26.4 课时3 实物抛物线-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

课时3　实物抛物线 利用二次函数解决拱桥、隧道类问题　 (江苏苏州期中)有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为(B) 1题图 A．y＝x2＋x B．y＝－x2＋x C．y＝－x2－x D．y＝x2＋x＋16 (陕西中考)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线L1的函数解析式； (2)已知抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2，NQ＝ m，求MN的长． 2题图 解：(1)∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B坐标为(0，4)， 设抛物线L1的函数解析式为y＝a(x－0)2＋4. ∵AC＝16 m， 结合二次函数的对称性，得A(－8，0)，C(8，0)， 将C(8，0)代入y＝a(x－0)2＋4， 得0＝64a＋4，则a＝－， ∴抛物线L1的函数解析式为y＝－x2＋4. (2)由(1)得抛物线L1的函数解析式y＝－x2＋4. ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝ m，且抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－x2＋4－＝， 整理，得x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12(m). 利用二次函数解决运动类问题　　 (连云港中考)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为8m. 3题图 (贵州中考节选)用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1：y＝ax2＋bx＋c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：y＝－x2＋mx＋n.(小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计) (1)如图②，当a＝－，b＝时，若点F的坐标为(2，0)，求抛物线C1的函数解析式； (2)在(1)的条件下，若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由． 4题图①　　　　　　　　4题图② 解：(1)当a＝－，b＝时，C1：y＝－x2＋x＋c. ∵点F的坐标为(2，0)， ∴0＝－×22＋×2＋c，∴c＝1， ∴抛物线C1的函数解析式为y＝－x2＋x＋1. (2)不能．理由如下： ∵FG＝4，点F的坐标为(2，0)，∴G(6，0)， ∴C2：y＝－(x－2)(x－6)＝－x2＋x－. ∵点A的坐标为(4.5，0)，AB＝1，∴B(5.5，0)， ∴将x＝5.5代入y＝－x2＋x－＝＜0.5， ∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物． (广东中考)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的函数解析式． 1题图 解：建立平面直角坐标系，如答图所示： 1题答图 则抛物线顶点坐标为(0，0.001 5)，A， 即A(0.85，0.18). 设该抛物线的函数解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝， ∴该抛物线的函数解析式为y＝x2＋0.001 5. [核心素养](山西中考)综合与实践 【问题情境】青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 【实验数据】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm. 【数学建模】如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 2题图①　　　　　　　　2题图② (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数解析式； 【问题解决】已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 解：(1)顶点N的坐标为(80，60). 设抛物线的函数解析式为y＝a(x－80)2＋60， ∵图象过原点， ∴a(0－80)2＋60＝0，解得a＝－， ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－80)2＋60. (2)∵抛物线的形状不变，点P(0，75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的函数解析式为y＝－(x－80)2＋60＋75＝－(x－80)2＋135. 当y＝0时，－(x－80)2＋135＝0， 解得x1＝200，x2＝－40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm. (3)该平台的高度为6 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $