1.1.2 空间向量的数量积运算（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量数量积运算，通过复习回顾空间向量夹角、数量积定义性质运算律及投影向量，构建学习支架，衔接前后知识，为后续题型应用奠定基础。 其亮点在于以问题引领激发思考，结合四面体、正三棱柱等实例，用数学思维推理数量积运算、线段长度、夹角及垂直问题，以数学语言表达空间关系，总结方法步骤帮助学生掌握技能，提升教师教学效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 （第二课时） 复习回顾 1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则_________叫做向量a,b的夹角,记作___________.   2.向量a,b的夹角<a,b>的范围是__________,如果<a,b>=,那么向量a,b互相____,记作____________. ∠AOB 知识点一 空间向量的夹角 <a,b> [0,π] 垂直 a⊥b 复习回顾 知识点二 空间向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a,b,则__________________叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=_______________. 特别地,零向量与任意向量的数量积为0. 两个向量的数量积结果是一个数量,而不是向量. |a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b> 复习回顾 2.数量积的性质 设a,b为非零向量,e为单位向量,则 (1)a⊥b⇔_______________; (2)a·a=__________________________=___________=a2; (3)a·e=|a|cos<a,e>; (4)cos<a,b>=. a·b=0 |a||a|cos<a,a> |a|2 复习回顾 3.数量积的运算律 (1)(λa)·b=________________,λ∈R; (2)交换律:a·b=______; (3)分配律:(a+b)·c=_______________. λ(a·b) b·a a·c+b·c 复习回顾 知识点三 投影向量及直线与平面所成的角 1.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,如图1,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a在直线l上的投影 如图2,将向量a向直线l投影,可得出向量c. 复习回顾 (3)向量a在平面β上的投影 如图3,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',则向量(c)称为向量a在平面β上的投影向量. 2.直线与平面所成的角 如图3,向量a与向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c).(　　) 2.若a,b为非零向量,则向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos<a,b>.(　　) 3.<a,b>=0或<a,b>=π⇔a∥b(a,b为非零向量). (　　) 4.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R). (　　) × √ √ √ 题型一——空间向量的数量积运算 2 (1)已知向量a在向量b上的投影向量为b,且|b|=2,则a·b=___. 【解析】　因为向量a在向量b上的投影向量为b,且|b|=2,所以|a|·cos<a,b>=|a|··=b=b=b,所以a·b=2. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型一——空间向量的数量积运算 (2)如图所示,四面体ABCD的棱长都是2,M为棱AD的中点,求: ①·; 【解】　 ①<,>=120°,·=||||cos 120° =2×2×=-2. ②·; 【解】　②·=·(-)=·-·,因为四面体ABCD的棱长都是2,所以·=2×2×-2×2×=0. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型一——空间向量的数量积运算 ③·. 【解】　③因为M为棱AD的中点,所以·=·(+)=·=-·+·.因为四面体ABCD的棱长都是2,所以·=-2×2×+×2×2×=-2+1=-1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 空间向量数量积运算的两种方法 (1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算. (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用数量积的性质及数量积公式进行计算. 巩固练习 (1)已知空间向量a,b,|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 解析:∵|a|=,|b|=5,a与b夹角的余弦值为-,∴a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·=×·=-b.故选D. D 巩固练习 (2)在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=2,D为A1B的中点,则·=____. 1 解析:如图,连接DB1,由题意得D为AB1的中点,故==+,由正三棱柱性质得 AA1⊥AC,故·=0,可得·=·+·= ||·||·cos∠BAC=×2×2×=1. 题型二——线段长度问题 A 如图,在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中,AB=3,AD=2,AA'=3,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 (　　) A. B. C. D. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型二——线段长度问题 【解析】　∵=++, ∴||=|++|== , ∵||=||=3,||=2,·=·=2×3×cos 60°=6×=3,·=3×3×cos 60°=9×=,∴||= =.故选A. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 总结 求线段长度的步骤 (1)将两点间的连线(或此线段)用向量表示. (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量. (3)利用|a|=,计算出|a|,即得所求线段长度. 巩固练习 正三棱柱ABC⁃A1B1C1的每条棱长均为2,E,F分别是BC,A1C1的中点,则EF的长为______. 解析:如图,连接B1F,BF,因为=-=+-=+(+)-=++-=+,所以==+ =4+×4=5,所以EF=. 题型三——夹角问题 C 如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,则异面直线AE与A1C所成的角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】　因为A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,所以A1A⊥AB,A1A⊥AC.因为AC=AB=,BC=2,所以AB⊥AC.又BC=2AE=2,所以E为BC的中点,所以=(+).因为AC=AA1=,所以A1C=2.因为·=(+)·(-)==1,所以cos<,>==,所以<,>=60°,所以异面直线AE与A1C所成的角是60°.故选C. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 总结 利用数量积求异面直线夹角或其余弦值的步骤 巩固练习 在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值是(　　) A. B. C.- D.0 D 解析:由题意·=·(-)=·-·=||||cos-||||·cos=||(||-||),又OB=OC,即||=||,得·=0,所以cos<,>==0.故选D. 题型四——垂直问题 C (1)已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 【解析】　因为M为BC的中点,所以=(+),所以·=(+)·=·+·=0,所以⊥,即AM⊥AD,所以△AMD是直角三角形.故选C. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 题型四——垂直问题 (2)如图,在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中,AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求证:BD⊥AC'. 【证明】　因为=-,=++=++, 所以·=(-)·(++)=·++·--·-·=0+4+2×3×-4-0-2×3×=0,所以⊥,所以BD⊥AC'. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 总结 利用数量积证明垂直的步骤 (1)确定目标:将线线垂直问题转化为证明它们的方向向量数量积为0. (2)计算数量积:计算两个向量的数量积. (3)得出结论:若结果为0,则两向量垂直,即对应的直线垂直. 巩固练习 如图,已知在四面体OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC. 证明:连接ON(图略), 设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ. 令=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|. ∵=(+)= +(+) =(a+b+c),=c-b, ∴·=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ+|a|2·cos θ-|a|2+|a|2-|a|2·cos θ)=0.∴⊥,即OG⊥BC. 当堂检测 1.已知空间单位向量a,b的夹角为60°,则(a+b)·b= (　　) A. B. C.1 D. 解析:因为向量a,b是单位向量,且两向量的夹角为60°,则a·b=|a||b|·cos<a,b>=cos 60°=,所以(a+b)·b=a·b+b2=+1=.故选D. D 当堂检测 2.如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=AA1=1, P为B1C1的中点,则·=(　　) A. B.1 C. D. 解析:由正三棱柱ABC⁃A1B1C1可得AA1⊥AB,AA1⊥AC,∠BAC=60°,而=+,=+=+=+-,故·=(+)·=-·+=-+1=.故选A. A 当堂检测 3.已知空间向量a+b+c=0,且|a|=2,|b|=4,|c|=3,则cos<a,c>= (　　) A. B. C. D. 解析:由a+b+c=0,可得-b=a+c,所以|-b|=|a+c|=⇒4= ,所以cos<a,c>=.故选B. B 当堂检测 4.如图所示,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B与AD1所成角的大小是90°,则AA1的长度是 . 用数学的眼光看世界 $