精品解析：广东省广州市天河中学2024-2025学年高三上学期综合模拟测试（一）数学试卷

2025届广州市天河中学毕业班综合模拟测试（一） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 20 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知：不等式的解集为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝r2(r＞0)相切，则r＝（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量X服从正态分布，则 B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则 D. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 8. 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A. 中位数不变 B. 平均数变小 C. 方差变大 D. 方差变小 10. 在正方体中，点分别是和的中点，则（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形中，，E是的中点，则_________． 13. 若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程：______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是______． 四、解答题：本题共7小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 17. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 18. 已知在曲线，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限） （1）求曲线C的方程； （2）若过且与l垂直的直线与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限） （ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值． （ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出维“立方体”的顶点数； （2）在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离． ①求的分布列与期望； ②求的方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届广州市天河中学毕业班综合模拟测试（一） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，， 当时，为非负的偶数，所以，，则， B对，ACD都错. 故选：B. 2. 已知复数满足，则复数对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由题，计算出复数，由复数的几何意义即可判断答案. 【详解】因为，， 所以复数对应的点的坐标为，在第四象限. 故选：D 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项式系数性质求出的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于31，求出的值，即可求得的系数． 【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为 ． 而 的展开式中，通项公式为， 令，求得 ，可得展开式中的系数为， 故选：A． 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 5. 已知：不等式的解集为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出不等式的解集为时的取值范围，再根据范围大小即可得出结论. 【详解】若不等式的解集为，当时，符合题意； 当时，需满足且，解得 综合可得而所以p能推出q，q不能推出p， 即是的充分不必要条件. 故选：A 6. 双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝r2(r＞0)相切，则r＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合圆的切线性质、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆x2＋(y－4)2＝r2的圆心坐标为，半径为， 双曲线x2－＝1的渐近线方程为：， 所以有：， 故选：D 7. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量X服从正态分布，则 B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则 D. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A，根据相关系数的意义可以判定B，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C，利用方差的性质可以求得数据的方差，进而判定D. 【详解】解：A. 已知随机变量服从正态分布，， 则，所以， 所以， ∴，故A错误； B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强， 反之，线性相关性越弱，故B错误； C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C错误； D. 设数据，，…，的方差为， 则样本数据，，…，的方差为，则，即数据的方差为2，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可求得参数的范围. 【详解】由得， 解得或， 画出函数的图象如下， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 则必有与图象有两个交点或与图象有两个交点， 当，即，，符合题意； 当，即，，符合题意； 则实数取值范围值是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A. 中位数不变 B. 平均数变小 C. 方差变大 D. 方差变小 【答案】AC 【解析】 【分析】由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B，由方差计算公式即可判断CD. 【详解】对于选项A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项A正确； 对于选项B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，故选项B错误： 对于选项C，则原数据的方差为， 去掉后的方差为， 故，即方差变大，故选项C正确，选项D错误. 故选：AC. 10. 在正方体中，点分别是和的中点，则（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积可判断空间位置关系，即可判断A；利用空间角的向量求法可判断B；结合A的分析，采用反证法，可判断C；确定平面的法向量，利用空间角的向量求法可判断D. 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故， 则，故不垂直， 即不垂直，A错误； 又，故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 故与所成角为，B正确； 由A的分析可知不垂直，又, 即四边形为平行四边形，则， 故不垂直， 若平面，平面，则， 这与不垂直矛盾，故和平面不垂直，C错误； 平面的法向量可取为， 则，而线面角范围为大于等于小于等于， 故与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角为，D正确， 故选：BD 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再由选择支分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其， 则，解得. AB项，，设函数， 则，故在上单调递减， 则1， 故函数的值域为. 而，，故A对B错； C项，由于， 设， 则，故在上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 若，则，故C对； D项，，设， ， 令，则， 则当，，则在上单调递增； 当，，在上单调递减， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形中，，E是的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】把都用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】，， 则. 故答案为：. 13. 若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程：______． 【答案】（答案不唯一，或填） 【解析】 【分析】分别设公切线与两曲线相切切点的坐标，用坐标表示切线方程，由两切线为同一条直线可建立方程组求解可得. 【详解】设公切线与相切的切点为，与相切的切点为. 由，则，则公切线方程为， 即； 由，则，则公切线方程为， 即； 所以解得或. 故曲线和的公切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一，或填） 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，设，得到，由椭圆定义和勾股定理得到方程，得到，故，设，，由对勾函数性质得到函数单调性，从而得到，求出离心率的取值范围，得到最大值. 【详解】连接，设， 因为点在第一象限，所以， 由对称性可知， 因为，所以，即， 由椭圆定义可得， 由圆的性质得⊥，由勾股定理得， 所以，即， 因为， 设，，则， 由对勾函数性质，单调递增， 所以，即， 当时，解得，即，解得 当时，解得，即，解得， 综上，所以C的离心率的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题：本题共7小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简等式，解出即可；（2）根据正弦定理求出角,再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由已知可得, ， 解得. 因为为锐角，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 由题，， 又由正弦定理， 得. 因为， 所以或. 当时，， 所以； 当时，， 所以， 所以的面积为或. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式得到函数单调性，从而得到函数极值情况； （2）令，，由得到，再利用放缩法得到时，满足要求，当时，不合要求，得到答案. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为， 无极小值； 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 令，， 则，故，解得， 当时，， 令，则， 故在上单调递增， 故，故，满足要求， 当时，不合要求， 综上，a的取值范围是. 17. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面， 于是，而，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d， 由，得， 而，，则的面积， 由，，得， 又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ， 所以点到平面的距离为. 18. 已知在曲线，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限） （1）求曲线C的方程； （2）若过且与l垂直的直线与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限） （ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值． （ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点． 【答案】（1） （2）(i)， (ii)过定点，证明如下： 由(i)可知，所以点横坐标为， 带入到直线，可求得点纵坐标为，所以点 同理可求得， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为 ，所以直线过定点. 【解析】 【分析】(1)化简给定得方程即可得曲线的方程； (2)(i)把直线的方程分别和曲线的方程方程联立，利用抛物线的性质以及韦达定理可求得线段的长度，根据，结合基本不等式性质即可求得，(ii)根据中点性质可求得点P，Q坐标，列出直线方程可求解. 【小问1详解】 将两边平方，可得， 化简可得，整理得， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 (i)设点， 由(1)知曲线的准线为，设， 根据抛物线性质可知， 而由题意知可知， 由题意可知直线过且与直线交于点， 所以可知 所以， 由，消去得， 根据韦达定理可知，所以， 由题意可知将其与曲线联立同理可解得， ， 所以 则由不等式性质可得， 所以四边形ACBD面积的最小值为； (ii)略 【点睛】关键点点睛：根据抛物线性质可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，同时对设的点设而不求根据韦达定理可表示出点P，Q坐标，在根据两点式可求得方程化简即可证明. 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出维“立方体”的顶点数； （2）在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离． ①求的分布列与期望； ②求的方差． 【答案】（1）个 （2）①的分布列为： 1 2 ； ② 【解析】 【分析】（1）由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数； （2）由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式，方差公式及二项式定理计算即可． 【小问1详解】 对于维坐标，， 所以共有种不同的点，即共有个顶点． 【小问2详解】 ①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种， 所以， 则的分布列为： 1 2 所以， 倒序相加得，， 所以； ② ， 设， 两边求导得，， 两边乘以后得，， 两边求导得，， 令得，， 所以． 【点睛】方法点睛：在计算数学期望和方差时，应用两个等式：①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $