减小后增大 【变式训练5-3-33】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　　) A.a、b两点的场强相等 B.a、b两点的电势相等 C.c、d两点的场强相等 D.c、d两点的电势相等 【变式训练5-3-34】已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0。如图所示为一带电量为+Q，半径为R的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2R，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．将+q的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能不变 B．在圆心O处放一个电量为-2Q的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q C．在+R处取走极小的一块面积ΔS，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS，B点场强大小为 （4） 割补法 用填补法（补偿法）计算非点电荷的电场强度 若题给条件建立的模型A不是一个容易求解的模型，可以补充一些条件，建立一个容易求解的模型B，且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型，将求解模型A的问题转化为求解完整的标准模型与模型B的差值问题。 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 【典型例题1】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【典型例题3】如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O′点固定一带正电的点电荷Q，O′、M点间的距离为R，已知P点的场强为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强为(　 　) A．0 B． C． D．－ 【变式训练5-4-1】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同.如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以为直径在球内挖一球形空腔，已知静电力常量为k，球的体积公式为，则A点处场强的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4-2】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为（ ） A. B. C. D. 【变式训练5-4-3】(等效法、补偿法)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为(　　) 图6 A.－E B.－E C. D.＋E 【变式训练5-4-4】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A. 场强大小为，方向沿OA方向 B. 场强大小为，方向沿AO方向 C. 场强大小为，方向沿OA方向 D . 场强大小为，方向沿AO方向 【变式训练5-4-5】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4-6】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-4-7】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4-8】一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　) A.O、C两点电势相等 B.A点的电场强度大于B点 C.沿直线从A到B电势先升高后降低 D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大 【变式训练5-4-9】如图甲所示，一半径为R的球面上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，电荷在球心O点处产生的电场强度为零。已知下部分半球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小，方向如图甲所示。现切掉含有正电荷的球面，如图乙，若剩下的正电荷均匀分布在剩下的球面。则切掉球面后，圆心O点处的电场强度大小为    A. B. C. D. 【变式训练5-4-10】(多选)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等。如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是(　　) A.A、B两点的电势相等 B.A、B两点的电场强度相同 C.点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功 D.同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大 【变式训练5-4-11】如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　） A．点电场强度的方向垂直于向下 B．点电场强度的方向斜向下 C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 【变式训练5-4-12】(多选)如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 （5） 极限法 【变式训练5-5-1】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　） A． B． C． D． 题型06：场强与电场线 【典型例题1】在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是(　　) 　 【典型例题2】如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 【典型例题3】某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【典型例题4】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【变式训练6-1】如图所示的真空中，在正方体ABCD-A1B1C1D1空间中，A、C₁两点固定有两个等量正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．B点和D点的电势相等且比B1点和D1点的电势都高 B．B1点和D1点的场强相同 C．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做匀变速曲线运动 D．若有一个电子以某一速度射入该空间中，可能做匀速圆周运动 【变式训练6-2】如图所示，已知椭圆的方程为，a、b、c、d分别为椭圆与坐标轴的交点，M、N分别是Oa、Od的中点，在a、c两点各固定一电荷量为+Q的点电荷，b、d两点各固定一电荷量为-Q的点电荷。规定无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（　　) A．椭圆中心O点的电场强度为零，电势也为零 B．椭圆的长轴上电场强度为零的位置有3处 C．将试探电荷+q沿坐标轴从M点经O点移至N点，其电势能一直减小 D．移除a处的点电荷+Q，若要使a处的电场强度为零，则应将b、d两处点电荷的电荷量均变为 【变式训练6-3】经过研究发现：点电荷和无穷大的接地金属板间的电场（如图甲）与等量异种电荷之间的电场分布（如图乙）完全相同。如图丙所示，固定于点的正点电荷到无穷大的接地金属板的距离为，是以点电荷为圆心、为半径的圆上的一条直径，静电力常量为，现从金属板表面上点正上方处由静止释放一个带负电的试探电荷，不计试探电荷的重力。下列说法正确的是（　　） A．以点电荷为圆心的圆上各点电势相等 B．试探电荷的轨迹可能为一条直线 C．试探电荷释放点的电场强度大小为 D．点的电场强度大小为 【变式训练6-4】电鳗瞬时放电时可产生高达的电压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人，如图甲。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为如图乙，P、Q两点间的电势差为，下列说法正确的是（　　）    A．点的电场强度小于Q点的电场强度 B．一电子从点移到Q点，电场力做功 C．一质子从点由静止释放，质子将沿P、Q间的电场线运动到点 D．一电子分别置于P、Q两点，电子在点处的电势能大 【变式训练6-5】真空中有两个带电金属导体、，其中导体内部存在空腔，两者间的电场线分布如图中带箭头实线所示，曲线为某带电粒子在该电场中的运动轨迹，、、、为电场中的四个点，为空腔内部的一点，取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（　　） A．点电势等于点电势 B．点电场强度与点电场强度相同 C．点电场强度和电势均小于零 D．带电粒子仅在电场力作用下沿曲线运动时，电场力先做负功再做正功 【变式训练6-6】真空中固定一对等量异种电荷，其连线与中垂线交点为O。一个电子从A点到B点其运动轨迹图形如图所示（A、B两点离两电荷足够远）。若只考虑两个电荷产生的电场对电子的作用力，下列说法正确的是（　　） A．从A到O过程中电子的速度一直增大 B．从O到B过程中电子的电势能先减小后增大 C．在两个电荷产生的电场中，O点是中垂线上电势最低点 D．在两电荷产生的电场中，O点是中垂线上场强最小的点 题型07：场强图像 （一）E－x图像对称模型 【典型例题1】空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．下列说法中正确的是(　　)． A．O点的电势最低 B．x2点的电势最高 C．x1和－x1两点的电势相等 D．x1和x3两点的电势相等 【典型例题2】预计2025年底，济宁光伏装机总量可达700万千瓦左右，光伏电站的核心部件由半导体材料制成。一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示，取O点的电势为零，则该电场中N点到P点的电势随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系图线如图所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则(　　) A．A、B的电势相等 B．从N到O的过程中，电势一直升高 C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小 D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，电场力做功相等 【典型例题4】如图甲所示，真空中固定一个半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电小圆环，取中轴线为x轴，圆环圆心为坐标原点，向右为正方向，中轴线上的电场强度分布如图乙所示。x、-x是坐标轴上电场强度最大的两点，电场强度最大值为Em。已知点电荷q在距离为r处产生的电势为，k为静电力常量。则下列说法正确的是（　　） A．x处场强大小为 B．x处电势为 C．O点和x处的电势差为 D．若有带电荷量为的粒子沿x轴从O点一直向右运动，则其电势能先增加后减小 【变式训练7-1-1】在图甲的直角坐标系中，轴上固定两等量的点电荷，距坐标原点均为，轴上有、、三点，其纵坐标值分别为、、。轴上各点电场强度随变化的关系如图乙所示，设沿轴正方向为场强正方向，其中和的图像与轴所围阴影部分面积大小分别为、。则（　　） A．点和的电场强度相等 B．一带电量为的电子从运动到位置电势能减小量为 C．某试探电荷分别在两点处的加速度大小之比为 D．在以合适的初速度释放一正电荷，该电荷可绕圆心过做匀速圆周运动 【变式训练7-1-2】空间有沿轴对称分布的电场，其电场强度随变化的图像如图所示，取沿向右为正方向。下列说法正确的是（　　） A．的电势最低 B．和两点的电势相等 C．正电粒子在处的电势能比在处的电势能小 D．正电粒子以一定的速度由处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小 【变式训练7-1-3】某电场在x轴上各点的场强方向沿x轴方向，规定场强沿x轴正方向为正，若场强E随位移坐标x变化规律如图，x1点与x3点的纵坐标相同，图线关于O点对称，则(　　) A．O点的电势最高 B．－x2点的电势最高 C．若电子从－x2点运动到x2点，则此过程中电场力对电子做的总功为零 D．若电子从x1点运动到x3点，则此过程中电场力对电子做的总功为零 【变式训练7-1-4】一静电场在x轴上各点的电场强度E随x的变化关系图象如图所示，场强方向与x轴平行，以x轴正方向为场强的正方向。一电荷量为的粒子从点由静止释放，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子经过和两点时的加速度大小相等，方向相反 B．粒子将沿轴在~之间往复运动 C．原点O与之间和~之间的电势差相等 D．粒子由运动到的过程中电势能逐渐减小 【变式训练7-1-5】（多选）空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是(　 　) A．－x1处的电势比x1处的电势高 B．将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大后减小 C．将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动 D．负电荷在4个点中位于x2处电势能最大 【变式训练7-1-6】（多选）空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示，带电粒子在此空间只受电场力作用。下列说法中正确的是(　　) A．在－x1处释放一带负电的粒子，它将沿x轴在－x1与x1之间做往返运动 B．带负电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动到x1处，它在x1处的速度等于在－x1处的速度 C．带正电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小 D．带正电的粒子在x1处的电势能比在x2处的电势能小、与在x3处的电势能相等 【变式训练7-1-7】（多选）如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷、关于轴对称，它们在轴上的图像如图乙所示（规定轴正方向为电场强度的正方向）。若在坐标原点由静止释放一个正点电荷，它将沿轴正方向运动，不计重力。则（　　） A．点电荷在处动能最大 B．处电势最高 C．、带等量正电荷 D．点电荷沿轴正方向运动的最远距离为 （二）E－x图像不对称模型 【典型例题1】如图1为某电场中的一条电场线。以O点为原点，向右为正方向建立x轴，发现电场线上从O点到A点场强E变化如图2所示，x1为A点坐标值，把电荷量为q的点电荷从O点移到A点（E0、E1为已知量），则下列说法正确的是（　　） A．该电场为匀强电场 B．点电荷从O点到A点，电势能一定增加 C．O、A间电势差为 D．在O、A间移动该电荷，使其沿电场线方向移动时，电场力所做的功最小 【典型例题2】静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点：x1、x2、x3、x4，相邻两点间的距离相等，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　 　) A．x2和x4两点处电势相等 B．由x1运动到x4的过程中加速度先增大后减小 C．由x1运动到x4的过程中电势能先增大再减小 D．设电荷从x2运动到x1，电场力做功W1，电荷从x3运动到x2，电场力做功W2，则W1＝W2 【典型例题3】（多选）如图所示是某质点运动的v-t图像，下列判断正确的是（　　） A．在第2 s末，质点的速度方向不发生改变 B．在0~2 s内，质点做直线运动，在2~4 s内，质点做曲线运动 C．在0~2 s内，质点的加速度大小和方向均不变 D．在2~4 s内，质点的加速度不断减小，方向发生了改变 【变式训练7-2-1】沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置过程中，下列说法不正确的是（　　） A．粒子先加速后减速运动 B．粒子的电势能一直减小 C．坐标原点O和位置的电势差 D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量 【变式训练7-2-2】一种电场的某条电场线与轴重合，其场强大小与坐标的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此电场是匀强电场 B．由图像可以直接看出场强大小随均匀减小 C．图像的斜率表示电场的电势 D．与之间的电势差等于阴影部分的面积 【变式训练7-2-3】沿着轴的一电场的图像如图甲所示，沿着轴的另一电场的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．甲图中，至电场的方向沿着轴的正方向 B．甲图中，O至电场强度的大小为 C．乙图中，O至电场的方向沿着轴的负方向，至电场的方向沿着轴的正方向 D．乙图中，坐标原点处与处之间的电势差为 【变式训练7-2-4】如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则（　　） A．x1处场强大小为 B．x2处场强大小为 C．x1处电势大小为 D．x2处场强大小为 【变式训练7-2-5】如图所示的某电场中，x轴上各点处电场强度E随x变化图象，x轴正向为电场强度的正方向，在x轴上0~x1间某点处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，粒子仅在电场力作用下运动，下列说法中正确的是（　　） A．x1处电势最低 B．x2处电势最高 C．粒子在向右运动的过程中，粒子的电势能可能先减小后增大再减小 D．粒子在向右运动的过程中，如果到达x2处速度刚好为零，则粒子运动的最大速度一定大于 【变式训练7-2-6】如图所示为轴上一段电场线的电场强度随位置的变化图像（场强正方向与轴正方向相同）。下列说法正确的是（　　） A．若仅考虑电场力作用，试探电荷在处的加速度最大 B．若到和到图像与坐标轴围成的面积相等，则电势差 C．若该电场由轴上的两个不等量异种电荷产生，则带正电的电荷在带负电的电荷的右侧 D．若该电场由轴上的两个不等量异种电荷产生，则电荷量小的电荷在电荷量大的电荷的右侧 【变式训练7-2-7】真空中相距为3a的两个点电荷A和B，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在二者连线上各点场强随x变化的关系如图所示，以下说法正确的是(　　) A．二者一定是异种电荷 B．x＝a处的电势一定为零 C．x＝2a处的电势一定大于零 D．A、B的电荷量之比为1∶4 【变式训练7-2-8】x轴上各点的电场强度如图所示，场强方向与x轴平行，规定沿x轴正方向为正，一负点电荷从坐标原点O以一定的初速度沿x轴正方向运动，点电荷到达x2位置速度第一次为零，在x3位置速度第二次为零，不计粒子的重力．下列说法正确的是(　　) A．O点与x2和O点与x3电势差UOx2＝UOx3 B．点电荷从O点运动到x2，再运动到x3的过程中，加速度先减小再增大，然后保持不变 C．点电荷从O点运动到x2，再运动到x3的过程中，速度先均匀减小再均匀增大，然后减小再增大 D．点电荷在x2、x3位置的电势能最小 【变式训练7-2-9】x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于，处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是（　　） A．点电荷A、B分别带正电和负电 B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1：3 C．处电势最高且为零 D．将电子从处无初速度释放，其电势能一直减小 【变式训练7-2-10】（多选）某静电场中，x轴上电场强度E随时间变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向．一带电量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到处，假设粒子仅受电场力作用，、已知，则　　 A．粒子一定带负电 B．粒子的初动能大小为 C．粒子沿轴正方向运动过程中电势能先增大后减小 D．粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为 【变式训练7-2-11】（多选）电场中有一条电场线与x轴重合，x轴上各点的电场强度与位置的关系如图所示，一质子仅在电场力作用下，从坐标原点由静止释放沿x轴正方向运动，已知Oa＝ab＝bc＝d，b点电势φb＝0.则下列结论正确的是(　　) A．质子沿x轴做匀速直线运动 B．质子在a、c两点的电势能相等 C．质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4 D．坐标原点O的电势为1.5E0d 【变式训练7-2-12】（多选）沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 【变式训练7-2-13】（多选）在x轴上电场强度E与x的关系如图所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是(　　) A．φb＞φa＝φc＞φO B．φO＞φa＞φb＞φc C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d| D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加 【变式训练7-2-14】（多选）真空中，在x轴上x＝0和x＝8 cm处分别固定两个点电荷Q1和Q2.电荷间连线上的电场强度E随x变化的图象如图12所示(x轴正方向为场强正方向)，其中x＝6 cm处E＝0.将一个正试探电荷在x＝2 cm处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)．则下列说法正确的是(　　) A．Q1、Q2均为同种电荷 B．Q1、Q2带电荷量之比为1∶9 C．在x＝6 cm处电势为0 D．该试探电荷沿x轴从x＝2 cm运动到x＝8 cm处，电势能先减小后增大 【变式训练7-2-15】（多选）真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是(　　) A．点电荷M、N一定为同种电荷 B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1 C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小 D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小 【变式训练7-2-16】（多选）真空中相距为3a的两个点电荷M、N分别固定在x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在两者连线上各点的电场强度E随x变化的关系如图所示，设电场方向沿x轴正方向时E取正值，则以下判断正确的是(　 ) A．点电荷M、N均为正电荷 B．M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1 C．x＝2a处的电势一定为零 D．沿x轴从0到3a电势先降低再升高 【变式训练7-2-17】（多选）沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 【变式训练7-2-18】（多选）真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的处的P点和处的Q点，它们之间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的检验电荷由处的M点由静止释放后能通过处的N点。不计检验电荷的重力，O为坐标原点，以下判断正确的是（    ） A．a、b均带正电 B．a电荷量大于b电荷量 C．x轴上从P至Q电势先降低再升高 D．M、O间的电势差大于O、N间的电势差 【变式训练7-2-19】（多选）如图所示，一质量为m，带电荷量为的粒子（不计重力），从原点O由静止开始运动，空间所加的沿x轴正方向，电场强度E与其位移x的关系图线如图所示。若选定原点的电势为零，图中、为已知量，则下列说法正确的是（　　） A．处的电势为 B．处的电势为 C．内，带电粒子的最大速度为 D．带电粒子在到的过程中做减速运动 【变式训练7-2-20】（多选）如图所示，在x轴上电场强度E随x变化的图像如图所示（x轴正方向为场强正方向），其中图线在x=6cm处与x轴相切。把一个检验电荷q放在x=2cm处由静止释放，电荷仅在电场力作用下向x轴正方向运动，运动到x=7.2cm处速度减为零，运动中只受电场力，下列说法正确的是：（　　） A．电荷q带正电 B．x轴上2cm到6cm过程中场强减小、电势增加 C．电荷q从2cm到4cm与从4cm到6cm过程中动能的增加相同 D．电荷q在2cm处与在7.2cm处电势能相等 【变式训练7-2-21】（多选）某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，一个带正电的点电荷只在电场力的作用下沿x轴运动，x1、x2、x3、x4四点间隔相等，则（　　） A．点电荷在x2和x4处电势能相等 B．点电荷由x1运动到x3的过程中电势能减小 C．x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差 D．点电荷由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大 【变式训练7-2-22】（多选）如图甲所示，轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿轴正方向为正，轴上区域的电场强度分布如图乙所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　） A．A、B两点电荷电性相同 B．A、B两点电荷电荷量大小之比 C．在有限范围内，轴上仅有一处电场强度为零 D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处 【变式训练7-2-23】（多选）在竖直平面内存在一电场，其电场线分布如图甲所示，其中轴竖直向下。一带电小球从点由静止释放后沿轴正向运动，从到A运动的过程中，小球的机械能随小球运动的位移变化的图像如图乙所示，则小球（　　） A．带负电 B．从到A，所受合外力先减小后增大 C．从到A，电势能不断增大 D．从到A，速度不断增大 题型08：场强的实际应用 【典型例题】硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成，则圆心O点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径指向P点 B．，方向沿半径背离P点 C．，方向沿半径指向P点 D．，方向沿半径背离P点 【变式训练8-1】（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大 B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大 C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 【变式训练8-2】（多选）反天刀是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，如图为反天刀周围的电场线分布示意图，A、B、C为电场中的点，下列说法正确的是（　　） A．头部带负电 B．A点电场强度大于B点电场强度 C．负离子运动到A点时，其加速度方向向右 D．图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹 【变式训练8-3】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 题型09：静电防护 【典型例题】如图所示，不带电，长为l的导体棒水平放置，现将一个电荷量为+q（q>0）的点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处，A、B分别为导体棒左右两端的一点，O为棒的中心，静电力常量为k。当棒达到静电平衡后，下列说法正确的是（    ） A．A、B都感应出负电荷 B．感应电荷在O处产生的电场强度方向水平向右 C．感应电荷在O处产生的电场强度大小 D．若把另一正电荷从A移到B，该电荷在A、B两点的电势能一定相等 【典型例题2】避雷针是利用尖端放电的原理保护建筑物避免雷击的一种设施。某次雷雨天气，避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电场线分布如图所示，AB表示避雷针，CD为水平地面。以下说法正确的是（　　） A．M点的电场强度大于N点的电场强度 B．P点的电势低于Q点的电势 C．尖端放电时，避雷针的尖端B源源不断向外释放正电荷 D．雷雨云中积累有带负电的电荷 【典型例题3】静电除尘是利用静电场以净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、C两点在圆筒的一条直径上，BC=BP，金属圆筒Q接地（电势为0），下列判断正确的是（　　） A．AP=BP B．M、N两点的电场强度不相同 C．带负电的灰尘从M运动到C，动能减小 D．金属圆筒Q带正电，正电荷分布在圆筒内表面 【变式训练9-1】如图所示，在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时，下列说法正确的是(　　) A.A点的电场强度小于B点的电场强度 B.B点的电场强度小于C点的电场强度 C.由于静电屏蔽，C点的电场强度等于0 D.由于静电感应，球壳内表面感应出电荷 【变式训练9-2】某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线或等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（　　） A．实线表示电场线 B．离d点最近的导体表面电荷密度最大 C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同 D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零 【变式训练9-3】下列四幅图描述的场景依次为雷电击中避雷针（图甲）、高压输电线上方还有两条与大地相连的导线（图乙）、燃气灶中的针尖状点火器（图丙）、工人穿戴着含金属丝制成的工作服进行超高压带电作业（图丁），关于这四幅图所涉及的物理知识，下列说法正确的是（    ） A．图甲中避雷针的工作原理主要是静电屏蔽 B．图乙中与大地相连的两条导线的作用和图丁中工作服内的金属丝的作用是相同的 C．图丙中的点火器是利用摩擦起电的原理进行点火的 D．图丙中的点火器的工作原理和图丁中工作服内掺入的金属丝的工作原理是相同的 【变式训练9-4】如图，在一点电荷−Q附近有一不带电的球形导体处于静电平衡，其电势为φ1；现把球形导体左侧接地，达到静电平衡时断开接地并移走−Q后，其电势为φ2；下列说法正确的是（　　） A．接地时电子从大地沿导线向导体移动 B．接地达到静电平衡后，导体左侧半球不带电 C．接地达到静电平衡后，导体左侧半球电荷量不变 D．φ1<φ2 一：单选题 1.在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小关系是(　　) A.Ea＝Eb B.Ea＝2Eb C.Ea<Eb D.Ea>Eb 2.把头发屑悬浮在蓖麻油里，加上电场，可以模拟出电场的分布情况。如图甲是模拟孤立点电荷和金属板之间的电场照片，图乙为简化后的电场线分布情况，则(　　) A.由图甲可知，电场线是真实存在的 B.图甲中，没有头发屑的地方没有电场 C.图乙中A点的电场强度大于B点的电场强度 D.在图乙电场中由A点静止释放的质子能沿着电场线运动到B点 3.如图所示，内置金属网的高压静电防护服接地，O为防护服内的一点，把一带电荷量为＋Q的金属小球移动到距离O点为r的某处。金属小球可视为点电荷，静电力常量为k，无穷远处电势为0，下列说法正确的是(　　) A.金属小球激发的电场在防护服内不存在 B.金属小球与O点连线中点P处的电势为0 C.感应电荷在O点处产生的电场强度大小等于k D.防护服内金属网左侧外表面带负电，右侧内表面带正电 4.如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q，静电力常量为k，则a电荷受到的其他三个电荷的库仑力的合力大小是(　　) A.0 B. C. D. 5.如图所示，绝缘斜面体ABC静止于粗糙的水平面上，∠B＝37°，∠C＝53°，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在AB和AC面上，且P、Q连线水平。已知AB、AC面均光滑，斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，sin 37°＝0.6。下列判断正确的是(　　) A.P、Q的质量之比是16∶9 B.P、Q带异种电荷，且Q的电荷量等于P的电荷量 C.水平面对斜面体底部有水平向右的静摩擦力 D.水平面对斜面体的支持力大于(M＋m1＋m2)g 6.如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为(　　) A.Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q B.Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q C.Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q D.Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q 7.如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 8.如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则(　　) A.两绳中的张力大小一定相等 B.P的质量一定大于Q的质量 C.P的电荷量一定小于Q的电荷量 D.P的电荷量一定大于Q的电荷量 9.经研究表明取无穷远处为零电势，导体球表面的电势与导体球所带的电荷量成正比，与导体球的半径成反比。金属小球a和金属小球b的半径之比为，所带电荷量大小之比，两小球间距远大于小球半径且间距为L时，它们之间的相互引力大小为F。现将金属小球a与金属小球b相互接触，达到静电平衡后再放回到原来位置，这时a、b两球之间的相互作用力是（不考虑万有引力）（　　） A．库伦斥力 B．库伦斥力 C．库伦引力 D．库伦引力 10.如图所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球可看成质点且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是（　　） A．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1 B．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1 C．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1 D．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1 11.如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 12.如图所示，绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角θ=30°。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，且小球A正好静止在斜面中点。在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B，两球相距为d。已知两球的质量均为m、电荷量均为+q，静电力常量为k，重力加速度为g，两球均可视为点电荷。则下列说法不正确的是（　　） A．两球之间的库仑力F=k B．当时，斜面对小球A的支持力为 C．当时，细线上拉力为0 D．将小球B移到斜面底面左端C点，当时，斜面对小球A的支持力为0 13.一个均匀带正电的绝缘球体，单位体积内电荷量为ρ，球心为O，半径为r，内部有一个球形空腔，腔内的电场为匀强电场，空腔球心为P，半径为0.5r，且OP处于同一水平面上，OP连线延长线上有一点A，，静电力常量为k。已知：均匀带电球壳在其内部产生的场强为0。则下列说法正确的是（　　）    A．空腔内匀强电场方向可能垂直OP向上 B．该球体是一个等势体 C．A处场强大小为 D．空腔内场强大小为 14.如图所示，粗细均匀的圆形绝缘环位于空间直角坐标系中的平面内，其几何中心与坐标原点O重合。处于每个象限的圆环都均匀带有相同电量的电荷，电性如图所示。点1、2、3、4、5、6分别位于z、x、y轴上，它们与原点间距相同，以下说法正确的是（　　）    A．点1、点2处的场强大小相等，方向相反 B．一质子沿x轴从点4运动到点3的过程中电场力先做负功，再做正功 C．点3、点4处的电势一定相等 D．在点2处由静止释放一质子，质子将在点1、点2之间做往复运动 15.如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　）    A． B． C． D． 16.甲和乙图分别是半径为、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是和。已知点的电场强度大小为，则点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 17.如图所示，电荷量为+q的点电荷与接地的足够大金属薄板相距2d，O为薄板左表面的几何中心，A是薄板内的一点，静电力常量为k，则（　　） A．A点的电势大于零 B．A点的电势比B点的高 C．A点的电场强度为零 D．B点的场强大小为 18.如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（   ）    A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0 C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0 19.如题图1所示，x轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿x轴正方向为正，x轴上区域的电场强度分布如题图2所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　） A．A、B两点电荷电性相同 B．A、B两点电荷电荷量大小之比 C．在有限范围内，x轴上仅有一处电场强度为零 D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处 20.雾霾的一个重要来源就是工业烟尘。为了改善空气环境，某热电厂引进了一套静电除尘系统。它主要由机械过滤网，放电极和互相平行的集尘板三部分构成。工作原理图可简化为如图所示。假设虚线为某带电烟尘颗粒（不计重力）在除尘装置中的运动轨迹，A、B是轨迹中的两点（　　） A．该烟尘颗粒带正电 B．烟尘颗粒在A点的动能大于在B点的动能 C．烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能 D．该烟尘颗粒在A点的加速度小于在B点的加速度 二：多选题 1.如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（    ）     A．点与点的电场强度大小相等 B．点与点的电场强度方向相同 C．点与点的电势差小于点与点的电势差 D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 2.如图，两对等量异号点电荷、固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（　　） A．L和N两点处的电场方向相互垂直 B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 3.如图所示，真空中A、B、C三点是同一圆周上的三等分点，O点是圆心，A、B连线长，D为A、B连线中点。若将电荷量均为的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量，则（　　） A．两点电荷间的库仑力大小为 B．将一负点电荷放在D点受到的电场力为零 C．C点的电场强度的大小为 D．从D到C电势逐渐升高 4.如图甲所示，两个等量同种点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上，电荷量q=+1×10-3C、质量m=0.01kg的小球在该水平面上从a点无初速度释放，沿中垂线运动到电荷连线中点O，其v-t图象如图乙中图线①所示，其中b点处为图线切线斜率最大的点，图中②为过b点的切线，则下列说法正确的是（　　） A．P、Q带正电荷 B．b点的场强E=10V/m. C．a、b两点间的电势差为45V D．带电小球由a点运动到O点的过程中，电势能先增大后减小 5.如图所示，在三维坐标系中，A、B两点处分别固定两个点电荷，电荷量为和，A点坐标为，B点坐标为。另有一点电荷C仅在A、B处两电荷的作用力下，在平面内做匀速圆周运动，O为圆心，半径，不计重力作用。则（    ） A．点电荷C在做匀速圆周运动过程中，电势能发生变化 B．点电荷C在做匀速圆周运动过程中，电势能不发生变化 C．A、B两处点电荷的电荷量满足关系 D．A、B两处点电荷的电荷量满足关系 6.(多选)真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x≪r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　) A.P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r B.P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C.在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D.在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 7.规定无限远处的电势为零，真空中离正点电荷距离为r处的电势，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量。如图，真空中的M、N为两个半径均为R、电荷量均为的均匀带电细圆环，两圆环竖直、正对固定，B为两圆心A、C连线的中点。已知，则（　　）    A．A点的场强为 B．B点的场强为 C．B点的电势为 D．C点的电势为 8.是空间中的立方体，abcd分别是图示四条边的中点，在A、B、D、E、F、H六个顶点放置点电荷，电性和电荷量如图所示，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c、d四个点中b点电势最高 B．a、b、c、d四个点中a点电场强度最大 C．正方形abcd中心处的电场强度为0 D．把正检验电荷从a点沿ac连线移动到c点，电荷的电势能不变 9.如图所示，菱形ABCD上B、C、D三点放置电荷量分别为、、的点电荷，O为菱形的中心，a、b、c、d为四条边的中点，，则（　　）    A．a、b、c、d四点的电势关系为 B．a、b两点的电场强度大小相等 C．负试探电荷从OC中点处运动到OA中点处，电势能减小 D．正试探电荷沿直线从b到c，电场力一直做正功 1 学科网（北京）股份有限公司 $