山东省济南市九年级数学上学期课时作业（北师大版九年级上册3.3相似三角形判定定理的证明）

该初中数学作业设计方案围绕“定理运用—综合证明—新定义探究”主线，针对九年级学生学情差异，设置“理解—运用—拓展”三个层次。基础题巩固基本图形识别与计算，综合题训练分类讨论与证明，拓展题培养阅读迁移与探究能力，满足不同水平学生需求。 通过多样化练习提升学习效果，如第15题动点情境中相似存在性分类讨论发展推理能力，第19题角平分线定理阅读迁移强化模型观念，第20题“镶嵌相似形”新定义探究培养几何直观。评价从知识理解、能力运用等维度科学评估，助力学生核心素养发展。

3.3相似三角形判定定理的证明同步课时作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 3.3相似三角形判定定理的证明同步课时作业（2026—2027学年北师大版九年级上册） 学段学科 初中　数学 适用年级 九年级 教材版本 北师大版 对应内容 第3章 第3节 相似三角形判定定理的证明（同步课时作业） 作业类型 课后作业（同步课时作业） 完成时长 总时长60分钟 设计者 【查茂柱】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、推理能力、运算能力与模型观念，需达成“掌握两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，并能运用这些定理进行简单的推理与计算”的学业要求。 · 教材地位：本课时是北师大版九年级上册第三章“图形的相似”的第3节，在3.1相似多边形、3.2探索相似三角形条件的基础上，进一步完成三种判定定理的证明，是全章从“判定条件”走向“定理证明”的关键环节，为后续相似三角形的应用、位似及实际测量等问题奠定严谨的逻辑基础。 · 教学重难点：重点为掌握并会证明相似三角形的三种判定定理，能运用判定定理进行推理与计算；难点为在平行线分线段、双垂直、共角共边、动点及镶嵌相似形等复杂图形中准确识别对应角与对应边，理解判定定理证明中“构造平行线”的思路，以及在动点与新定义情境中进行分类讨论与有条理的说理。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已学习成比例线段、平行线分线段成比例定理、相似三角形的定义与三种判定定理（两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例），掌握全等三角形、平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形等图形的性质，会运用勾股定理与相似进行计算。 现有困惑 在平行线截线段、双垂直、共角共边等复杂图形中准确识别对应线段与对应角仍有困难；对动点情境中相似存在性的分类讨论、对新定义“镶嵌相似形”的转化以及三角形内外角平分线定理的迁移运用经验不足。 差异分析 基础较好的学生能自主完成综合证明与动点分类讨论，宜通过镶嵌相似形、阅读迁移等开放问题获得挑战；中等水平学生能完成基本计算与证明，但在复杂图形识别与分类讨论时需教师搭建台阶；基础薄弱学生对比例计算与证明书写存在困难，需要基础题保底、面批辅导与同伴互助。 3. 设计意图：本作业围绕“定理运用—综合证明—新定义探究”的主线展开。第1～10题立足平行线分线段成比例与相似判定的辨析，通过三条平行线、双平行图形、矩形、双垂直、角平分线等基本图形，帮助学生准确掌握比例与相似的计算并澄清易错点；第11～14题依托平行线型与双平行图形进行线段计算，落实判定定理的规范运用；第15～18题创设动点、平行四边形、等腰三角形等情境，引导学生在分类讨论与证明中发展几何直观与推理能力；第19～20题通过阅读角平分线定理、理解“镶嵌相似形”新定义，培养学生阅读迁移与综合运用能力。整体形成“理解—运用—拓展”三个层次，促进学生核心素养的发展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能运用平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）进行线段长度与比例的计算，能识别平行线型、双垂直型、共角共边型等基本图形。 几何直观、推理能力 第1、3、4、5、6、7、11、12、13、14题正确率与过程 能力运用 B 能在矩形、平行四边形、动点与等腰△等综合情境中，选择恰当的相似条件进行证明与分类讨论，规范书写推理过程。 推理能力、模型观念 第2、8、9、10、15、16、17、18题证明与分类讨论 思维发展 C 能阅读理解角平分线定理的证明思路，进行类比与迁移，运用定理解决内外角平分线及周长计算问题。 推理能力、模型观念 第19题阅读、证明与计算 情感态度 D 在问题求解与说理中体会几何直观与推理的价值，通过新定义“镶嵌相似形”的探究养成严谨求实、乐于探究的学习态度。 理性精神、应用意识 第16、19、20题解答与交流表现 四、作业内容与目标对应表 1 选择题 三条平行线截线段，求AC/AE A 在三条平行线图形中运用截线段成比例，辨析对应线段的比 A（1/3） 2 选择题 三条平行线中识别正确比例关系 A 运用平行线分线段成比例，识别正确等式 A（AD/DF=BC/CE） 3 选择题 DE//BC，求DE/BC B 运用相似三角形（平行线分线段）求线段比 B（2/3） 4 选择题 双平行图形中判断线段比 B 综合运用DE//BC与DF//AC的性质判断线段比 C（CF/BC=3/7） 5 选择题 AD//BC//EF，求FC A 运用平行线分线段成比例求未知线段 A（FC=6） 6 选择题 矩形中AE:BE=AF:FD，求EF B 在矩形中利用比例求相关线段长 B（EF=8cm） 7 选择题 矩形中AF⊥BE，求BF/EF A 利用面积法与相似求线段比 A（1/4） 8 选择题 直角△中D为中点，DE/BC=AD/AB，求AE A 分类讨论满足条件的点E的位置 D（1或2） 9 选择题 双垂足相似图形中识别错误结论 A 辨析双垂直基本图形中的相似与比例结论 D（BE/EC=EF/CD错误） 10 选择题 角平分线+高，求BF:FD A 综合运用角平分线与相似求线段比 A（5:3） 11 解答题 三条平行线截线段，求DE、EF B 运用平行线分线段成比例进行计算 DE=4，EF=8 12 解答题 EF//BC，求AF、FC B 运用相似三角形性质求线段 AF=28/5，FC=10/3 13 解答题 DE//BC、EF//AB，求BF B 综合运用两组平行线求线段 BF=8cm 14 解答题 DE//BC、DF//AC，求BF B 运用平行四边形与相似求线段 BF=12 15 解答题 动点P、Q，△QBP∽△ABC求时间 B 在动点情境中用相似分类讨论 t=0.8s或2s 16 解答题 平行四边形中过A直线截相似，证AF²=FG·FE C 综合运用相似三角形进行证明 CG=1；AF²=FG·FE 17 解答题 EF//CD、DE//BC，证AF:FD=AD:DB，求DF B 运用两次相似推导线段比并求值 DF=10/3 18 解答题 等腰△ABC动点，相似求x、AP B 在动点等腰△中分类讨论相似 x=10/3；AP=40/9或20 19 解答题 阅读角平分线定理，证明、外角平分线、求周长 C 阅读迁移，运用定理计算与证明 周长=6+3+3 20 解答题 镶嵌相似形定义，证明并求AD/AB、AB D 理解新定义，综合运用相似求解 AD/AB=2/3；AB= 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 六、试题详情 1.如图，已知直线 ，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知，那么下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，分别是和上的点，，且，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，点，和分别在边，和上，，，如果，那么下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在四边形中，，点在上，交于点若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，在矩形中，，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作，垂足为，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.如图，，，垂足分别为，，和相交于点，，垂足为则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，若，则为(    ) A. B. C. D. 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，． 若，，求的长； 若，求的长． 12.如图，在中，，分别是边和上的点，且． 如果，，，那么的长是多少？ 如果，，，那么的长是多少？ 13.如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，，求的长． 14.如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，，求的长． 15.如图，在中，，，动点从点出发沿方向以的速度运动，动点同时从点出发沿方向以的速度运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动那么何时与相似？ 16.如图，在平行四边形中，过点的直线交的延长线于点，交，于点，． 若，，，求的长； 求证：． 17.如图，在中，，． 求证：． 若，，求的长． 18.如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． 当时，求的值； 与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 19.阅读以下材料，并完成相应的问题． 【阅读】角平分线定理：三角形一个内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交的延长线于点 【任务】 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 如图，在中，外角的平分线与的延长线交于点，请类比上述方法求出线段，，，之间的比例关系； 如图，在中，，，，平分，求的周长． 20.定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：在中，点，，分别在，，上，连接，，． 如图，是的中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； 如图，当，，是的镶嵌相似形，，求的值； 如图，若，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 七、答案与解析 1.如图，已知直线 ，，，则的值为(    ) 【答案】A 【解析】由平行线分线段成比例定理，AC/CE=BD/DF=2/4=1/2，即CE=2AC，所以AE=AC+CE=AC+2AC=3AC，故AC/AE=1/3，选A。 2.如图，已知，那么下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由平行线分线段成比例，AC/CE=BD/DF，AD/DF=BC/CE（截得的对应线段成比例），故A正确；其余三个等式一般不成立，选A。 3.如图，在中，，分别是和上的点，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE/BC=AD/AB。又AD:BD=2:1，∴AD/AB=2/(2+1)=2/3，故DE/BC=2/3，选B。 4.如图，在中，点，和分别在边，和上，，，如果，那么下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵DE//BC，∴AD/AB=3/7，故DE/BC=3/7，A错；∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，BD/BA=4/7，故DF/AC=4/7，D错；BF/BC=BD/BA=4/7，则CF/BC=3/7，B错、C正确，选C。 5.如图，在四边形中，，点在上，交于点若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由AD//BC//EF，根据平行线分线段成比例，AE/BE=DF/FC。∵AE:BE=1:2，∴DF/FC=1/2，FC=2DF=2×3=6，选A。 6.如图，在矩形中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在矩形ABCD中，AB²+AD²=AC²=400。由AE:BE=2:3得AE=2/5 AB，AF=2/5 AD。在Rt△AEF中，EF=√(AE²+AF²)=2/5·√(AB²+AD²)=2/5×20=8(cm)，选B。 7.如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作，垂足为，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】AB=4，AD=6，E为CD中点，则AE=BE==2。△ABE面积=1/2·AB·AD=1/2×4×6=12，又=1/2·BE·AF，故AF=12/=6/5。在Rt△ABF中，BF=√(AB²-AF²)=√(16-144/10)=2/5；在Rt△AEF中，EF=√(AE²-AF²)=√(40-144/10)=8√10/5。故BF/EF=(2/5)/(8/5)=1/4，选A。 8．8.如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】由条件，得，，因为，所以，所以． 因为点到边的距离为，而，所以以点为圆心，的长为半径画圆，该圆与边有两个交点，即点的位置有两个由三角形中位线的性质可知，其中一个点记为点的位置为的中点，此时 由画的圆可知，另一个点记为点的位置在中点点的上方， 因为，，所以为等边三角形，所以，所以综上所述，的长为或，选D。 9.如图，，，垂足分别为，，和相交于点，，垂足为则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由AB⊥BD、CD⊥BD得AB//CD，AD、BC交于E，则△ABE∽△CDE，故AB/CD=AE/CE=BE/DE。又EF//AB//CD（均⊥BD），由平行线分线段成比例可得AE/ED=AB/CD、AE/BF=ED/FD、EF/AB=DF/DB等，故A、B、C均成立。而BE/EC=AB/CD（由相似），EF/CD=BF/BD（由平行），一般AB/CD≠BF/BD，故BE/EC=EF/CD不成立，D错误，选D。 10.如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，若，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设AB=3k，BC=4k（∠ABC=90°），则AC=5k。由角平分线定理，BE/EC=AB/AC=3/5，故BE=3/8·BC=3k/2，E在BC上。以B为原点，BA、BC所在直线为坐标轴，则A(3k,0)、C(0,4k)、E(0,3k/2)。AC斜率为-4/3，故BD⊥AC的方向为(4,3)，BD方程为y=3x/4；AE方程为y=(-1/2)x+3k/2。联立得F(1.2k,0.9k)。又D为B到AC的垂足，由AC方程4x+3y=12k与BD联立得D(1.92k,1.44k)。于是BF=k=1.5k，FD=k=0.9k，故BF:FD=1.5k:0.9k=5:3，选A。 11．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，． 若，，求的长； 若，求的长． 【答案】（1）DE=4；（2）EF=8． 【解析】（1）由平行线分线段成比例，AB/BC=DE/EF=2/5，又DF=DE+EF=14，得DE=14×2/7=4． （2）同理DE/EF=AB/BC=3/4，DE+EF=14，得EF=14×4/7=8． 12．如图，在中，，分别是边和上的点，且． 如果，，，那么的长是多少？ 如果，，，那么的长是多少？ 【答案】（1）AF=28/5；（2）FC=10/3． 【解析】(1)解：， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. .  (2)， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. . . 13．如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，，求的长． 【答案】BF=8cm． 【解析】解：，， 四边形是平行四边形， ． ：：， ：：． ， ：：：，即：：， ， ． 故BF的长为．  14．如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，，求的长． 【答案】BF=12． 【解析】解：，，，，，即，解得  15．如图，在中，，，动点从点出发沿方向以的速度运动，动点同时从点出发沿方向以的速度运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动那么何时与相似？ 【答案】当t=0.8s或t=2s时，△QBP∽△ABC． 【解析】解：设，两点运动时，与相似，由题意可知，此时，分两种情况讨论： 当时，，即，解得． 当时，，即，解得． 综上所述，当，两点运动或时，与相似． 16．如图，在平行四边形中，过点的直线交的延长线于点，交，于点，． 若，，，求的长； 求证：． 【答案】（1）CG=1． 【解析】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB// CD， ∴△EGC∽△EAB，∴， ∵AB=3，BC=4，CE=2，∴，解得：CG=1；   (2)证明：∵AB// CD，易证得△DFG∽△BFA，∴， ∵AD// CB，易证得△AFD∽△EFB， ∴，∴，即AF2=FG·FE． 17．如图，在中，，． 求证：． 若，，求的长． 【答案】（2）DF=． 【解析】(1)证明:EF//CD,=. DE//BC,=. =,即AF:FD=AD:DB. (2)AD:BD=2:1,设AD=2x,BD=x. AB=AD+BD,15=2x+x,解得x=.AD=. 由(1)得,==,设AF=2y,FD=y. AD=AF+DF,10=2y+y,解得y=. DF=. 18．如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． 当时，求的值； 与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）x=10/3；（2）能，AP=40/9或AP=20． 【解析】（1）由PQ//BC（即PQ//底）得△APQ∽△ABC（或△BPQ∽△BAC）。以△BPQ∽△BAC为例：BP/BA=BQ/BC，BP=20-4x，BQ=3x，故(20-4x)/20=3x/30，解得x=10/3． (2)能，，，与相似有以下两种情况： ①当时，有，即，解得，； ②当时，有，即，解得或（舍去），，综上所述，与能相似，的长为或. 19．阅读以下材料，并完成相应的问题． 【阅读】角平分线定理：三角形一个内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交的延长线于点 【任务】 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 如图，在中，外角的平分线与的延长线交于点，请类比上述方法求出线段，，，之间的比例关系； 如图，在中，，，，平分，求的周长． 【解析】(1)证明：∵CE// DA，∴∠1=∠E，∠2=∠3， ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠E=∠3，∴AE=AC． ∵CE// DA，∴，∴． (2)证明：过C作CF// AD交AB于点F． ∴∠CAD=∠ACF，∠EAD=∠AFC， ∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠EAD， ∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF． 又∵CF// AD，∴，∴．  (3)解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∠ABC=90°， 由勾股定理得：， ∵AD平分∠BAC，∴，即，∴． 设BD=3a，CD=5a，∴BC=BD+CD=8a=8，∴a=1， ∴CD=5a=5．在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴．∴△ABD的周长为：． 20．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：在中，点，，分别在，，上，连接，，． 如图，是的中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； 如图，当，，是的镶嵌相似形，，求的值； 如图，若，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】（2）AD/AB=2/3；（3）AB=√10． 【解析】(1)证明：∵PD// AC，PE// AB，∴， ∵P是BC中点，∴BP=PC，∴AD=BD，CE=AE， ∴，∴△PDE∽△ABC， ∴△PDE是△ABC的镶嵌相似形；  (2)解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE， ∴△PDE也是等腰三角形，∠B=∠C=∠DPE， ∴，即， ∵∠DPC=∠DPE+∠CPE=∠B+∠BDP，∴∠CPE=∠BDP， ∴△BDP∽△CPE，∴，∴，∴， ∵BP=2CP，∴，∴，∴；  (3)解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠DPE=90°， ①当△PDE∽△ABC时，有， 过点P作PH⊥AB于H，作PI⊥AC于I，则∠PHD=∠PIE=90°， ∵∠A=∠DPE=90°，∴∠DPE=∠HPI=90°， ∴∠DPH=∠EPI=90°-∠HPE，∴△DHP∽△EIP， ∴，∵，∴， ∵HP// AC，∴，则可设HP=2k，AC=5k， ∵IP// AB，∴，则可设IP=3a，AB=5a， ∴，得，∴， ∵△ABC中，∠A=90°，BC=5，∴； ②当△PDE∽△ACB时，此时∠PED=∠ACP=∠PAB， 则AP=BP=CP，显然不成立，舍去；综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $