精品解析：陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年上学期高二上学期开学考试数学试题

瑞泉中学高二开学考试数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法结合虚部的定义可得. 【详解】，所以虚部为7. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法、正弦函数的值域求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，得，故， 由的值域为，故， 所以. 故选：B 3. 过点，的直线的斜率为-2，则的值为 A. 6 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意知解方程即可. 【详解】由题意知，∴. 故答案为A. 【点睛】根据直线斜率的概念得到结果. 4. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的加法减法及线性关系计算求解. 【详解】因为平行四边形中，为的中点，点在上，且， 所以， 则. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，所以. 故选:D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 7. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 8. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 11. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D. 【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误； 由，得函数为偶函数，B正确； 由，得，解得，C正确； 若函数在上单调递增，必有解得，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积． 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18## 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以． 故答案为：0.18． 14. 已知圆：，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为___________;点到直线的最小距离为___________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】由，得，从而，可得点M的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，可得出圆方程，求出到直线的距离，由这个距离减去半径得所求最小值． 【详解】从点向圆M作两条切线NP，NQ，且， 可得在中，，，所以， 所以点M的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 因为N到直线的距离， 所以点M到直线的最小距离为． 故答案为:； 6． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【小问1详解】 由已知得解得， ∴两直线交点为. 设直线的斜率为， ∵直线与垂直，∴， ∵直线过点， ∴直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的半径为，依题意，得圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得，∴， ∴圆的标准方程为. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【小问1详解】 由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）根据等体积法计算点到平面的距离，再由线面角的定义计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学高二开学考试数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点，的直线的斜率为-2，则的值为 A. 6 B. 1 C. 2 D. 4 4. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 11. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 14. 已知圆：，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为___________;点到直线的最小距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 17. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 18. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $