第1章勾股定理考题分析+达标训练2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过“考题分析-达标训练”双模块，整合概念应用、定理证明及跨学科实践，形成“问题情境-方法提炼-素养提升”的系统化训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考题分析|3道（四边形面积/物理实验/赵爽弦图）|辅助线构造直角三角形、方程思想、面积法证明定理|从勾股定理直接应用到逆定理判定，再到定理几何本质证明，层层递进| |达标训练|20题（选择8/填空6/解答6）|分类讨论（直角边与斜边）、展开图化曲为直、折叠性质结合勾股定理|覆盖概念辨析、计算应用、实际建模（最短路径/风筝高度），强化几何直观与模型意识|

第1章勾股定理考题分析+达标训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 考题分析 1．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC是对角线，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【思路导航】连接AC，由勾股定理可得，再证明CD2+AC2＝AD2得到∠ACD＝90°，再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，列式计算即可． 【详细解析】解：如图所示，连接AC， ∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵AB＝4，BC＝3， ∴根据勾股定理得：， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴CD2+AC2＝169，AD2＝169， ∴CD2+AC2＝AD2． ∴△ACD为直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴． 【画龙点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 2．（2026春•宁江区校级期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点）②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）AC垂直BC，AC＝8dm，且AB+BC＝16dm，设AB＝xdm． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【思路导航】（1）设AB＝xdm，则BC＝（16﹣x）dm，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）求出此时AB的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出BE的长即可． 【详细解析】解：（1）在图1中，AB+BC＝16dm， 设AB＝xdm， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）在图2中， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（dm）， 在Rt△ABD中，， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（dm）， 答：若物体C升高7dm，滑块B向左滑动的距离为9dm． 【画龙点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2026春•兰山区期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．如图为赵爽弦图． （1）如图所示，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝c，AE＝b，BE＝a，且b＞a．请利用赵爽弦图证明a2+b2＝c2； （2）连接HF，若AB＝5，BE＝3，则HF＝　　 ． 【思路导航】（1）根据正方形的面积得出，即可证明． （2）根据弦图的特点结合勾股定理依次求解AE，HF，即可求解． 【详细解析】（1）证明：由已知可得：，HE＝b﹣a． ∴S正方形ABCD＝4S△ABE+S正方形HEFG ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2． ∵， ∴a2+b2＝c2； （2）解：连接HF， 依题意得，， ∴HE＝4﹣3＝1， ∴EF＝HE＝1， ∴． 故答案为：． 【画龙点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，掌握其相关知识点是解题的关键． 达标训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•同步）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三边长的平方为（　　） A．16 B．4或34 C．16或34 D．4或24 2．（2026秋•单元）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1 3．（2026秋•同步）如图，圆柱形玻璃杯的底面周长是24cm，高是5cm，一只蚂蚁在点A处想吃到点B处的食物，则它沿侧面爬行的最短路程是（　　） A．9cm B．13cm C．14cm D．25cm 4．（2026秋•同步）如图，小明从出发点先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，最后向东走70m到达终点，则终点与出发点间的距离为（　　） A．80m B．100m C．110m D．180m 5．（2026秋•同步）如图，在长方形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE，将长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处．若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026春•宿松县期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2 7．（2026春•玉溪期末）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A． B． C．4cm D．4.2cm 8．（2026春•盐山县期末）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　） A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 二．填空题（共6小题） 9．（2026•西城区校级开学）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC的长为　 　 ． 10．（2026•达州校级开学）已知直角三角形的两直角边长分别为x，5，斜边长为6．则x＝　 　 ． 11．（2026•沈阳校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝5，BC＝3，则AB的长为　 　 ． 12．（2025秋•常宁市期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 　 　 cm． 13．（2025秋•红古区期末）如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　 　 ． 14．（2026•永春县一模）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． 三．解答题（共6小题） 15．（2026春•文山市期末）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°．求劳动实践基地ABCD的面积． 16．（2026春•长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 17．（2026春•南昌期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 18．（2026春•江阳区校级期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 19．（2026春•沙坪坝区校级期末）定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足x2+y2＝kz2（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：△ABC三边长为x，y，z，且x＝6，y＝8，z＝5，因为x2+y2＝4z2，所以△ABC为4股三角形． （1）下列三角形中一定是k股三角形的是　 　 （填序号）； ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形． （2）已知等腰△ABC是3股三角形，AB＝BC，AC＞AB，求∠C的度数； （3）如图，CM是△ABC的中线，且，求证：△ABC是5股三角形． 20．（2026春•赛罕区期末）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 … 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 第1章勾股定理考题分析+达标训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•同步）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三边长的平方为（　　） A．16 B．4或34 C．16或34 D．4或24 【解答】解：当5是斜边长时，由勾股定理得：另一条直角边长的平方＝52﹣32＝16， 当5的直角边长时，斜边长的平方＝52+32＝34， 综上所述：第三边长的平方为16或34， 故选：C． 2．（2026秋•单元）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1 【解答】解：根据勾股数需满足两个条件逐项分析判断如下： A选项，∵22+32＝4+9＝13，52＝25，13≠25，∴不是勾股数； B选项，∵42+122＝16+144＝160，132＝169，160≠169，∴不是勾股数； C选项，∵72+242＝49+576＝625＝252，且三个数均为正整数，∴是勾股数； D选项，∵三个数不全是正整数，∴不是勾股数； 故选：C． 3．（2026秋•同步）如图，圆柱形玻璃杯的底面周长是24cm，高是5cm，一只蚂蚁在点A处想吃到点B处的食物，则它沿侧面爬行的最短路程是（　　） A．9cm B．13cm C．14cm D．25cm 【解答】解：圆柱展开图如下， 由题意可知，AD＝12cm， 由勾股定理可得AC13（cm）， ∴爬行的最短路程为13cm． 故选：B． 4．（2026秋•同步）如图，小明从出发点先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，最后向东走70m到达终点，则终点与出发点间的距离为（　　） A．80m B．100m C．110m D．180m 【解答】解：如图，由题意得，在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（m），BC＝70﹣（20﹣10）＝60（m）， ∴AB100（m）， 即终点与出发点间的距离为100m， 故选：B． 5．（2026秋•同步）如图，在长方形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE，将长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处．若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵在长方形ABCD中，BC＝8，AB＝6，E为边BC上一点， ∴EB＝8﹣CE， ∵∠B＝90°， ∴AC10， ∵将长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处， ∴EF＝EB＝8﹣CE，∠AFE＝∠B＝90°， ∵EF⊥AC于点F，AB⊥CE交CE的延长线于点B， ∴S△ACECE•ABAC•EF， ∴6CE10（8﹣CE）， 解得CE＝5， 故选：C． 6．（2026春•宿松县期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2 【解答】解：A、因为22+32≠42，所以△ABC不为直角三角形，说法符合题意； B、因为∠A+∠B＝∠C，所以∠C＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意； C、因为∠A：∠B：∠C＝1：3：2，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意； D、因为（b+c）（b﹣c）＝a2，所以a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，说法不符合题意； 故选：A． 7．（2026春•玉溪期末）△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm，则AB的长为（　　） A． B． C．4cm D．4.2cm 【解答】解：△ABC在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为1cm， 由图形可知AC＝3，BC＝2，且△ABC是直角三角形， 则斜边． 故选：A． 8．（2026春•盐山县期末）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　） A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 【解答】解：图甲中大正方形的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 四个直角三角形的面积和为：， 则中间小正方形的面积为：a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2， ∵中间小正方形边长为c， ∴面积为c2， ∴a2+b2＝c2， ∴图甲能利用面积验证勾股定理； 图乙中直角梯形的面积为：， 两个直角三角形的面积和为：， 中间等腰直角三角形的面积为：， ∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c， ∴中间等腰直角三角形的面积为， ∴， 即a2+b2＝c2， ∴图乙能利用面积验证勾股定理； 综上分析可知，甲、乙都行，故C正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•西城区校级开学）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC的长为　4或　 ． 【解答】解：当AB为斜边时，AC和BC为直角边， ∵在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3， ∴由勾股定理得：； 当BC为斜边时，AB和AC为直角边， ∴由勾股定理得：； 当AC为斜边时，AC＝3＜AB＝5，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，BC的长为4或， 故答案为：4或． 10．（2026•达州校级开学）已知直角三角形的两直角边长分别为x，5，斜边长为6．则x＝　　 ． 【解答】解：∵直角三角形两直角边长分别为x，5，斜边长为6， ∴由勾股定理得x2+52＝62， 整理得x2＝36﹣25＝11， ∵三角形边长为正数， ∴， 故答案为：． 11．（2026•沈阳校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝5，BC＝3，则AB的长为　　 ． 【解答】解：，在△ABC中，∠ABC＝3∠A， 设∠A＝a°，则∠ABC＝3a°， 如图，在AC上取点D，使得∠ABD＝∠A＝a°，则AD＝BD， ∵∠BDC 是△ABD的外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2a°， ∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝3a°﹣a°＝2a°，AC＝5，BC＝3， ∴∠DBC＝∠BDC， ∴CD＝BC＝3， ∴AD＝AC﹣CD＝5﹣3＝2， ∴BD＝AD＝2； 过点B作BE⊥AC于点E，设DE＝x， 在Rt△BED 中，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2，即22﹣x2＝4﹣x2， 在Rt△BEC 中，EC＝CD﹣DE＝3﹣x， 由勾股定理得：BE2＝BC2﹣CE2，即32﹣（3﹣x）2＝9﹣（9﹣6x+x2）＝6x﹣x2， ∴4﹣x2＝6x﹣x2， 解得：， ∴， ∴； ∵A，D，E三点共线， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， 故答案为：． 12．（2025秋•常宁市期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 　15　 cm． 【解答】解：由题意可得，BC＝7cm，AC＝24cm，DE＝20cm，AB＝AD，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴在Rt△ABC中，， ∴AD＝25cm， ∴在Rt△ADE中，， 故答案为：15． 13．（2025秋•红古区期末）如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是　144　 ． 【解答】解：在Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2， ∴EF2＝DE2﹣DF2＝225﹣81＝144， ∴字母B所代表的正方形的面积为144， 故答案为：144． 14．（2026•永春县一模）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　2.6　 m． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC， ∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2， ∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m）； 故答案为：2.6． 三．解答题（共6小题） 15．（2026春•文山市期末）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°．求劳动实践基地ABCD的面积． 【解答】解：如图，连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m， 由勾股定理得：（m）， 在△CAD中，AD＝12m，CD＝13m， ∵52+122＝169，132＝169，即52+122＝132， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△CAD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴， 答：劳动实践基地ABCD的面积为36m2． 16．（2026春•长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． 17．（2026春•南昌期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中， AP2＝32+（t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2， 解得：t， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， 所以t2＝32+（4﹣t）2， 解得：t， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t． 18．（2026春•江阳区校级期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 【解答】解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即122+（24﹣x）2＝x2， 解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm； （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知，BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm． 19．（2026春•沙坪坝区校级期末）定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足x2+y2＝kz2（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：△ABC三边长为x，y，z，且x＝6，y＝8，z＝5，因为x2+y2＝4z2，所以△ABC为4股三角形． （1）下列三角形中一定是k股三角形的是　②　 （填序号）； ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形． （2）已知等腰△ABC是3股三角形，AB＝BC，AC＞AB，求∠C的度数； （3）如图，CM是△ABC的中线，且，求证：△ABC是5股三角形． 【解答】解：（1）在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边）， 根据勾股定理有：a2+b2＝c2＝1×c2，此时k值为1， 即直角三角形为1股三角形； 而锐角三角形、钝角三角形都不一定为k股三角形， 故答案为：②； （2）∵AB＝BC，AC＞AB，且等腰△ABC是3股三角形， 若AB2+BC2＝3AC2， 即2AB2＝3AC2， 不满足AC＞AB； 若AB2+AC2＝3BC2， ∴AB2+AC2＝3AB2， 即AC2＝2AB2， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C＝45°． （3）证明：证明：作CH⊥BA交BA延长线于H， ∵CM是△ABC的中线，且， ∴，AM＝BM＝2， 设AH＝a，CH＝b ∵CM2＝HM2+CH2， 即62＝（2+a）2+b2 ∴b2＝36﹣（2+a）2， CB2+AC2 ＝BH2+CH2+AH2+CH2 ＝（4+a）2+36﹣（2+a）2+a2+36﹣（2+a）2 ＝16+8a+a2+36﹣4﹣4a﹣a2+a2+36﹣4﹣4a﹣a2 ＝80， ∵5AB2＝5×42＝80， ∴CB2+AC2＝5AB2， ∴△ABC是5股三角形． 20．（2026春•赛罕区期末）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 … 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝100米，BC＝80米， ∴AC60（米）， ∴AD＝AC+DC＝60+1.5＝61.5（米）， 答：风筝离地面的垂直高度是61.5米； （2）如图，风筝上升到了M的位置， 由题意知：BN＝BC﹣CN＝80﹣20＝60（米）， ∵∠MNB＝90°，MB＝100米， ∴MN80（米）， ∴MN﹣AC＝80﹣60＝20（米）， 答：此时风筝上升了20米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $