1.5 有理数的乘法和除法（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法和除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同异号运算、0的特性）、运算律（分配律、交换律、结合律），通过倒数概念衔接除法法则（转化为乘法），进而延伸至乘除混合运算及四则混合运算，构建由基础到综合的学习支架。 资料以知识清单夯实基础，结合生活应用题型（如商品打折、体重记录）培养数学眼光，通过运算律应用与简便计算训练提升运算能力，体现数学思维。课中辅助分层教学，课后作业助力查漏补缺，强化知识与现实世界的联系。

第一章 有理数 05讲 有理数的乘法和除法 目录 【知识点1. 有理数的乘法法则与运算律 1】 【知识点2. 倒数 2】 【知识点3. 有理数的除法法则 3】 【知识点4. 有理数的乘除混合运算 4】 【知识点5. 有理数的四则混合运算 4】 【题型1. 有理数的乘法运算 5】 【题型2. 有理数乘法的应用 6】 【题型3. 倒数 8】 【题型4. 有理数除法运算 9】 【题型5. 有理数除法的应用 9】 【题型6. 有理数的乘除混合运算 10】 【题型7. 有理数的四则混合运算 11】 【题型8. 有理数四则混合运算的应用 13】 【课后作业 14】 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 2） 0乘任何数都得0. 3） 几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数。 2、有理数乘法运算律 乘法分配律： ； ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 2．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 3．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 4．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ② 没有倒数； ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 4）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； 5）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 巩固基础 1．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 2．下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 3．如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 知识清单 4、有理数除法法则1：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； 有理数除法法则2：0除以任何一个不等于0的数都得0； 有理数除法法则3： 除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数。即：，()。 巩固基础 1．_______ 2．计算： (1)； (2)． 3．用简便方法计算：． 4．外卖小哥送一批订单，前2小时送了18单．按照这样的效率，送完72单需要多少小时？ 知识清单 5、有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．计算：______． 2．计算：； 3．计算：． 知识清单 6、有理数的四则混合运算步骤： ① 先乘除，后加减； ② 同级运算，从左往右进行； ③ 有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行。 巩固基础 1．计算：________． 2．计算：． 3．计算： 4．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次巡逻所用的时间． 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 【例1】计算： ______． 【例2】计算： 【变式1】______． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 题型2：有理数乘法的应用 【例1】妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（     ）个盒子． A．30 B．31 C．26 D．27 【例2】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 1 2 3 袋数 1 3 2 1 1 2 若每袋标准质量为，求抽样检测的总质量． 【变式1】如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（）=耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（）=耗油量（L）×2.7 【变式2】小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了 的手续费，卖出时需付成交额 的手续费和 的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【变式3】2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 题型3：倒数 【例1】的倒数是（   ） A． B．3 C． D． 【例2】已知：、互为相反数，互为倒数，的绝对值为3，求：的值． 【变式1】倒数的绝对值是（     ） A．2023 B． C． D． 【变式2】若，则a的倒数为________． 【变式3】和互为倒数，_______． 【变式4】已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 题型4：有理数的除法运算 【例1】计算：___________． 【例2】计算． (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算：_______ 【变式2】计算． (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： 题型5：有理数除法的应用 【例1】甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【例2】某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【变式1】2025年的2月3日是星期一，那么2025年的3月3日是星期______． 【变式2】某生鲜食品店一周内每日的盈亏情况（盈利为正，亏损为负，单位：元）如下： ，，，，，，． (1)生鲜食品店这一周是盈利还是亏损了？求出盈利（或亏损）总额． (2)若平均每日盈利300元以上（含300元）为盈利状况良好，判断该生鲜食品店这周盈利状况能否达到良好． 【变式3】七年级某小组6位同学的体重（单位：kg）情况如下表，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)体重最接近标准体重是 号（填编号）； (2)求这6位同学的体重的平均值． 题型6：有理数的乘除混合运算 【例1】_______． 【例2】计算：． 【变式1】计算：__________． 【变式2】计算： 【变式3】计算： 题型7：有理数的四则混合运算 【例1】计算： 【例2】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】简便运算： (1)． (2)； (3)． 【变式3】简便计算 (1) (2) (3) 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式5】计算： (1) (2) (3) 题型8：有理数四则混合运算的应用 【例1】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准， 超出或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下表：若每袋标准质量为， 则这批样品的总质量是多少？ 与标准质量的差值（单位：） 0 1 袋数（单位：袋） 1 4 3 4 5 3 【变式1】如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 【变式2】小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了 的手续费，卖出时需付成交额 的手续费和 的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【变式3】小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 课后作业 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）2022的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D．以上都不对 2．（2026·河北保定·三模）可以表示（     ） A．2的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．比2小1的数 3．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 4．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 5．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 7．（25-26七年级上·重庆·期末）计算： 8．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 9．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 12．（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 13．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 05讲 有理数的乘法和除法 目录 【知识点1. 有理数的乘法法则与运算律 1】 【知识点2. 倒数 3】 【知识点3. 有理数的除法法则 4】 【知识点4. 有理数的乘除混合运算 6】 【知识点5. 有理数的四则混合运算 7】 【题型1. 有理数的乘法运算 9】 【题型2. 有理数乘法的应用 12】 【题型3. 倒数 15】 【题型4. 有理数除法运算 17】 【题型5. 有理数除法的应用 19】 【题型6. 有理数的乘除混合运算 21】 【题型7. 有理数的四则混合运算 23】 【题型8. 有理数四则混合运算的应用 28】 【课后作业 31】 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 2） 0乘任何数都得0. 3） 几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数。 2、有理数乘法运算律 乘法分配律： ； ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 2．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 3．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号规则和零乘任何数得零的性质是解题的关键．有理数乘法中，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数乘以0都得0．根据法则逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意． 故选：D． 4．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ② 没有倒数； ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 4）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； 5）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 巩固基础 1．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可； 【详解】解：， 的倒数是． 2．下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 【答案】D 【详解】解：∵所有数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0 ，存在，故A不符合题意； ∵倒数等于本身的数是和，存在，故B不符合题意， ∵相反数等于本身的数是，存在，故C不符合题意； ∵有理数可以无限小，没有最小的有理数，不存在这样的数，故D符合题意. 3．如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 【答案】 【分析】根据相反数定义求出的值，再依据倒数定义计算的倒数． 【详解】解：如果a和2025是互为相反数，，那么a的倒数是． 知识清单 4、有理数除法法则1：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； 有理数除法法则2：0除以任何一个不等于0的数都得0； 有理数除法法则3： 除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数。即：，()。 巩固基础 1．_______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．外卖小哥送一批订单，前2小时送了18单．按照这样的效率，送完72单需要多少小时？ 【答案】送完72单需要8小时 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，求出一个小时送多少单，进而求出送完72单需要多少小时即可． 【详解】解：（小时）； 答：送完72单需要8小时． 知识清单 5、有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据有理数的乘除法混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 知识清单 6、有理数的四则混合运算步骤： ① 先乘除，后加减； ② 同级运算，从左往右进行； ③ 有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行。 巩固基础 1．计算：________． 【答案】 17 【分析】本题根据有理数混合运算顺序计算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用，正确计算是解题的关键；先利用乘法分配律进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： 3．计算： 【答案】10 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．先利用有理数乘法的分配律计算乘法、将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 4．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次巡逻所用的时间． 【答案】(1)这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的南侧处 (2)这次巡逻所用的时间为 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 答：这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的南侧处． （2）解：根据题意得：． 答：这次巡逻所用的时间为． 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 【例1】计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 【例2】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】______． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 题型2：有理数乘法的应用 【例1】妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（     ）个盒子． A．30 B．31 C．26 D．27 【答案】B 【分析】分别求出大盒子，纸盒子，小盒子的数量后相加即可，注意不要遗漏最外层的1个大盒子. 【详解】解：∵ 总盒子数为大盒子数量、纸盒子数量与小盒子数量的和，已知大盒子共1个，纸盒子共6个，每个纸盒子装4个小盒子， ∴ 小盒子的数量为 ， ∴总盒子数为 . 【例2】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 1 2 3 袋数 1 3 2 1 1 2 若每袋标准质量为，求抽样检测的总质量． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的乘法应用，计算与标准质量的差值的总和，然后加上标准总质量即可得到抽样检测的总质量，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解： ∴与标准质量的差值的和为 依题意，标准总质量为 ∴抽样检测的总质量为 答：抽样检测的总质量是3002克． 【变式1】如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（）=耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（）=耗油量（L）×2.7 【答案】562 【详解】解：家居用电的二氧化碳排放量：， 开私家车的二氧化碳排放量：， 则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为 【变式2】小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了 的手续费，卖出时需付成交额 的手续费和 的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)33 (2)34，24 (3)盈利了845.5元． 【分析】（1）从上周末买入价25元出发，依次累加周一、周二、周三三天的涨跌额，得到周三收盘时的每股价格； （2）根据正负数的意义结合表格数据求解即可； （3）收益卖出实际到手的钱买入总共花的钱，买卖都有手续费，卖出还要额外交税． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 【变式3】2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个 (2)与原计划产量比较，这周超产300个 (3)本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期五超产最多，星期三减产最多，然后用记录相减计算即可得解； （2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个） 产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个； （2）解：（个）   与原计划产量比较，这周超产300个； （3）解：（元） 本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元． 题型3：倒数 【例1】的倒数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是. 【例2】已知：、互为相反数，互为倒数，的绝对值为3，求：的值． 【答案】或2 【分析】本题主要考查相反数、倒数与绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握相反数、倒数与绝对值的意义及代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：的值为或2． 【变式1】倒数的绝对值是（     ） A．2023 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数与绝对值的定义，只需先求出的倒数，再计算该倒数的绝对值即可得到结果． 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， ∴ 的倒数是， ∵ 负数的绝对值等于它的相反数， ∴ ． 【变式2】若，则a的倒数为________． 【答案】 【详解】解：∵的倒数为； ∴a的倒数为. 【变式3】和互为倒数，_______． 【答案】 【详解】解：， ∵和互为倒数， ∴， ∴原式． 【变式4】已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 题型4：有理数的除法运算 【例1】计算：___________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果． 【详解】解：原式 【例2】计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)48 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，按照从左到右的顺序依次进行计算． （1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算：_______ 【答案】0 【详解】解：． 【变式2】计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． （1）按照“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型5：有理数除法的应用 【例1】甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：∵速度公式为， ∴甲的速度 米/秒， 乙的速度 米/秒． ∵，即， ∴甲的速度比乙快． 【例2】某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【答案】需要才能降到这批食品所需的保存温度 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 答：需要才能降到这批食品所需的保存温度． 【变式1】2025年的2月3日是星期一，那么2025年的3月3日是星期______． 【答案】一 【分析】本题考查了数字类规律的探索．先求2月3日到3月3日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断． 【详解】解： 所以2025年是平年，二月28天，2月3日到3月3日有28天， （周） 那么今年的3月3日是星期一； 故答案为：一． 【变式2】某生鲜食品店一周内每日的盈亏情况（盈利为正，亏损为负，单位：元）如下： ，，，，，，． (1)生鲜食品店这一周是盈利还是亏损了？求出盈利（或亏损）总额． (2)若平均每日盈利300元以上（含300元）为盈利状况良好，判断该生鲜食品店这周盈利状况能否达到良好． 【答案】(1)这一周盈利了，总额为2100元 (2)该生鲜食品店这周盈利状况良好 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）将一周的数据相加，即可求解； （2）根据题意结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元）． 答：这一周盈利了，总额为2100元． （2）解：， 符合盈利状况良好的条件， 因此，该生鲜食品店这周盈利状况良好． 【变式3】七年级某小组6位同学的体重（单位：kg）情况如下表，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)体重最接近标准体重是 号（填编号）； (2)求这6位同学的体重的平均值． 【答案】(1)3 (2)这6位同学的体重的平均值为44.2千克 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据绝对值的意义可进行求解； （2）由题意易得标准体重为，然后根据题意可进行求解． 【详解】（1）解：由表可知：， ∴体重最接近标准体重是3号； 故答案为3； （2）解：由题意得：标准体重为， ∴； 答：这6位同学的体重的平均值为44.2千克． 题型6：有理数的乘除混合运算 【例1】_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】计算： 【答案】36 【详解】解： . 【变式3】计算： 【答案】 【详解】解： 题型7：有理数的四则混合运算 【例1】计算： 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，分别算出两部分的结果后再相加即可得到最终答案． 【详解】解： ． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算小括号内的式子，再计算中括号，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型8：有理数四则混合运算的应用 【例1】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准， 超出或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下表：若每袋标准质量为， 则这批样品的总质量是多少？ 与标准质量的差值（单位：） 0 1 袋数（单位：袋） 1 4 3 4 5 3 【答案】这批样品的总质量是 【分析】先根据表格中的数据计算差值的总和，再结合标准质量计算总质量即可． 【详解】解： ， ∵每袋标准质量为， ∴样本总质量为． 答：这批样品的总质量是． 【变式1】如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 【答案】厘米/厘米 【分析】先求出正方形的边长，进而分别求出10平方厘米的长方形和40平方厘米的长方形的长，再作差即可． 【详解】解：正方形的面积为（平方厘米）， 则正方形的边长是10厘米， 10平方厘米和20平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）， 那么10平方厘米的长方形的宽是3厘米，则长是厘米． 同理40平方厘米和30平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）． 那么40平方厘米的长方形的宽是7厘米，则长是厘米． 所以的长就是40平方厘米的长方形的长平方厘米的长方形的长． 即（厘米）． 【变式2】小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了 的手续费，卖出时需付成交额 的手续费和 的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)33 (2)34，24 (3)盈利了845.5元． 【分析】（1）从上周末买入价25元出发，依次累加周一、周二、周三三天的涨跌额，得到周三收盘时的每股价格； （2）根据正负数的意义结合表格数据求解即可； （3）收益卖出实际到手的钱买入总共花的钱，买卖都有手续费，卖出还要额外交税． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 【变式3】小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 【答案】(1)小华一共找了道计算题进行训练． (2)小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 【分析】本题考查有理数的实际应用，正确掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据题意，计算即可求解； （2）根据题意，计算即可求解． 【详解】（1）解：（道）， 答：小华一共找了道计算题进行训练； （2） （分） 答：小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 课后作业 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）2022的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出相反数，再求倒数即可． 【详解】解：2022的相反数是，的倒数是． 2．（2026·河北保定·三模）可以表示（     ） A．2的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．比2小1的数 【答案】C 【详解】A选项，2的相反数是，，故A错误． B选项，的绝对值是，，故B错误． C选项，的倒数是，符合要求，故C正确． D选项，比2小1的数为，，故D错误． 3．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 4．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． 5．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 【答案】 37 乙，丁，甲，丙 【分析】（1）加工顺序固定，根据先加工后组装，组装线同一时间只能加工一个零部件的规则，依次计算各零部件组装完成时间，即可得到总时间． （2）根据两道工序的最短时间调度规则，将加工时间小于组装时间的零部件按加工时间从小到大排前，加工时间大于组装时间的零部件按组装时间从大到小排后，即可得到总时间最短的加工顺序． 【详解】（1）解:加工顺序为甲→乙→丙→丁，先计算各零部件加工完成时间： 甲加工完成时间：分钟， 乙加工完成时间：分钟， 丙加工完成时间：分钟， 丁加工完成时间：分钟. 组装开始时间取当前零部件加工完成时间与上一零部件组装完成时间的最大值，依次计算组装完成时间： 甲组装完成时间：分钟， 乙组装完成时间的最大值： 分钟， 丙组装完成时间的最大值： 分钟， 丁组装完成时间的最大值： 分钟， 因此第一问总时间为分钟. （2）列出各零部件的加工时间和组装时间： 甲：，，满足， 乙：，，满足， 丙：，，满足， 丁：，，满足， 将满足的零部件按从小到大排序，得到顺序：乙，丁， 将满足的零部件按从大到小排序，得到顺序：甲，丙， 拼接后得到加工组装顺序：乙→丁→甲→丙，该顺序总时间最短，验证得总时间为分钟，符合要求． 6．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据方案分别算出两种回报的总钱数，再进行比较即可． 【详解】解：方案一的总回报：（元）； 方案二最后一天的回报：（元）， 总回报：（元）， ， 故答案为：二． 7．（25-26七年级上·重庆·期末）计算： 【答案】1.96 【分析】本题考查了有理数混合运算，准确地进行计算是解题的关键．计算时，先计算括号内的加法，然后进行乘法运算，最后将两部分结果相加． 【详解】解： 8．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）结合乘法分配律将原式展开，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． 9．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘法，再计算除法，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有 ；最少的一天是星期五，有 ． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 12．（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 【答案】(1)“健康监测准确性” (2) 解：A款智能手表得分：分． B款智能手表得分：分． C款智能手表得分：分． 按此评分规则，小明会选购C款智能手表． (3) 解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目． （2）略 （3）略 13．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $