第二章 机械振动（高效培优·单元复习讲义）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理机械振动单元复习讲义通过知识导图系统构建知识体系，将简谐运动、单摆、受迫振动等核心内容分解为6个考点，用对比表格（如弹簧振子与单摆比较）和考点分层梳理呈现知识脉络，清晰展示重难点内在联系。 讲义亮点在于“避坑指南+分层练习”设计，通过“简谐运动对称性分析”“等效摆长计算”等方法指导培养科学思维，结合“用单摆测重力加速度”实验强化科学探究。真题闯关与课后三阶练习满足不同层次学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

第二章 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动 考点02 简谐运动的描述 考点03 简谐运动的回复力和能量 考点04 单摆 考点05 实验：用单摆测量重力加速度 考点06 受迫振动 共振 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的定义及特征 角度02 简谐运动的描述 角度03 简谐运动的回复力和能量 角度04 单摆的回复力 角度05 单摆的速度、加速度和位移 角度06 单摆的振动图像及其表达式 角度07 单摆的周期 角度08 等效单摆 角度09 用单摆测量重力加速度的大小 角度10 受迫振动与共振 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.认识简谐运动，理解回复力、位移、振幅、周期、频率的物理含义。 2.掌握简谐运动位移-速度-加速度的变化规律。 3.掌握单摆周期公式，会用单摆实验测量重力加速度。 4.区分自由振动、受迫振动，理解共振的条件以及共振现象的利弊。 1.简谐运动的位移以平衡位置作为起点，不是从端点开始。 2.单摆只有摆角很小（小于 5°）时才视为简谐运动；摆长是悬点到小球球心的距离。 3.受迫振动稳定之后振动频率等于驱动力频率，和物体固有频率无关。 4.当驱动力频率等于固有频率时发生共振；实际生产中有时利用共振，有时要防止共振。 知识导图 考点01 简谐运动 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的 称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把 组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来 的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为 。 （2）经过平衡位置时，小球速度 。 4、弹簧振子的位移 （1）振子在 的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在 内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 5、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是 。 6、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的 的变化规律。 （2）简谐运动的图像是 ，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的 大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 【深化点拨】 1．实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 2．弹簧振子的解题思路点拨 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 3．判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 4．简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 1．关于简谐运动，下列说法中正确的是（　　） A．频率是单位时间内完成全振动的次数 B．位移减小时，加速度减小，速度减小 C．简谐运动的轨迹一定是正弦或余弦曲线 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 2．（多选）如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（     ） A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置 C．钢球合力为0处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置 【简谐运动的规律】 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 考点02 简谐运动的描述 1、简谐运动的振幅定义：振动物体离开 的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、简谐运动的周期和频率 （1）全振动：一个 过程称为一次全振动，即振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 ①一次全振动路程为振幅的4倍。 ②弹簧振子完成一次全振动的时间总是 的。 （3）周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 （2）频率：周期的 叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。 （3）周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 （4）圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝ 。 3、小球振动的周期：经过实验证明，弹簧振子的周期公式为：其中：T 表示弹簧振子的周期（单位：秒，s），即完成一次全振动所需的时间；m 是振子的质量（单位：千克，kg）；k 是弹簧的劲度系数（单位：牛/米，N/m），反映弹簧的弹性强弱；π是圆周率（约等于3.14）。 4、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为 ，ω为圆频率，T为简谐运动的 。从x＝Asin（ωt＋φ0）可以发现：当（ωt＋φ0）确定时，sin（ωt＋φ0）的值也就确定了，所以（ωt＋φ0）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。 （1）相位：“ωt＋φ0” 叫简谐运动的相位，它是描述周期性运动在一个运动周期中的 。 （2） φ0叫初相,即t=0时的相位。 5、简谐运动的相位差：两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差， 。 （1）取值范围：－2π≤Δφ≤2π。 ①同相：相位差为零，一般地为Δφ=2nπ（n=0,1,2,……） ②反相：相位差为π，一般地为φ=(2n+1)π（n=0,1,2,……） (2)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。 Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。 【深化点拨】 1．简谐运动的振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 2．做简谐运动的物体运动过程中的周期性 （1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 （2）若t2－t1＝nT＋1/2T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 （3）若t2－t1＝nT＋1/4T或t2－t1＝nT＋3/4T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。 1．以下关于简谐运动的描述中，说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，其加速度方向始终与位移方向相同 B．简谐运动的周期与振幅成正比，振幅越大，周期越长 C．弹簧振子从平衡位置运动到最大位移处，其动能逐渐转化为势能 D．单摆的振动一定是简谐运动 2．（多选）有甲、乙两个弹簧振子，甲在1min内完成30次全振动，乙完成75次，则（     ） A．甲的周期为0.5s B．乙的周期为0.8s C．乙的频率为0.8Hz D．甲、乙的圆频率之比为2：5 3．某质点的振动图像如图所示，求： (1)写出该质点的振动方程； (2)0时刻开始计时，11秒内的路程。 考点03 简谐运动的回复力和能量 1、简谐运动的回复力定义：使振子 的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力)；可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成 ，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 5、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 。 【深化点拨】 1．简谐运动的回复力特点：对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 2．判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3．简谐运动中各个物理量的变化规律特点 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 1．某质点做简谐振动，其位移随时间变化的关系式为，则该质点（     ） A．第1s末与第3s末的位移相同 B．第1s末与第3s末的速度相同 C．3s末至5s末的位移方向都相同 D．3s末至5s末的加速度方向都相同 2．（多选）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 3．如图所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球。将小球沿斜面拉下一段距离后松手。证明：小球的运动是简谐运动。    考点04 单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做 。 2、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量M，即m<<M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d<<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略。 3、单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力。 （2）回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 4、单摆振动的周期影响因素：单摆振动的周期与摆球质量 ，在振幅较小时与振幅 ，但与摆长 ，摆长越长，周期 。 （1）荷兰物理学家惠更斯研究发现，单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅摆球质量无关。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 。 5、对单摆周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 【深化点拨】 1．对单摆的装置要求 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 2．单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小。 （2）空气阻力可以忽略不计。 3．关于单摆的回复力的三点提醒 （1）单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。 （2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力。 （3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零。 4．计算单摆的周期的两种方法 （1）依据T＝2π，由单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。 （2）根据：周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响，是粗测周期的一种方法。 1．一单摆的周期为T，摆球质量为m，摆长为L。若将摆长变为原来的4倍，摆球质量减半，则单摆的周期变为（     ） A．2T B．T C． D．4T 2．（多选）如图所示，A、B、C三个小钢球的质量分别为、、，连接A、C的绳长相等，A球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力，当B、C振动达到稳定时，下列说法正确的是（　　） A．B的振动周期最大 B．C的振动频率最大 C．C的振幅比B的振幅大 D．A、B、C的振动周期相等 3．如图所示，一单摆在竖直面内做最大摆角为θ的小角度摆动，摆长为L，A、C点分别是左、右两端点，B点是最低点，小球的质量为m，重力加速度大小为g，求： (1)单摆的周期T； (2)小球回到B点时对细线的拉力大小F。 【弹簧振子与单摆的比较】 弹簧振子（水平） 单摆 模型示意图 条件 忽略弹簧质量、无摩擦等阻力 细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力 周期公式 T=2π（不作要求） T=2π 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能 守恒 考点05 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【深化点拨】 1．实验：用单摆测量重力加速度注意事项 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 （5）秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和，当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字；超过半格时，外侧秒针读大于30的数字；机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 2．秒表的使用和读数：秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和。 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 1．小华同学进行“用单摆测定重力加速度”的实验。最合理的装置是（     ） A． B． C． D． 2．用单摆测定重力加速度的实验中，测得摆线长为l₀，摆球直径为d，摆球完成n次全振动所用时间为t。 (1)摆长的表达式L=___________，周期T=___________。 (2)某同学测得的g值偏大，可能的原因是___________（填字母）。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表过早按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动 D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次 (3)为减小实验误差，应选择___________（填“密度大”或“密度小”）的摆球，摆长应选择___________（填“长”或“短”）一些。 考点06 受迫振动 共振 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在 作用下的振动。 （2）固有频率： 的频率。 2、自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率，叫做系统的固有频率。 3、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到 时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动： 逐渐减小的振动。 4、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 5、受迫振动：系统在 下的振动，叫做受迫振动。 （1）受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 （2）受迫振动的规律 ①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关； ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 （3）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 6、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 。 （1）现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的 。 （2）条件：驱动力的频率等于固有频率。 7、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【深化点拨】 1．振动系统能量衰减的两种方式 （1）振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 2．对阻尼振动的理解 （1）由于阻力做功，振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小。 （2）周期和频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期和频率不变。 3．对受迫振动的理解 （1）受迫振动的频率等于驱动力的频率。 （2）驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。 4．对共振的理解 （1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A；它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f=f0时，振幅A最大。 （2）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 1．物体的固有频率为，若驱动力的频率由逐渐增加至，物体的振幅变化情况为（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．（多选）研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法正确的是（　　） A．其纵坐标为位移 B．单摆的固有周期为2s C．图像的峰值表示共振时的振幅 D．单摆的摆长为2m 【三种振动的比较的比较】 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 机械振动的综合应用及解题步骤 1.简谐运动的特征：必须“抓住回复力公式” （1）动力学特征：F=−kx。 含义：物体受到的力（或合力）大小与位移大小成正比，方向总是指向平衡位置（与位移方向相反）。 避坑点：x是相对平衡位置的位移，而不是相对地面的位移；k不一定是弹簧劲度系数，而是由系统决定的常数。 （2）运动学特征：加速度。 规律：在平衡位置（x=0），速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。 2.简谐运动的图像：必须“看懂 x−t图” （1）物理意义：表示某一个质点在不同时刻偏离平衡位置的位移。 （2）信息提取： 周期T ：图像完成一次全振动所需的时间。 振幅A：图像纵坐标的最大值。 方向判断：看下一时刻图像的走势（“上坡”为正方向，“下坡”为负方向），或者利用斜率判断速度方向。 （2）避坑点：不要把振动图像误认为是物体的运动轨迹（轨迹通常是直线或曲线，而图像是正弦/余弦曲线）。 3.单摆模型：必须“掌握周期公式”，也是测量重力加速度的重要实验模型。 （1）周期公式： 。 L（摆长）：悬点到摆球球心的距离（线长 + 球半径）。 G（重力加速度）：等效重力加速度，视具体环境而定（如在加速上升的电梯中g′=g+a）。 （2）等时性：在摆角很小（ θ<5∘）的情况下，单摆的周期与振幅、摆球质量无关。 （3）避坑点：单摆经过最低点时，合力不为零（提供向心力），此时拉力 ，不等于重力。 4.受迫振动与共振：必须“分清频率关系” （1）受迫振动：物体在驱动力作用下的振动。 频率特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 （2）共振条件：驱动力的频率 f驱等于物体的固有频率 f固。 现象：振幅达到最大。 应用与防止：利用共振（如微波炉、共振筛）或防止共振（如军队过桥便步走、机器底座减震）。 角度01 简谐运动的定义及特征 1．一质点沿x轴在[-10cm，+10cm]区间内做简谐运动，平衡位置位于x=0处，在一个周期的时间内，某人对此质点做随机观察，则该质点出现在区间[-10cm，0]和区间[0，+5cm]的概率分别是（     ） A．    B．    C．    D．    2．（多选）一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振动物体的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻振动物体的（     ） A．速度一定大小相等，方向相反 B．加速度一定大小相等，方向相反 C．位移一定大小相等，方向相反 D．速度一定大小相等，方向相同 角度02 简谐运动的描述 3．在不计水的阻力作用下，鱼漂在水面上竖直方向上的振动可视为简谐运动，如图甲所示，鱼漂与水面的接触范围处在、之间，为平衡位置，取竖直向下的方向为正方向，其振动的位移随时间变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该图像是从平衡位置处开始计时的 B．时刻，鱼漂上的点正在经过水面向上运动 C．时刻，鱼漂的加速度方向竖直向上 D．时刻，鱼漂上的点正在经过水面向上运动 4．（多选）如图甲，轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，小球处于静止状态。现将小球向下拉动距离l后由静止释放并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，弹簧弹力与小球运动时间的关系图像如图乙（余弦图像），重力加速度为g。由此可知（　　） A．小球做简谐运动的周期t=4s B．小球做简谐运动的振幅为 C．轻质弹簧的劲度系数 D．5s末小球的速度为0 5．下图为甲、乙（实线为甲，虚线为乙）两个弹簧振子的振动图像。 (1)这两个弹簧振子的振幅是多少？周期是多少？频率是多少？请写出它们的位移随时间变化的关系式。 (2)两个振动的初相、相位和相位差各是多少？ 角度03 简谐运动的回复力和能量 6．如图所示为某弹簧振子的振动图像，则（     ） A．时刻，弹簧振子沿 y轴正方向的加速度最大 B．振子的振动方程为 C．振子在任意一个0.4s内运动的路程均为 20cm D．振子在 周期内通过的路程不可能是 7．（多选）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它经过平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 8．如图是某弹簧振子做简谐运动的振动图像，根据图像回答下列问题。 (1)简谐运动的振幅、周期、频率分别是多大？0~4s内振子的路程是多少？ (2)曲线上A、B、C三点，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表示振子的势能最大？ 角度04 单摆的回复力 9．如图所示装置，一刚性小球在固定的光滑圆弧槽内来回摆动，其左右摆动的幅度远小于圆弧半径。关于该装置，下列说法正确的是（     ） A．小球质量越大，摆动的频率就越大 B．小球摆动幅度越大，对应周期越大 C．小球经过最低点时，回复力为零 D．小球经过最低点时，加速度为零 10．（多选）如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中C点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．单摆的周期为0.4πs B．根据所给数据能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 D．单摆的摆长为1.6 m 角度05 单摆的速度、加速度和位移 11．如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度，，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆振动的频率是 B．单摆的摆长约为 C．若仅将摆球质量变大，单摆周期一定变大 D．摆球经过平衡位置时的加速度为零 12．（多选）四个小球A、B、C、D，通过不可伸长的轻质细绳呈竖直静止状态悬挂于同一水平天花板下，其摆长LA>LB>LC>LD依次递减。现将四球在同一竖直平面内沿垂直于纸面向外的方向拉起一定高度，随后由静止状态同时释放，在忽略空气阻力与悬点摩擦的理想条件下，四球释放后都做简谐运动。当小球A第一次向纸面里运动半个周期到最高点时，小球C恰好第二次到达与A同侧的最高点，同时小球 B、D恰好到达另一侧最高点。则（　　） A．小球A第一次回到释放位置时，小球C的速度为零 B．小球B第一次回到平衡位置时，小球D的加速度为零 C．小球A、B的振动周期之比为2：1 D．小球C、D的摆长之比为16：9 角度06 单摆的振动图像及其表达式 13．图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 14．（多选）如图所示为、两单摆的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．时两单摆的振幅为0 B．若、两单摆在同一地点，则摆长之比为4∶9 C．若、两单摆摆长相同，则所在地点重力加速度之比为3∶2 D．时间内，两单摆的动能均向重力势能转化 15．图甲所示的单摆在竖直面内做简谐振动，时刻，在A点由静止释放小球，小球在A、B间做往复振动，其振动图像如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径，重力加速度。 (1)写出小球做简谐运动的振动方程。 (2)求出摆线的长。 角度07 单摆的周期 16．长度为的细线将小球靠竖直墙悬挂，现将小球拉至与墙面成角（）处静止释放，球与墙壁发生弹性碰撞返回最高点，该过程中细线拉力对小球的平均冲量为，则（     ） A．若增大，变小、方向不变 B．若增大，变大、方向不变 C．若减小，变小、方向不变 D．若减小，变大、方向不变 17．（多选）发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（　　） A．增大摆球质量 B．增大摆长 C．将单摆由山下移到山顶 D．把单摆放在加速上升的升降机中 18．在工业生产中经常利用钢珠检测圆弧面或曲面是否标准。若钢珠在竖直圆弧面内的最低点附近运动时可视为简谐运动，相邻两次经过最低点的运动时间，不计一切阻力，钢珠可视为质点，重力加速度取，取3.1。 (1)求该圆弧面的半径； (2)若从最低点附近由静止释放钢珠并开始计时，确定钢珠经过最低点的时刻。 角度08 等效单摆 19．如图所示一个光滑圆弧体固定在水平面上，圆弧长度远小于圆的半径，、是圆弧上的两点，是圆弧的圆心，、是圆弧竖直直径上的两点，让甲球从、两点中的任一点由静止释放，同时让乙球从、、三点中某一点由静止释放，甲球到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲、乙两球均可以看成质点，空气阻力不计，则甲、乙两球释放的位置可能是（　　） A．甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲球在点释放，乙球在点释放 B．甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲球在点释放，乙球在点释放 C．现同时释放甲乙两球，要使甲球在第二次通过最低点时恰好与乙球相碰，则乙球的高度应为 D．现同时释放甲乙两球，要使甲球在第二次通过最低点时恰好与乙球相碰，则乙球的高度应为 20．（多选）如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球（忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g），下列说法正确的是（     ） A．让小球在纸面内摆动，周期 B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期 C．让小球在纸面内摆动，周期 D．让小球在垂直纸面方向摆动，周期 21．如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°。现在在圆弧的右侧边缘M处放一个小球，使其由静止下滑，重力加速度为g。 (1)球由M至O的过程中所需时间为多少？在此过程中能量如何转化（定性说明）？ (2)若在MN圆弧上存在关于O对称的两点P、Q，已测得球由P直达Q所需时间为，则球由Q至N的最短时间为多少？ 角度09 用单摆测量重力加速度的大小 22．如图1所示，用智能手机磁传感器和一个磁性小球制成单摆，测量摆长L和对应的周期T，用单摆周期公式求得重力加速度。另一同学由于操作失误，致使摆球不在竖直平面内运动，而是在水平面内做匀速圆周运动，如图2所示，但仍用单摆周期公式求出重力加速度，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．与大小关系无法比较 23．在用单摆测量重力加速度时，某同学将小钢球系在较长细线的一端，细线的另一端固定在O点，如图甲所示。将小钢球拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放。 (1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要_________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 (2)用游标卡尺测量小球的直径，如图乙所示，则小球的直径是_________cm。 (3)下列做法正确的是_________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．每次只记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度小于5° (4)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标，为纵坐标，作出了图像如图丙，求得该直线的斜率为k。则重力加速度_________。 24．通过单摆实验测量当地的重力加速度。 (1)若用游标卡尺测得小球的直径______mm； (2)如果他测得的值偏小，可能的原因是______； A．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大 B．开始计时时，秒表过迟按下 C．实验中误将49次全振动次数记为50次 (3)某同学测出了摆线长度L和摆动周期T，如图甲所示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组L与T，再以为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图乙所示。由图像可知，当地重力加速度g=______m/s2（结果用表示），摆球的半径r=______m。 角度10 受迫振动与共振 25．在张紧的水平绳上挂5个单摆，先让A摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、B、C的摆长相等，下列判断错误的是（     ） A．振动稳定后E摆的振动频率最大 B．E摆的固有频率最大 C．振动稳定后5个摆的振动频率都相等 D．B、C摆的振幅比D、E要大 26．（多选）在一根张紧的弹性绳上挂两个单摆A、B，且LA>LB，将A拉起一个小角度后释放，过一段时间后B也会振动，则有（　　） A．A、B的周期相等 B．A、B的频率不相等 C．缩短A的摆长可增大B的振幅 D．缩短B的摆长可增大B的振幅 27．如图所示为某单摆的共振曲线，取。 （1）该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） （2）适当缩短摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 【例1】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【深化点拨】 （1）考查简谐运动的判定方法，需要分析物体受到的合力是否满足回复力的特点，以此判断物体能否做简谐运动。 （2）考查连接体的受力与加速度分析，两个物块由细绳相连，运动过程中二者位移大小、速度大小以及加速度大小始终相等。 （3）考查简谐运动的对称性，振动过程中关于平衡位置对称的两处，加速度大小相等，是振动类选择题的高频考点。 （4）考查简谐运动周期的影响因素，能够结合系统受力情况分析周期随斜面倾角的变化，区分振动系统的固有周期与外界条件之间的关系。 【变式1-1】（2025·浙江·高考真题）如图所示，两根相同的橡皮绳，一端连接质量为m的物块，另一端固定在水平桌面上的、B两点。物块处于AB连线的中点C时，橡皮绳为原长。现将物块沿AB中垂线水平拉至桌面上的O点静止释放。已知CO距离为L，物块与桌面间的动摩擦因数为，橡皮绳始终处于弹性限度内，不计空气阻力，则释放后（　　） A．物块做简谐运动 B．物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用 C．若时每根橡皮绳的弹力为F，则物块所受合力大小为 D．若物块第一次到达C点的速度为，此过程中橡皮绳对物块做的功 【变式1-2】（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【变式1-3】（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【例2】（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中， (1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为___________s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为___________； (2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度___________，小钢球重心到摆线下端的高度差___________；（结果均用k、b表示） (3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________。 【深化点拨】 （1）考查单摆实验周期的多种测量方法，可以利用力传感器拉力峰值或者光电门遮光记录来确定摆动周期，要分清相邻拉力峰值对应的时间间隔。 （2）考查实验的数据处理，利用图像法处理实验数据，当摆球重心位置未知时，可以通过改变摆线长度作出图像消除摆球重心带来的系统误差。 （3）考查单摆模型成立的条件，理想单摆要求小球只做平动；小球发生滚动时转动动能不可忽略，会造成周期测量出现偏差。 （4）考查单摆实验的误差分析，能够区分系统误差与偶然误差，辨析装置本身、小球运动形式以及空气阻力对实验结果带来的影响。 【变式2-1】（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 【变式2-2】（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 【变式2-3】（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____（选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 ⚡基础速刷 1．有两个简谐运动的振动方程：，，则下列说法中错误的是（   ） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 2．两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的固有频率为2f、若它们均在频率为1.5f的驱动力作用下做受迫振动，则（     ） A．甲的振幅较大 B．乙的振幅较大 C．两者振幅相同 D．无法比较 3．（多选）有一根张紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，另4个摆球质量相等，摆长关系为，如图所示，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，达到稳定时（　　） A．周期关系为 B．频率关系为 C．振幅关系为 D．a、c、d、e四个摆中，d的振幅最大，且 4．用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测出摆球的直径，示数如图乙所示，则摆球的直径d=____cm (2)以下实验过程中的一些做法中，下面的叙述正确的有 A．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 B．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．用刻度尺测量摆线的长度l，则单摆的摆长为l+d (3)除了已测摆球直径d，还测得摆线长为78.99cm，从第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.0s，由这些数据计算得重力加速度大小g=______m/s2。（结果保留三位有效数字，π2取9.87） 5．下图是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题。 (1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？ (2)在和两个时刻，质点分别向哪个方向运动？ (3)质点在第2s末的位移是多少？在前4s内的路程是多少？ 🚀能力跃升 6．有一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的规律如图所示。取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（     ） A．t2时刻，小鸟受到的回复力最大 B．t1时刻，小鸟的速度最小 C．0时刻与t2时刻，小鸟的振幅不相同 D．从t1到t2，小鸟的加速度逐渐减小 7．位于淄博和广州的两位同学，分别探究了单摆周期和摆长的关系，然后通过网络交流实验数据，并用计算机绘制了图像、，如图甲所示。另外，淄博的同学还利用计算机绘制了、两个单摆的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线A B．甲图中图线A对应的所在位置的重力加速度大小为 C．由乙图可知，两单摆频率之比为 D．由乙图可知，时球振动方向沿轴正方向 8．（多选）一列简谐波沿直线传播，先后经过a、b两点，a、b两点间距为1m，如图甲为a点振动图像，如图乙为b点振动图像。下列说法正确的是（     ） A．波的周期为4s B．波的速度可能为0.25m/s C．波的速度可能为1m/s D．时，b点向轴负方向运动 9．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。 (1)测量周期时用到了秒表，长针转一周的时间为30s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为1min，该单摆摆动n次长短针的位置如图2所示，所用时间为t= ___________ s。先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图3所示，则摆球直径d= ___________ mm。 (2)测出悬点O至小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g= ___________ （用L、n、t、π表示）。 (3)用多组实验数据作出T2﹣L图像，也可以求出重力加速度g，已知三位同学作出的T2﹣L图线的示意图如图4中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是 ___________ （选填选项前的字母）。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球最下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 D．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 (4)若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其它测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用T2﹣L图线求得的g值和真实值相比是 ___________ 的（选项“偏大”、“偏小”或“不变”）。 10．如图甲所示，质量为3m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： (1)物体A的振动方程； (2)物体B对地面的最大压力大小。 🌟思维挑战 11．如图所示，物块、、的质量均为，开始时、用劲度系数的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。位于正上方的物块由静止释放，与碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后、一起在竖直方向上做简谐运动，运动过程中物块恰好没有脱离地面。已知轻弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．、碰后一起向下做减速运动 B．此简谐运动的振幅为 C．、一起运动的最大加速度为 D．物块对地面的最大压力为 12．如图所示，轻质弹簧下端挂一小球，处于静止状态，现将小球沿竖直方向向下拉动一段距离A，然后由静止释放，并以释放瞬间为计时起点。小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。下列说法正确的是（　　） A．在时，小球的动能最小 B．在与时，小球的速度相同 C．在时，弹簧的弹性势能最大 D．在时间内，小球向上运动的距离等于A 13．（多选）如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图乙所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（     ） A．弹簧劲度系数为 B．0时刻弹簧弹力大小为mg C．时间段，回复力冲量为0 D．时间段，小球动能与重力势能之和增大 14．如图所示，光滑的水平地面上有一质量为M=1kg的木板，木板右端到墙壁的距离l0=3m，木板左端紧挨着带光滑圆弧轨道的物块P，圆弧半径R=1.6m，圆弧轨道底端和木板上表面等高，物块P固定在地面上，在圆弧轨道的正上方有两个可视为质点的物体A、B通过细线相连，物体A通过劲度系数k=100N/m的轻弹簧固定在天花板上，稳定后物体B到圆弧轨道最高点a的距离h0=0.2m，物体A的质量m1=1.6kg、物体B的质量m2=5kg。剪断两物体之间的细线，物体B下落后从a点平滑进入圆弧轨道，当物体B运动到圆弧轨道最低点时，物体A恰好第一次回到出发点，随后物体B滑上木板，经过一段时间后，木板与墙壁发生弹性碰撞，B始终未与墙壁发生碰撞。已知物体B与木板之间的动摩擦因数μ=0.5，弹簧振子的振动周期，π2取10，重力加速度g取10m/s2。求： (1)物体A做简谐运动的周期； (2)B在P上运动过程中合外力的冲量大小； (3)木板的最短长度L和木板运动的总路程s。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动 考点02 简谐运动的描述 考点03 简谐运动的回复力和能量 考点04 单摆 考点05 实验：用单摆测量重力加速度 考点06 受迫振动 共振 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的定义及特征 角度02 简谐运动的描述 角度03 简谐运动的回复力和能量 角度04 单摆的回复力 角度05 单摆的速度、加速度和位移 角度06 单摆的振动图像及其表达式 角度07 单摆的周期 角度08 等效单摆 角度09 用单摆测量重力加速度的大小 角度10 受迫振动与共振 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.认识简谐运动，理解回复力、位移、振幅、周期、频率的物理含义。 2.掌握简谐运动位移-速度-加速度的变化规律。 3.掌握单摆周期公式，会用单摆实验测量重力加速度。 4.区分自由振动、受迫振动，理解共振的条件以及共振现象的利弊。 1.简谐运动的位移以平衡位置作为起点，不是从端点开始。 2.单摆只有摆角很小（小于 5°）时才视为简谐运动；摆长是悬点到小球球心的距离。 3.受迫振动稳定之后振动频率等于驱动力频率，和物体固有频率无关。 4.当驱动力频率等于固有频率时发生共振；实际生产中有时利用共振，有时要防止共振。 知识导图 考点01 简谐运动 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 4、弹簧振子的位移 （1）振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 5、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 6、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 【深化点拨】 1．实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 2．弹簧振子的解题思路点拨 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 3．判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 4．简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 1．关于简谐运动，下列说法中正确的是（　　） A．频率是单位时间内完成全振动的次数 B．位移减小时，加速度减小，速度减小 C．简谐运动的轨迹一定是正弦或余弦曲线 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】A 【详解】A．频率是单位时间内完成全振动的次数，选项A正确； B．位移减小时，回复力减小，则加速度减小，但是速度增加，选项B错误； C．简谐运动的轨迹是直线，其位移随时间变化图像一定是正弦或余弦曲线，选项C错误； D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向可能相同，也可能相反，选项D错误。 故选A。 2．（多选）如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（     ） A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置 C．钢球合力为0处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置 【答案】CD 【详解】钢球在竖直方向上做简谐运动，平衡位置为重力和弹簧弹力相等的位置，即钢球原来静止时的位置为平衡位置，此点合力为0，速度最大。 故选CD。 【简谐运动的规律】 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 考点02 简谐运动的描述 1、简谐运动的振幅定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、简谐运动的周期和频率 （1）全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，即振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 ①一次全振动路程为振幅的4倍。 ②弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 （3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 （2）频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 （3）周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 （4）圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf。 3、小球振动的周期：经过实验证明，弹簧振子的周期公式为：其中：T 表示弹簧振子的周期（单位：秒，s），即完成一次全振动所需的时间；m 是振子的质量（单位：千克，kg）；k 是弹簧的劲度系数（单位：牛/米，N/m），反映弹簧的弹性强弱；π是圆周率（约等于3.14）。 4、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期。从x＝Asin（ωt＋φ0）可以发现：当（ωt＋φ0）确定时，sin（ωt＋φ0）的值也就确定了，所以（ωt＋φ0）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。 （1）相位：“ωt＋φ0” 叫简谐运动的相位，它是描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 （2） φ0叫初相,即t=0时的相位。 5、简谐运动的相位差：两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差，Δφ＝φ1－φ2。 （1）取值范围：－2π≤Δφ≤2π。 ①同相：相位差为零，一般地为Δφ=2nπ（n=0,1,2,……） ②反相：相位差为π，一般地为φ=(2n+1)π（n=0,1,2,……） (2)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。 Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。 【深化点拨】 1．简谐运动的振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 2．做简谐运动的物体运动过程中的周期性 （1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 （2）若t2－t1＝nT＋1/2T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 （3）若t2－t1＝nT＋1/4T或t2－t1＝nT＋3/4T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。 1．以下关于简谐运动的描述中，说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，其加速度方向始终与位移方向相同 B．简谐运动的周期与振幅成正比，振幅越大，周期越长 C．弹簧振子从平衡位置运动到最大位移处，其动能逐渐转化为势能 D．单摆的振动一定是简谐运动 【答案】C 【详解】A．根据简谐运动的加速度公式（其中为位移），所以加速度方向始终与位移方向相反，故A错误。 B．简谐运动的周期公式为或，周期与振幅无关，故B错误。 C．弹簧振子在运动过程中机械能守恒，从平衡位置（位移，动能最大，势能最小）运动到最大位移处（速度为零，动能为零，势能最大），动能逐渐减小，势能逐渐增大，动能转化为势能，故C正确。 D．单摆的振动仅在摆角很小（通常）时，回复力近似满足，才可视为简谐运动，否则不是，故D错误。 故选C。 2．（多选）有甲、乙两个弹簧振子，甲在1min内完成30次全振动，乙完成75次，则（     ） A．甲的周期为0.5s B．乙的周期为0.8s C．乙的频率为0.8Hz D．甲、乙的圆频率之比为2：5 【答案】BD 【详解】由题意可知，，，；，BD正确。 故选BD。 3．某质点的振动图像如图所示，求： (1)写出该质点的振动方程； (2)0时刻开始计时，11秒内的路程。 【详解】（1）设该质点的振动方程为 由图可知，该质点振动的振幅为 t=0时，y=5m；t=5s时，y=0，且质点向y负方向运动； 代入振动方程得；，且 则； 解得， 故该振动的振动方程为 （2）周期 一个周期内质点路程为4A=40m 将t=11s代入振动方程得 将t=12s代入振动方程得 最后1s（11s~12s）的路程为5m−0=5m 故这段时间内质点通过的路程为 考点03 简谐运动的回复力和能量 1、简谐运动的回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力)；可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 5、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【深化点拨】 1．简谐运动的回复力特点：对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 2．判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3．简谐运动中各个物理量的变化规律特点 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 1．某质点做简谐振动，其位移随时间变化的关系式为，则该质点（     ） A．第1s末与第3s末的位移相同 B．第1s末与第3s末的速度相同 C．3s末至5s末的位移方向都相同 D．3s末至5s末的加速度方向都相同 【答案】A 【详解】AB．由题给，，，两时刻的位移相同。由题给，时，即位移第一次达到正向最大值。第末在达到正向最大位移前，质点沿正方向运动；第末在其后，质点沿负方向运动，速度方向相反，故A正确，B错误； CD．由题给的位移表达式，时，故，位移方向为正方向。在时，时，故，位移方向为负方向。简谐运动的回复力总指向平衡位置，且加速度方向与回复力方向相同，因此位移方向和加速度方向均发生改变，故CD错误。 故选A。 2．（多选）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 【答案】CD 【详解】A．由题图可知，质点的振幅为2cm，故A错误； B．第2s末到第3s末这段时间内，位移为负方向减小，根据可知，回复力为正方向减小，所以质点的加速度减小，方向沿x正方向，故B错误； C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的位移沿x正方向增大，所以质点的速度减小，方向沿x正方向，故C正确； D．由题图可知，周期为 该质点振动的角频率为 振动方程为，故D正确。 故选CD。 3．如图所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球。将小球沿斜面拉下一段距离后松手。证明：小球的运动是简谐运动。    【详解】设小球在弹簧长度为L1时，在平衡位置O，弹簧原长L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得 当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为 整理得 因此小球的运动是简谐运动。 考点04 单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 2、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量M，即m<<M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d<<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略。 3、单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 （2）回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 4、单摆振动的周期影响因素：单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 （1）荷兰物理学家惠更斯研究发现，单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅摆球质量无关。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 5、对单摆周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 【深化点拨】 1．对单摆的装置要求 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 2．单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小。 （2）空气阻力可以忽略不计。 3．关于单摆的回复力的三点提醒 （1）单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。 （2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力。 （3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零。 4．计算单摆的周期的两种方法 （1）依据T＝2π，由单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。 （2）根据：周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响，是粗测周期的一种方法。 1．一单摆的周期为T，摆球质量为m，摆长为L。若将摆长变为原来的4倍，摆球质量减半，则单摆的周期变为（     ） A．2T B．T C． D．4T 【答案】A 【详解】单摆的周期公式为，由公式可知，单摆周期仅与摆长、当地重力加速度有关，与摆球质量无关，因此摆球质量减半为干扰条件，不影响周期。 当摆长变为原来的4倍即时，新的周期： 故选A。 2．（多选）如图所示，A、B、C三个小钢球的质量分别为、、，连接A、C的绳长相等，A球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力，当B、C振动达到稳定时，下列说法正确的是（　　） A．B的振动周期最大 B．C的振动频率最大 C．C的振幅比B的振幅大 D．A、B、C的振动周期相等 【答案】CD 【详解】ABD．由题意，A做自由振动，其振动周期就等于其固有周期，而B、C在A产生的驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，即等于A的固有周期，所以三个单摆的振动周期相等，振动频率相等，A错误，B错误，D正确； C．由于C、A的摆长相等，则C的固有周期与驱动力周期相等，产生共振，其振幅比B摆大，故C正确。 故选CD。 3．如图所示，一单摆在竖直面内做最大摆角为θ的小角度摆动，摆长为L，A、C点分别是左、右两端点，B点是最低点，小球的质量为m，重力加速度大小为g，求： (1)单摆的周期T； (2)小球回到B点时对细线的拉力大小F。 【详解】（1）由题意可知，该单摆摆长为L，当地重力加速度大小为g，由单摆的周期公式可得 （2）小球从A点运动到B点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，设小球到B点的速度为，对小球从A点运动到B点的过程列机械能守恒方程有 解得 小球回到B点时，由重力和绳的拉力的合力提供做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知小球回到B点时对细线的拉力大小为 【弹簧振子与单摆的比较】 弹簧振子（水平） 单摆 模型示意图 条件 忽略弹簧质量、无摩擦等阻力 细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力 周期公式 T=2π（不作要求） T=2π 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能 守恒 考点05 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【深化点拨】 1．实验：用单摆测量重力加速度注意事项 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 （5）秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和，当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字；超过半格时，外侧秒针读大于30的数字；机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 2．秒表的使用和读数：秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和。 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 1．小华同学进行“用单摆测定重力加速度”的实验。最合理的装置是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．单摆的摆长在摆动过程中必须保持不变，弹性绳在受力时长度会发生变化，导致摆长不稳定，故A错误； B．细绳缠绕在金属杆上，会导致在摆动过程中细绳悬点不固定、摆长发生变化，故B错误； C．为了减小空气阻力对实验的影响，摆球应选择密度大、体积小的球，塑料球密度小，受空气阻力影响较大，故C错误； D．铁夹固定悬点保证悬点不动，细绳不可伸长保证摆长不变，铁球密度大体积小可减小空气阻力影响，符合单摆实验装置要求，故D正确。 故选D。 2．用单摆测定重力加速度的实验中，测得摆线长为l₀，摆球直径为d，摆球完成n次全振动所用时间为t。 (1)摆长的表达式L=___________，周期T=___________。 (2)某同学测得的g值偏大，可能的原因是___________（填字母）。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表过早按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动 D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次 (3)为减小实验误差，应选择___________（填“密度大”或“密度小”）的摆球，摆长应选择___________（填“长”或“短”）一些。 【答案】(1) (2)A (3) 密度大 长 【详解】（1）[1]单摆的摆长是悬点到摆球球心的距离，摆线长加上摆球半径，因此； [2]周期是完成一次全振动的时间，n次全振动总时间为t，因此。 （2）A．由单摆周期公式，推导得重力加速度，据此分析误差：测摆线时拉得过紧，测得的摆长L偏大，因此计算得到的g偏大，故A正确； B．秒表过早按下，测得总时间t偏大，周期T偏大，因此根据选项A中推导出的重力加速度，g偏小，故B错误； C．摆松动后实际摆长变大，计算时所用的摆长小于振动中的实际摆长，结合选项A中推导出的重力加速度，因此g偏小，故C错误； D．误将次全振动的时间计为次全振动的时间，导致计算出的周期偏大，根据选项A中推导出的重力加速度，因此g偏小，故D错误。 故选A。 （3）[1]密度大的摆球，相同体积下质量大，空气阻力的影响更小，可减小误差； [2]摆长越长，由单摆周期公式，知周期越大，测量周期的误差越小，因此选长摆长。 考点06 受迫振动 共振 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。 （2）固有频率：固有振动的频率。 2、自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率，叫做系统的固有频率。 3、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。 4、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 5、受迫振动：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。 （1）受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 （2）受迫振动的规律 ①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关； ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 （3）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 6、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 （1）现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。 （2）条件：驱动力的频率等于固有频率。 7、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【深化点拨】 1．振动系统能量衰减的两种方式 （1）振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 2．对阻尼振动的理解 （1）由于阻力做功，振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小。 （2）周期和频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期和频率不变。 3．对受迫振动的理解 （1）受迫振动的频率等于驱动力的频率。 （2）驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。 4．对共振的理解 （1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A；它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f=f0时，振幅A最大。 （2）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 1．物体的固有频率为，若驱动力的频率由逐渐增加至，物体的振幅变化情况为（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【详解】在受迫振动中，物体的振幅取决于驱动力的频率与物体固有频率的关系。当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体的振幅增大，即物体振动得越来越剧烈；当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体发生共振，其振幅最大；而当驱动力的频率偏离物体的固有频率时，物体的振幅减小。所以当驱动力的频率由逐渐增加至时，物体的振幅先增大后减小。 故选C。 2．（多选）研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法正确的是（　　） A．其纵坐标为位移 B．单摆的固有周期为2s C．图像的峰值表示共振时的振幅 D．单摆的摆长为2m 【答案】BC 【详解】A．图像纵坐标标为，单位是，其中表示振幅，故A错误； BC．受迫振动发生共振时，驱动力频率等于单摆固有频率，图像峰值对应 且振幅达到最大。由周期与频率的关系 整理得，故BC正确。 D．由前述计算得单摆固有周期为，在小角度单摆条件下，固有周期满足 解得 取，代入得，故D错误。 故选BC。 【三种振动的比较的比较】 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 机械振动的综合应用及解题步骤 1.简谐运动的特征：必须“抓住回复力公式” （1）动力学特征：F=−kx。 含义：物体受到的力（或合力）大小与位移大小成正比，方向总是指向平衡位置（与位移方向相反）。 避坑点：x是相对平衡位置的位移，而不是相对地面的位移；k不一定是弹簧劲度系数，而是由系统决定的常数。 （2）运动学特征：加速度。 规律：在平衡位置（x=0），速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。 2.简谐运动的图像：必须“看懂 x−t图” （1）物理意义：表示某一个质点在不同时刻偏离平衡位置的位移。 （2）信息提取： 周期T ：图像完成一次全振动所需的时间。 振幅A：图像纵坐标的最大值。 方向判断：看下一时刻图像的走势（“上坡”为正方向，“下坡”为负方向），或者利用斜率判断速度方向。 （2）避坑点：不要把振动图像误认为是物体的运动轨迹（轨迹通常是直线或曲线，而图像是正弦/余弦曲线）。 3.单摆模型：必须“掌握周期公式”，也是测量重力加速度的重要实验模型。 （1）周期公式： 。 L（摆长）：悬点到摆球球心的距离（线长 + 球半径）。 G（重力加速度）：等效重力加速度，视具体环境而定（如在加速上升的电梯中g′=g+a）。 （2）等时性：在摆角很小（ θ<5∘）的情况下，单摆的周期与振幅、摆球质量无关。 （3）避坑点：单摆经过最低点时，合力不为零（提供向心力），此时拉力 ，不等于重力。 4.受迫振动与共振：必须“分清频率关系” （1）受迫振动：物体在驱动力作用下的振动。 频率特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 （2）共振条件：驱动力的频率 f驱等于物体的固有频率 f固。 现象：振幅达到最大。 应用与防止：利用共振（如微波炉、共振筛）或防止共振（如军队过桥便步走、机器底座减震）。 角度01 简谐运动的定义及特征 1．一质点沿x轴在[-10cm，+10cm]区间内做简谐运动，平衡位置位于x=0处，在一个周期的时间内，某人对此质点做随机观察，则该质点出现在区间[-10cm，0]和区间[0，+5cm]的概率分别是（     ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【详解】质点的振幅为，两个区间分别为和，其中。设质点的位移为，令相位，在一个周期内随机观察等价于相位在内均匀取值，因此质点出现在某区间内的概率为 对于区间，一个周期内质点位于平衡位置左侧和右侧的时间相等，对应的相位长度为，因此 对于区间，应满足，在内对应的相位范围为，相位总长度为 因此 两个概率分别为和 故选C。 2．（多选）一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振动物体的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻振动物体的（     ） A．速度一定大小相等，方向相反 B．加速度一定大小相等，方向相反 C．位移一定大小相等，方向相反 D．速度一定大小相等，方向相同 【答案】BC 【详解】两个时刻弹簧对振动物体的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻振动物体的位置关于平衡位置（即弹簧原长处）对称，此时速度大小一定相等，方向不一定相同，加速度大小一定相等，方向一定相反，位移大小相等，方向相反。 故选BC。 角度02 简谐运动的描述 3．在不计水的阻力作用下，鱼漂在水面上竖直方向上的振动可视为简谐运动，如图甲所示，鱼漂与水面的接触范围处在、之间，为平衡位置，取竖直向下的方向为正方向，其振动的位移随时间变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该图像是从平衡位置处开始计时的 B．时刻，鱼漂上的点正在经过水面向上运动 C．时刻，鱼漂的加速度方向竖直向上 D．时刻，鱼漂上的点正在经过水面向上运动 【答案】B 【详解】A．因取竖直向下的方向为正方向，则该图像是从N点开始计时的，A错误； BD．因图像的斜率等于速度，可知时刻，速度方向为负值，则鱼漂上的点正在经过水面向上运动；时刻，速度方向为正，可知此时鱼漂上的点正在经过水面向下运动，B正确，D错误； C．时刻，鱼漂到达最高点M，则此时的加速度方向竖直向下，C错误； 故选B。 4．（多选）如图甲，轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，小球处于静止状态。现将小球向下拉动距离l后由静止释放并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，弹簧弹力与小球运动时间的关系图像如图乙（余弦图像），重力加速度为g。由此可知（　　） A．小球做简谐运动的周期t=4s B．小球做简谐运动的振幅为 C．轻质弹簧的劲度系数 D．5s末小球的速度为0 【答案】AC 【详解】A．由图可知，小球从最低点运动（0时刻）至下次到达最低点，所用时间为4s，所以小球做简谐运动的周期为4s，故A正确； B．根据题意可知，小球最低点与平衡位置间的距离为l，即小球做简谐运动的振幅为，故B错误； C．设初始时弹簧的伸长量为x，则有 下拉距离l，弹簧的伸长量为x+l，弹力为F1，则有 联立解得，故C正确； D．在5s末，小球经过平衡位置所受合力为0，加速度为0，但是速度最大，故D错误。 故选AC。 5．下图为甲、乙（实线为甲，虚线为乙）两个弹簧振子的振动图像。 (1)这两个弹簧振子的振幅是多少？周期是多少？频率是多少？请写出它们的位移随时间变化的关系式。 (2)两个振动的初相、相位和相位差各是多少？ 【详解】（1）由图可知，两个弹簧振子的振幅，周期相同，频率，圆频率，由弹簧振子的位移表达式为，在甲图像上取点，乙图像上取点带入表达式，解得甲、乙的位移随时间变化的关系式分别为， （2）由位移随时间变化的关系式可得甲的初相为，相位为；乙的初相为，相位为；它们的相位差为，即乙的相位比甲超前 角度03 简谐运动的回复力和能量 6．如图所示为某弹簧振子的振动图像，则（     ） A．时刻，弹簧振子沿 y轴正方向的加速度最大 B．振子的振动方程为 C．振子在任意一个0.4s内运动的路程均为 20cm D．振子在 周期内通过的路程不可能是 【答案】C 【详解】A．时刻，振子在正的最大位移处，由可知，此时加速度沿 y轴负方向最大，A错误； B．由图像可知，振子的振动方程为，B错误； C．根据简谐运动的对称性可知，振子在除平衡位置外的任一位置，经过0.4s会运动到关于平衡位置对称的位置，运动的路程为2A=20cm，开始在平衡位置时运动0.4s又回到平衡位置，运动的路程也为2A=20cm，C正确； D．振子在时刻的位移 运动到时刻，位移 ，因此从运动到时刻，运动的路程为，D错误。 故选C。 7．（多选）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它经过平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 【答案】AB 【详解】A．小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为0，动能最大，位移为0，加速度为0，故A正确； B．在A、B处，位移最大，动能为0，加速度最大，故B正确； C．回复力始终指向O，故由，回复力做正功，由，回复力做负功，故C错误； D．由，动能增加，弹性势能减少，但振子振动的总能量不变，故D错误。 故选AB。 8．如图是某弹簧振子做简谐运动的振动图像，根据图像回答下列问题。 (1)简谐运动的振幅、周期、频率分别是多大？0~4s内振子的路程是多少？ (2)曲线上A、B、C三点，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表示振子的势能最大？ 【详解】（1）由题图可知，简谐运动的振幅，周期，频率 由于，则0~4s内振子的路程 （2）根据简谐运动的特点及题图可知，振子在B点位于平衡位置，动能最大；在A点、C点位于端点，具有最大势能。 角度04 单摆的回复力 9．如图所示装置，一刚性小球在固定的光滑圆弧槽内来回摆动，其左右摆动的幅度远小于圆弧半径。关于该装置，下列说法正确的是（     ） A．小球质量越大，摆动的频率就越大 B．小球摆动幅度越大，对应周期越大 C．小球经过最低点时，回复力为零 D．小球经过最低点时，加速度为零 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小球的运动为单摆，其周期公式为 所以频率为 根据公式可知，摆动频率和质量没有关系，只与摆长有关，A错误； B．公式为 可知周期与振幅无关，只与摆长有关，B错误； C．小球做简谐运动的回复力由重力的一个分力提供 其中为摆角，最低点时，所以最低点回复力为，C正确； D．在最低点切向加速度为，但是向心加速度不为，由向心加速度公式 最低点速度不为，可知向心加速度不为，D错误。 故选C。 10．（多选）如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中C点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．单摆的周期为0.4πs B．根据所给数据能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 D．单摆的摆长为1.6 m 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知，时刻小球处于A点，，小球处于C点，，小球第一次回到A点，则单摆的周期为T=，故A错误； D．根据单摆周期公式 可得单摆的摆长为，故D正确； C．摆球所受重力沿切线方向的分力提供其回复力，故C错误； B．设小球在最高点时，细线与竖直方向的夹角为，此时有 小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得 其中；小球从最高点到最低点过程，根据动能定理可得 联立以上式子可得小球的质量为，故B正确。 故选BD。 角度05 单摆的速度、加速度和位移 11．如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度，，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆振动的频率是 B．单摆的摆长约为 C．若仅将摆球质量变大，单摆周期一定变大 D．摆球经过平衡位置时的加速度为零 【答案】B 【详解】A．根据单摆的振动图像可知，单摆的振动周期为，故，故A错误； B．根据 解得，故B正确； C．根据 可知单摆周期与摆球质量无关，故C错误； D．摆球做圆周运动经过平衡位置O时，速度最大，向心加速度不为零，故D错误。 故选B。 12．（多选）四个小球A、B、C、D，通过不可伸长的轻质细绳呈竖直静止状态悬挂于同一水平天花板下，其摆长LA>LB>LC>LD依次递减。现将四球在同一竖直平面内沿垂直于纸面向外的方向拉起一定高度，随后由静止状态同时释放，在忽略空气阻力与悬点摩擦的理想条件下，四球释放后都做简谐运动。当小球A第一次向纸面里运动半个周期到最高点时，小球C恰好第二次到达与A同侧的最高点，同时小球 B、D恰好到达另一侧最高点。则（　　） A．小球A第一次回到释放位置时，小球C的速度为零 B．小球B第一次回到平衡位置时，小球D的加速度为零 C．小球A、B的振动周期之比为2：1 D．小球C、D的摆长之比为16：9 【答案】AC 【详解】CD．根据单摆的振动周期公式可知，由于，所以四个小球振动周期的大小关系为 设小球A第一次向纸面里运动半个周期到达最高点的时间为，则由题意可知 所以四个小球的振动周期之比为 故小球A、B的振动周期之比为 同理由单摆的振动周期公式可得，小球C、D的摆长之比为 所以只有当时小球C、D的摆长之比才是，故C正确，D错误； A．根据上述分析可知，当小球A第一次回到释放位置时，小球C振动的时间为 即此时小球C恰好第三次回到释放位置，所以此时小球C的速度为零，故A正确； B．由于小球B、D的振动周期之比为 所以当小球B第一次回到平衡位置时，小球D振动的时间为 即此时小球D可能处于最高点也可能处于平衡位置，所以此时小球D的加速度可能最大也可能为零，故B错误。 故选AC。 角度06 单摆的振动图像及其表达式 13．图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 【答案】A 【详解】AB．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，根据单摆周期公式 可知单摆的周期与摆球质量无关，所以橡皮泥脱落，此后单摆周期仍为4s，故A错误，B正确。 CD．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用，所以摆球机械能并未增大，单摆的振幅仍为10cm，故CD正确。 本题选择不正确的，故选A。 14．（多选）如图所示为、两单摆的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．时两单摆的振幅为0 B．若、两单摆在同一地点，则摆长之比为4∶9 C．若、两单摆摆长相同，则所在地点重力加速度之比为3∶2 D．时间内，两单摆的动能均向重力势能转化 【答案】BD 【详解】A．单摆的振幅是摆球偏离平衡位置的最大位移，是固定不变的，的振幅为，的振幅为，A错误； B．若、两单摆在同一地点，相同，由图可知，，由单摆的周期公式 有， 得，B正确； C．若、两单摆摆长相同，可得，C错误； D．由图可知，时间内，两单摆均从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，摆球高度升高，重力势能增大，因此动能均向重力势能转化，D正确。 故选BD。 15．图甲所示的单摆在竖直面内做简谐振动，时刻，在A点由静止释放小球，小球在A、B间做往复振动，其振动图像如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径，重力加速度。 (1)写出小球做简谐运动的振动方程。 (2)求出摆线的长。 【详解】（1）由图乙可知小球做简谐运动周期T为2s，振幅A为4cm，则小球做简谐运动的振动方程 （2）根据 代入题中数据，解得摆线长 角度07 单摆的周期 16．长度为的细线将小球靠竖直墙悬挂，现将小球拉至与墙面成角（）处静止释放，球与墙壁发生弹性碰撞返回最高点，该过程中细线拉力对小球的平均冲量为，则（     ） A．若增大，变小、方向不变 B．若增大，变大、方向不变 C．若减小，变小、方向不变 D．若减小，变大、方向不变 【答案】B 【详解】AB．小球拉至与墙面成角（）处静止释放，其运动可视为单摆运动的一半，小球从释放到与墙壁碰撞再返回最高点的总时间为单摆周期的半个周期，即，由于小球摆角很小，细线拉力的方向始终近似竖直向上，平均拉力，根据冲量定义，该过程中细线拉力对小球的平均冲量，其方向竖直向上，由此可知，若增大，变大、方向不变，故A错误，B正确； CD．由平均冲量公式 可知，冲量与初始摆角无关，若减小，不变、方向不变，故CD错误。 故选B。 17．（多选）发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（　　） A．增大摆球质量 B．增大摆长 C．将单摆由山下移到山顶 D．把单摆放在加速上升的升降机中 【答案】BC 【详解】BC．由单摆的周期公式可知，g减小或摆长l增大时周期会变大，将单摆由山下移到山顶，g会减小，故BC正确； A．由单摆的周期公式可知，单摆周期与摆球质量无关，故A错误； D．加速上升的升降机中单摆等效重力加速度增大，由单摆的周期公式可知，周期减小，故D错误。 故选BC。 18．在工业生产中经常利用钢珠检测圆弧面或曲面是否标准。若钢珠在竖直圆弧面内的最低点附近运动时可视为简谐运动，相邻两次经过最低点的运动时间，不计一切阻力，钢珠可视为质点，重力加速度取，取3.1。 (1)求该圆弧面的半径； (2)若从最低点附近由静止释放钢珠并开始计时，确定钢珠经过最低点的时刻。 【详解】（1）钢珠在圆弧面最低点附近做简谐运动，可视为单摆模型，其等效摆长等于圆弧面的半径，由于钢珠相邻两次经过最低点的时间间隔为半个周期，因此该等效单摆的振动周期为 根据单摆的周期公式 将数据代入公式可得 解得该圆弧面的半径为 （2）钢珠从最低点附近由静止释放，意味着它是由最大位移处（振幅位置）开始运动的。钢珠从释放点第一次到达最低点（平衡位置）所经历的时间为四分之一周期 到达最低点后，钢珠每隔半个周期就会再次经过最低点。因此，结合简谐运动的周期性，钢珠经过最低点的时刻通项表达式为 角度08 等效单摆 19．如图所示一个光滑圆弧体固定在水平面上，圆弧长度远小于圆的半径，、是圆弧上的两点，是圆弧的圆心，、是圆弧竖直直径上的两点，让甲球从、两点中的任一点由静止释放，同时让乙球从、、三点中某一点由静止释放，甲球到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲、乙两球均可以看成质点，空气阻力不计，则甲、乙两球释放的位置可能是（　　） A．甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲球在点释放，乙球在点释放 B．甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，甲球在点释放，乙球在点释放 C．现同时释放甲乙两球，要使甲球在第二次通过最低点时恰好与乙球相碰，则乙球的高度应为 D．现同时释放甲乙两球，要使甲球在第二次通过最低点时恰好与乙球相碰，则乙球的高度应为 【答案】D 【详解】AB．设圆弧对应的半径为，由于圆弧长度远小于圆的半径，所以甲球在圆弧体上运动可视为单摆，由单摆周期公式 甲球从A、B两点中的任一点由静止释放，到达圆弧最低点的时间近似为 若乙球由静止释放，根据自由落体运动规律 所以要使甲球第一次到达圆弧最低点时恰好与乙球相碰，乙球下落的高度大于，即乙球应该在Q点释放，故AB错误； CD．甲球在第二次通过最低点时所需时间为 则乙球的高度为，故C错误，D正确。 故选D。 20．（多选）如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球（忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g），下列说法正确的是（     ） A．让小球在纸面内摆动，周期 B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期 C．让小球在纸面内摆动，周期 D．让小球在垂直纸面方向摆动，周期 【答案】AD 【详解】AC．当小球在纸面内摆动时，圆心是O点，摆长为L，故周期为，故A正确，C错误； BD．当小球在垂直纸面方向摆动时，圆心在墙壁上且在O点正上方，根据几何关系可得 则摆长为 解得 故周期为，故B错误，D正确。 故选AD。 21．如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°。现在在圆弧的右侧边缘M处放一个小球，使其由静止下滑，重力加速度为g。 (1)球由M至O的过程中所需时间为多少？在此过程中能量如何转化（定性说明）？ (2)若在MN圆弧上存在关于O对称的两点P、Q，已测得球由P直达Q所需时间为，则球由Q至N的最短时间为多少？ 【详解】（1）球释放后的运动可视为单摆，周期为 故从最大位移处回到平衡位置的过程所用时间为 在此过程中只有重力做功，即球的重力势能转化为动能。 （2）球由P直达Q所需时间为，故球由O到Q的时间为 球由O至N的最短时间为 故球由Q至N的最短时间为 角度09 用单摆测量重力加速度的大小 22．如图1所示，用智能手机磁传感器和一个磁性小球制成单摆，测量摆长L和对应的周期T，用单摆周期公式求得重力加速度。另一同学由于操作失误，致使摆球不在竖直平面内运动，而是在水平面内做匀速圆周运动，如图2所示，但仍用单摆周期公式求出重力加速度，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．与大小关系无法比较 【答案】C 【详解】对图2中小球分析受力，由牛顿第二定律有 解得 单摆周期公式 可知单摆周期测量值T偏小，代入可得重力加速度，与重力加速度相比偏大，所以有。 故选C。 23．在用单摆测量重力加速度时，某同学将小钢球系在较长细线的一端，细线的另一端固定在O点，如图甲所示。将小钢球拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放。 (1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要_________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 (2)用游标卡尺测量小球的直径，如图乙所示，则小球的直径是_________cm。 (3)下列做法正确的是_________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．每次只记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度小于5° (4)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标，为纵坐标，作出了图像如图丙，求得该直线的斜率为k。则重力加速度_________。 【答案】(1)AB (2)1.280 (3)C (4) 【详解】（1）本实验需要测量周期和摆长，因此需要秒表（测周期）、米尺（测摆长）；实验不需要测量小球质量，因此不需要天平、弹簧测力计。 故选AB。 （2）图乙为20分度游标卡尺，精度为，则小球的直径是 （3）A．应该在摆球经过最低点（平衡位置）开始计时，最低点摆球速度大，计时误差更小；最高点速度小，误差大，A错误； B．单次全振动计时误差很大，应该测量多次全振动的总时间，再计算平均周期，减小误差，B错误； C．单摆做简谐运动的条件是摆角小于，因此要保证摆动角度小于，C正确。 故选C。 （4）由单摆周期公式 可得 图像的斜率 整理得重力加速度 24．通过单摆实验测量当地的重力加速度。 (1)若用游标卡尺测得小球的直径______mm； (2)如果他测得的值偏小，可能的原因是______； A．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大 B．开始计时时，秒表过迟按下 C．实验中误将49次全振动次数记为50次 (3)某同学测出了摆线长度L和摆动周期T，如图甲所示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组L与T，再以为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图乙所示。由图像可知，当地重力加速度g=______m/s2（结果用表示），摆球的半径r=______m。 【答案】(1)19.90 (2)A (3) 0.01 【详解】（1）题图为20分度的游标卡尺，其最小分度值为，所以小球的直径为 （2）A．由单摆周期公式可得 摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期T变大了，所测重力加速度g偏小，故A正确； B．开始计时时，秒表过迟按下，所测周期T偏小，则由可知，所测重力加速度g偏大，故B错误； C．实验中误将49次全振动次数记为50次，所测周期T偏小，则由可知，所测重力加速度g偏大，故C错误。 故选A。 （3）[1][2] 由单摆周期公式可得 则图像的斜率为 所以当地的重力加速度为 同理图像的纵截距为 解得摆球的半径为 角度10 受迫振动与共振 25．在张紧的水平绳上挂5个单摆，先让A摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、B、C的摆长相等，下列判断错误的是（     ） A．振动稳定后E摆的振动频率最大 B．E摆的固有频率最大 C．振动稳定后5个摆的振动频率都相等 D．B、C摆的振幅比D、E要大 【答案】A 【详解】AC．受迫振动稳定后，物体的振动频率等于驱动力的频率，本题中摆振动带动其他摆振动，摆是驱动源，其他摆做受迫振动，所以振动稳定后，所有摆的振动频率都等于摆的振动频率，即5个摆的振动频率相等，故A项错误、C项正确，C项不符合题意、A项符合题意； B．单摆的固有频率由摆长决定，公式为 由图可知，摆的摆长最短，所以摆的固有频率最大，故B项正确，不符合题意； D．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，发生共振，振幅最大。 已知，则，、摆的固有频率等于驱动力频率，发生共振，振幅最大；而、摆的摆长与不同，固有频率与驱动频率不相等，不发生共振，振幅较小。所以、摆的振幅比、要大，故D项正确，不符合题意。 故选A。 26．（多选）在一根张紧的弹性绳上挂两个单摆A、B，且LA>LB，将A拉起一个小角度后释放，过一段时间后B也会振动，则有（　　） A．A、B的周期相等 B．A、B的频率不相等 C．缩短A的摆长可增大B的振幅 D．缩短B的摆长可增大B的振幅 【答案】AC 【详解】AB．A摆动后，通过弹性绳的驱动力让B做受迫振动。由于受迫振动的物体，稳定后的周期和频率等于驱动力的周期和频率，与自身的固有周期和频率无关，所以B做受迫振动的周期和频率等于A的周期和频率，故A正确，B错误； CD．根据单摆的周期公式可知，由于，所以B的固有周期小于A的周期。当缩短A的摆长时，A的周期减小，此时B的固有周期更接近A的周期，所以B受迫振动变得更强，其振幅变得更大，所以缩短A的摆长可增大B的振幅；同理可知，当缩短B的摆长时，B的固有周期远离A的周期，所以B受迫振动变得更弱，其振幅变得更小，即缩短B的摆长不能增大B的振幅，故C正确，D错误。 故选AC。 27．如图所示为某单摆的共振曲线，取。 （1）该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） （2）适当缩短摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 【详解】（1）由图可知，此单摆振动固有频率为 则周期为 根据单摆的周期公式 解得 （2）若将摆长缩短，由单摆的周期公式可知，单摆的固有周期减小，固有频率增大，则共振曲线的峰值横坐标将向右移动 【例1】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【答案】AC 【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有 此时，对右侧小物块，有 联立可得 则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确； B．根据以上分析，可得，绳拉力保持不变，故B错误； C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确； D．弹簧振子振动周期，与斜面夹角无关，故D错误。 故选AC。 【深化点拨】 （1）考查简谐运动的判定方法，需要分析物体受到的合力是否满足回复力的特点，以此判断物体能否做简谐运动。 （2）考查连接体的受力与加速度分析，两个物块由细绳相连，运动过程中二者位移大小、速度大小以及加速度大小始终相等。 （3）考查简谐运动的对称性，振动过程中关于平衡位置对称的两处，加速度大小相等，是振动类选择题的高频考点。 （4）考查简谐运动周期的影响因素，能够结合系统受力情况分析周期随斜面倾角的变化，区分振动系统的固有周期与外界条件之间的关系。 【变式1-1】（2025·浙江·高考真题）如图所示，两根相同的橡皮绳，一端连接质量为m的物块，另一端固定在水平桌面上的、B两点。物块处于AB连线的中点C时，橡皮绳为原长。现将物块沿AB中垂线水平拉至桌面上的O点静止释放。已知CO距离为L，物块与桌面间的动摩擦因数为，橡皮绳始终处于弹性限度内，不计空气阻力，则释放后（　　） A．物块做简谐运动 B．物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用 C．若时每根橡皮绳的弹力为F，则物块所受合力大小为 D．若物块第一次到达C点的速度为，此过程中橡皮绳对物块做的功 【答案】D 【详解】AB．物块在水平桌面上运动，受到重力、桌面的支持力、橡皮绳的弹力以及摩擦力的作用；而运动方向受橡皮绳的弹力和摩擦力作用，其合力不满足简谐运动的回复力特点（），因摩擦力是恒力，不随位移按比例变化，所以物块不做简谐运动，故AB错误； C．若时每根橡皮绳的弹力为F，两根橡皮绳弹力的合力 物块还受到摩擦力为 则物块所受合力为，故C错误； D．若物块第一次到达C点的速度为，物块从O点运动到C点，由动能定理可知 解得橡皮绳对物块做的功为，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【答案】BC 【详解】A．剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误； B．剪断细线之前则 剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律 解得A的加速度 选项B正确； C．剪断细线之前弹簧伸长量 剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量 即振幅为 由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确； D．由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。 故选BC。 【变式1-3】（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【答案】AD 【详解】B．如果a球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即b球初始时刻位置，则可知b的振幅为，B错误； ACD．a球发生运动的临界条件为弹簧对a球向上的弹力大于a球的重力，则此时对a球有 对b球有此时加速度 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，则有 解得 即，否则a球会发生运动，AD正确，C错误。 故选AD。 【例2】（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中， (1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为___________s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为___________； (2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度___________，小钢球重心到摆线下端的高度差___________；（结果均用k、b表示） (3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________。 【答案】(1) 1.31 (2) (3)存在空气阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。 【详解】（1）[1]单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。从图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔 则有 解得 [2]由题可得 解得周期为 （2）[1]设小钢球重心到摆线下端的高度差为，则摆长为 根据单摆周期公式有 可得 变形得 可得图像的斜率为 解得 [2]当时，则有 解得小钢球重心到摆线下端的高度差 （3）略 【深化点拨】 （1）考查单摆实验周期的多种测量方法，可以利用力传感器拉力峰值或者光电门遮光记录来确定摆动周期，要分清相邻拉力峰值对应的时间间隔。 （2）考查实验的数据处理，利用图像法处理实验数据，当摆球重心位置未知时，可以通过改变摆线长度作出图像消除摆球重心带来的系统误差。 （3）考查单摆模型成立的条件，理想单摆要求小球只做平动；小球发生滚动时转动动能不可忽略，会造成周期测量出现偏差。 （4）考查单摆实验的误差分析，能够区分系统误差与偶然误差，辨析装置本身、小球运动形式以及空气阻力对实验结果带来的影响。 【变式2-1】（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 【答案】 2.02 大 小 【详解】（3）[1]金属球做20次全振动的时间为，则周期 当时，代入数据可得 （4）[2])根据单摆的周期公式 其中 则 可得重力加速度表达式为 （5）[3][4]为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量大、体积小的摆球。 【变式2-2】（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 【答案】 低于 【详解】（3）[1]根据题意，由图1可知，单摆的周期为。 （4）[2]如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，应读出球心所在位置的读数，即位置的读数，该读数即为摆长。 （5）[3]由单摆周期公式 可得重力加速度 （6）[4]若该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可知摆长测量值偏小，即刻度尺0刻度线低于悬点 【变式2-3】（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____（选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 【答案】(1) (2) 最低点 1.80 【详解】（1）单摆的摆长为 （2）[1]为减小实验计时误差，需摆球经过最低点时开始计时； [2]单摆周期 [3]根据单摆周期公式 可得 代入数值得 ⚡基础速刷 1．有两个简谐运动的振动方程：，，则下列说法中错误的是（   ） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 【答案】D 【详解】A．简谐运动表达式为 其中为振幅。两式中振幅均为，故A正确； B．两式角频率均为，由 整理得=，两者周期相同，故B正确； C．两式角频率相同，相位差= 不随时间变化，故C正确； D．只有相位差为（为整数）时两振动步调一致，本题相位差为，故D错误。 故选D。 2．两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的固有频率为2f、若它们均在频率为1.5f的驱动力作用下做受迫振动，则（     ） A．甲的振幅较大 B．乙的振幅较大 C．两者振幅相同 D．无法比较 【答案】A 【详解】物体做受迫振动时，振幅的大小取决于驱动力频率f驱和固有频率f固的接近程度，该程度由的值衡量，该值越小，振幅越大。甲的情况：；乙的情况：。因为，所以甲的振幅较大。 故选A。 3．（多选）有一根张紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，另4个摆球质量相等，摆长关系为，如图所示，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，达到稳定时（　　） A．周期关系为 B．频率关系为 C．振幅关系为 D．a、c、d、e四个摆中，d的振幅最大，且 【答案】AB 【详解】AB．b摆的振动，作为一种驱动力迫使其他四个摆做受迫振动，受迫振动的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而和自身的固有周期（固有频率）无关，故AB正确； CD．四个摆做受迫振动的振幅与驱动力的频率跟自身的固有频率之差有关，这个差越小，做受迫振动的振幅越大。在a、c、d、e四个摆中，d的摆长跟b的摆长相等，因此d的固有频率和驱动力的频率相等，d摆做受迫振动的振幅最大；a摆与e摆相比，a摆的摆长更接近于b的摆长，即固有频率和驱动力的频率相差较小，所以a摆做受迫振动的振幅大于e摆，故CD错误。 故选AB。 4．用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测出摆球的直径，示数如图乙所示，则摆球的直径d=____cm (2)以下实验过程中的一些做法中，下面的叙述正确的有 A．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 B．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．用刻度尺测量摆线的长度l，则单摆的摆长为l+d (3)除了已测摆球直径d，还测得摆线长为78.99cm，从第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.0s，由这些数据计算得重力加速度大小g=______m/s2。（结果保留三位有效数字，π2取9.87） 【答案】(1)2.02 (2)AB (3)9.75 【详解】（1）摆球的直径 （2）A．摆球尽量选择质量大些、体积小些的，以减小空气阻力对实验的影响，故A正确； B．在用单摆测量重力加速度的实验中，摆线要选择细些的、伸缩性小些的、且长度要适当长一些的，故B正确； C．摆角较大，单摆不再做简谐运动，故C错误； D．单摆的摆长应等于摆线的长度与摆球半径之和，故D错误。 故选AB。 （3）从第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.0s，周期为 根据 代入数据解得 5．下图是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题。 (1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？ (2)在和两个时刻，质点分别向哪个方向运动？ (3)质点在第2s末的位移是多少？在前4s内的路程是多少？ 【详解】（1）质点离开平衡位置的最大距离即振幅，图中位移的最大值为，故所求距离为 （2）位移—时间图像的斜率表示速度方向。时图像斜率为负，故质点沿轴负方向向平衡位置运动。时图像斜率为负，故质点沿轴负方向远离平衡位置运动。 （3）在时图像经过平衡位置，故位移为，在前内，质点依次从平衡位置运动到正最大位移处、返回平衡位置、运动到负最大位移处并返回平衡位置，所通过的路程为 🚀能力跃升 6．有一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的规律如图所示。取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（     ） A．t2时刻，小鸟受到的回复力最大 B．t1时刻，小鸟的速度最小 C．0时刻与t2时刻，小鸟的振幅不相同 D．从t1到t2，小鸟的加速度逐渐减小 【答案】A 【详解】依据题目和图像判断，小鸟随树枝做竖直方向简谐运动，回复力与位移关系为，加速度与位移关系为，回复力和加速度的大小都与位移大小成正比。 A．时刻小鸟处于负向最大位移处，位移大小最大，由可知回复力大小最大，故A正确； B．时刻小鸟经过平衡位置，位移为，简谐运动中平衡位置处速度最大，故B错误； C．简谐运动的振幅是离开平衡位置的最大距离，同一次小幅振动中振幅不变，时刻与时刻对应的最大位移大小相同，振幅相同，故C错误； D．从到，小鸟从平衡位置运动到负向最大位移处，位移大小逐渐增大，由可知加速度大小逐渐增大，故D错误。 故选A。 7．位于淄博和广州的两位同学，分别探究了单摆周期和摆长的关系，然后通过网络交流实验数据，并用计算机绘制了图像、，如图甲所示。另外，淄博的同学还利用计算机绘制了、两个单摆的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线A B．甲图中图线A对应的所在位置的重力加速度大小为 C．由乙图可知，两单摆频率之比为 D．由乙图可知，时球振动方向沿轴正方向 【答案】C 【详解】A．根据单摆的周期公式可得 变形得 图线的斜率为 纬度越高重力加速度越大，淄博比广州纬度高，其重力加速度大，对应的斜率小，图线B的斜率小，则甲图中淄博的同学所测得的实验结果对应的是图线B，故A错误； B．甲图中图线A对应的斜率为 解得，故B错误； C．周期为完成一次全振动的时间，则 解得 则频率之比为，故C正确； D．由乙图可知，t=1s时b球振动方向沿y轴负方向，故D错误。 故选C。 8．（多选）一列简谐波沿直线传播，先后经过a、b两点，a、b两点间距为1m，如图甲为a点振动图像，如图乙为b点振动图像。下列说法正确的是（     ） A．波的周期为4s B．波的速度可能为0.25m/s C．波的速度可能为1m/s D．时，b点向轴负方向运动 【答案】ACD 【详解】A．分析振动图像可知，周期，故A正确； BC．根据振动图像可知，时，质点在平衡位置沿轴负方向振动时，质点位于波峰，则两质点的间距满足 则波长 根据波长、波速和周期的关系可知 当时，；当时，，故B错误，C正确； D．时，分析图乙可知，质点位于平衡位置沿轴负方向运动，故D正确； 故选ACD。 9．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。 (1)测量周期时用到了秒表，长针转一周的时间为30s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为1min，该单摆摆动n次长短针的位置如图2所示，所用时间为t= ___________ s。先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图3所示，则摆球直径d= ___________ mm。 (2)测出悬点O至小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g= ___________ （用L、n、t、π表示）。 (3)用多组实验数据作出T2﹣L图像，也可以求出重力加速度g，已知三位同学作出的T2﹣L图线的示意图如图4中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是 ___________ （选填选项前的字母）。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球最下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 D．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 (4)若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其它测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用T2﹣L图线求得的g值和真实值相比是 ___________ 的（选项“偏大”、“偏小”或“不变”）。 【答案】(1) 100.1 18.6 (2) (3)B (4)不变 【详解】（1）[1]秒表的读数为t＝1.5min+10.1s＝100.1s [2]10分度游标卡尺的精确度为0.1mm，摆球直径d＝18mm+6×0.1mm＝18.6mm （2）单摆的周期 根据单摆周期公式 联立解得重力加速度 （3）A．若误将悬点到小球最下端的距离记为摆长L，根据单摆周期公式 变形得 图像的纵截距，故A错误； BCD．根据单摆周期公式 变形得 重力加速度 图像a与图线b的斜率相同，重力加速度的测量值相同，即图线a对应的g值等于图线b对应的g值；图线c的斜率偏小，则加速度的测量值偏大，即图线c对应的g值大于图线b对应的g值；根据上述（2）重力加速度的计算式可知，出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次，故B正确，CD错误。 故选B。 （4）若该同学测摆长时漏加了小球半径，根据单摆周期公式 变形得 图像的斜率 图像的斜率不变，重力加速度的测量值不变，因此用T2﹣L图线求得的g值和真实值相比是不变的。 10．如图甲所示，质量为3m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： (1)物体A的振动方程； (2)物体B对地面的最大压力大小。 【详解】（1）图乙可知振幅为A=10cm 周期为T=1.0s 角速度为rad/s 规定向上为正方向，t=0时刻位移为0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，所以初相为 则振子的振动方程为 （2）物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为F=3mg 对于物体A，由牛顿第二定律，有 解得a=2.5g 当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点时加速度向上，且大小等于2.5g，由牛顿第二定律,得 解得F′=7mg 由物体B的受力可知，物体B受水平面的最大支持力为 由牛顿第三定律=10mg 🌟思维挑战 11．如图所示，物块、、的质量均为，开始时、用劲度系数的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。位于正上方的物块由静止释放，与碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后、一起在竖直方向上做简谐运动，运动过程中物块恰好没有脱离地面。已知轻弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．、碰后一起向下做减速运动 B．此简谐运动的振幅为 C．、一起运动的最大加速度为 D．物块对地面的最大压力为 【答案】B 【详解】A．初始时、用弹簧竖直连接，静止在水平地面上，在上方，弹簧处于压缩状态，由受力平衡，可得 解得初始压缩量 碰撞前做自由落体，具有向下的速度；静止。碰撞瞬间动量守恒，碰后整体获得向下的速度。此时弹簧压缩量仍为，弹力向上，整体重力向下。合力，方向向下，因此加速度向下，速度方向也向下，因此碰后瞬间向下加速，而非减速，之后弹簧压缩量增大，弹力增大，当时才开始减速，故A错误； B．简谐运动平衡位置满足 解得平衡位置时弹簧压缩量 恰好不脱离地面，意味着在最高点时地面对的支持力恰好为零，此时弹簧对的弹力向上且等于的重力，即 解得弹簧伸长量 平衡位置弹簧压缩，最高点弹簧伸长，从平衡位置到最高点的位移大小为，即振幅，故B正确； C．最大加速度出现在合力最大处，即最大位移处，该简谐运动有两个最大位移处，最高点时，弹簧伸长，弹簧弹力向下，大小，重力向下，合力向下，加速度大小 最低点时，弹簧压缩量最大，弹力向上，重力向下，合力向上，加速度大小同样为 因此最大加速度为，故C错误； D．当、运动到最低点时，弹簧压缩量最大，弹簧对的弹力向下，自身重力向下，地面支持力向上。 由牛顿第三定律，对地面的最大压力为，故D错误。 故选B。 12．如图所示，轻质弹簧下端挂一小球，处于静止状态，现将小球沿竖直方向向下拉动一段距离A，然后由静止释放，并以释放瞬间为计时起点。小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。下列说法正确的是（　　） A．在时，小球的动能最小 B．在与时，小球的速度相同 C．在时，弹簧的弹性势能最大 D．在时间内，小球向上运动的距离等于A 【答案】D 【详解】A．在时，小球处于平衡位置，此时小球动能最大，故A错误； B．在与时，小球的速度大小相等，方向相反，故B错误； C．在时，小球位移最大，弹簧振子势能最大，但弹簧弹性势能与弹簧形变量有关，只有当小球位移为-A时，弹簧的弹性形变最大，故C错误； D．在时间内，小球位移从-A变成0，所以小球向上运动的距离等于A，故D正确。 故选D。 13．（多选）如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图乙所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（     ） A．弹簧劲度系数为 B．0时刻弹簧弹力大小为mg C．时间段，回复力冲量为0 D．时间段，小球动能与重力势能之和增大 【答案】BCD 【详解】A．小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，时刻弹簧弹力为0，位移大小为A，有 可得劲度系数为，故A正确； B．0时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为2A，则弹力大小为，故B错误； C．时间段，小球从平衡位置沿负方向振动再回到平衡位置，回复力一直沿正方向，由可知，回复力冲量不为0，故C错误； D．时间段，小球从最高点振动到最低点，根据能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球的动能与重力势能之和减小，故D错误。 故选BCD。 14．如图所示，光滑的水平地面上有一质量为M=1kg的木板，木板右端到墙壁的距离l0=3m，木板左端紧挨着带光滑圆弧轨道的物块P，圆弧半径R=1.6m，圆弧轨道底端和木板上表面等高，物块P固定在地面上，在圆弧轨道的正上方有两个可视为质点的物体A、B通过细线相连，物体A通过劲度系数k=100N/m的轻弹簧固定在天花板上，稳定后物体B到圆弧轨道最高点a的距离h0=0.2m，物体A的质量m1=1.6kg、物体B的质量m2=5kg。剪断两物体之间的细线，物体B下落后从a点平滑进入圆弧轨道，当物体B运动到圆弧轨道最低点时，物体A恰好第一次回到出发点，随后物体B滑上木板，经过一段时间后，木板与墙壁发生弹性碰撞，B始终未与墙壁发生碰撞。已知物体B与木板之间的动摩擦因数μ=0.5，弹簧振子的振动周期，π2取10，重力加速度g取10m/s2。求： (1)物体A做简谐运动的周期； (2)B在P上运动过程中合外力的冲量大小； (3)木板的最短长度L和木板运动的总路程s。 【详解】（1）物体A做简谐运动的周期为 代入数据解得 （2）物体B进入圆弧轨道之前做自由落体运动，则有 物体B到达圆弧最高点时速度 到达圆弧最低点时速度v，根据动能定理有 解得 以向下为正方向，竖直方向的冲量 水平方向的冲量 B在P上运动过程中合外力的冲量大小 联立解得 （3）结合上述分析可知，物体B以的速度滑上木板，以物体B和木板组成的整体，根据动量守恒定律有 对木板，有 解得， 可知，木板与物体B共速后与墙壁发生碰撞，第1次与墙碰撞后有 解得第1次与墙碰撞后共速的速度 对木板进行分析有 碰后木板向左运动的最大距离 第2次与墙碰撞后有 解得 碰后木板向左运动的最大距离 第n次与墙碰撞后有 解得 则对木板M，有 木板M运动的总路程为 即有 代入数据解得 木板M和物块B最终停在右侧墙壁处，物块恰好停在木板右端，根据能量守恒定律有 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $