25.3 实际问题与一元二次方程(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的实际应用”，涵盖变化率问题和图形问题两大核心内容。通过基础例题到中考真题的梯度设计，衔接方程解法与实际情境，以方法归纳为支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入大量中考真题，培养学生用数学眼光观察现实问题的抽象能力，通过分步解析和规律总结发展推理意识。采用“问题情境—建模求解—归纳提升”的教学方法，助力学生提升应用意识，也为教师提供系统的分层教学资源。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学RJ 第二十五章一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时 变化率问题 A基础过关A 1.(凉山州中考)某钢铁厂一月份生产钢铁560 吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢 铁1860吨，若设月平均增长率为x,那么可 列出的方程是 () A.560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 2.文具店促销，将状元牌钢笔连续降价两次， 售价由每支10元调至7元.若设平均每次 降低的百分率为x.根据题意，可得方程 () A.10(1-x)2=7 B.10(1-x2)=7 C.10(1-2x)=7 D.10(1+x)2=7 3.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场， 每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合 题意的是 (.) A.2x(x-1)=45 B.2x(x+1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45 4.(绵阳中考)超市销售某种礼盒，该礼盒的原 价为500元.因销量持续攀升，商家在3月 份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核 算决定在3月份售价的基础上，4,5月份按 照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼 盒的售价为486元，则r= 5.某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一 季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每 月的增长率是多少？若2、3月份平均每月 的增长率是x,则可列方程为 .(不要求化简) 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日 面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个 月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第 三个月末累计进馆608人次.若进馆人次的 月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力 不超过450人次，在进馆人次的月平均增长 率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个 月的进馆人次，并说明理由 (2),‘进馆人次的月平均增长率为50%， ,'.第四个月的进馆人次为：128(1十50%)3= 27 128×2 8 =432<450. 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. B能力提升 7.某种衬衫平均每天销售40件，每件盈利20 元，若每降低1元，则每天可多售10件，在 每件盈利不低于10元的情况下，若每天要 盈利1080元，则每件应降价 元. 8.自行车正逐渐成为人们最喜爱的交通工具 之一.某商城的自行车销售数量自2023年 起逐月增加，据统计，该商城9月销售自行 车64辆，11月销售自行车100辆. (1)若该商城9月至11月的自行车销售数 量的月平均增长率相同，求自行车销售数量 的月平均增长率 (2)考虑到自行车的需求不断增加，该商城 准备再购进一批两种规格的自行车共100 辆，已知A型车的进价为每辆500元，售价 为每辆700元，B型车的进价为每辆1000 元，售价为每辆1300元.假设所购进车辆全 部售完，为使利润不低于27000元，则该商 城购进A型车不超过多少辆？ 解：(1)设自行车销售数量的月平均增长率 为x. 由题意，得64(1+x)2=100, 解得x1=0.25=25%,2=一2.25（不合题 意，舍去) '.自行车销售裁量的月平均增长率为25%. (2)设该商城购进A型车m辆，则购进B型 车(100一m)辆. 由题意，得(700一500)m+(1300一1000)· (100-m)≥27000， 解得m≤30. ,.该商城购进A型车不超过30辆. 9.（宜昌中考)某造纸厂为节约木材，实现企业 绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生 纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月共 生产再生纸800吨，其中4月再生纸的产量 比3月的2倍少100吨. (1)求4月再生纸的产量 (2)若4月每吨再生纸的利润为1000元，5 月再生纸的产量比上月增加m%,5月每吨 再生纸的利润比上月增加罗%，则5月再生 纸项目的月利润达到66万元.求m的值 (3)若4月每吨再生纸的利润为1200元，4 月至6月每吨再生纸利润的月平均增长率 与6月再生纸产量比上月增长的百分数相 同，6月再生纸项目的月利润比上月增加了 25%.求6月每吨再生纸的利润. 解：(1)设3月再生纸的产量为x吨，则4月 再生纸的产量为(2x-100)吨. 依题意，得x十2x一100=800， 解得x=300. .'.2x-100=2×300-100=500. .°.4月再生纸的产量为500吨. (2)依题意，得1000(1+%)×500(1+ m%)=660000, 整理，得m2+300m一6400=0， 解得m1=20,m2=一320（不合题意，舍去）. ..m的值为20. (3)设4月至6月每吨再生纸利润的月平均 增长率为y,5月再生纸的产量为a吨. 依题意，得1200(1+y)2·a(1+y)=(1+ 25%)×1200(1+y)·a, ..1200(1+y)2=1500. .6月每吨再生纸的利润是1500元. >》》方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 (1)增长率问题：设某数为a,平均增长 率为x,则一次增长后的值为a(1十x),两 次增长后的值为a(1十x)2,依次类推，n次 增长后的值为a(1十x)”. (2)降低率问题：设某数为a,平均降低 率为x,则一次降低后的值为a(1一x),两 次降低后的值为a(1一x)2,依次类推，n次 降低后的值为a(1-x)". 第2课时 图形问题 A基础过关公 1.（广元中考)如图，在长为12m,宽为10m的 矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪. 如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积 -12m 为总面积的号，那么花卉带的宽度应为多少 花卉 米？设花卉带的宽度为xm,则可列方程为 草坪 10m () A.12-010-0=12×10×号 25 B.(12-2x)(10-x)=12×10 C.(12-x)10-2.x)=12×10×2 D.12-210-2)=12×10×号 2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行 3m 绿化，原空地一边减少了2m,另一边减少了 A 3m,剩余一块面积为20m的矩形空地，则 20m2 原正方形空地的边长是 () "A 2m4444 A.7 m B.8 m C.9 m D.10m 3.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图 案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽 度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案 面积的号则竖彩条宽度为 A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.2.5 cm 4.芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后 的图形（实线部分）如图所示，将该图形补充 四个边长为10cm的小正方形后，得到一个 矩形，已知矩形的面积为2000cm,根据图 中信息，可得x的值为 () A.10 B.20 C.25 D.30 x+10 5.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的 矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为480m,两块绿地 之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行 通道的宽度为 m, 30 24 6.某农科站有一块长方形的实验田，面积为 1200m,小明要将其分为如图所示的A、 B、C、D四个区，其中A区为正方形，C区长 为30m,宽为20m,则A区的面积为 A D B C 20m 一30m- 7.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其 对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向 平移，得到△A'B'C,若两个三角形重叠部 分的面积为1cm,则它移动的距离AA等 于 B B'C C 8.(威海中考)如图，某校有一块长20m、宽14m 的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植 园的四周和内部修建宽度相同的小路（图 中阴影部分).小路把种植园分成面积均 为24m的9个矩形地块，请你求出小路 的宽度 20m 4 m B 能力提升E 9.有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙 (墙足够长)，围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，当花圃的面积是72m时，则AB= LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL A B 10.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的. 如果AB=8,阴影部分的面积是24，另外两 个小矩形全等，那么小矩形的长为 B 11.如图所示，AO=OB=50cm,OC是一条射 线，OC⊥AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s的 速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以 3cm/s的速度沿O℃方向爬行，是否存在 这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三 角形的面积为450cm2? A 根据题意，得50-21）·31=450. 2 整理得：t2一25t+150=0, 解得t1=10,t2=15. (2)当妈数爬完A0这使矩高用了型=25s 后，开始由O向B爬行，设从O点开始xs 后组成的三角形的面积是450cm,根据题 意，得： 2x·3(x+25)=450,整理得 2 x2+25x一150=0，解得x1=5,x2=一30 (舍去). 当x=5时，x+25=30, 这时蚂蚁已由A点爬了30S. 答：分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm2.