精品解析：天津市第四十三中学2026-2027学年高三上学期期初考试数学试卷

天津市第43中学高三上学期期初考试数学试卷2026.9 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数说法正确的有（ ） A. 图象关于点对称 B. 最小正周期为 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 8. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 9. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共105分） 一、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 计算：__________. 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 12. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是__________. 13. 若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 14. 已知都是正实数,且满足,则的最小值为__________. 15. 已知函数，若方程的解为，则______，_______． 三、解答题：本题共5小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）求的定义域 （2）若，求的值； （3）若，求的值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 18. 已知a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）若，且． （i）求c的值． （ⅱ）求的值． 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 20. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第43中学高三上学期期初考试数学试卷2026.9 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递增， 所以由可以得到，故充分性成立， 由可以推得出，故必要性成立， 所以是的充要条件，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立， 由不一定得到，故必要性不成立， 故是的充分不必要条件，故B正确； 对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是，故必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故C错误； 对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是不成立，即必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故D错误. 故选：B 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求解判断即可. 【详解】根据指数函数的性质知，，即； ，即. 根据对数函数的性质知，，即. 所以，. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断奇偶性，再取特殊点判断即可. 【详解】，则函数为奇函数，故排除A，，故排除CD. 故选：B 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用特殊点以及奇偶性进行判断. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值可得，代入即可求解. 【详解】，， ，，即， . 故选：A 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数说法正确的有（ ） A. 图象关于点对称 B. 最小正周期为 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象可得，进而求得函数解析式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由图可知，，且， ， ，， 则， ，， 则，． 又 ，∴， ∴ 取，得． ． 对A，当时，，不适合题意，错误； 对B，的最小正周期为，B正确； 对C，当时，，适合题意，C正确； 对D，当时，， 为单调递减函数，D正确； 故选：BCD． 【点睛】本题考查由的部分图象求函数解析式，考查型函数的性质，是中档题． 8. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B 9. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数的性质可知，，并且代入化简，利用二次函数求取值范围. 【详解】函数的图象如图所示， ，，， ，，， ， 又因为，所以. 故选：A． 第二部分（非选择题 共105分） 一、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 12. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由于为奇函数，所以， 在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，故在单调递减， 由得， 所以，解得， 故答案为： 13. 若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型函数的性质求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. 14. 已知都是正实数,且满足,则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的式子，得到的关系，然后利用基本不等式中求得的最小值. 【详解】因为都是正实数，且满足 所以 所以， 所以， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查对数的化简，基本不等式“1”的妙用求和的最小值，属于简单题. 15. 已知函数，若方程的解为，则______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由已知求出的范围，根据方程的解的对称性可求得；再利用表示，即可表示为，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案. 【详解】，， 又方程的解为，， 解得．， 由，可得，． 又，可得， . 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意到是的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的分析解题能力与转化能力，属于中档题. 三、解答题：本题共5小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）求的定义域 （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数有意义即得其定义域； （2）利用和角的正切公式计算即得； （3）利用二倍角的正、余弦公式化简成弦的齐次式，再化弦为切，代值计算即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，需使， 则函数的定义域为； 【小问2详解】 因， 则； 【小问3详解】 . 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 18. 已知a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）若，且． （i）求c的值． （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得的值，即可求得答案； （2）（i）由余弦定理可得，结合，推出，，再结合，即可求得c； （ii）求出b，利用正弦定理求得，进而求得，由二倍角公式求得，再根据两角和的正弦公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知在中，， 故由正弦定理得， 即, 所以， 因为，故， 又，故； 【小问2详解】 （i）由余弦定理得， 即，又， 故，得，则， 即， 又，故，解得. （ii）由（i）可得，， 由正弦定理得， 由于，故B必为锐角，故， 故， ， 故 . 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． 【小问3详解】 由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 20. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2） （3）证明如下： 取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有， 所以在上为减函数，所以. 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $