27.1 反比例函数的概念 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的概念，系统梳理定义（形如y=k/x,k≠0）、三种形式（标准分式、隐含乘积、负指数幂）、自变量取值范围，以及图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积为k）和实际应用模型（行程、面积等），搭建从概念到应用的递进学习支架。 资料以考点突破-题型探究-分层通关为框架，题型涵盖定义判定、参数求解等，融入校园装修、桔槔工具等实际情境。通过实际问题抽象反比例关系培养数学眼光，例题变式训练提升推理能力，助力教师系统教学，学生课后分层练习可查漏补缺。

27.1 反比例函数的概念 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的定义与三种形式 考点2：反比例函数图象上点的坐标特征 考点3：反比例函数在实际问题中的应用 Part2 题型探究 题型1：反比例函数的定义与判定 题型2：根据反比例函数的定义求参数 题型3：求反比例函数的函数值与自变量 题型4：用反比例函数描述实际数量关系 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的定义与三种形式】 1、反比例函数的定义 一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数。其中是自变量，是函数。 2、自变量的取值范围 自变量的取值范围是不等于0的一切实数。根本原因：当时，分式无意义（分母不为零）。 3、反比例函数的三种形式 ①标准分式形式：（）； ②隐含乘积形式：（），即两个变量的乘积等于一个非零常数； ③负指数幂形式：（）。 应用：当题目告诉"变量y与x成反比例"或给出点坐标时，利用xy为定值这一性质可以快速求解。 【考点2：反比例函数图象上点的坐标特征】 1、点在图象上的条件 若点在反比例函数的图象上，则该点的坐标满足函数解析式，即 ，等价于。 2、利用点坐标求比例系数k 已知反比例函数图象上任意一点的坐标，将其横纵坐标相乘即可得到k的值。若已知图象上两点的坐标，可利用两点横纵坐标乘积相等（都等于k）建立方程求解未知参数。 3、判断点是否在图象上 判断一个点是否在反比例函数图象上，只需计算该点横纵坐标的乘积是否等于比例系数k。若等于k，则该点在图象上；否则不在图象上。 【考点3：反比例函数在实际问题中的应用】 1、常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程一定时，平均速度与运行时间成反比例，即； ②几何面积问题：矩形面积一定时，相邻两边长与成反比例，即； ③杠杆平衡问题：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例； ④生活总量问题：总工作量一定时，平均每天使用量与天数成反比例。 2、实际问题中的解题步骤 ①分析题意，找出两个变量之间的乘积是否为定值；②若为定值，则确定为反比例函数关系，设出函数解析式；③利用已知条件求出比例系数k；④根据函数解析式解决实际问题，注意自变量的取值范围要符合实际意义。 【题型1：反比例函数的定义与判定】 【例1】下列函数中是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2：根据反比例函数的定义求参数】 【例2】若点在反比例函数 y=的图像上，则______． 【变式1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【变式2】若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 【变式3】若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【题型3：求反比例函数的函数值与自变量】 【例3】反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【变式1】已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【变式2】下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【题型4：用反比例函数描述实际数量关系】 【例4】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（ ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【变式1】如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【变式2】如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【变式3】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 【基础通关练】 1．下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（ ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 2．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 5．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 6．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 【提升通关练】 1．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 3．已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 5．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A． B． C． D． 6．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 7．已知，y是x的反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A． B． C．9 D． 8．函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 9．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 (1)请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． (2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 11．已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（ ） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 【培优通关练】 1．已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A． B． C． D． 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 3．如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的定义与三种形式 考点2：反比例函数图象上点的坐标特征 考点3：反比例函数在实际问题中的应用 Part2 题型探究 题型1：反比例函数的定义与判定 题型2：根据反比例函数的定义求参数 题型3：求反比例函数的函数值与自变量 题型4：用反比例函数描述实际数量关系 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的定义与三种形式】 1、反比例函数的定义 一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数。其中是自变量，是函数。 2、自变量的取值范围 自变量的取值范围是不等于0的一切实数。根本原因：当时，分式无意义（分母不为零）。 3、反比例函数的三种形式 ①标准分式形式：（）； ②隐含乘积形式：（），即两个变量的乘积等于一个非零常数； ③负指数幂形式：（）。 应用：当题目告诉"变量y与x成反比例"或给出点坐标时，利用xy为定值这一性质可以快速求解。 【考点2：反比例函数图象上点的坐标特征】 1、点在图象上的条件 若点在反比例函数的图象上，则该点的坐标满足函数解析式，即 ，等价于。 2、利用点坐标求比例系数k 已知反比例函数图象上任意一点的坐标，将其横纵坐标相乘即可得到k的值。若已知图象上两点的坐标，可利用两点横纵坐标乘积相等（都等于k）建立方程求解未知参数。 3、判断点是否在图象上 判断一个点是否在反比例函数图象上，只需计算该点横纵坐标的乘积是否等于比例系数k。若等于k，则该点在图象上；否则不在图象上。 【考点3：反比例函数在实际问题中的应用】 1、常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程一定时，平均速度与运行时间成反比例，即； ②几何面积问题：矩形面积一定时，相邻两边长与成反比例，即； ③杠杆平衡问题：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例； ④生活总量问题：总工作量一定时，平均每天使用量与天数成反比例。 2、实际问题中的解题步骤 ①分析题意，找出两个变量之间的乘积是否为定值；②若为定值，则确定为反比例函数关系，设出函数解析式；③利用已知条件求出比例系数k；④根据函数解析式解决实际问题，注意自变量的取值范围要符合实际意义。 【题型1：反比例函数的定义与判定】 【例1】下列函数中是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【变式1】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 【变式2】为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义（k 为常数，），逐一分析各选项中的函数关系． 【详解】解：A．栽种总面积，为正比例函数，故A不符合题意； B．栅栏周长，得，为一次函数，故B不符合题意； C．圆面积，为二次函数，故C不符合题意； D．总工作量，得，符合反比例函数，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 【题型2：根据反比例函数的定义求参数】 【例2】若点在反比例函数 y=的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 【变式1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 【变式2】若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 【变式3】若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 【题型3：求反比例函数的函数值与自变量】 【例3】反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 【变式1】已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 【变式2】下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A.，因此该点不在双曲线上，符合要求； B.，因此该点在双曲线上，不符合要求； C.，因此该点在双曲线上，不符合要求； D.，因此该点在双曲线上，不符合要求． 【变式3】已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用反比例函数的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到反比例函数解析式； （2）把代入（1）中的解析式中计算出函数值即可； （3）把代入（1）中的解析式中计算出x的值即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ，解得， ； （2）解：把代入，得； （3）解：把代入，得， 解得． 【题型4：用反比例函数描述实际数量关系】 【例4】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（ ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 【变式1】如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【答案】(1) (2)够用，见解析 【分析】（1）根据题意列出反比例函数解析式即可； （2）根据函数解析式求出自变量的取值，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：热水输出容积为， ∴， ∴； （2）解：热水够用，理由如下： 当时，， 解得x=， 经检验：x=是原方程的解， ∵， ∴电热水器中的热水够用． 【变式2】如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【变式3】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 【答案】(1)反比例 (2) (3)小星能成功，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式； （1）根据表格中的数据找出规律，即可判定； （2）利用待定系数法求反比例函数的性质即可； （3）根据的长为8m，求得，再与40N进行比较，即可判断． 【详解】（1）解：由表中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例， 故答案为：反比例； （2）解：由（1）知，拉力是的反比例函数， 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为； （3）解：由题意得，将，代入，解得， ， ∴小星能成功． 【基础通关练】 1．下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（ ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【分析】形如（为常数，，）的函数叫做反比例函数，两个变量的乘积为定值．依次写出每个选项的函数关系式，对照定义判断． 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 2．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 4．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 5．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 6．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，即自变量x的取值范围是． 故答案为：． 【提升通关练】 1．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 3．已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到与的关系，再根据给定的的范围推导的范围，对选项逐个判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，则，即，， A：若，当时，，不满足，A错误，不符合题意； B：若，则，不等式两边同乘得， ∴， ∵， ∴，即，B正确，符合题意； C：若，则， ∵， ∴，两边同乘可得，即，不满足，C错误，不符合题意； D：若，当时，，不满足，D错误，不符合题意． 4．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 5．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 6．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 【答案】(1)售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本 (2)时，；时， (3) 【分析】（1）把和分别代入函数关系式即可求解； （2）分和进行分类讨论即可求解； （3）分和进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， （本）； ·当时， （本）． ∴售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本； （2）解：当时， ； 当时， ． （3）解：①当时， 令，化简得， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴的解集为， ∵， ∴ ②时， 令，整理得，且， 解得， ∵， ∴． 又售价不低于进价，不高于成本价的5倍， ∴， ∴， 综上所述，． 7．已知，y是x的反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 利用已知点求k，再求a和b即可． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴（k为常数）， 由，，得， 由表格可知，， ∴，， ∴． 故选：A． 8．函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质． （1）函数是反比例函数，因此指数为，且系数不为零；点在图像上，代入可求和； （2）求出函数解析式后，根据且，分和讨论的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， （2）由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 9．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 (1)请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． (2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【答案】(1) (2)负重重量的取值范围是． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）由数据可知，得到与成反比例，则关于的函数解析式，即可解答； （2）令，即，求出，再根据，得到，即可解答． 【详解】（1）解：由数据可知， ∴与成反比例， ∴关于的函数解析式． （2）解：令，即， 解得， 又∵， ∴． 答：负重重量的取值范围是． 11．已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（ ） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 【答案】C 【分析】先根据抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，得到，当时，可推出，当，，由此即可确定b的最值为定值1；当时，可得，即是关于a的反比例函数． 【详解】解：联立得， ∴， ∵抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴ ∴，则b有最大值，故A不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，则b有最小值，故B不符合题意； 综上所述，当时，b有最大值1；当时，b有最小值1； ∴对于任意，b的最值不变，都为1，故C符合题意； 当时，， ∴ ∴是关于a的反比例函数，故D不符合题意； 故选C． 【培优通关练】 1．已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，解题的关键是通过假设发现矛盾，确定二次函数上的必有点，再代入求解参数． 先假设B，C两点同时在二次函数上，代入后得到矛盾等式，从而确定B，C不能同时在二次函数上；根据题意恰有一点在反比例函数上，可得A，D必在二次函数上，代入A，D坐标求出b，c的值；再验证满足二次函数、不满足，从而确定A，B，D在二次函数上，在反比例函数上；最后求出的值并计算． 【详解】解：假设均在二次函数上． 将代入得：，即①； 将代入得：，即② ∴①②两式矛盾，故B，C不能同时在二次函数图象上． 根据题意，恰有一点在反比例函数上，因此Ａ，D两点必在二次函数上． 将代入，得， 解得，， 将，代入①验证：，满足； 将，代入②验证不满足； ∴Ａ、Ｂ、Ｄ三点同时在二次函数上， ∴在上，得． 计算， 故选：B． 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 3．如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 4．下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【答案】(1)④ (2)成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） (3)弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用与杠杆平衡原理，解题的关键是根据杠杆平衡条件得出与的函数关系，进而判断错误数据、求解函数表达式及取值范围． （1）根据杠杆平衡条件计算每组数据的乘积，找出不符合的组； （2）由杠杆平衡条件确定与的函数类型，利用正确数据求表达式； （3）代入，结合木杆长度求解的范围． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 学科网（北京）股份有限公司 $