第二十七章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元复习卷，全面覆盖反比例函数定义、图像性质、实际应用及与几何综合，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义判断、图像上点、交点坐标、性质辨析|结合图像比较函数值，考查几何直观| |填空题|5/15|比例系数、实际应用（近视镜度数）、k值比较|联系生活情境，体现应用意识| |解答题（一）|3/21|解析式求解、性质应用、矩形与双曲线综合|基础运算与推理，强化符号意识| |解答题（二）|3/27|面积计算、实际问题（漏斗容积）、双反比例函数综合|结合几何图形，提升空间观念| |解答题（三）|2/27|一次函数与反比例函数综合、砗磲生长数据建模|融入科技情境，培养数据观念与创新意识|

第二十七章 反比例函数单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象经过点（1，－8），则它的图象一定也经过                     （　  ） A．（－2，－4） B．（－2，4） C．（－1，－8） D．（1，8） 4．正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数的图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 6．反比例函数的图象如图，A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 7．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则图中使反比例函数小于一次函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x＜-1 B．x＞ 2 C．-1＜x＜0或x＞2 D．x＜-1或0＜x＜2 9．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．反比例函数中，比例系数_______． 12．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 13．若点A（1，2）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数的图象上，则n的值为_____． 14．如图是三个反比例函数，，的图象，由此观察得到，，的大小关系为____．（用“＜”连接）    15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限．反比例函数的图象经过的中点，交于点．若的面积为，则的值为____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 17．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 18．双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 20．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 21．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． (1)选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． (2)为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； (4)该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数单元测试卷（答案） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 3．已知反比例函数的图象经过点（1，－8），则它的图象一定也经过                     （　  ） A．（－2，－4） B．（－2，4） C．（－1，－8） D．（1，8） 【答案】B 【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是－8的，就在此函数图象上． 【详解】设反比例函数为， ∵图象经过点(1,−8)， ∴k=−8， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为−8的点在函数图象上， 四个选项中只有B符合. 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数. 4．正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数的图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴图象过二、四象限，在每一个象限内，随增大而增大； ∵，， ∴反比例函数图象与坐标轴无交点； ∵， ∴图象经过点； 综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 6．反比例函数的图象如图，A（－2，y1）、B（－1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，且当x＞0时，y＜0，当x＜0时，y＞0， ∵A（−2，y1）、B（−1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上， ∴y3＜y1＜y2， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则图中使反比例函数小于一次函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x＜－1 B．x＞ 2 C．－1＜x＜0或x＞2 D．x＜－1或0＜x＜2 【答案】D 【分析】由A、B两个点的坐标，观察图象即可求解． 【详解】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， 由图知，使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是：x＜－1，或0＜x＜2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 9．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能； B.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不可能； C.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能； D.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项有可能； 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 10．如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 先根据正方形的性质及点，轴，且，得点的坐标为，当反比例函数的图象经过点时，，当反比例函数的图象经过点时，，由此可得出当反比例函数的图象与正方形有交点时，的取值范围． 【详解】解：四边形为正方形，点，轴，且， 点的坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象与正方形有交点， 则的取值范围是． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 12．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再将求值即可． 【详解】解：设眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为，根据题意，得 ， ∴函数关系式为． 当时，， 解得， 所以小明同学的眼镜近视度数为500度，眼镜镜片焦距为0.2米． 13．若点A（1，2）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数的图象上，则n的值为_____． 【答案】﹣1 【分析】设反比例函数解析式为y（k为常数，k≠0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝1×2＝﹣2n，然后解关于n的方程即可． 【详解】设反比例函数解析式为：y，根据题意得： k＝1×2＝﹣2n 解得：n＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 14．如图是三个反比例函数，，的图象，由此观察得到，，的大小关系为____．（用“＜”连接）    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，且图象距原点越远，的绝对值越大． 首先根据函数图象所在的象限可判断，，，然后根据图象距原点越远，的绝对值越大判断和的大小，进而得解． 【详解】解：由题图可知，反比例函数的图象在第二象限， ， 和的图象在第一象限，且的图象距原点较远， ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限．反比例函数的图象经过的中点，交于点．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数系数的几何意义，设点的坐标为，则点的坐标为，求出，结合点在反比例函数图象上得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入求出函数值． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得． 解得． 所以关于的函数解析式为． （2）当时，． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 17．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： （2）把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【答案】D的坐标为（8，6） 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是利用反比例函数解析式求出点的坐标． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 20．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 【答案】(1) (2)高最小为 【分析】（1）将代入，即可得出S关于的函数解析式； （2）根据题意得到，求出h的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 整理得． （2）解：根据题意，得 ，即， 解得， 即高最小为． 21．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 23．如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． (1)选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． (2)为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； (4)该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】(1)，该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁 (2) (3)由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； 由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． (4)可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率 【分析】（1）将代入列方程计算即可； （2）把数值代入计算即可； （3）根据增减性选择合适的模型即可； （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）解：当时，， 反比例函数的解析式为． （3）略 （4）解：因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 答案第1页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $