第05讲 电场强度的叠加 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦电场强度叠加核心考点，涵盖点电荷叠加、非点电荷特殊计算（微元法、等效法等），按基础目标到拔高目标分层梳理知识，通过考情分析明确命题方向，知识要点构建体系，解题策略提炼方法，题型归纳覆盖高考高频题型，助力学生系统突破难点。 资料突出科学思维培养，创新运用微元法、对称法等特殊计算方法，设计典型例题与变式训练分层练习，引导学生建构电场叠加模型，提升推理与论证能力。通过场强为零位置判断等难点突破策略，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第05讲 电场强度的叠加 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 7 点电荷电场强度的叠加 7 题型01：两个点电荷电场强度的叠加 7 题型02：三个点电荷电场强度的叠加 14 题型03：多个点电荷电场强度的叠加 17 题型04：空间点电荷场强叠加 19 题型05：点电荷与匀强电场的叠加 22 题型06：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 25 非点电荷电场强度的特殊计算方法 27 题型07：微元法 27 题型08：等效法 31 题型09：对称法 35 题型10：割补法 47 题型11：极限法 51 一．考点定位：电场强度叠加，属于静电场基础核心考点，高考、月考高频。常结合点电荷电场公式E＝k 考查矢量合成。 二．题型：选择题为主，少量计算题；多为2个点电荷叠加，偶尔3个。 三．命题方向 1.等量同种/异种电荷的电场分布（中垂线、连线上场强大小方向判断） 2.多个点电荷在某点场强叠加，矢量平行四边形定则 3.场强为零的位置判断（必考难点） 四．易错点：场强是矢量，只算大小忘记方向；正负电荷场强方向判断出错；单位、距离代错。 一．基础目标 1. 记住点电荷场强公式，会判断正、负点电荷场强方向。 2. 理解场强叠加原理：多个电荷在某点的合场强，等于各个电荷单独在该点产生场强的矢量和。 二．中档目标 1. 会用平行四边形定则、正交分解计算合场强。 2. 熟练掌握等量同种、异种电荷连线和中垂线上场强分布规律。 三．拔高目标 1. 能快速找到合场强等于0的位置，判断场强大小变化趋势。 2. 处理多个点电荷叠加、对称法简化计算。 知识点一：电场 1.定 义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质 2.基本性质：对放入其中的电荷有力的作用 知识点二：电场强度 1.定 义：放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的电荷量q的比值 2.定义式：E＝；单位：N/C或V/m 3.方 向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向 （1）电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。 （2）根据定义式E＝，对某一位置E一定，F与q成正比。 4.点电荷的电场 （1）表达式：E＝k （2）方 向：对于正点电荷的电场，方向背离正点电荷；对于负点电荷的电场，方向指向负点电荷 5.场强公式的比较 6.电场强度的性质 (1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 (2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 (3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 知识点三:电场的叠加 1.电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。 2.运算法则：平行四边形定则。 电场强度叠加遵循的规律（如图所示） 注意：①电场强度是矢量，电场中某点的几个电场强度的合场强为各个电场强度的矢量和。 ②电势是标量，电场中某点几个电场的电势的总电势为各个电势的代数和。 知识点四：求解特殊带电体电场强度的计算方法 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。例如一个点电荷与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。例如均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC所带电荷产生的电场，其方向又等效为弧的中点M处的电荷在O点产生的电场方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2 4.微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝ 知识点五：等量同种和等量异种电荷的电场强度空间分布的比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线 分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小（从左到右） 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点为零，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′、B与B′、C与C′的场强 等大同向 等大反向 知识点六：电场线等式面的应用 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小（从左到右） 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向 等势面 等量异种 等量同种 中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。 （1）正（负）点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外（内）部。 （2）离点电荷越近电场线越密（场强越大）。 （3）以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。 （4）点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝。 （5）等势面是球面 1. 分场计算：单独算出每个点电荷在目标点产生场强的大小；单独判断每个场强方向（正电荷向外，负电荷向内）。 2. 矢量合成 ①同一直线：同向相加、反向相减 ②不在一条直线：平行四边形定则 / 正交分解 ③优先用对称性：等量电荷模型，利用对称抵消，简化计算。 4. 场强为0的判断口诀：两同种电荷，零场强点在两者之间外侧；异种电荷之间不存在场强零点。 5. 检验：合场强是矢量，结果必须同时说明大小+方向。 一句话总结步骤：一求大小，二判方向，矢量叠加 点电荷电场强度的叠加 题型01：两个点电荷电场强度的叠加 【典型例题1】真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　) A.x0 B.(2－1)x0 C.2x0 D.(2＋1)x0 【典型例题2】如图，真空中有两个点电荷，为、为，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。在x轴上，下列说法正确的是（    ） A．的区域可能有一个电场强度为0的点 B．的区域电场方向沿x轴负方向 C．的区域电场方向一定沿x轴负方向 D．与产生的电场强度大小相等的点有两个 【典型例题3】如图所示，直角三角形 ABC的，，AB的长度为5L，在A点固定一带电量为16q的正点电荷，在B点固定一带电量为9q的正点电荷，静电引力常量为k， 则C点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】如图所示，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则(　 　) A．两点电荷都带正电 B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电 C．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 D．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 【典型例题5】如图，、、三个点位于以为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。、两点分别放有电荷量大小为、的点电荷时，点的电场强度方向恰好沿圆的半径方向指向点。已知，。下列说法正确的是（　　） A．为正电荷，为负电荷，且 B．为负电荷，为负电荷，且 C．为正电荷，为正电荷，且 D．为负电荷，为负电荷，且 【变式训练1-1】在x轴上固定有两个正、负点电荷，一个带电荷量为＋Q1、一个带电荷量为－Q2(Q1>0、Q2>0)，用E1表示Q1在x轴上产生的电场强度大小，E2表示Q2在x轴上产生的电场强度大小．当Q1>Q2时，E1＝E2的点有两个，分别为M点和N点，M、N两点距Q2的距离分别为r1和r2，如图所示．则当的比值增大时(　　) A．r1、r2都减小 B．r1、r2都增大 C．r1减小，r2增大 D．r1增大，r2减小 【变式训练1-2】真空中有两个点电荷，电荷量均为-q（q>0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x≪r），已知静电力常量为k，则下列说法不正确的是（　　） A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 【变式训练1-3】两个电荷量相同的负点电荷固定在水平面上的、两点，点是两个点电荷连线的中点，点位于点电荷的连线上，两点位于中垂线上，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．点的场强不为零 B．点的场强方向竖直向上 C．点的场强一定比点的场强小 D．点的场强方向水平向右 【变式训练1-4】如图，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场图中未画出，电场强度大小为E。坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形。若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电场强度恰好为零。则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为       A. E B. C. D. 【变式训练1-5】如图所示，A、B、C为一直角三角形的三个顶点，带电量绝对值分别为和的两个点电荷分别固定在A、B两点，在C点电场强度的大小为，方向与AB连线平行，AB连线中点D点场强大小为，为。则下列关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-6】如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为(　 　) A．E B．E C．E D．E 【变式训练1-7】（多选）如图所示，在xOy坐标系中，x轴上关于y轴对称的A、C两点固定等量异种点电荷＋Q、－Q，B、D两点分别位于第二、四象限，ABCD为平行四边形，边BC、AD分别与y轴交于E、F，以下说法正确的是（　　） A．E、F两点电势相等 B．B、D两点电场强度相同 C．试探电荷＋q从B点移到D点，电势能增加 D．试探电荷＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同 【变式训练1-8】如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（　　）    A． B． C． D．2 【变式训练1-9】如图所示为半径是r的半圆，O为圆心，ab为直径，c、d为半圆的三等分点。在a、b两点分别固定一点电荷，若在空间加一水平向左、电场强度大小为的匀强电场，c点的电场强度刚好为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（   ） A．a、b两点的电荷均带正电 B．a点的电荷带负电，b点的电荷带正电 C．a点的电荷所带电荷量的大小为 D．b点的电荷所带电荷量的大小为 【变式训练1-10】如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60°。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O点电场强度的大小变为E2。则E2与E1之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-11】（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 【变式训练1-12】如图所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像如图乙和沿y方向的电场强度 Ey随θ变化的图像如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所带电荷量之比为1：1 B．小球A、B 所带电荷量之比为1：2 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先减小后增大 【变式训练1-13】真空中两个等量异种点电荷，固定于相距为2r的P1、P2两点，O点为P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，N点在P1P2的延长线上。已知O点的电场强度大小为E，MO=NP2=r，则（　　） A．M点的电场强度大小为 B．M点的电场强度大小为 C．MN连线上，从M到N电势一直降低 D．MN连线上，从M到N电势先降低后升高 【变式训练1-14】如图。OC为固定在O处点电荷的一根电场线。A、B为该电场线上的两点，且。B点的电场强度大小为E，质量为m、电荷量为q的带正电的粒子M在A点的速度大小为v，沿电场线运动到B点时，速度大小为2v，若只考虑电荷间库仑力的作用，M可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．O处的点电荷带负电 B．A点的电场强度大小为2E C．M在A点的电势能小于在B点的电势能 D．电场中A、B两点间的电势差 【变式训练1-15】如图所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点分别放有等量正电荷，M、N是x轴上的两点，且OM＝MN，P点在第一象限且PM垂直于x轴，则（　　） A．P点电势比M点电势高 B．O、M两点间电势差大于M、N两点间电势差 C．M点场强比N点场强大 D．在M点静止释放一带正电粒子，该粒子将在x轴上做往返运动 【变式训练1-16】如图所示，半圆弧两端点M、N分别固定着等量正电荷．A、B、C、D是半圆弧上的四个点， AB与MN平行，则（    ） A．A、B两点场强相同 B．半圆弧上，C点电场强度最小 C．半圆弧上，C点电势最高 D．电子沿直线由M点运动到N点，电势能先减小再增大 【变式训练1-17】（多选）如图所示，真空中有一等边三角形ABC，B、C两点分别固定一个点电荷，A点的电场强度方向如图所示，取无穷远处为电势零点，下列说法正确的是（　　） A．B处点电荷带负电，C处点电荷带正电 B．B处的电荷量大于C处的电荷量 C．若仅使B处的电荷量增大，则A点的电势会升高 D．若使B和C处的电荷量均变为原来的2倍，则A点的电势也变为原来的2倍 【变式训练1-18】如图所示，真空中存在直角坐标系xOy，以O点为圆心，R为半径的圆弧上，存在a、b、两点，ab连线与x轴平行，并与y轴交于e点，已知a、b的间距为R，a、b两点均固定电荷量为Q的正点电荷，已知静电力常量为k，则下列说法中正确的是（　　） A．y轴上e点电势最低 B．O点的电场强度大小为 C．将电子沿y轴负方向从e点移动到O点，电场力不做功 D．O点的电场强度方向为y轴正方向 题型02：三个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 【典型例题2】如图所示，A、B、C是正三角形的三个顶点，O是三角形的中心。A、B处分别放置+q、+3q的点电荷。现在C处放置一点电荷Q，使O点的电场方向平行BC向右，则Q的电荷量为（　　） A．+q B．-q C．+3q D．-3q 【典型例题3】如图，等边位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，则（　　） A．A为正电荷，B为负电荷 B．B为正电荷，C为负电荷 C．C的电荷量为 D．C的电荷量为 【典型例题4】(多选)如图所示，a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有(　　) A.d点电场强度的方向由O指向d B.O点电场强度的方向由d指向O C.d点的电场强度大于O点的电场强度 D.d点的电场强度小于O点的电场强度 【变式训练2-1】如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　 　) A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q 【变式训练2-2】如图所示，在边长为L的正方形区域的顶点上，分别放置四个点电荷，其中放置在A点的点电荷所带电荷量为−2q，其余点电荷所带电荷量均为+q，此时正方形中点O点的电场强度大小为E，现仅撤去放置在A点的点电荷，则O点的电场强度变为（　　） A．大小，方向沿AO连线斜向下 B．大小，方向沿AO连线斜向上 C．大小E，方向沿AO连线斜向下 D．大小E，方向沿AO连线斜向上 【变式训练2-3】如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)(　 　) A．，方向向右　　 B．，方向向左 C．，方向向右 D．，方向向左 【变式训练2-4】如图所示，真空中有一等边三角形ABC，A、B两点分别固定了电荷量为Q的正点电荷，C点固定了电荷量为Q的负点电荷。已知AB边中点处的电场强度大小为E，下列说法正确的是（　　） A．AC边中点处的电场强度大小为6E B．AC边中点处的电场强度大小为7E C．三角形ABC内切圆圆心处的电场强度大小为 D．三角形ABC内切圆圆心处的电场强度大小为 【变式训练2-5】正三角形的三个顶点分别固定三个点电荷，其电荷量分别为：，该三角形中心点处的场强大小为，现仅把点电荷量更换为，则中心点处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-6】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形为三角形的中心，当棒所带电荷量均为棒带电荷量为时，点的电场强度大小为，现将棒取走，棒的电荷分布不变，则取走棒后，点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-7】如图所示，边长为的正三角形的中心为，交于点，三个顶点都固定有相同的正点电荷，取无穷远为电势零点，则下列说法正确的是（　　） A．点处的电场强度为零，电势也等于零 B．若是把A点处的电荷释放，它的加速度先变大后变小 C．若把一带正电的检验电荷从点移动到点，电场力做了负功 D．若把一带正电的检验电荷沿线上稍稍偏离点由静止释放，则该检验电荷将做简谐振动 题型03：多个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度(　 　) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 【典型例题2】如图所示，正边形个顶点，分别固定电量为的个正点电荷， 每个顶点到中心点的距离为， 静电力常量为，虽不一定能直接推导， 但可以根据学过的物理知识判断中心点O的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有（ ） A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【变式训练3-2】如图所示，一个绝缘圆环，当它的段均匀带电且电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电，而另一半圆ADC均匀带电，则圆心O处电场强度的大小和方向为 A. ，方向由O指向D B. 4E，方向由O指向D C. ，方向由O指向B D. 0 【变式训练3-3】(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是(　　) A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零 B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点 C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功 D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上 题型04：空间点电荷场强叠加 【典型例题1】在正方体的每条棱的中点处均放置一个点电荷。棱中点处点电荷的电荷量为，其余位置处点电荷的电荷量均为，此时正方体中心点处场强为。下列说法正确的是（    ）    A．若将中点处电荷拿走，点处电场强度大小为 B．若将中点处电荷拿走，点处电场强度大小为 C．若将中点处电荷所带电荷量变为，则点处电场强度大小为 D．若将中点处电荷所带电荷量变为，则点处电场强度为0 【典型例题2】如图所示，空间坐标系中，a、b、c、d、p点的坐标分别为，、、、、。a、b、c、d处分别固定电荷量为、、、的点电荷。已知静电力常量为，则点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】如图所示，真空中有一个三棱锥区域O-ABC，三棱锥底面ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝L，OA＝OB＝OC＝L，在A点放置一电荷量为q的正点电荷，C点放置一电荷量为2q的正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电场强度大小为 C．若在B点放置一电荷量为q的正点电荷，则其所受电场力的大小为 D．若在B点放置一电荷量为q的正点电荷，则其所受电场力的大小为 【变式训练4-2】如图所示，水平放置的正方体四条边a、b、c、d上有四根完全相同、均匀带电且电荷量为−q的绝缘棒，O点为正方体上表面的中心。现将d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒，下列说法正确的是（　　） A．替换前，O点的电场强度方向竖直向上 B．替换后，O点的电场强度方向竖直向下 C．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向上 D．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向下 【变式训练4-2】（多选）如图所示，在正方体中，O为的中点，在和处固定电荷量分别为、的点电荷。下列说法正确的是（     ） A．B、两点的电势相同 B．A、C两点的电场强度相同 C．O、两点的电场强度大小的比值为 D．将一电子从O点移到C点，电子的电势能减少 【变式训练4-3】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是（    ） A．点和点电场强度相同 B．点和点电势相同 C．点和点两点电场强度之比为 D．将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电场力不做功 【变式训练4-5】如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中点。现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是（ ） A．A′，B′，C′三点的电场强度相同 B．△ABC所在平面为等势面 C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功 D．若A′点的电势为φA′， A点的电势为φA， 则A′A连线中点D处的电势φD一定小于 【变式训练4-6】如图，真空中电量均为Q的两正点电荷，固定于一绝缘正方体框架的两侧面ABB1A1和DCC1D1中心连线上，且两电荷关于正方体中心对称，则（ ） A．A、B、C、D四个点的电势相同 B．A1、B1、C1、D1四个点的电场强度相同 C．负检验电荷q在A点的电势能小于在C1点的电势能 D．正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做正功 【变式训练4-7】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A，D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（ ） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 题型05：点电荷与匀强电场的叠加 【典型例题1】电介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场真空中与最终介质中电场的比值即为该介质的介电常数。把一介电常数为的电介质放置在真空中场强大小为的匀强电场中，最终介质中的电场强度方向与相同。则感应电荷在该介质内部产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如图所示，真空中存在电场强度大小为E，方向水平向右的匀强电场，A、B两点分别固定着等量异种点电荷+Q和-Q。O是线段AB的中点，C是线段AB垂直平分线上的一点，且∠CAB＝60°。若O点的电场强度大小为3E，则图中C点的电场强度为（　　） A．，水平向右 B．E，水平向右 C．，水平向左 D．，水平向左 【典型例题3】如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为若三个小球均处于静止状态，则匀强电场电场强度的大小为 A. B. C. D. 【典型例题4】如图所示，平面上有一个半径为R的绝缘圆环，将两电荷量为的点电荷分别放在B、D处，同时在圆环所处平面施加一个外加匀强电场，此时A点场强为0，静电力常量为k，则圆心O处电场强度的大小为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练5-1】如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则（　　） A．A、C两点的场强相同 B．B点的场强大小为E﹣k C．D点的场强大小不可能为0 D．A点的场强大小为 【变式训练5-2】如图，xOy平面直角坐标系的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E0，第一象限的P点坐标为（24L，18L），在以P点为圆心、半径为15L的圆上某点放置一负点电荷，图中没有画出，要使P点的合电场强度方向沿OP方向且放置的点电荷电荷量最小，静电力常量为k，sin37°，cos37°，则关于该点电荷的放置位置坐标和电荷量的绝对值，下列正确的是（　　） A．（33L，6L）， B．（15L，30L）， C．（24L，21L）， D．（24L，3L）， 【变式训练5-3】如图所示，在水平向右、大小为的匀强电场中的点固定一电荷量为的点电荷（电性未知），A、、、为圆周上的四点，其中、连线与电场线平行，A、连线与电场线垂直。已知点电场强度为零，则下列说法中正确的是（    ） A．该点电荷带负电 B． A、两点的电场强度相同 C．点电场强度也为零 D．点电场强度大小为 【变式训练5-4】（多选）如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则PQ中点处的电场强度大小为（　　） A．P带正电，Q带负电 B．P带负电，Q带正电 C．PQ中点处的电场强度大小为6E D．PQ中点处的电场强度大小为7E 【变式训练5-5】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 【变式训练5-6】（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【变式训练5-7】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    题型06：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 【典型例题1】如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（　　） A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大 B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大 C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0 D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0 【典型例题2】如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强相同 B．a、b两点的电势相同 C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变 D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值 。 【变式训练6-1】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【变式训练6-2】如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（　　） A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功 B．O点的场强小于N点的场强 C．N点的场强大小为 D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加 【变式训练6-3】如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（　　） A．速度先增大，再减小 B．速度一直增大 C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大 D．加速度先减小，再增大 【变式训练6-4】如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强与D点的场强相同 B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速 C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差 D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变 非点电荷电场强度的特殊计算方法 题型07：微元法 【典型例题1】如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，带电荷量为Q，其圆心为O点．有一带电荷量为q的小球恰能静止在O点正上方的P点，O、P间距为L，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角为θ，静电力常量为k.以下说法正确的是(　 　) A．P点电场强度大小为 B．P点电场强度大小为 C．P点电场强度大小为 D．P点电场强度大小为 【典型例题2】一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是(　　) A． B． C． D． 【典型例题3】如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 【典型例题4】半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷．点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷．将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零．圆环上剩余电荷分布不变，q为(　 　) A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝ C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝ 【变式训练7-1】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球大小不计，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度的大小和方向为    A. 水平向右 B. 水平向左 C. 水平向左 D. 水平向左 【变式训练7-2】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着正电荷，电量为+Q，x轴垂直于环面且过圆心O．在x轴上距圆心O距离s处有一点P，则 A．O点的电场强度为零，电势最低 B．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小 C．P点的场强大小 D．P点的场强大小 【变式训练7-3】如图所示，长为4l，倾角为37°的光滑绝缘细杆AD垂直穿过半径为l、带电量为－Q的固定大圆环圆心O，细杆上B、O、C三点等分细杆长度。现从细杆的顶端A无初速度地释放一个质量为m，带电量为＋q的套在细杆上的可视为点电荷的小滑环。已知静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，大圆环上的电荷均匀分布，小滑环上的电荷不影响电场分布，则下列说法正确的是（　　） A．大圆环在B点产生的场强大小为 B．小滑环在B点的加速度大小为 C．小滑环从B到C的过程中电场力所做的功为 D．小滑环在D点的速度大小为 【变式训练7-4】如图所示，有一均匀带正电的绝缘细圆环，半径为r、带电量为q。点P、Q、N把圆环分为三等分，现取走P、Q处两段弧长为的小圆弧。NO延长线交细圆环于M点，静电力常量为k，则在O点同定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力为（　　） A．方向由O指向N，大小为 B．方向由O指向N，大小为 C．方向由O指向M，大小为 D．方向由O指向M，大小为 【变式训练7-5】如图，n个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q（q>0），其余个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E1；若将个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q，其余n个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E2。则等于（　　） A．1 B． C． D． 【变式训练7-】如图所示，半径为R的两平行金属圆环竖直固定，两圆环各带等量的同种电荷，电荷量为Q且电荷分布均匀，两圆环中心连线O1O2与环面垂直，P、M、N为连线O1O2上的三个位置，且O1P＝PM＝MN＝NO2＝R。不计两圆环电荷间的相互影响，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.O1、O2两点场强为0 B.P、N两点的场强相同 C.P、N两点的电势不一定相等 D.P点的场强大小为 【变式训练7-6】三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【变式训练7-7】N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) 题型08：等效法 【典型例题1】如图甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布，P在点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的，图乙中两异号点电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线，由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(k为静电力常量)，其中正确的是(　　) A. B. C. D． 【典型例题2】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形ABC，P为三角形的中心，当AB、AC棒所带电荷量均为，BC棒带电荷量为时，P点场强大小为E，现将BC棒取走，AB、AC棒的电荷分布不变，则取走BC棒后，P点的场强大小为 A. B. C. D. E 【典型例题3】（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（   ） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 【变式训练8-1】一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置。如图13所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则(　　) A.a点的电场强度大小为E＝4k B.a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小 C.b点的电场强度和c点的电场强度相同 D.一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零 【变式训练8-2】电荷量为荷O，金属板右侧空间的电场分布如图甲所示，P点是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中是两等量异种点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( 　　) A．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【变式训练8-3】电荷量为的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d，图中P点到金属板和点电荷间的距离均为已知P点的电场强度为，则金属板上感应电荷在P点处产生的电场强度E的大小为    A. B. C. D. 【变式训练8-4】经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示），与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-5】如图所示，a、b、c、d、e、f六点把绝缘均匀圆环平均分成六部分，其中圆弧af、bc带正电，圆弧de带负电，其余部分不带电，单位长度圆弧所带电荷量相等。圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小为E。则圆心O处的合电场强度大小为(　　) A．0 B.E C．E D．2E 【变式训练8-6】如图，四根彼此绝缘的均匀带电导线a、b、c、d围成一个正方形线框，线框在正方形中心O点产生的电场强度大小为E0，方向竖直向下；若仅撤去导线c，则O点场强大小变为E1，方向竖直向上，则若将导线c叠于导线a处，则O点场强大小变为(　　) A．E1－E0 B．E1－2E0 C．2E1＋E0 D．2E1 【变式训练8-7】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为(　　) A.，水平向右 B.，水平向左 C.，水平向右 D.，水平向左 【变式训练8-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为的圆环，为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上处取下足够短的带电量为的一小段，将其沿连线向下移动的距离到点处，设圆环的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为，若此时在点放一个带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-9】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A.k B.k C.k D.k 【变式训练8-10】磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架，细胞膜上的离子泵可以输运阴阳离子，使其均匀地分布在分子层上，其结构示意如图所示。已知无限大均匀带电薄板周围的电场为匀强电场，静电力常量为，介质的相对介电常数为，细胞膜的面积；磷脂双分子层可视为两片平行的带电薄板，板间充满介电常数为的介质。初始时，两板不带电，间距为。现通过离子泵使两板分别带上电荷和，两板间产生静电吸引力，导致间距变化，已知单层无限大带电板的电场强度大小为，关于两板间的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．当系统处于平衡状态时， B．当系统处于非平衡状态时， C．当系统处于平衡状态时， D．当系统处于非平衡状态时， 【变式训练8-11】一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（　　） A． B． C． D． 题型09：对称法 【典型例题1】如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量 A. B. C. D. 【典型例题2】如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，则带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度正确的是（　　） A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左 C．大小为，方向向左 D．大小为，方向向右 【典型例题3】如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 【典型例题4】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于一过球心的倾斜平面将球面分为两部分，其中则所分出的较小这部分部分的电荷在O处的电场强度E为（ ） A. B. C. D. 【典型例题5】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圆环面且过圆心O的轴线上有A、B、C三个点，C和O、O和A间的距离均为d，AB间距离为在B点处有一电荷量为的固定点电荷．已知A点处的场强为零，k为静电力常量，求： 带电圆环在O点处的场强大小； 点处场强． 【变式训练9-1】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上．移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变．关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　　) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 【变式训练9-2】ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 【变式训练9-3】一半径为R的绝缘球体上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，以球心为原点O建立坐标系，如图所示，在x＝3R的D点有一电荷量为q的固定点电荷，已知在x＝2R的C点电场强度为零，静电力常量为k。则下面说法正确的是(　　) A．D点点电荷带负电 B．O点电场强度为零 C．F点电场强度大小为 D．从B点到D点，电势先升高后降低 【变式训练9-4】半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为(　　) 图5 A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 【变式训练9-5】图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-6】在一半径为R的圆周上均匀分布有N个绝缘带电小球(可视为质点)无间隙排列，其中A点的小球带电荷量为+4q，其余小球带电荷量为+q，此时圆心O点的电场强度大小为E，现仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为 A．大小为E，方向沿AO连线斜向下 B．大小为E/2，方向沿AO连线斜向下 C．大小为E/3，方向沿OA连线斜向上 D．大小为E/4，方向沿OA连线斜向上 【变式训练9-7】如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-8】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【变式训练9-9】如图所示，APB与CPD是粗细均匀、半径相同的绝缘半圆环，APB所在平面与CPD所在平面垂直，A、C、B、D均在圆心为O的圆周上。四分之一圆环AP、DP上分别均匀分布电荷量为+Q的电荷，四分之一圆环CP、BP上分别均匀分布电荷量为﹣Q的电荷，已知O点的电场强度大小为E。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿PO向右 B．O点场强方向与ACBD圆面成45°角 C．四分之一圆环PB上的电荷在O点产生的场强大小为E D．四分之一圆环PD上的电荷在O点产生的场强大小为E 【变式训练9-10】如图所示，一电荷量为的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且，在a点处有一电荷量为的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量    A. B. C. D. 【变式训练9-11】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为k，若此时在O点放一个带电荷量为Q的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的静电力大小为(　　) A. B. C. D. 【变式训练9-12】北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，裹运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（　　） A. ab两点电势差大于bc两点电势差 B. a、c两点的电势相等 C. b、d两点的场强相等 D. 正的试探电荷从b点到d点电势能增加 【变式训练9-13】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【变式训练9-】如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ） A. ，水平向右 B. ，水平向右 C. ，水平向左 D. ，水平向右 【变式训练9-14】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，半球面总电荷量为q，球面半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，且。已知N点的场强大小为E，如果把半球面改为带总电荷量为，则M点的场强大小为（ ） A. B. C. D. 【变式训练9-15】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【变式训练9-16】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上相同的正电荷．现将电荷量为Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为k为静电力常量，不考虑绝缘细棒之间及绝缘细棒与Q的相互影响      A. B. C. D. 【变式训练9-17】如图所示，分别带均匀正电的三根绝缘棒AB、BC、CA构成正三角形，现测得正三角形的中心O点的电势为，场强的方向背离B，大小为E，当撤出AB、BC，测得中心O点的电势为，场强的大小为，规定无限远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A. 撤去AC，则中心O点的场强大小为 B. 撤去AC，则中心O点的电势为 C. AB在中心O点的场强大小为 D. AB在中心O点的电势为 【变式训练9-18】如图所示，半径为均匀带电球体的球心和均匀带电圆环圆心相距，其连线垂直于圆环所在平面，、为该连线上两点，分别位于圆环左右两侧，且。已知带电球体的电荷量为，静电力常量为点的电场强度为0。现将小球向左移动，使球心与点重合，移动过程中没有发生电荷的转移，则带电球体移动以后点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-19】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P'点场强大小为 C．金属带电小球的电量为 D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右 【变式训练9-20】如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A．k　 B．k　　 C．k　　 D．k 【变式训练9-21】如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-22】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度大小为（　　） A．E=E0sinα B．E=E0cosα C． D． 【变式训练9-23】如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的场强大小为E1，右半部分在A2点的场强的大小为E2，则有   (       ) A．E1= E2 B．E1<E2 C．E1>E2 D．大小无法确定 【变式训练9-24】如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-25】经过理论推理可知，两个大小不能忽略的带电均匀的半球面，相互作用力产生的压强为P=Eσ,其中E为场强，σ为单位面积上的电荷量，已知半径分别为R和r的带电均匀的半球，其带电量分别为Q和q，两半球的球心及最大横截面重合，两个半球之间的作用力大小为     （     ） A． B． C． D． 【变式训练9-26】半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷．如图所示，在A、B两处分别取走弧长为的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，、分别是A、B间两段圆弧的中点，已知，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的场强的大小和方向为（    ）    A．，由O指向 B．，由O指向 C．，由O指向 D．，由O指向 【变式训练9-27】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【变式训练9-28】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（　　） A．k B．k C．k D．k 【变式训练9-29】如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E 【变式训练9-30】电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（　　） A．圆形薄板所带电荷量为+Q B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左 C．B点的电场强度大小为，方向水平向右 D．B点的电场强度大小为，方向水平向右 【变式训练9-31】现有两个边长不等的正方形ABCD和abcd，如图所示，且Aa，Bb，Cc，Dd间距相等．在AB，AC，CD，DB的中点分别放等量的正点电荷或负点电荷．则下列说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度和电势均为零 B．把一负点电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零 C．同一点电荷在a、d两点所受电场力相同 D．将一正点电荷由a点移到b点电势能减小 【变式训练9-32】离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获和囚禁在一定范围内的装置。如图为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图，a、b、c、d是四根平行杆，他们与带有直流电压和叠加的射频电压相连，相当于四个电极，相对的电极带等量同种电荷，相邻的电极带等量异种电荷。在纸面内四根杆的连线是一个正方形，A、C是ac上的任意两点，B、D是bd上的任意两点，A、C、B、D到正方形中心O的距离相等，则（  ） A. D点的电场强度为零，电势最低 B. A、B、C、D四点电场强度大小相等 C. A点电势比B点电势高 D. 正点电荷沿直线从A经O运动到C，电势能先减小后增大 【变式训练9-33】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　　) A.a、b两点的场强相等 B.a、b两点的电势相等 C.c、d两点的场强相等 D.c、d两点的电势相等 【变式训练9-34】已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0。如图所示为一带电量为+Q，半径为R的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2R，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．将+q的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能不变 B．在圆心O处放一个电量为-2Q的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q C．在+R处取走极小的一块面积ΔS，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS，B点场强大小为 题型10：割补法 【典型例题1】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【典型例题3】如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O′点固定一带正电的点电荷Q，O′、M点间的距离为R，已知P点的场强为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强为(　 　) A．0 B． C． D．－ 【典型例题4】(多选)如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为   【变式训练10-1】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为（ ） A. B. C. D. 【变式训练10-2】如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-3】(等效法、补偿法)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为(　　) 图6 A.－E B.－E C. D.＋E 【变式训练10-4】（多选）如图所示，一球壳均匀带有正电荷，球壳内电场强度处处为零，为球心，点在点的正上方。在球壳最右端处挖掉一足够小的曲面，球壳剩余部分电荷分布保持不变。下列说法正确的是（     ） A．点的电场强度方向由指向 B．点的电势高于点的电势 C．点的电场强度大于点的电场强度 D．若将一正点电荷由点沿直线移动到点电场力做正功 【变式训练10-5】（多选）已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。若真空中有一个均匀的带正电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在点，半径为，，如图所示，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）    A．空腔里各点的电场方向不同 B．空腔里的电场强度方向与连线平行 C．空腔里的电场强度与该点到O点的距离成正比 D．空腔里的电场强度大小恒为 【变式训练10-6】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A. 场强大小为，方向沿OA方向 B. 场强大小为，方向沿AO方向 C. 场强大小为，方向沿OA方向 D . 场强大小为，方向沿AO方向 【变式训练10-7】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-9】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-10】一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　) A.O、C两点电势相等 B.A点的电场强度大于B点 C.沿直线从A到B电势先升高后降低 D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大 【变式训练10-11】如图甲所示，一半径为R的球面上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，电荷在球心O点处产生的电场强度为零。已知下部分半球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小，方向如图甲所示。现切掉含有正电荷的球面，如图乙，若剩下的正电荷均匀分布在剩下的球面。则切掉球面后，圆心O点处的电场强度大小为    A. B. C. D. 【变式训练10-12】如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　） A．点电场强度的方向垂直于向下 B．点电场强度的方向斜向下 C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 题型11：极限法 如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 电场强度的叠加 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 7 点电荷电场强度的叠加 7 题型01：两个点电荷电场强度的叠加 7 题型02：三个点电荷电场强度的叠加 21 题型03：多个点电荷电场强度的叠加 28 题型04：空间点电荷场强叠加 31 题型05：点电荷与匀强电场的叠加 38 题型06：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 45 非点电荷电场强度的特殊计算方法 49 题型07：微元法 49 题型08：等效法 55 题型09：对称法 63 题型10：割补法 85 题型11：极限法 94 一．考点定位：电场强度叠加，属于静电场基础核心考点，高考、月考高频。常结合点电荷电场公式E＝k 考查矢量合成。 二．题型：选择题为主，少量计算题；多为2个点电荷叠加，偶尔3个。 三．命题方向 1.等量同种/异种电荷的电场分布（中垂线、连线上场强大小方向判断） 2.多个点电荷在某点场强叠加，矢量平行四边形定则 3.场强为零的位置判断（必考难点） 四．易错点：场强是矢量，只算大小忘记方向；正负电荷场强方向判断出错；单位、距离代错。 一．基础目标 1. 记住点电荷场强公式，会判断正、负点电荷场强方向。 2. 理解场强叠加原理：多个电荷在某点的合场强，等于各个电荷单独在该点产生场强的矢量和。 二．中档目标 1. 会用平行四边形定则、正交分解计算合场强。 2. 熟练掌握等量同种、异种电荷连线和中垂线上场强分布规律。 三．拔高目标 1. 能快速找到合场强等于0的位置，判断场强大小变化趋势。 2. 处理多个点电荷叠加、对称法简化计算。 知识点一：电场 1.定 义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质 2.基本性质：对放入其中的电荷有力的作用 知识点二：电场强度 1.定 义：放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的电荷量q的比值 2.定义式：E＝；单位：N/C或V/m 3.方 向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向 （1）电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。 （2）根据定义式E＝，对某一位置E一定，F与q成正比。 4.点电荷的电场 （1）表达式：E＝k （2）方 向：对于正点电荷的电场，方向背离正点电荷；对于负点电荷的电场，方向指向负点电荷 5.场强公式的比较 6.电场强度的性质 (1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 (2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 (3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 知识点三:电场的叠加 1.电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。 2.运算法则：平行四边形定则。 电场强度叠加遵循的规律（如图所示） 注意：①电场强度是矢量，电场中某点的几个电场强度的合场强为各个电场强度的矢量和。 ②电势是标量，电场中某点几个电场的电势的总电势为各个电势的代数和。 知识点四：求解特殊带电体电场强度的计算方法 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。例如一个点电荷与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。例如均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC所带电荷产生的电场，其方向又等效为弧的中点M处的电荷在O点产生的电场方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2 4.微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝ 知识点五：等量同种和等量异种电荷的电场强度空间分布的比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线 分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小（从左到右） 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点为零，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′、B与B′、C与C′的场强 等大同向 等大反向 知识点六：电场线等式面的应用 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小（从左到右） 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向 等势面 等量异种 等量同种 中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。 （1）正（负）点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外（内）部。 （2）离点电荷越近电场线越密（场强越大）。 （3）以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。 （4）点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝。 （5）等势面是球面 1. 分场计算：单独算出每个点电荷在目标点产生场强的大小；单独判断每个场强方向（正电荷向外，负电荷向内）。 2. 矢量合成 ①同一直线：同向相加、反向相减 ②不在一条直线：平行四边形定则 / 正交分解 ③优先用对称性：等量电荷模型，利用对称抵消，简化计算。 4. 场强为0的判断口诀：两同种电荷，零场强点在两者之间外侧；异种电荷之间不存在场强零点。 5. 检验：合场强是矢量，结果必须同时说明大小+方向。 一句话总结步骤：一求大小，二判方向，矢量叠加 点电荷电场强度的叠加 题型01：两个点电荷电场强度的叠加 【典型例题1】真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　) A.x0 B.(2－1)x0 C.2x0 D.(2＋1)x0 答案　B 解析　由于两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，则Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷电场强度公式和电场强度叠加可得＝，又Q2＝8Q1，解得L＝(2－1)x0，故B正确。 【典型例题2】如图，真空中有两个点电荷，为、为，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。在x轴上，下列说法正确的是（    ） A．的区域可能有一个电场强度为0的点 B．的区域电场方向沿x轴负方向 C．的区域电场方向一定沿x轴负方向 D．与产生的电场强度大小相等的点有两个 【答案】D 【详解】A．因可知，在的区域不可能有电场强度为0的点，选项A错误； B．的区域内两电荷形成的电荷均沿x轴正向，可知该区域内电场方向沿x轴正方向，选项B错误； C．的区域内两电荷形成的电场方向相反，因，可知该区域内存在一个场强为零的点，在该点左侧到Q2之间场强沿x轴负向，在该点右侧场强沿x轴正向，选项C错误； D．因可知，与产生的电场强度大小相等的点距离Q1较远，距离Q2较近，则有两个点，一个在两电荷之间，另一个在Q2右侧，选项D正确。故选D。 【典型例题3】如图所示，直角三角形 ABC的，，AB的长度为5L，在A点固定一带电量为16q的正点电荷，在B点固定一带电量为9q的正点电荷，静电引力常量为k， 则C点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据几何关系可得 点的点电荷在点处的场强大小为 点的点电荷在点处的场强大小为 根据场强的叠加可得C点的电场强度故选A。 【典型例题4】如图所示，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则(　 　) A．两点电荷都带正电 B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电 C．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 D．A点处电荷的带电荷量与C点处电荷的带电荷量的绝对值之比为 【答案】C 【解析】若两点电荷都带正电，则两点荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，选项A错误；若A点的点电荷带负电，则A电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷带正电，则C电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，选项B错误；分析可知A点电荷带正电，C点电荷带负电，如图所示，则cos 30°＝。设AC＝L，则AB＝L，BC＝2L，EA＝k，EC＝k解得＝，选项C正确，D错误。 【典型例题5】如图，、、三个点位于以为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。、两点分别放有电荷量大小为、的点电荷时，点的电场强度方向恰好沿圆的半径方向指向点。已知，。下列说法正确的是（　　） A．为正电荷，为负电荷，且 B．为负电荷，为负电荷，且 C．为正电荷，为正电荷，且 D．为负电荷，为负电荷，且 【答案】D 【详解】根据分析可知、均为负电荷，两电荷在点的电场强度如图所示，由几何知识可知，而，联立解得故选D。 【变式训练1-1】在x轴上固定有两个正、负点电荷，一个带电荷量为＋Q1、一个带电荷量为－Q2(Q1>0、Q2>0)，用E1表示Q1在x轴上产生的电场强度大小，E2表示Q2在x轴上产生的电场强度大小．当Q1>Q2时，E1＝E2的点有两个，分别为M点和N点，M、N两点距Q2的距离分别为r1和r2，如图所示．则当的比值增大时(　　) A．r1、r2都减小 B．r1、r2都增大 C．r1减小，r2增大 D．r1增大，r2减小 【答案】A 【解析】设Q1、Q2两点电荷之间的距离为L，x轴上M、N两点的电场强度大小相等，则k＝k，k＝k，解得r1＝，r2＝，当的比值增大时，r1、r2都减小，故A正确，B、C、D错误． 【变式训练1-2】真空中有两个点电荷，电荷量均为-q（q>0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x≪r），已知静电力常量为k，则下列说法不正确的是（　　） A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 【答案】A 【详解】AB．如图，设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强的方向与竖直方向的夹角为θ（0＜θ≤），由点电荷的场强公式可知，P1处的点电荷在A处产生的电场强度大小 根据对称性及场强的叠加原理可知，A点的合场强大小为E=2E1cosθ 可得 由数学导数知识可知，当时，E有最大值，且最大值为 此时A、O之间的距离为 故A错误B正确； C．在M点放入一电子，从静止释放，电子将受向上的电场力从而向上运动，由于r＞h，则电子向上运动的过程中所在位置的电场强度一直变小，所受的电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确； D．以O点为坐标原点，以沿P1P2连线向右为正方向建立x轴，当电子在坐标x'处时，电子受到的电场力为 当x'≪r时，有 F与x'的方向相反，大小成正比，又O、N之间的距离x≪r，所以在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动，O点为平衡位置，所受电场力充当回复力，故D正确。 此题选择不正确的，故选A。 【变式训练1-3】两个电荷量相同的负点电荷固定在水平面上的、两点，点是两个点电荷连线的中点，点位于点电荷的连线上，两点位于中垂线上，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．点的场强不为零 B．点的场强方向竖直向上 C．点的场强一定比点的场强小 D．点的场强方向水平向右 【答案】D 【详解】A．根据等量负电荷的电场分布可知，点距离两个负电荷距离相同，可知该点的场强为零，选项A错误； B．点的场强方向竖直向下，选项B错误； C．从O点沿着OF方向的场强先增加后减小，可知点的场强不一定比点的场强小，选项C错误； D．点距离右侧的负电荷更近，可知C点的场强方向水平向右，选项D正确。 故选D。 【变式训练1-4】如图，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场图中未画出，电场强度大小为E。坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形。若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电场强度恰好为零。则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为       A. E B. C. D. 【答案】B 【解析】解：C点三个电场方向如图所示：根据题意可知：，又知道：，故解得：，故B正确，ACD错误。故选B。   【变式训练1-5】如图所示，A、B、C为一直角三角形的三个顶点，带电量绝对值分别为和的两个点电荷分别固定在A、B两点，在C点电场强度的大小为，方向与AB连线平行，AB连线中点D点场强大小为，为。则下列关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由于在C点电场强度方向与AB连线平行，可知和为异种电荷，设BC长度为d，则和在C点产生的电场强度大小分别为几何关系可知联立解得由电场叠加原理可知，在C点电场强度的大小为在D点电场强度的大小为联立解得故选A。 【变式训练1-6】如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中A、B、C三个点构成等边三角形。在B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则A点的电场强度大小为(　 　) A．E B．E C．E D．E 【答案】D 【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝k可知，B、C处所放正电荷在A处的电场强度大小相等，设为E1，两电荷的合电场强度方向竖直向上，由于A点的电场强度刚好为零，故匀强电场方向竖直向下，满足2E1cos 30°＝E；若把B点的正电荷换成等量的负点电荷，则两电荷的合电场强度大小等于E1，方向水平向左，与匀强电场叠加后，A点的电场强度大小为E′＝，联立可解得E′＝E，故D正确。 【变式训练1-7】（多选）如图所示，在xOy坐标系中，x轴上关于y轴对称的A、C两点固定等量异种点电荷＋Q、－Q，B、D两点分别位于第二、四象限，ABCD为平行四边形，边BC、AD分别与y轴交于E、F，以下说法正确的是（　　） A．E、F两点电势相等 B．B、D两点电场强度相同 C．试探电荷＋q从B点移到D点，电势能增加 D．试探电荷＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同 【答案】ABD 【解析】A．等量异种点电荷＋Q、－Q连线的垂直平分线是一条等势线，所以y轴是一条等势线，E、F的电势相等，故A正确； B．根据电场线的分布情况和对称性可知，B、D两点电场强度相同，故B正确； 【变式训练1-8】如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意可知两电荷为异种电荷，假设为正电荷，为负电荷，两电荷在C点的场强如下图，设圆的半径为r，根据几何知识可得 ， 同时有 ， 联立解得 故选B。    【变式训练1-9】如图所示为半径是r的半圆，O为圆心，ab为直径，c、d为半圆的三等分点。在a、b两点分别固定一点电荷，若在空间加一水平向左、电场强度大小为的匀强电场，c点的电场强度刚好为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（   ） A．a、b两点的电荷均带正电 B．a点的电荷带负电，b点的电荷带正电 C．a点的电荷所带电荷量的大小为 D．b点的电荷所带电荷量的大小为 【答案】D 【详解】A．a、b两点电荷在c点的合场强水平向右、大小为，竖直分量总和为0。两个点电荷的场强竖直分量必须一上一下。若均带正电，两个场强竖直分量都向上，无法抵消，A错误； B．若a带负电、b带正电，两个场强水平分量都向左，合场强向左，与向左的匀强电场叠加后不可能为零，B错误； CD．设a、b在c点的场强大小分别为、，因竖直分量 水平分量总和等于 ， 可得： ， 根据点电荷场强公式，其中 解得 同理可得，C错误，D正确。 故选 D。 【变式训练1-10】如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60°。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O点电场强度的大小变为E2。则E2与E1之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两电荷带电量大小均为q，则O点的场强 若将N点处的点电荷移至P点，则O点电场强度的大小为 则 故选A。 【变式训练1-11】（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 【答案】BD 【详解】A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持平衡。 设与线段交点为点，由几何关系 解得 因此有， 根据正弦定理，对甲有 对乙有 因为 是一对相互作用力，可得 A错误； B．根据点电荷场强公式，由场强叠加知识，可知C到D之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，若有一正试探电荷从C运动到D的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C点电势高于D点电势，B正确； C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在点带电量为的正点电荷的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等，方向相同。但是点带电量为的正点电荷在E、F两点的电场强度不同。E、F两点电场强度大小不同，C错误； D．电势是标量，与线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。 故选BD。 【变式训练1-12】如图所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像如图乙和沿y方向的电场强度 Ey随θ变化的图像如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所带电荷量之比为1：1 B．小球A、B 所带电荷量之比为1：2 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先减小后增大 【答案】B 【详解】AB．由乙、丙两图可知，当时，小球B在O点正上方，此时，，则说明小球A一定在y轴上固定；当θ=0时，，，小球B在O点正右侧，由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离r相同，此时有， 则小球A、B所带电荷量之比为，故A错误，B正确； CD．盘中心O处的电场强度为小球A 和小球B在O点产生的场强的矢量和，随着小球B从θ=0转到2π的过程中，和大小都不变，且方向一直沿轴负方向，方向从轴负方向逆时针旋转一周，则和的夹角从先减小到，再增大到，接着减小到，根据平行四边形定则可知，小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小再增大，故CD错误。 故选B。 【变式训练1-13】真空中两个等量异种点电荷，固定于相距为2r的P1、P2两点，O点为P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，N点在P1P2的延长线上。已知O点的电场强度大小为E，MO=NP2=r，则（　　） A．M点的电场强度大小为 B．M点的电场强度大小为 C．MN连线上，从M到N电势一直降低 D．MN连线上，从M到N电势先降低后升高 【答案】AD 【详解】AB．设两点电荷的电量为，根据电场叠加原理，可知O点电场强度为 由题知，正、负电荷到M点的距离相等，所以两点电荷在M点产生的电场强度大小相等，如图所示 则有 故M点的电场强度大小为 联立可得，故A正确，B错误； CD．根据两个等量异种点电荷的电势分布规律，可知在MN连线上，离负电荷所在的点越近，电势越低，故从M到N电势先降低后升高，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练1-14】如图。OC为固定在O处点电荷的一根电场线。A、B为该电场线上的两点，且。B点的电场强度大小为E，质量为m、电荷量为q的带正电的粒子M在A点的速度大小为v，沿电场线运动到B点时，速度大小为2v，若只考虑电荷间库仑力的作用，M可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．O处的点电荷带负电 B．A点的电场强度大小为2E C．M在A点的电势能小于在B点的电势能 D．电场中A、B两点间的电势差 【答案】D 【详解】A．粒子M从A到B动能增大，电场力做正功，又粒子M带正电，所以O处点电荷带正电，电场线的方向从A到B，故A错误； B．根据点电荷的场强公式 由于，可知 A点的电场强度大小为4E，故B错误； C．由于粒子M带正电，A点电势高于B点电势，根据 可知M在A点的电势能大于在B点的电势能，故C错误； D．根据电场力做功以及动能定理有 解得A、B两点间的电势差，故D正确。 故选D。 【变式训练1-15】如图所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点分别放有等量正电荷，M、N是x轴上的两点，且OM＝MN，P点在第一象限且PM垂直于x轴，则（　　） A．P点电势比M点电势高 B．O、M两点间电势差大于M、N两点间电势差 C．M点场强比N点场强大 D．在M点静止释放一带正电粒子，该粒子将在x轴上做往返运动 【答案】D 【解析】A．由等量同种正电荷等势线分布可知，M点电势比P点电势高，故A错误； BC．O、M间电场线比M、N间电场线分布稀疏，O、M两点间电势差小于M、N两点间电势差，N点场强大于M点场强，故BC错误； D．根据对称性，在M点静止释放的带正电粒子会以O点为中点做往返运动，故D正确。 故选D。 C．根据顺着电场线电势降低可知，B点的电势高于D点的电势，而正电荷在电势高处电势大，所以试探电荷＋q从B点移到D点，电势能减小，故C错误； D．由上分析可知，B、E间的电势差等于F、D间的电势差，根据电场力做功公式得知＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同，故D正确。 故选ABD。 【变式训练1-16】如图所示，半圆弧两端点M、N分别固定着等量正电荷．A、B、C、D是半圆弧上的四个点， AB与MN平行，则（    ） A．A、B两点场强相同 B．半圆弧上，C点电场强度最小 C．半圆弧上，C点电势最高 D．电子沿直线由M点运动到N点，电势能先减小再增大 【答案】B 【详解】A．A、B两点场强方向不相同故两点场强不相同，故A错误； B．设半圆半径R，半圆上某点P与N点连线与MN夹角， 则P点场强 当时取最小，C点场强，半圆弧上C点电场强度最小，故B正确； C．等量同种点电荷电场中，根据电场线和等势面分布，越靠近正点电荷电势越高，可知C电势不是最高，故C错误； D．由M点到N点，电势先降低后升高，电子带负电，沿直线由M点运动到N点，电势能先增大后减小，故D错误。 故选B。 【变式训练1-17】（多选）如图所示，真空中有一等边三角形ABC，B、C两点分别固定一个点电荷，A点的电场强度方向如图所示，取无穷远处为电势零点，下列说法正确的是（　　） A．B处点电荷带负电，C处点电荷带正电 B．B处的电荷量大于C处的电荷量 C．若仅使B处的电荷量增大，则A点的电势会升高 D．若使B和C处的电荷量均变为原来的2倍，则A点的电势也变为原来的2倍 【答案】AD 【详解】A．将A点的电场强度沿着AB和CA所在直线分解，如图所示 由图可知，指向B点，背离C点，故B带负电，C带正电，故A正确； B．因，由可知，，故B错误； C．若仅使B的电荷量增大，因B带负电，则B在A点产生的电势降低，A点的电势等于B、C在A点产生的电势的代数和，故A点的电势会降低，故C错误； D．若使B和C的电荷量均变为原来的2倍，电势，大小都变为原来的2倍，A点的电势等于B、C在A点产生的电势的代数和，则大小也变为原来的2倍，故D正确。故选AD。 【变式训练1-18】如图所示，真空中存在直角坐标系xOy，以O点为圆心，R为半径的圆弧上，存在a、b、两点，ab连线与x轴平行，并与y轴交于e点，已知a、b的间距为R，a、b两点均固定电荷量为Q的正点电荷，已知静电力常量为k，则下列说法中正确的是（　　） A．y轴上e点电势最低 B．O点的电场强度大小为 C．将电子沿y轴负方向从e点移动到O点，电场力不做功 D．O点的电场强度方向为y轴正方向 【答案】B 【分析】根据几何关系确定两电荷位置，结合电势、电场强度叠加原理，分析各点电势高低、场强大小方向及电场力做功情况。 【解答】解：AD、由等量正点电荷周围电场分布情况可知，y轴上e点电场强度为0、其余各点的电场强度方向均由e点指向该点，又沿电场方向电势降低，则y轴上e点电势最高，故AD错误； B、作出两点电荷在O点产生的电场，如图所示 由点电荷周围电场强度公式有，由几何关系可知∠1＝∠2＝30°，则O点的合场强为，故B正确； C、电子从e点沿y轴负方向移动到O点的过程中，电场方向从e指向O，电场力做负功，故C错误。 故选：B。 题型02：三个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 【答案】B 【解析】处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝k，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向． 【典型例题2】如图所示，A、B、C是正三角形的三个顶点，O是三角形的中心。A、B处分别放置+q、+3q的点电荷。现在C处放置一点电荷Q，使O点的电场方向平行BC向右，则Q的电荷量为（　　） A．+q B．-q C．+3q D．-3q 【答案】B 【详解】如图所示 正三角形中心O到三个顶点的距离相等，设为，根据点电荷场强公式 分解各电荷在O点场强的竖直分量，A处，正电荷场强背离A，方向竖直向下， B处，正电荷场强背离B，方向斜向右上，与水平方向夹角，竖直分量 C处Q场强竖直分量 令竖直合分量为0，则 代入整理得 解得 故选B。 【典型例题3】如图，等边位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，则（　　） A．A为正电荷，B为负电荷 B．B为正电荷，C为负电荷 C．C的电荷量为 D．C的电荷量为 【答案】D 【详解】AB．因为M点电场强度竖直向下，则C为正电荷，根据场强的叠加原理，可知A、B两点的电荷在M点的电场强度大小相等，方向相反，则B点电荷带电量为，电性与A相同，又点电场强度竖直向上，可得处电荷在点的场强垂直BC沿AN连线向右上，如图所示 可知A处电荷为正电荷，所以A、B、C均为正电荷，故AB错误； CD．如图所示 由几何关系 即 其中 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【典型例题4】(多选)如图所示，a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有(　　) A.d点电场强度的方向由O指向d B.O点电场强度的方向由d指向O C.d点的电场强度大于O点的电场强度 D.d点的电场强度小于O点的电场强度 【答案】AD 【解析】a、c两点的点电荷在d点的合电场强度的方向由O指向d，b点的点电荷在d点的电场强度的方向由O指向d，所以d点的电场强度的方向是由O指向d，选项A正确；同理，O点的场强的方向也是由O指向d，选项B错误；设菱形的边长为L，则a、c两点的点电荷在d点的电场沿Od方向的分量均为EOd＝cos 60°＝，故d点的电场强度为Ed＝2×＋＝；a、c两点的点电荷在O点的合场强为0，故O点的电场强度为EO＝＝，所以Ed＜EO，选项C错误，D正确。 【变式训练2-1】如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　 　) A．(0，2a)，q B．(0，2a)，2q C．(2a，0)，q D．(2a，0)，2q 【答案】B 【解析】(a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝，方向由点(a，a)指向点(0，2a)，如图所示。因在距P点为a的某点处放置的正点电荷Q，使得P点电场强度为零，此正电荷Q应位于(0，2a)点，且电荷量Q满足＝，解得Q＝2q，B正确。 【变式训练2-2】如图所示，在边长为L的正方形区域的顶点上，分别放置四个点电荷，其中放置在A点的点电荷所带电荷量为−2q，其余点电荷所带电荷量均为+q，此时正方形中点O点的电场强度大小为E，现仅撤去放置在A点的点电荷，则O点的电场强度变为（　　） A．大小，方向沿AO连线斜向下 B．大小，方向沿AO连线斜向上 C．大小E，方向沿AO连线斜向下 D．大小E，方向沿AO连线斜向上 【答案】B 【详解】左上角和右下角的等量同种电荷在O点电场强度等大反向，相互抵消，则有正方形中点O点的电场强度 现仅撤去放置在A点的点电荷，则现在正方形中点O点的电场强度 方向沿AO连线斜向上，故选B。 【变式训练2-3】如图所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d。E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)(　 　) A．，方向向右　　 B．，方向向左 C．，方向向右 D．，方向向左 【答案】D 【解析】当负点电荷在H点时，F点处电场强度恰好为零，根据公式E＝k可得负点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝k，方向水平向左，故两个正点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝k，方向水平向右；负点电荷移到O点，在F点产生的电场强度大小为E1＝k，方向水平向左，所以F点的合场强为k－k＝k，方向水平向左，故D正确，A、B、C错误． 【变式训练2-4】如图所示，真空中有一等边三角形ABC，A、B两点分别固定了电荷量为Q的正点电荷，C点固定了电荷量为Q的负点电荷。已知AB边中点处的电场强度大小为E，下列说法正确的是（　　） A．AC边中点处的电场强度大小为6E B．AC边中点处的电场强度大小为7E C．三角形ABC内切圆圆心处的电场强度大小为 D．三角形ABC内切圆圆心处的电场强度大小为 【答案】D 【详解】AB．已知A点和B点的点电荷在AB边中点处产生的合电场强度大小为0，设等边三角形的边长为l，根据点电荷电场强度公式可知，AB边中点处的电场强度大小为 A点和C点的点电荷在AC边中点处产生的合电场强度大小为 方向由A点指向C点。 B点的点电荷在AC边中点处产生的电场强度大小为 方向垂直于AC边由B点指向AC的中点。 根据电场强度的叠加原理，解得AC边中点处的电场强度大小为 故AB错误； CD．根据几何关系及点电荷电场强度公式可知，三个点电荷在三角形ABC内切圆圆心处产生的电场强度大小均为 根据电场强度的叠加原理，解得三角形ABC内切圆圆心处的电场强度大小为故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2-5】正三角形的三个顶点分别固定三个点电荷，其电荷量分别为：，该三角形中心点处的场强大小为，现仅把点电荷量更换为，则中心点处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设O点到正三角形三个顶点的距离为r，根据点电荷场强公式可得三个点电荷在O点的场强大小为 方向如图所示 由场强的叠加原理，可知 现仅把点电荷量更换为，则 方向如图所示 则中心点处的场强大小为 联立，解得 故选B。 【变式训练2-6】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形为三角形的中心，当棒所带电荷量均为棒带电荷量为时，点的电场强度大小为，现将棒取走，棒的电荷分布不变，则取走棒后，点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB、AC棒带电完全相同，在P点产生的电场强度大小相同，由于两个带电棒都关于过P点的轴对称，因此两个带电棒在P点的电场方向都是沿着棒的垂直平分线过P点斜向下，又两个电场方向互成120°角，则AB棒和AC棒在P点产生的合电场强度大小等于AB棒在P点产生的电场强度大小。BC棒在P点产生的电场强度是AB棒和AC棒在P点产生的合电场强度的2倍，因P点的合电场强度大小为，所以BC棒在P点产生的电场强度为，若取走BC棒后，P点的电场强度大小为。故选A。 【变式训练2-7】如图所示，边长为的正三角形的中心为，交于点，三个顶点都固定有相同的正点电荷，取无穷远为电势零点，则下列说法正确的是（　　） A．点处的电场强度为零，电势也等于零 B．若是把A点处的电荷释放，它的加速度先变大后变小 C．若把一带正电的检验电荷从点移动到点，电场力做了负功 D．若把一带正电的检验电荷沿线上稍稍偏离点由静止释放，则该检验电荷将做简谐振动 【答案】D 【详解】A．根据电场强度的叠加可知，点处的电场强度为0，由于取无穷远为电势零点，正点电荷空间电势大于0，即点处的电势大于0，故A错误； B．由BC两个等量同种正电荷产生的电场分布规律可知，BC连线中点的电场强度为0，中垂线无穷远处电场强度为0，则在中垂线上由无穷远到垂足的电场强度先增大后减小，由于A点与电场强度最大值位置关系不确定，则把A点处的电荷释放，电荷在电场力作用下沿中垂线向无穷远运动，则电场力可能一直减小，也可能先增大后减小，即加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，故B错误； C．根据点电荷电势表达式有 点电荷空间某位置的电势等于各个点电荷在该点电势的代数和，解得电势 所以 根据 解得 即若把一带正电的检验电荷从点移动到点，电场力做了正功，故C错误； D．设把检验电荷放置在点上方处，根据受力分析可得它受到的合力为 方向指向，则合力与偏离平衡位置的位移成正比，方向指向平衡位置，所以检验电荷做简谐振动，故D正确。 故选D。 题型03：多个点电荷电场强度的叠加计算 【典型例题1】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度(　 　) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 【答案】C 【解析】一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝＝，方向竖直向下，故选C. 【典型例题2】如图所示，正边形个顶点，分别固定电量为的个正点电荷， 每个顶点到中心点的距离为， 静电力常量为，虽不一定能直接推导， 但可以根据学过的物理知识判断中心点O的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AD．根据点电荷场强公式，中心点O的场强的单位由决定，A、D错误； BC．各点电荷在O点的场强大小依次为、、，正N边形每个边所对中心的圆心角，各点电荷在O点的场强大小成等比数列，方向依次相差，取，点电荷分别为和，夹角，则电荷在O点的场强，方向指向电荷，点电荷在O点的场强，方向指向电荷，合场强大小，方向指向电荷，将结果代入B、C验证 得，，B正确，C错误。 故选B。 【变式训练3-1】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有（ ） A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【答案】D 【解析】两个等量同种电荷在其连线的中点处的合场强为零，两个等量同种正电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向远离正电荷的方向，两个等量同种负电荷在其连线的中垂线上的合场强沿中垂线指向负电荷的方向。在正方体的上面中心，上面的四个电荷分成两组产生的场强都是零，下面的四个电荷分成两组产生的场强等大反向，所以正方体的上面中心处的合场强为零，同理所有各面中心处的合场强都为零。在体中心，可以将八个电荷分成四组，产生的合场强为零。而在各边中心，场强无法抵消，合场强不为零，故选D。 【变式训练3-2】如图所示，一个绝缘圆环，当它的段均匀带电且电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电，而另一半圆ADC均匀带电，则圆心O处电场强度的大小和方向为 A. ，方向由O指向D B. 4E，方向由O指向D C. ，方向由O指向B D. 0 【答案】A 【解析】当圆环的均匀带电，电荷量为时，圆心O处的电场强度大小为E， 当半圆ABC的带电，由如图所示的矢量合成可得，在圆心处的电场强度大小为，方向由O指向D；当另一半圆ADC均匀带电，同理，在圆心处的电场强度大小为，方向由O指向D；根据矢量的合成法则，则有：圆心O处的电强度的大小为，方向由O指向D，故A正确，BCD错误。故选A。   【变式训练3-3】(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是(　　) A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零 B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点 C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功 D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上 【答案】ACD　 【解析】由对称及电场叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部各点电场强度处处不为零，故A正确．分析可知O点电场强度等于零，由对称及电场叠加原理可知，除O点外，菱形内部的电场强度为零的点都是成对出现的，所以在菱形内部不可能只存在两个电场强度为零的点，故B错误．当y0＝8l时，由对称性可知点(0，－3l)和点(0，3l)的电势相等，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)和从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做功相同，由等量同种点电荷形成的电场的特点可知，在x、y正半轴上的两个点电荷形成的电场中，点(4l，5l)和点(0，3l)是两点电荷连线的中垂线上对称的两点，电势相等，所以将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力不做功；在x负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；在y负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；综上所述，当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移到点(0，－3l)，电场力做正功，故C正确．当y0＝4l时，x、y正半轴的两个点电荷在点(l，l)处的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，大小为·，x、y负半轴的两个点电荷在点(l，l)的合场强与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，大小为·，故该点的合场强与x轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，负点电荷受到的电场力与x轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，故D正确． 题型04：空间点电荷场强叠加 【典型例题1】在正方体的每条棱的中点处均放置一个点电荷。棱中点处点电荷的电荷量为，其余位置处点电荷的电荷量均为，此时正方体中心点处场强为。下列说法正确的是（    ）    A．若将中点处电荷拿走，点处电场强度大小为 B．若将中点处电荷拿走，点处电场强度大小为 C．若将中点处电荷所带电荷量变为，则点处电场强度大小为 D．若将中点处电荷所带电荷量变为，则点处电场强度为0 【答案】AC 【详解】A．根据同种等量电荷的电场分布可知，棱中点处点电荷和中点处点电荷之外，其他电荷量为在点的合电场强度为0，设棱和到点距离均为，则点的合电场强度为 若将中点处电荷拿走，点处电场强度大小为 故A正确； B．若将中点处电荷拿走，则中点产生的电场强度为 方向指向中点，若与垂直，点的电场强度大小为 但实际与的夹角为钝角，所以 故B错误； C．若将中点处电荷所带电荷量变为，则中点处电荷和中点处电荷产生的电场强度为 方向指向中点，在水平方向的分电场为 在竖直方向的分电场为 与水平方向的原电场合成后的水平方向的电场强度为 则此时合电场为 故C正确； D．若将中点处电荷所带电荷量变为，则的电场强度为 故D错误。 故选AC。 【典型例题2】如图所示，空间坐标系中，a、b、c、d、p点的坐标分别为，、、、、。a、b、c、d处分别固定电荷量为、、、的点电荷。已知静电力常量为，则点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设处点电荷单独作用时在点产生的电场强度大小为，则 处点电荷单独作用时在点产生的电场强度大小也为，仅、处点电荷作用时，设点电场强度大小为，则有 得出 其方向由指向；处点电荷单独作用时，在点产生的电场强度大小为，则 处点电荷单独作用时在点产生的电场强度大小也为，仅、处点电荷作用时，设点电场强度为，则有 得出 其方向由指向；故点电场强度大小 故选A。 【变式训练4-1】如图所示，真空中有一个三棱锥区域O-ABC，三棱锥底面ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝L，OA＝OB＝OC＝L，在A点放置一电荷量为q的正点电荷，C点放置一电荷量为2q的正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电场强度大小为 C．若在B点放置一电荷量为q的正点电荷，则其所受电场力的大小为 D．若在B点放置一电荷量为q的正点电荷，则其所受电场力的大小为 【答案】B 【详解】AB．由几何知识可知，三角形OAC为等腰直角三角形，，A点的点电荷在O点产生的电场强度大小 C点的点电荷在O点产生的电场强度大小 则O点的合电场强度大小，A错误，B正确。 CD．同理可知，B点的合电场强度大小 则电荷量为q的正点电荷在B点受到的电场力大小为，CD错误。 故选B。 【变式训练4-2】如图所示，水平放置的正方体四条边a、b、c、d上有四根完全相同、均匀带电且电荷量为−q的绝缘棒，O点为正方体上表面的中心。现将d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒，下列说法正确的是（　　） A．替换前，O点的电场强度方向竖直向上 B．替换后，O点的电场强度方向竖直向下 C．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向上 D．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向下 【答案】C 【详解】A．替换前，由于a与b、c与d关于O点对称，a与b在O点产生的电场强度大小相等、方向相反，矢量和为零，c与d在O点的合电场强度方向竖直向下，故A错误； B．d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒后，c与d在O点的合电场强度方向沿水平方向，O点的电场强度方向不是竖直向下，故B错误； CD．将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，a与b在O点产生的合场强为零，c与d在O点的合电场强度方向竖直向上，则O点的电场强度方向竖直向上，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练4-2】（多选）如图所示，在正方体中，O为的中点，在和处固定电荷量分别为、的点电荷。下列说法正确的是（     ） A．B、两点的电势相同 B．A、C两点的电场强度相同 C．O、两点的电场强度大小的比值为 D．将一电子从O点移到C点，电子的电势能减少 【答案】AC 【详解】A．在和处固定等量异种点电荷，平面为中垂面，是一个等势面，因此B、两点的电势相同，故A正确； B．根据电场强度的叠加原理及对称性可知，A、C两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．设正方体的边长为a，则O点的电场强度大小 点的电场强度大小可得，故C正确； D．根据等量异种点电荷电场的等势线分布特点可知，O点的电势高于C点的电势，根据可知，将电子（带负电）从O点移到C点，可知电子的电势能增加，故D错误。故选AC。 【变式训练4-3】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是（    ） A．点和点电场强度相同 B．点和点电势相同 C．点和点两点电场强度之比为 D．将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电场力不做功 【答案】B 【详解】A．根据等量异种电荷的电场线分布特点及对称性可知，、两点电场强度方向不同，故A错误； B．平面是、连线的中垂面，、在同一等势面上两点电势相等，故B正确； C．设正方体的边长为，因为等边三角形，故、在点产生的场强方向互成且大小相等，故 B点的电场强度大小为 、在点产生的场强大小相等且方向互相垂直，故点的电场强度大小为 故B、两点电场强度的比值为，故C错误； D．点距较近，其电势大于零，点电势等于零，故、两点电势不同，将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电势能减小，电场力做正功，故 D错误。 故选B。 【变式训练4-5】如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中点。现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是（ ） A．A′，B′，C′三点的电场强度相同 B．△ABC所在平面为等势面 C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功 D．若A′点的电势为φA′， A点的电势为φA， 则A′A连线中点D处的电势φD一定小于 【答案】D 【解析】A′、B′、C′三点到O点的距离相等，根据点电荷的场强公式E＝分析可知，A′、B′、C′三点的电场强度大小相等。但方向不同，故A错误。A、B、C的三个点到场源电荷的距离相等，在同一等势面，但其它点到场源电荷的距离与A、B、C三点到场源电荷的距离不等，故△ABC所在平面不是等势面，故B错误；将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，电势先升高后降低，电势能先增大后减小，则静电力对该试探电荷先做负功后做正功，故C错误。由于A′D间场强大于DA间场强，由U＝Ed知，A′、D间的电势差大于DA间的电势差，则有：φA－φD＞φD－φA′，则φD＜(φA＋φA′)，由于正点电荷电场中电势大于零，因此φD＜φA＋φA′，故D正确；故选D。 【变式训练4-6】如图，真空中电量均为Q的两正点电荷，固定于一绝缘正方体框架的两侧面ABB1A1和DCC1D1中心连线上，且两电荷关于正方体中心对称，则（ ） A．A、B、C、D四个点的电势相同 B．A1、B1、C1、D1四个点的电场强度相同 C．负检验电荷q在A点的电势能小于在C1点的电势能 D．正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做正功 【答案】A 【解析】由叠加原理可知，A、B、C、D四个点的电势相同，选项A正确；A1、B1、C1、D1四个点的电场强度大小相同，但是A1、B1两点的场强方向相同，且与C1、D1两点的场强方向不同，选项B错误；因为A点和C1点电势相同，故负检验电荷q在A点的电势能等于在C1点的电势能，选项C错误；因C点和C1点的电势相同，故正检验电荷q从C点移到C1点过程电场力对其做不做功，选项D错误；故选A。 【变式训练4-7】如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O′，A，D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法中正确的是（ ） A．F′点与C′点的电场强度相同 B．A′点与F′点的电势差等于O′点与D′点的电势差 C．将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能先减小后增大 D．将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小 【答案】D 【解析】D．将六棱柱的上表面的一半拿出，如图所示， 由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，D在F点产生的场强大小为A点在F点产生的场强大小的，合场强方向斜向右上角且与FE的夹角大于30°，所以在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确； B．设A′点电势为φ，由等量异种电荷的电势分布可知φA′＝φ＞0，φD′＝－φ＜0，φO′＝0，φF′＞0，因此φA′－φF′＝φ－φF′＜φO′－φD′＝φ，即A′点与F′点的电势差小于O′点与D′点的电势差，故B错误； A．由等量异种电荷的对称性可知F′和C′电场强度大小相等，方向不同，故A错误； C．OO′为等势线，将试探电荷＋q由O点沿直线运动到O′点，其电势能不变，故C错误。 题型05：点电荷与匀强电场的叠加 【典型例题1】电介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场真空中与最终介质中电场的比值即为该介质的介电常数。把一介电常数为的电介质放置在真空中场强大小为的匀强电场中，最终介质中的电场强度方向与相同。则感应电荷在该介质内部产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设感应电荷在介质内部产生的场强大小为E，则 解得。故选A。 【典型例题2】如图所示，真空中存在电场强度大小为E，方向水平向右的匀强电场，A、B两点分别固定着等量异种点电荷+Q和-Q。O是线段AB的中点，C是线段AB垂直平分线上的一点，且∠CAB＝60°。若O点的电场强度大小为3E，则图中C点的电场强度为（　　） A．，水平向右 B．E，水平向右 C．，水平向左 D．，水平向左 【答案】A 【解析】根据场强的矢量合成可知，O点的场强为匀强电场场强E以及+Q和−Q在O点形成场强E′的矢量和，设AB距离为2r，则有可得 在C点，+Q和−Q在C点的场强E''大小相等，且夹角为120°，可知两点电荷在C点的合场强大小也为E''，方向水平向右故C点处的场强大小为故A正确，BCD错误。故选A。 【典型例题3】如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为若三个小球均处于静止状态，则匀强电场电场强度的大小为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为小球a、b对小球c的静电力的合力方向垂直于a、b连线向上，又因c带负电，所以匀强电场的场强方向为垂直于a、b连线向上．分析小球a受力情况：b对a的排斥力、c对a的吸引力和匀强电场对a的电场力，如图所示，根据a受力平衡可知，利用正交分解法：，，解得ACD错误，B正确。故选B。 【典型例题4】如图所示，平面上有一个半径为R的绝缘圆环，将两电荷量为的点电荷分别放在B、D处，同时在圆环所处平面施加一个外加匀强电场，此时A点场强为0，静电力常量为k，则圆心O处电场强度的大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】B、D处点电荷在A处产生的场强大小为根据平行四边形定则，合场强大小为方向向左，则外电场大小为方向向右，B、D点电荷在O处产生场强抵消，故O处电场强度的大小，方向向右。故选D。 【变式训练5-1】如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则（　　） A．A、C两点的场强相同 B．B点的场强大小为E﹣k C．D点的场强大小不可能为0 D．A点的场强大小为 【答案】D 【解析】A．正点电荷Q在A点的电场强度方向向上，正点电荷Q在C点的电场强度方向向下，根据矢量的合成法则，结合点电荷电场与匀强电场的方向，可知，A、C两点的电场强度大小相等，而方向不同，故A错误； B．正点电荷Q在B点的电场强度大小为 而匀强电场在B点的电场强度大小为E，点电荷Q在B点的电场强度的方向与匀强电场方向相同，因此B点的场强大小为故B错误； C．点电荷Q在D点的电场强度的方向与匀强电场方向相反，当大小与匀强电场的相等时，则D点的电场强度大小可以为零，故C错误； D．正点电荷Q在A点的电场强度的方向与匀强电场方向垂直，正点电荷Q在A点的电场强度大小 而匀强电场在A点的电场强度大小为E，根据矢量的合成法则，则有A点的场强大小为 故选D。 【变式训练5-2】如图，xOy平面直角坐标系的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E0，第一象限的P点坐标为（24L，18L），在以P点为圆心、半径为15L的圆上某点放置一负点电荷，图中没有画出，要使P点的合电场强度方向沿OP方向且放置的点电荷电荷量最小，静电力常量为k，sin37°，cos37°，则关于该点电荷的放置位置坐标和电荷量的绝对值，下列正确的是（　　） A．（33L，6L）， B．（15L，30L）， C．（24L，21L）， D．（24L，3L）， 【答案】B 【分析】题目要求P点合电场强度方向沿OP方向且点电荷电荷量绝对值最小，需先明确OP方向与匀强电场方向夹角为37°，通过矢量合成分析，当点电荷在P点产生的电场强度方向垂直于OP时其值最小，由电场强度矢量三角形可得该最小电场强度大小为匀强电场强度的正弦37°分量。点电荷位于以P为圆心、15L为半径的圆上，根据点电荷场强公式关联最小电场强度与电荷量及距离，即可求得电荷量绝对值。为确定点电荷坐标，需结合负电荷电场方向指向自身，由最小电场强度方向反推点电荷相对于P点的位置方向，进而计算其坐标。 【解答】解：由P点坐标（24L，18L）可知，从原点到P点的连线与x轴正方向的夹角满足，，即φ＝37°。 在P点，原匀强电场强度为E0，方向沿x轴正方向。 引入负点电荷后，其在P点产生的电场强度Eq方向指向该负电荷。 为使P点的合电场强度沿OP方向，且所放置的点电荷电荷量最小，由矢量合成的三角形定则可知，当Eq的方向垂直于OP方向时其值最小，最小值为Eqmin＝E0sin37°，解得：。 根据点电荷的场强公式有，代入半径R＝15L，解得该点电荷电荷量的绝对值为。 此时Eq的方向与OP连线垂直且斜向左上方，该方向与x轴正方向夹角的余弦值为﹣0.6，正弦值为0.8。 由于负点电荷产生的电场方向指向点电荷本身，故点电荷相对于P点的位置方向与Eq的场强方向相同，则点电荷的位置坐标为x＝24L+15L×（﹣0.6），解得：x＝15L； y＝18L+15L×0.8，解得：y＝30L，即坐标为（15L，30L）。故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练5-3】如图所示，在水平向右、大小为的匀强电场中的点固定一电荷量为的点电荷（电性未知），A、、、为圆周上的四点，其中、连线与电场线平行，A、连线与电场线垂直。已知点电场强度为零，则下列说法中正确的是（    ） A．该点电荷带负电 B． A、两点的电场强度相同 C．点电场强度也为零 D．点电场强度大小为 【答案】D 【解析】A．D点电场强度为零，则点电荷在D点的场强与匀强电场大小相等、方向相反，说明该点电荷带正电，A错误；BD．A、两点的距点电荷的距离相等，根据场强叠加原理，A、两点的电场强度大小相等，均为，方向不同，B错误，D正确；C．点电荷在B点的场强与匀强电场大小相等、方向相同，则点电场强度为2E，C错误。故选D。 【变式训练5-4】（多选）如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则PQ中点处的电场强度大小为（　　） A．P带正电，Q带负电 B．P带负电，Q带正电 C．PQ中点处的电场强度大小为6E D．PQ中点处的电场强度大小为7E 【答案】BD 【解析】A B．假设小球P带正电，P受到匀强电场的电场力水平向右，小球P处于静止，则Q对P库仑力水平向左，为斥力，即此时Q带正电，对Q分析，匀强电场对Q的电场力方向水平向右，P对Q的库仑力水平向右，Q不可能在图中位置静止，假设不成立。假设小球P带负电，P受到匀强电场的电场力水平向左，小球P处于静止，则Q对P库仑力水平向右，为引力，即此时Q带正电，对Q分析，匀强电场对Q的电场力方向水平向右，P对Q的库仑力水平向左，Q能够在图中位置静止，假设成立，即P带负电，Q带正电，A错误，B正确；CD．令两球之间间距为L，则对P球分析有，对Q球分析有根据电场叠加，PQ中点处的电场强度大小为解得方向水平向左，C错误，D正确。故选BD。 【变式训练5-5】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查库仑定律、受力分析以及共点力的平衡。 【详解】AB．由题图可知，对小球M受力分析如图（a）所示，对小球N受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，故B正确，A错误； CD．由几何关系可知，两小球之间的距离为 当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得 两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得 整理解得 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练5-6】（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【答案】ABD 【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为，对甲球根据平衡条件有，①对乙球有，联立解得②故同时有解得故AB正确； C．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有， 对乙有， 联立可得，无解 假设不成立，故C错误； D．若撤去甲，对乙球根据动能定理 根据前面分析由①②可知 联立解得 故D正确。 故选ABD。 【变式训练5-7】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1 【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量 则速率为v时受阻力 则当油滴匀速下落时 解得 可知 则 （2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得 其中 对b由受力平衡可得 其中 联立解得 题型06：等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 【典型例题1】如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（　　） A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大 B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大 C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0 D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0 【答案】BC 【详解】A．真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图 可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以 故A错误； B．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以 故B正确； CD．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即 因为ab连线上电场方向向右，所以 故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题2】如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强相同 B．a、b两点的电势相同 C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变 D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值 【答案】BD 【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A错误； B．由对称性和等势线可知，a、b两点电势相同，选项B正确； C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C错误； D．半圆上任一点，设与P点连线与夹角为， 则为定值。选项D正确。 故选BD。 【变式训练6-1】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【答案】C 【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知 A错误； B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误； C．由于沿电场线电势降低，可知 根据 可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确； D．根据 可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。 故选C。 【变式训练6-2】如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（　　） A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功 B．O点的场强小于N点的场强 C．N点的场强大小为 D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加 【答案】D 【详解】A．在圆形虚线上移动电荷时，左边正电荷对电荷的作用力与位移方向始终垂直不做功，右边负电荷对电荷的库仑力方向不可能与电荷的位移方向一直垂直，所以要做功，故在圆形虚线上移动电荷，电场力做功，A错误； B．根据图中的电场线分布示意图可知，O点的电场线比N点的电场线密集，所以O点的场强大于N点的场强，B错误； C．正负电荷在N点的场强大小分别为 ， 因为N点到负电荷的距离为，根据几何知识可知正负电荷在N点的场强方向夹角为，所以N点的场强大小为 C错误； D．根据等量异种点电荷的电场线分布可知PQ的中垂线为一等势线且电势为0，故O点电势为0，N点电势为，所以把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加，D正确。 故选D。 【变式训练6-3】如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（　　） A．速度先增大，再减小 B．速度一直增大 C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大 D．加速度先减小，再增大 【答案】AD 【详解】根据等量负点电荷的电场线分布可知，在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，电场强度方向沿中垂线指向O点；若M、N相距较远，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度先变大后变小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，小球C的速度不断减小，加速度先变大后变小——具有对称性。如果M、N相距较近，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度越来越小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，速度不断减小，加速度越来越大。 故选AD。 【变式训练6-4】如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（　　） A．C点的场强与D点的场强相同 B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速 C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差 D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变 【答案】C 【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点，C、D 两点电场强度大小相等、方向想反，A错误； B．A、O间电场方向由A指向O，O、B间电场方向由B指向O，则质子将沿A、B直线先加速运动，再减速运动，B错误； C．根据等量同种电荷电势分布特点，可知 ， 则 即 C正确； D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，电势始终降低，则电子的电势能始终增大，D错误。 故选C。 非点电荷电场强度的特殊计算方法 题型07：微元法 【典型例题1】如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，带电荷量为Q，其圆心为O点．有一带电荷量为q的小球恰能静止在O点正上方的P点，O、P间距为L，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角为θ，静电力常量为k.以下说法正确的是(　 　) A．P点电场强度大小为 B．P点电场强度大小为 C．P点电场强度大小为 D．P点电场强度大小为 【答案】D 【解析】将圆环分为n等份(n很大)，每等份均可看成点电荷，则圆环上每份电荷量q′(q′＝)在P点产生的电场强度的大小为E＝＝＝，由对称性可知，所有点电荷在P点水平方向上合场强为0，竖直方向上的合场强大小为E′＝cos θ＝，选项D正确，A、B、C错误． 【典型例题2】一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝　① 由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强EP＝k＝k　② 由对称性可知，各小段电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故 E＝nEx＝n··cos θ＝　③ 而r＝④ 联立①②③④式，可得E＝，D正确． 【典型例题3】如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 【答案】A 【解析】把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为q＝，根据点电荷场强公式，点电荷在O1O2中点的场强为E＝，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的场强为E＝cos 45°，两个圆环在O1O2中点的合场强为E总＝，故A正确，B错误；带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误； 根据电场叠加原理，在O2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误． 【典型例题4】半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷．点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷．将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零．圆环上剩余电荷分布不变，q为(　 　) A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝ C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝ 【答案】C 【解析】取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，在O点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，又E′＝k，联立解得q＝，故选C. 【变式训练7-1】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球大小不计，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度的大小和方向为    A. 水平向右 B. 水平向左 C. 水平向左 D. 水平向左 【答案】D 【解析】AB、对小球受力分析如图所示，小球到圆环中心O距离为R，故L，，故由受力分析可知： 故：，方向向左，故AB错误；CD、小球处于圆环上的电荷所形成的电场中，由于圆环不能视为点电荷，可以取圆环上一小部分，这部分电荷看视为点电荷，其电荷量为，它在小球所做位置产生的电场强度，根据对称性，圆环上所有电荷产生的场强；故 ，圆环带正电，故电场方向水平向左；故C错误，D正确。故选D。   【变式训练7-2】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着正电荷，电量为+Q，x轴垂直于环面且过圆心O．在x轴上距圆心O距离s处有一点P，则 A．O点的电场强度为零，电势最低 B．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小 C．P点的场强大小 D．P点的场强大小 【答案】BD 【详解】A．圆环上均匀分布着正电荷，根据对称性可知，圆环上各电荷在O点产生的场强相互抵消，合场强为零．圆环上各电荷产生的电场强度在x轴有向右的分量，根据电场的叠加原理可知，x轴上电场强度方向向右，根据顺着电场线方向电势降低，可知在x轴上O点的电势最高．故A错误． B．O点的场强为零，无穷远处场强也为零，所以从O点沿x轴正方向，场强应先增大后减小．故B正确． CD．设圆环上足够小的圆弧上的电量为q′的电荷，在x轴上P点产生的沿x轴上的场强为：，其中，，根据数学知识求和可得P点的场强大小：故C错误，D正确． 【变式训练7-3】如图所示，长为4l，倾角为37°的光滑绝缘细杆AD垂直穿过半径为l、带电量为－Q的固定大圆环圆心O，细杆上B、O、C三点等分细杆长度。现从细杆的顶端A无初速度地释放一个质量为m，带电量为＋q的套在细杆上的可视为点电荷的小滑环。已知静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，大圆环上的电荷均匀分布，小滑环上的电荷不影响电场分布，则下列说法正确的是（　　） A．大圆环在B点产生的场强大小为 B．小滑环在B点的加速度大小为 C．小滑环从B到C的过程中电场力所做的功为 D．小滑环在D点的速度大小为 【答案】D 【详解】A．由题意可知圆环上电荷分布均匀，取环上一点，设其电荷量为Q1，该点到B点的距离为，Q1在B点产生的场强为以O点为坐标原点，OA方向为正方向建立x轴，Q1在B点产生的场强在x轴方向的分量为大圆环在B点产生的场强大小 故A错误； B．小滑环在B点，由牛顿第二定律得解得故B错误； C．由对称性可知B、C两点电势相等小滑环从B到C的过程中电场力所做的功 故C错误； D．由对称性可得库仑力做功；从A到D，由动能定理得 解得故D正确。故选D。 【变式训练7-4】如图所示，有一均匀带正电的绝缘细圆环，半径为r、带电量为q。点P、Q、N把圆环分为三等分，现取走P、Q处两段弧长为的小圆弧。NO延长线交细圆环于M点，静电力常量为k，则在O点同定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力为（　　） A．方向由O指向N，大小为 B．方向由O指向N，大小为 C．方向由O指向M，大小为 D．方向由O指向M，大小为 【答案】A 【详解】由于圆环所带电荷量均匀分布，故长度为的小圆弧所带电荷量为 根据对称性，没有取走电荷时圆心 O点的电场强度为零，取走 P、Q两处的电荷后，圆环剩余电荷在 O点产生的电场强度大小等于P、Q处弧长为的小圆弧所带正电荷在O点产生的合场强大小，方向相反，则 P、Q处弧长为的小圆弧所带正电荷在O点产生的合场强沿ON方向，则取走 P、Q两处的电荷后， O点的电场强度沿OM方向。所以，在 O点固定一个带电量为q的负电荷，它受到圆环的电场力大小为，沿ON方向。 故选A。 【变式训练7-5】如图，n个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q（q>0），其余个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E1；若将个点电荷均匀地分布在半径为r的圆周上，其中一个点电荷带电荷量为+q，其余n个点电荷每个带电荷量均为+2q，这时圆心处的电场强度大小为E2。则等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】将电荷量为+q的点电荷加上+q的电荷量，则O点的场强为零，则原来电荷在圆心处的电场强度大小为 故选A。 【变式训练7-】如图所示，半径为R的两平行金属圆环竖直固定，两圆环各带等量的同种电荷，电荷量为Q且电荷分布均匀，两圆环中心连线O1O2与环面垂直，P、M、N为连线O1O2上的三个位置，且O1P＝PM＝MN＝NO2＝R。不计两圆环电荷间的相互影响，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.O1、O2两点场强为0 B.P、N两点的场强相同 C.P、N两点的电势不一定相等 D.P点的场强大小为 答案　D 解析　因为两圆环彼此在对方圆心处场强不为0，O1、O2两点场强均不为0，故A错误；P、N两点场强大小相等但方向不同，故B错误；根据对称性特点可知P、N两点是等势点，故C错误；P点的场强大小为E＝∑cos 45°－∑×，故D正确。 【变式训练7-6】三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【答案】B 【详解】+q在P点的场强为 方向与x轴夹角为45°斜向右下，圆环在P点的场强沿水平方向，因P点场强沿y轴负方向，可知圆环在P点的场强与点电荷+q在P点在x方向的场强的分量等大反向，可知圆环在P点的场强方向沿x轴负向，可知圆环带负电；圆环在P点的场强解得故选B。 【变式训练7-7】N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) 答案　　沿OP指向P 解析　P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝，方向沿OP指向P. 题型08：等效法 【典型例题1】如图甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布，P在点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的，图乙中两异号点电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线，由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(k为静电力常量)，其中正确的是(　　) A. B. C. D． 【答案】A　 【解析】根据P点的电场线方向可以得P点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，乙图上＋q右侧d处的场强大小为E＝k－k＝k，根据题意可知，P点的电场强度大小与乙图上＋q右侧d处的场强大小相等，即为k，故A正确，B、C、D错误。 【典型例题2】如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形ABC，P为三角形的中心，当AB、AC棒所带电荷量均为，BC棒带电荷量为时，P点场强大小为E，现将BC棒取走，AB、AC棒的电荷分布不变，则取走BC棒后，P点的场强大小为 A. B. C. D. E 【答案】C 【解析】AB、AC棒带电完全相同，相对P点位置等距，故这两带电棒在P点产生的电场强度大小相同，两个带正电的棒在P点的电场方向都是沿着棒的垂直平分线从P点向外方向，二个电场方向互成角，故二者在P点产生的场强大小与各自在P点产生的电场强度大小相同，方向垂直于BC，并指向BC棒的位置；根据点电荷的电场强度公式，则BC棒在P点的电场强度与AB棒在P点的电场强度大小相等，由于BC棒带负电，故其在P点的场强方向也是垂直于BC棒并指向BC棒。因P点合场强大小为E，所以BC棒在P点产生的电场强度大小为，故若取走BC棒后，P点的场强大小为，故C正确，ABD错误。 故选C。  【典型例题3】（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（   ） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 【答案】AD 【解析】由题意可知，如图 将五个点电荷等效成 五个点电荷与O点距离为R，设 则O点场强大小为 代入可得 方向沿x轴负方向； 故选AD。 【变式训练8-1】一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置。如图13所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则(　　) A.a点的电场强度大小为E＝4k B.a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小 C.b点的电场强度和c点的电场强度相同 D.一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零 【答案】B 【解析】由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝k＋k＝，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势大于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。 【变式训练8-2】电荷量为荷O，金属板右侧空间的电场分布如图甲所示，P点是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点。几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中是两等量异种点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( 　　) A．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 B．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【答案】C 【解析】由题意可知，从乙图可以看出，P点处的电场方向为水平向左；由图乙可知，带等量异种电荷的两点电荷在P点电场的叠加情况，其场强大小为E＝2kcosθ＝2k·＝2k，故选项C正确。 【变式训练8-3】电荷量为的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d，图中P点到金属板和点电荷间的距离均为已知P点的电场强度为，则金属板上感应电荷在P点处产生的电场强度E的大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】电荷量为的点电荷在P点产生的场强为，方向向右；金属板上感应电荷为负电荷，在P点处产生的电场强度方向也向右，大小设为E，根据电场的叠加知，故C正确，ABD错误。 故选C。 【变式训练8-4】经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示），与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据B点的电场线方向可以得B点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图上+q右侧B处的场强大小为 故A正确，BCD错误。 【变式训练8-5】如图所示，a、b、c、d、e、f六点把绝缘均匀圆环平均分成六部分，其中圆弧af、bc带正电，圆弧de带负电，其余部分不带电，单位长度圆弧所带电荷量相等。圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小为E。则圆心O处的合电场强度大小为(　　) A．0 B.E C．E D．2E 【答案】D 【解析】因单位长度圆弧所带电荷量相等，所以圆弧af、bc、de所带电荷在圆心O处产生的电场强度大小相等，都等于E；圆弧af所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠dOc的角平分线，圆弧bc所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠fOe的角平分线，圆弧de所带电荷在圆心O处产生的电场强度方向沿∠dOe的角平分线，两两夹角为60°，如图所示，根据平行四边形定则可知圆心O处的合电场强度大小为2E，选项D正确。 【变式训练8-6】如图，四根彼此绝缘的均匀带电导线a、b、c、d围成一个正方形线框，线框在正方形中心O点产生的电场强度大小为E0，方向竖直向下；若仅撤去导线c，则O点场强大小变为E1，方向竖直向上，则若将导线c叠于导线a处，则O点场强大小变为(　　) A．E1－E0 B．E1－2E0 C．2E1＋E0 D．2E1 【答案】C 【解析】正方形线框在O点产生的电场方向竖直向下，则表明左右带电导线在O点产生的电场强度为零．a、c产生的电场强度竖直向下．撤去c，O点处的场强竖直向上，表明a带负电，c带负电，则c在O点产生的电场强度为Ec＝E1＋E0，将c叠于a处，则O点处场强大小为E′＝2E1＋E0. 【变式训练8-7】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为(　　) A.，水平向右 B.，水平向左 C.，水平向右 D.，水平向左 【答案】　A 【解析】　如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为E′。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′。则O点的合场强E＝2E′，则E′＝，所以圆弧BC在圆心O处产生的场强为，方向水平向右，故A正确，B、C、D错误。 【变式训练8-8】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为的圆环，为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上处取下足够短的带电量为的一小段，将其沿连线向下移动的距离到点处，设圆环的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为，若此时在点放一个带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】线框上的电荷在O点产生的场强等效为q电荷在O点产生的电场强度 方向竖直向下，在F点电荷量为q的电荷在O点产生的电场强度为 方向竖直向上，此时O点的场强为 方向竖直向下，则带电量为的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的电场力大小 故C正确，ABD错误。故选C。 【变式训练8-9】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A.k B.k C.k D.k 答案　D 解析　该电场可等效为z轴h处与－h处的等量异种点电荷产生的电场，如图所示， 则在z＝处的电场强度大小为E＝k＋k＝k，故选项D正确。 【变式训练8-10】磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架，细胞膜上的离子泵可以输运阴阳离子，使其均匀地分布在分子层上，其结构示意如图所示。已知无限大均匀带电薄板周围的电场为匀强电场，静电力常量为，介质的相对介电常数为，细胞膜的面积；磷脂双分子层可视为两片平行的带电薄板，板间充满介电常数为的介质。初始时，两板不带电，间距为。现通过离子泵使两板分别带上电荷和，两板间产生静电吸引力，导致间距变化，已知单层无限大带电板的电场强度大小为，关于两板间的电场强度大小，下列说法正确的是（　　） A．当系统处于平衡状态时， B．当系统处于非平衡状态时， C．当系统处于平衡状态时， D．当系统处于非平衡状态时， 【答案】C 【详解】由题意，已知单层无限大带电板的电场强度大小为。两极板带电荷和时，根据场强叠加原理，则两极板间的电场强度大小为 不管系统是否处于平衡状态，只要两极板带电荷和，根据场强叠加原理，两板间的电场强度都是由两板各自产生的电场叠加而成，其大小均为。 故选C。 【变式训练8-11】一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个电荷在球心O处产生的电场强度大小相同。对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为 El＞E2 因电荷Q在球心O处产生的场强大小 则 故A正确，B错误； CD．对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等，即 E3＝E4 由于方向不共线，由合成法则可知 故C错误，D正确。 故选AD. 题型09：对称法 【典型例题1】如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反，即。由于d点和b点相对于圆盘是对称的，因此Q在d点产生的电场强度。d点处的合电场强度，故B正确。故选B。 【典型例题2】如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，则带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度正确的是（　　） A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左 C．大小为，方向向左 D．大小为，方向向右 【答案】B 【解析】图中A点的电场强度为0，则带电薄板在A点的场强与点电荷q在A点的场强等大反向，则带电薄板在A点的场强大小 方向向右，由对称性可知，带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度 方向向左。故选B。 【典型例题3】如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 答案　C 解析　若点电荷带正电，则点电荷会向背离O点方向运动，选项A错误；若点电荷带负电，则点电荷会向O运动，加速度可能先增加后减小，也可能一直减小，但是速度一定越来越大，选项B错误；若点电荷能越过O点，则根据能量关系以及对称性可知，点电荷一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零，选项C正确；若点电荷能运动到O点，此时加速度为零，速度达到最大值，选项D错误． 【典型例题4】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于一过球心的倾斜平面将球面分为两部分，其中则所分出的较小这部分部分的电荷在O处的电场强度E为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】假设将半球面分成三等分，这三等分球面在O处产生的电场强度大小相等。根据对称性，作出半球面上三个部分的电荷在O点产生的电场强度、、，如图乙所示。显然，三个电场强度的矢量和为，则，故B正确，ACD错误；故选B。 【典型例题5】如图所示，一半径为r的圆环上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圆环面且过圆心O的轴线上有A、B、C三个点，C和O、O和A间的距离均为d，AB间距离为在B点处有一电荷量为的固定点电荷．已知A点处的场强为零，k为静电力常量，求： 带电圆环在O点处的场强大小； 点处场强． 【解析】圆环上关于圆心对称的两小段圆弧上的电荷在O点处产生的场强大小相等、方向相反，其合场强为零，则带电圆环在O点处的场强为． 点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆环和B点处点电荷在A点处产生的场强大小均为： 、两者方向相反 根据对称性可知，带电圆环在C点处产生的场强大小为 、方向沿OC向外 B处点电荷在C点处产生的场强大小为 、方向沿OC向外 则C点处场强 解得、方向沿OC向外． 【变式训练9-1】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上．移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变．关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是(　　) A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小 C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大 【答案】A 【解析】根据对称性与电场叠加原理可知，移去a处绝缘棒前O点电场强度为0，则移去a处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，设每根长棒在O点产生的电势为φ0，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在O点产生的电势为4φ0，现在撤去a处的绝缘棒后，其他三棒在O点产生的电势为3φ0，故O点的电势减小，故选A. 【变式训练9-2】ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2，则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同，E1>E2 B．两处的电场方向相反，E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1<E2 D．两处的电场方向相反，E1<E2 【答案】D 【解析】可从电场叠加角度分析，把均匀带电细杆等效为沿杆放置的无数点电荷．则设c为a关于P1对称的点，则ac间的电荷在P1点产生的电场场强为零，ab杆上电荷在P1处产生的场强可等效为cb段电荷在P1处产生的场强．而P2处场强是ab上所有电荷产生电场的叠加，所以两点场强方向必定相反，由对称性可知，cb段电荷在P1点和P2点产生的场强大小相等，而P2点场强大小等于ac，cb两段电荷在P2点产生场强大小之和．故E1<E2. 【变式训练9-3】一半径为R的绝缘球体上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，以球心为原点O建立坐标系，如图所示，在x＝3R的D点有一电荷量为q的固定点电荷，已知在x＝2R的C点电场强度为零，静电力常量为k。则下面说法正确的是(　　) A．D点点电荷带负电 B．O点电场强度为零 C．F点电场强度大小为 D．从B点到D点，电势先升高后降低 【答案】C 【解析】因为C点的电场强度为零，故D点为正电荷，故选项A错误；均匀带电绝缘球体在球心O处产生的电场强度为零，即O点的电场强度源自D点电荷产生的电场强度EO＝，故选项B错误；均匀带电绝缘球体在其周围形成的电场具有对称性，因此均匀带电绝缘球体在C点与F点产生的场强大小相等，方向相反，即EC＝EF，又因为在C点合场强为零，则有EC＝，在F点合场强大小为EF＝＋＝，故选项C正确；C点处电场强度为零，则从B到C电场线向右，从C到D电场线向左，故从B点到D点，电势先降低后升高，故选项D错误。 【变式训练9-4】半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为(　　) 图5 A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝ C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝ 答案　C 解析　取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，剩余圆环上的电荷在O点产生的电场强度与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和相等，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，在O点产生的电场强度大小为E′＝k，E′＝E，解得q＝，故C正确。 【变式训练9-5】图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图 把材料按圆分成均等份，假设圆环带正电荷，每一份产生的电场强度如图。由对称性可知，左边图有两部分抵消了，其中一部分产生的电场强度即为合电场强度E。而右边的图没有抵消，由平行四边形定则结合对称性得O点的场强 故选C。 【变式训练9-6】在一半径为R的圆周上均匀分布有N个绝缘带电小球(可视为质点)无间隙排列，其中A点的小球带电荷量为+4q，其余小球带电荷量为+q，此时圆心O点的电场强度大小为E，现仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为 A．大小为E，方向沿AO连线斜向下 B．大小为E/2，方向沿AO连线斜向下 C．大小为E/3，方向沿OA连线斜向上 D．大小为E/4，方向沿OA连线斜向上 【答案】C 【解析】假设圆周上均匀分布的都是电荷量为+q的小球，由于圆周的对称性，根据电场的叠加原理知，圆心O处场强为0，所以圆心O点的电场强度大小等效于A点处电荷量为+3q的小球在O点产生的场强，则有，方向沿AO连线向下；A处+q在圆心O点产生的场强大小为，方向沿AO连线向下；设其余小球带电荷量为+q的所有小球在O点处产生的合场强为，方向沿AO连线向上；故仅撤去A点的小球，则O点的电场强度为，方向沿AO连线向上。故选C。 【变式训练9-7】如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】B点C点的电荷在M的场强的合场强为 因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强，由对称性可知带电细杆在A点的场强为，方向竖直向上，因此A点合场强为 故选D。 【变式训练9-8】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【答案】D 【解析】分别画出正、负电荷产生的电场强度的方向如图 由图可知，O点与P点的合场强的方向都向下，同理可知，在OP的连线上，各点的合场强的方向均向下； A．O点到两处电荷的距离比较小，所以两处电荷在O点产生的场强都大于在P处产生的场强，而且在O点出两处电荷的场强之间的夹角比较小，所以O点的合场强一定大于P点的合场强，故A错误； B．根据对称性可知OP连线是一条等势线，故B错误； CD．由于OP连线是一条等势线，将一正试探电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功，电势能不变，故C错误，D正确；故选D。 【变式训练9-9】如图所示，APB与CPD是粗细均匀、半径相同的绝缘半圆环，APB所在平面与CPD所在平面垂直，A、C、B、D均在圆心为O的圆周上。四分之一圆环AP、DP上分别均匀分布电荷量为+Q的电荷，四分之一圆环CP、BP上分别均匀分布电荷量为﹣Q的电荷，已知O点的电场强度大小为E。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿PO向右 B．O点场强方向与ACBD圆面成45°角 C．四分之一圆环PB上的电荷在O点产生的场强大小为E D．四分之一圆环PD上的电荷在O点产生的场强大小为E 【答案】D 【分析】首先，根据对称性，分析四个四分之一圆环在 O 点产生的场强，判断哪些场强可以相互抵消，哪些需要矢量叠加；接着，将四个场强分解到两个互相垂直的平面上，利用已知的合场强大小 E，建立场强分量的关系方程；最后，逐一分析各选项的场强方向、夹角和大小关系。 【解答】解：AB.四分之一圆环AP、DP上均匀分布有电荷量为+Q的电荷，四分之一圆环CP、BP上均匀分布有电荷量为﹣Q的电荷，对APB可构建O点在无数对等量异种电荷的中垂线上，故其在O点合场强方向为OB方向，同理对DPC可构建O点在无数对等量异种电荷的中垂线上，故其在O点合场强方向为OC方向；由对称性及叠加原理，O点场强方向在ACBD圆内，由O指向BC中点，故AB错误： CD.由对称性，四分之一圆环的电荷在O点产生的场强大小都相等，设为E0，则AP与PB在O点产生的场强大小为，方向为OB方向：则DP与PC在O点产生的场强大小为，方向为OC方向，由对称性及叠加原理，则APB与CPD在O点产生的合场强大小为，故四分之一圆环的电荷在O点产生的场强大小都为，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练9-10】如图所示，一电荷量为的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且，在a点处有一电荷量为的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为为静电力常量    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】a点处的电荷量为的点电荷在b处产生的电场强度为，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为，方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为，方向向右；而电荷量为的点电荷在d处产生的电场强度为，方向向右，所以d点处场强的大小为，方向向右，故A正确，BCD错误。故选A。   【变式训练9-11】如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀地分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，已知静电力常量为k，若此时在O点放一个带电荷量为Q的带正电的试探电荷，则该试探电荷受到的静电力大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　圆环上的电荷在O点产生的电场强度大小等效为电荷量为q的一小段在E处时在O点产生的电场强度大小，为E1＝＝，方向竖直向下，电荷量为q的一小段在F点时，在O点产生的电场强度大小为E2＝＝，方向竖直向上，此时O点的电场强度大小为E＝E1－E2＝，方向竖直向下，则带电荷量为Q的带正电的试探电荷在O点受到静电力的大小F＝EQ＝，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练9-12】北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，裹运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（　　） A. ab两点电势差大于bc两点电势差 B. a、c两点的电势相等 C. b、d两点的场强相等 D. 正的试探电荷从b点到d点电势能增加 【参考答案】C 【名师解析】 根据对称性可知，ab两点间与bc两点间电场强度的平均值相同，则ab两点电势差等于bc两点电势差，故A错误； 由图可知，电场方向由a到c，由于沿着电场线，电势降低，因此a点电势比c点电势高，故B错误； 根据对称性可知，b、d两点的场强大小相等，方向相同，故C正确； 根据对称性可知，b、d两点所在直线为等势线，则b、d两点的电势均为零，则正的试探电荷从b点到d点电场力做功为零，电势能不变，故D错误。 【变式训练9-13】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为（　　） A. B. C. D. 【参考答案】A 【名师解析】 先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为 左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则 故选A。 【变式训练9-】如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ） A. ，水平向右 B. ，水平向右 C. ，水平向左 D. ，水平向右 【答案】B 【解析】 由于a点的电场强度为零，则带电矩形薄板在a点的电场强度E1与点电荷在a点的电场强度大小相等，方向相反，有 由对称性可知，带电矩形薄板在b点的电场强度大小也为E1，方向水平向右，与点电荷在b点的电场强度叠加，则b点处的电场强度方向水平向右，大小为 故选B。 【变式训练9-14】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，半球面总电荷量为q，球面半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，且。已知N点的场强大小为E，如果把半球面改为带总电荷量为，则M点的场强大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先在图中加一个带电荷量为的半径为R的球面，由于左半部分与带正电的半球面中和，相当于一个带的右半个球面，其在N点产生的电场强度为原来的和新加的共同产生，为，因为2q产生的绝对值大，这个数值和改为带电荷量为在M点产生效果一样，故选C。 【变式训练9-15】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电荷量，由于，故可视为点电荷，它在O点产生的场强大小为。由对称性可知整个圆环在O点的场强，则存在缺口时在O点的场强大小，即，故选项C正确。答案  C 【变式训练9-16】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上相同的正电荷．现将电荷量为Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为k为静电力常量，不考虑绝缘细棒之间及绝缘细棒与Q的相互影响      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据对称性可知，AF与CD上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和为零，AB与DE上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和为零．BC中点的点电荷在O点产生的电场强度的大小为，由题意分析可知EF上的细棒与BC中点的点电荷在O点产生的电场强度的矢量和为零，则EF上的细棒在O点产生的电场强度的大小也为，故每根细棒在O点产生的电场强度的大小都为，移走点电荷及AB边上的细棒，O点的电场强度为EF与DE上的细棒在O点产生的电场强度的矢量和，即，D正确． 【变式训练9-17】如图所示，分别带均匀正电的三根绝缘棒AB、BC、CA构成正三角形，现测得正三角形的中心O点的电势为，场强的方向背离B，大小为E，当撤出AB、BC，测得中心O点的电势为，场强的大小为，规定无限远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A. 撤去AC，则中心O点的场强大小为 B. 撤去AC，则中心O点的电势为 C. AB在中心O点的场强大小为 D. AB在中心O点的电势为 【参考答案】A 【名师解析】 根据对称性，AC在O点的场强指向B点，三个棒状体都存在，O点的场强E的方向背离B，可得AB与BC的带电量相等，AB与BC在O点的合场强（设大小为）背离B点，根据矢量的合成可得 解得即撤去AC，中心O点的场强大小为，故A正确； B．设AB与BC在O点的电势为，则有解得即撤去AC，中心O点的电势为，故B错误； AB、BC在中心O点的场强大小相等、方向成角，可得AB在中心O点的场强大小等于，即，故C错误； AB、BC在中心O点的电势相等，可得AB在中心O点的电势为 故D错误。 【变式训练9-18】如图所示，半径为均匀带电球体的球心和均匀带电圆环圆心相距，其连线垂直于圆环所在平面，、为该连线上两点，分别位于圆环左右两侧，且。已知带电球体的电荷量为，静电力常量为点的电场强度为0。现将小球向左移动，使球心与点重合，移动过程中没有发生电荷的转移，则带电球体移动以后点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设均匀带电圆环在点产生的场强为，均匀带电球在点产生的场强为 已知初始时点的电场强度为0，则与等大反向，则 且带电圆环和带电球应带有同种电荷。设同时带正电荷，带电圆环在点产生的场强方向向右，根据对称性，在点产生的场强大小，方向向左； 当把带电球移到点，带电球在点产生的场强，方向向左； 此时的合场强大小 同理可得，环和球同时带负电荷时，的合场强大小也为。故选B。 【变式训练9-19】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　） A．O点的场强一定为零 B．P'点场强大小为 C．金属带电小球的电量为 D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右 【答案】C 【解析】A．根据对称性可知，带电量Q的圆环，在圆心O点场强为0，带电金属小球在O点的场强不为0，所以O 点的场强不为零，故A错误； B．设细线与半径的夹角为θ，由几何关系 θ=60° 由微元法，无限划分，设每一极小段圆环带电量为Δq，则 其中 ∑Δq=Q 解得 根据对称性可知，带电量为Q的圆环，在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的圆环在P′点的场强大小为，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′的电场强度的叠加，所以 故B错误； C．对小球受力分析如图，则 解得 选项C正确； D．剪断细线瞬间，小球受合外力沿细线方向斜向右下，则加速度方向斜向右下方，选项D错误。 【变式训练9-20】如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A．k　 B．k　　 C．k　　 D．k 【答案】C 【解析】设想将线框分为n个小段，每一小段都可以看成点电荷，由对称性可知，线框上的电荷在O点产生的场强等效为与A点对称的电荷量为q的电荷在O点产生的场强，故E1＝＝，B点的电荷在O点产生的场强为E2＝，由场强的叠加可知E＝E1－E2＝. 【变式训练9-21】如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为 方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为 方向水平向右，则点的合场强大小为 方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为 故选D。 【变式训练9-22】如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度大小为（　　） A．E=E0sinα B．E=E0cosα C． D． 【答案】D 【解析】根据对称性，待求的电场强度E一定沿着α角的角分线向右下方，同理大瓣球面在O点的电场强度一定沿着大瓣的角分线向左下方，由于是半个球面，所以这两个电场强度一定垂直，合场强等于E0，根据平行四边形法则作图 D正确，ABC错误。 故选D。 【变式训练9-23】如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的场强大小为E1，右半部分在A2点的场强的大小为E2，则有   (       ) A．E1= E2 B．E1<E2 C．E1>E2 D．大小无法确定 【答案】C 【解析】如图甲所示 分开后左部分球冠所带电荷在点A1产生的场强以E1表示，右部分球层面电荷在A2产生的场强以E2表示，由对称性可知E1的方向向右，E2的方向向左。 如图乙所示 设想在另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，球缺在A2点产生的电场强度E3大于E2，球缺和球冠构成一个完整球，由于均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，那么，E1与E3必然大小相等，方向相反，所以球冠面电荷在点A1产生的场强E1大于球层面电荷在A2产生的场强E2，故C正确，ABD错误。故选C。 【变式训练9-24】如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为 。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为，C正确；ABD错误； 故选C。 【变式训练9-25】经过理论推理可知，两个大小不能忽略的带电均匀的半球面，相互作用力产生的压强为P=Eσ,其中E为场强，σ为单位面积上的电荷量，已知半径分别为R和r的带电均匀的半球，其带电量分别为Q和q，两半球的球心及最大横截面重合，两个半球之间的作用力大小为     （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】ABCD.如图(1)所示，表示两个带同种电荷两半球受力方向，如果对大半球补加半径为R的带电量为Q右半球，如图(2)所示，那么小半球所受力将变为零，因为带电球体内场强为零，由此可见，大球左、右两部分对小球的作用力大小相等，方向相反.      现在对小半球补加半径为r的带电量为q左半球，如图（3）所示，那么小半球左右两部分对大半球的作用力大小相等，方向相同。于是小球对大半球的作用力大小为2F，小球的电场在大半球表面处的场强（如图4所示）大小为 大半球表面上单位面积上的电荷量 大半球所受合力的大小等于大半球的平面上的电场力的大小，即 由于F合=2F，于是所求力的大小为 故D正确ABC错误。 故选D。 【变式训练9-26】半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷．如图所示，在A、B两处分别取走弧长为的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，、分别是A、B间两段圆弧的中点，已知，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的场强的大小和方向为（    ）    A．，由O指向 B．，由O指向 C．，由O指向 D．，由O指向 【答案】A 【详解】假设把取走的电荷放置到原位置，两处的电荷在点的电场强度分别为 两处的电荷在点的合电场强度为方向由指向，整个圆环在点的合场强为0，则圆环上剩余的电荷的场强的大小为方向由指向，综合可得故选A。 【变式训练9-27】如图所示，MN是一半圆形绝缘线，O点为圆心，P为绝缘线所在圆上一点，且OP垂直于MN，等量异种电荷分别均匀分布在绝缘线上、下圆弧上。下列说法中正确的有（　　） A．O点处和P点处的电场强度大小相等，方向相同 B．O点处电势大于和P点处的电势 C．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电势能增加 D．将一正点电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功 【答案】D 【详解】分别画出正、负电荷产生的电场强度的方向如图 由图可知，O点与P点的合场强的方向都向下，同理可知，在OP的连线上，各点的合场强的方向均向下； A．O点到两处电荷的距离比较小，所以两处电荷在O点产生的场强都大于在P处产生的场强，而且在O点出两处电荷的场强之间的夹角比较小，所以O点的合场强一定大于P点的合场强，故A错误； B．根据对称性可知OP连线是一条等势线，故B错误； CD．由于OP连线是一条等势线，将一正试探电荷沿直线从O移动到P，电场力始终不做功，电势能不变，故C错误，D正确；故选D。 【变式训练9-28】如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（　　） A．k B．k C．k D．k 【答案】B 【详解】在z轴上处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和；q在处产生的场强为 E1＝k 由于导体远端离处很远，影响可以忽略不计，故导体在处产生场强近似等于近端在处产生的场强；处合场强为0，故导体在处产生场强大小 E2＝E1 方向向上。根据对称性，导体近端在处产生的场强也为E2，方向向下。 电荷q在处产生的场强为 E3＝k 方向向下。 故在处的合场强为 E＝E2+E3 方向向下。B正确。 故选B。 【变式训练9-29】如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E [解析]　假设圆弧带电体ABC带正电，根据电场的叠加规律可知ABC在P点产生的电场强度方向沿BP连线向下；AB段产生的场强沿AB中点与P点连线向下，BC段产生的场强沿BC中点与P点的连线向上，并且AB和BC段在P点产生的电场强度大小相等；而P点处总的电场强度为AB和BC段单独产生的电场强度的合场强，如图所示，根据几何关系可知E＝2EABcos 30°，解得AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小EAB＝，故C正确，A、B、D错误。 [答案]　C 【变式训练9-30】电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（　　） A．圆形薄板所带电荷量为+Q B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左 C．B点的电场强度大小为，方向水平向右 D．B点的电场强度大小为，方向水平向右 【答案】BD 【详解】AB．A点的电场强度为零，而点电荷在A点产生的场强为 ，方向水平向右 则可知圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左，知圆形薄板带正电；若圆形薄板所带电荷量集中在圆心O，则电荷量大小应为，而实际上圆形薄板的电荷量是均匀分布在薄板上的，除了圆心O处距离A点的距离与点电荷距离O点的距离相同外，其余各点距离O点的距离都大于，若将电荷量均匀的分布在薄板上，则根据点电荷在某点处产生的场强公式 可知，合场强一定小于，因此可知圆形薄板所带电荷量一定大于+Q，故A错误，B正确； CD．B点关于O点与A点对称，则可知圆形薄板在B点产生的电场强度为 ，方向水平向右 而点电荷在B点产生的场强为 ，方向水平向右 则根据电场强度的叠加法则可得B点得电场强度为 ，方向水平向右 故C错误，D正确 故选BD。 【变式训练9-31】现有两个边长不等的正方形ABCD和abcd，如图所示，且Aa，Bb，Cc，Dd间距相等．在AB，AC，CD，DB的中点分别放等量的正点电荷或负点电荷．则下列说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度和电势均为零 B．把一负点电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零 C．同一点电荷在a、d两点所受电场力相同 D．将一正点电荷由a点移到b点电势能减小 【答案】BCD 【解析】据电荷分布的对称性可知道，ad方向的电场方向由a指向d，bc为等势线，电势为零，即bc电势相等，电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零，选项A错误，B正确；据电荷分布的对称性可知道同一点电荷在a、d两点所受电场力大小、方向均相同，选项C正确；bc为等势线，b、O电势相等，正点电荷由a点到b点可认为是a到O，电场力做正功，电势能减小，选项D正确． 【变式训练9-32】离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获和囚禁在一定范围内的装置。如图为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图，a、b、c、d是四根平行杆，他们与带有直流电压和叠加的射频电压相连，相当于四个电极，相对的电极带等量同种电荷，相邻的电极带等量异种电荷。在纸面内四根杆的连线是一个正方形，A、C是ac上的任意两点，B、D是bd上的任意两点，A、C、B、D到正方形中心O的距离相等，则（  ） A. D点的电场强度为零，电势最低 B. A、B、C、D四点电场强度大小相等 C. A点电势比B点电势高 D. 正点电荷沿直线从A经O运动到C，电势能先减小后增大 【答案】BCD 【解析】A项，两负电极在D点形成的电场水平向右，两正电荷在D点形成的电场也水平向右，所以电场强度不为0，电势与B点相同，故A项错误。 B项，A、B、C、D对称分布，电场线密集程度一样，所以这四点电场强度大小相等，故B项正确。 C项，A到B的电场线，是由A指向B，且电场线是曲线，沿着电场线的方向，电势逐渐降低，所以A点电势比B点电势高，故C项正确。 D项，从A到O，电场线从A指向O，从O到C，电场线从C指向O，正电荷沿AC运动时，电场先做正功，后做负功，相应的正点电荷的电势能先减小后增大，故D项正确。 【变式训练9-33】(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　　) A.a、b两点的场强相等 B.a、b两点的电势相等 C.c、d两点的场强相等 D.c、d两点的电势相等 【答案】ABC 【解析】沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知a、b两点的场强相等，A项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故a、b两点的电势相等，B项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知c、d两点的场强相等，C项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故φc>φd，D项错误。 【变式训练9-34】已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0。如图所示为一带电量为+Q，半径为R的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2R，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．将+q的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能不变 B．在圆心O处放一个电量为-2Q的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q C．在+R处取走极小的一块面积ΔS，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS，B点场强大小为 【答案】AC 【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A正确； B．在圆心处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误； C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场，C正确； D．整个球壳在点的电场水平向右，在圆心正上方处取走极小一块面积在点的场强为 方向斜向右下，与矢量作差即为点电场强度，D错误。 故选AC。 题型10：割补法 【典型例题1】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设原来半径为的整个均匀带电球体的电荷量为，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为 可知以为直径在球内挖一球形空腔后，、两点的电场强度等于整个均匀带电球体在、两点的电场强度减去被挖的球形在、两点的电场强度，则有 可得 C正确，ABD错误； 故选C。 【典型例题2】若在一半径为r，单位长度带电荷量为qq的均匀带电圆环上有一个很小的缺口且，如图所示，则圆心处的场强大小为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电荷量，由于，故可视为点电荷，它在O点产生的场强大小为。由对称性可知整个圆环在O点的场强，则存在缺口时在O点的场强大小，即，故选项C正确。答案  C 【典型例题3】如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O′点固定一带正电的点电荷Q，O′、M点间的距离为R，已知P点的场强为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强为(　 　) A．0 B． C． D．－ 【答案】C 【解析】因P点的场强为零，所以半球面对P点的场强和点电荷Q对P点的场强等大反向，即半球面对P点的场强大小为E1＝，方向沿轴线向右。现补全右半球面，如图所示，根据均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零知，球面在M点产生的电场强度均为零，即左半球面对M点场强和右半球面对M点场强等大反向，又由对称性知左半球面对P点的场强和右半球面对M点的场强等大反向，即左半球面对M点场强为E2＝，方向向右，点电荷Q对M点场强为E3＝，方向向左，故M点的合场强为EM＝－＝，方向向左，故选项C正确。 【典型例题4】(多选)如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 【答案】BCD 【解析】A．两小球分别在x轴上下两侧，电性相同，它们在P点产生的场强分别斜向上和斜向下，与x轴夹角相等，方向不同，故A错误； B．大球所带电荷均匀分布整个球体，它在外部产生的电场可等效为所有电荷集中在球心O点在外部产生的电场，由库仑定律故B正确； C．大球在P点产生的电场沿x轴方向，两小球在P点的合场强也沿x轴方向，且小于大球在P点的场强，由场强叠加原理可知，挖去两小球后，P点场强方向不变，故C正确； D．设两小球的球心到P点的距离为l，有几何关系 球体积公式为 小球半径是大球半径的一半，故小球体积是大球体积的八分之一，故小球所带电荷量为 两小球在P点场强均为 合场强为 剩余部分在P点的场强为故D正确。故选BCD。   【变式训练10-1】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生场强为：，同理割出的小球半径为，因为电荷平均分布，其带电荷量，则其在A点产生的场强：，所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强，在挖掉球体部分前后，A点处场强的大小之比为，所以：BCD错误，A正确。故选：A。 【变式训练10-2】如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为的均匀带电球的电量为 带的带电球在P点产生的场强为 方向向左。假设半径为的球均匀带正电Q，其在P点产生的场强为 方向向右。所以将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电，此时在P点产生的场强为 故选A。 【变式训练10-3】(等效法、补偿法)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为(　　) 图6 A.－E B.－E C. D.＋E 答案　A 解析　先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E，故A正确。 【变式训练10-4】（多选）如图所示，一球壳均匀带有正电荷，球壳内电场强度处处为零，为球心，点在点的正上方。在球壳最右端处挖掉一足够小的曲面，球壳剩余部分电荷分布保持不变。下列说法正确的是（     ） A．点的电场强度方向由指向 B．点的电势高于点的电势 C．点的电场强度大于点的电场强度 D．若将一正点电荷由点沿直线移动到点电场力做正功 【答案】CD 【详解】A．均匀带电球壳挖去处一小块正电荷后，剩余电荷的电场等效于完整均匀带电球壳和处一个等量负点电荷的电场矢量和。已知完整均匀带电球壳内部场强处处为零、电势处处相等，因此总电场就是处负点电荷产生的电场。负点电荷在处，场强方向指向负电荷，因此点场强方向由指向，故A错误； B．负点电荷的电势分布：离负电荷越远，电势越高。到的距离为球半径，到的距离大于，因此点电势高于点电势，故B错误； C．点电荷场强公式 又 则点的电场强度大于点的电场强度，C正确； D．场强方向从到，正电荷受力方向与场强方向一致，因此从到电场力做正功，D正确。 故选CD。 【变式训练10-5】（多选）已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。若真空中有一个均匀的带正电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在点，半径为，，如图所示，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）    A．空腔里各点的电场方向不同 B．空腔里的电场强度方向与连线平行 C．空腔里的电场强度与该点到O点的距离成正比 D．空腔里的电场强度大小恒为 【答案】BD 【详解】将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P，设 已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。如图所示，P点在大球激发的场强分两部分，其中P点外部为零，内部全部集中在O点的场强为 方向由O指向P； P在小球激发的场强分两部分，外部为零，内部全部集中在O1的场强为 方向由P指向；和的矢量合成遵从平行四边形定则，E的方向如图所示 根据几何关系可知E的方向与连线平行 故选BD。 【变式训练10-6】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处(　　) A. 场强大小为，方向沿OA方向 B. 场强大小为，方向沿AO方向 C. 场强大小为，方向沿OA方向 D . 场强大小为，方向沿AO方向 【答案】C 【解析】本题主要考查点电荷的场强。填补法分析：先将A点处－q换成＋q，这时由对称性可知，O点处场强为零，这个零场强实际上是B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处＋q的场强E2的矢量和，由E1+E2=0可知，E1方向向上，大小为；然后将A点处＋q换回成－q，则－q在O点的场强方向向上，大小为，与E1的叠加，得到C答案。 另解：等效对称法分析：将A处的－q看做是＋q和－2q组成，A点处＋q与B、C、D、E四点的＋q在O点处场强为零，这时，只需要考虑－2q在O点处场强，直接选C。 【变式训练10-7】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理 根据题意 根据对称性可知右半球壳在N点产生的电场强度大小和左球壳在M点产生场强大小相等即 解得 A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练10-8】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，电荷量为Q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，轴线上CO=DO=3R。一质量为m、电荷量为q的小球（用绝缘细线悬挂于悬点），受半球面产生的电场影响偏转θ角度静止于C点，（若球C与半球面AB彼此不影响对方的电量分布）则半球面AB在D点产生的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设半球面AB在D点产生的场强大小为E1，在C点产生的场强大小为E2，根据平衡条件得 补齐右半球，D点的合场强为 解得 故选D。 【变式训练10-9】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为解得故选B。 【变式训练10-10】一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　) A.O、C两点电势相等 B.A点的电场强度大于B点 C.沿直线从A到B电势先升高后降低 D.沿直线从A到B电场强度逐渐增大 答案　A 解析　将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右两侧球壳在C点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部分球壳在C点的电场强度都是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C点的电场强度方向水平向左，同理OC上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C点连线为等势线，故O、C两点电势相等，故A正确；设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝E2，根据对称性，左、右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在题图所示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误； 根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。 【变式训练10-11】如图甲所示，一半径为R的球面上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，电荷在球心O点处产生的电场强度为零。已知下部分半球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小，方向如图甲所示。现切掉含有正电荷的球面，如图乙，若剩下的正电荷均匀分布在剩下的球面。则切掉球面后，圆心O点处的电场强度大小为    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，把球面分成4等份，由于电荷是均匀分布在球面上的，故每一等份所带电荷在圆心O点处产生的电场强度大小都相等，设每一等份球面所带电荷在圆心O点处产生的电场强度大小为，则下半球中的两等份在圆心O点处的合场强大小为，每一部分产生的场强方向与的方向成夹角，根据平行四边形定则知：，可知被切掉的那部外球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度大小也为，由于球面完整时，圆心O点处的电场强度为零，故被切掉的那部分球面上的电荷在圆心O点处产生的电场重度与剩下的球面上的电荷在圆心O点处产生的电场强度是等大反向的，故剩下的球面在圆心O点处产生的电场强度大小也为，故选项A、B、C错误，选项D正确。 【变式训练10-12】如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　） A．点电场强度的方向垂直于向下 B．点电场强度的方向斜向下 C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为 【答案】AD 【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环 AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误； CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。 故选AD。 题型11：极限法 如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将挖去的圆板补上，复原无限大均匀带电平板，设无限大均匀带电平板在Q点的场强为E，补回来的半径为r的圆板在Q点的场强为E1，待求的场强为E2，由电场叠加原理得 由得，当R无限大时 解得故选B。 1 学科网（北京）股份有限公司 $