25.2.2 课时1 一元二次方程的根的判别式-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

25.2.2　公式法 课时1　一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式　　 方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝2，b＝－7，c＝－4，所以根的判别式Δ＝b2－4ac＝81． 已知关于x的一元二次方程5x2＋mx＋1＝0根的判别式的值为16，则m的值为±6． 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况　　 (广州中考)关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 (四川达州期末)下列所给的方程中，无实数根的是(D) A．x2＋9x＝0 B．3x2－4x－1＝0 C．3x2－7x＋1＝0 D．4x2－5x＋7＝0 常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是有两个不相等的实数根． 5题图 不解方程，判断下列方程根的情况． (1)x2＋5＝5x; 　 (2)x2＝x－1； 解：(1)原方程可化为x2－5x＋5＝0， ∴Δ＝(－5)2－4×5＝5>0， ∴原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为x2－x＋1＝0， ∴Δ＝－4×＝－2<0， ∴原方程无实数根． (3) x2－2x＋2＝0; 　 (4)3x2－x＝4x＋3. 解：(3)∵a＝1，b＝－2，c＝2， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝0， ∴此方程有两个相等的实数根． (4)化为一般形式为3x2－5x－3＝0. ∵a＝3，b＝－5，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－3)＝61>0， ∴此方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程的根的判别式的应用　　 (雅安中考)关于x的一元二次方程(m－3)x2＋6x＋3＝0有两个实数根，则m的取值范围是(B) A．m＞6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m＜6且m≠3 若关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等的实数根，则代数式3m2－12m＋7的值为7． 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋(m－4)2＝0有两个相等的实数根． (1)求m的值； (2)求此方程的根． 解：(1)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝4m2－4(m－4)2＝0， ∴m＝2. (2)∵m＝2，∴原方程为x2＋4x＋4＝0， 解得x1＝x2＝－2. (潍坊中考)若一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为(D) A．－1 B．0 C． D．1 (扬州中考)关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 (潍坊中考)已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是(C) A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 (兰州中考)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是(D) A．3 B．2 C．1 D．0 若关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是(C) A．2 B．3 C．4 D．5 (辽宁营口期中)若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2kx＋k－3＝0有实数根，则满足条件的k的最小整数值为2． 已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形． 已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋3m－2＝0有实数根． (1)若x＝0是方程的一个根，求m的值； (2)求m的取值范围． 解：(1)把x＝0代入原方程，得3m－2＝0，解得m＝. (2)根据题意，得Δ＝42－4(3m－2)≥0，解得m≤2. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 解：要使方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则b2－4c>0，即b2>4c，∴②③均可． 若选②解方程，则这个方程为x2＋3x＋1＝0， 移项，得x2＋3x＝－1. 配方，得x2＋3x＋＝－1＋， 即＝， 由此可得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝. 若选③解方程，则这个方程为x2＋3x－1＝0， 移项，得x2＋3x＝1. 配方，得x2＋3x＋＝1＋， 即＝， 由此可得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝.(选择其中一组即可) [核心素养]已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式； (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程的根的情况； (3)若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数a，b的值，并求出此时方程的根． 解：(1)∵x＝1是方程的一个解，∴a＋b＋＝0， ∴a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a. ∵b＝a＋1， ∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1>0， ∴方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根， ∴b2－2a＝0，即b2＝2a. ∵a，b为正整数，∴取a＝2，b＝2， ∴方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. (答案不唯一，合理即可) 学科网（北京）股份有限公司 $